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• Rafael Curiel Medina

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Cálculo Diferencial Tarea 3. Derivadas.

UNAD 3-Mar-2020

ITGALVISV - Estudiante 1

1. De acuerdo con la definición de Derivada de una Función:

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Aplicando la definición de Derivada de una Función

Aplicando las Operaciones Algebraicas correspondientes como el producto notable, etc.

Simplificando

Factor Común “h”

Resolviendo el Límite

Resultado:

2. Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las Reglas de la Derivación:

Aplicando la Regla del Producto

Aplicando la Regla de la Suma

De la Tabla de Derivada la regla de la Potencia y de la Constante Aplicando las Operaciones Algebraicas correspondientes

Agrupando

Resultado:

3. Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las Reglas de la Derivación:

Aplicando la Regla del Cociente

Aplicando la Regla de la Suma

De la Tabla de Derivada la regla de la Potencia y de la Constante

Aplicando las Operaciones Algebraicas correspondientes

Agrupando términos, sacando factor común y simplificando

Resultado:

4. Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación: La función se puede reescribir de esta forma, sacando factor común:

Aplicando la Regla del Producto

Resolviendo las derivadas individualmente: Aplicando cambio de variable y la Regla de la Cadena

Aplicando cambio de variable y la Regla de la Cadena

Se sustituye en la ecuación (1)

Sacando factor común

Resultado:

5. Calcule la Derivada Implícita de la siguiente función.

Derivar d/dx, cada lado de la ecuación

Aplicar la Regla de la Suma

Aplicar la Regla de la potencia, sacar constante, la Regla del Producto, Derivada de una constante

Simplificar

Agrupar y luego Despejar

Resultado:

6. Calcule las siguientes Derivadas de Orden Superior.

Aplicando la regla de la Potencia

Aplicando la regla de la Potencia

Aplicando la regla de la Potencia

7. Problema Aplicación de las Derivadas. 7.A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: De la 1° Derivada se obtienen los puntos máximos y/o mínimos con f(x)’ = 0:

Para conocer la coordenada y se sustituye el valor de x en f(x):

Punto Máximo = (-1.97, 13.2) y Punto Mínimo = (1.97, -5.2)

De la 2° Derivada se obtiene el punto de inflexión con f(x)’’ = 0:

Para conocer la coordenada y se sustituye el valor de x en f(x):

Punto de Inflexión = (0, 4)

En la gráfica de Geogebra se Muestra tres funciones, la curva de línea gruesa de color Verde, es la función f(x), la curva de color Morado es la 1° Derivada de f(x) f’(x) y la de color Naranja es la 2° Derivada de f(x) f’’(x).

7.B Encontrar el ancho y el largo de un rectángulo para que su área sea máxima, si su perímetro es de 100 centímetros. Un problema de Optimización básico: La Función Objetivo es Maximizar el Area del Rectangulo. La Restricción es Perimetro del Rectangulo igual 100.

El Área de un Rectangulo es base x altura ó A = b x h. El Perímetro de un Rectángulo es la suma de todos sus lados ó P = 2b +2h P = 2b +2h = 100 —> h = (100 - 2b) / 2 = 50 - b A = b x h = b (50 - 2b) = 50b - 2b2

Para el cálculo de la área Máxima hay que derivar una vez la ecuacion del area y se obtiene la base y la altura para esta condición, tal como se muestra:: A’ = 50 -2b —> A’ = 0 —> 50 -2b = 0 —> b = 25 y h = 25