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• Libardo Gomez Saavedra

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TRABAJO COLABORATIVO TAREA 3: DERIVADAS

ESTUDIANTES JENNIFER CAROLINA PEREZ: Código: 1.096.200.398 EDUARD GEOVANNY USEDA GOMEZ: Código: 1098745430 DANNY SOFIA LIZARAZO: Código: MIGUEL ANGEL PARADA: Código: 1096233463

GRUPO: 100410-263

TUTOR: DIEGO FRANCISCO MARTINEZ

CURSO: CALCULO DIFERENCIAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” INGENIERIA INDUSTRIAL AÑO 2019

1

INTRODUCCIÓN



En el siguiente trabajo con los referentes teóricos apropiados dados, se comprendió de manera clara los conceptos de derivadas, derivadas de monomios y polinomios, derivadas de producto y cociente, derivadas implícitas, derivadas de orden superior los cuales se aplicaron de manera correcta en la realización de los ejercicios propuestos por la guía.



Graficar de manera eficiente en la plataforma, GeoGebra graficas usando correctamente su aplicación ,verificando satisfactoriamente las derivada de las funciones requeridas



Realizar ejercicios aplicando las formulas correctas para hallar ejercicios

las derivadas de los propuestos

2

SOLUCION DE EJERCICIOS ESTUDIANTE - 1 JENIFFER PEREZ ORTEGA

EJERCICIOS DEL ESTUDIANTE -1

EJERCICIO - 1

1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥

Estudiante 1

𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Se halla la función reemplazando donde está la x, por (x +h)

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 − 2(𝑥 + ℎ) Se halla la derivada de la función reemplazando la formula (𝑥 + ℎ)2 − 2(𝑥 + ℎ) − (𝑥 2 − 2𝑥) 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ

3

Se realiza la operacion entre binomios, se usa para hallar el cuadrado del binomio la formula (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 − 2ℎ − 𝑥 2 + 2𝑥 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ Se eliminan terminos iguales dando como resultado 𝑓´(𝑥) = lim =

2𝑥ℎ+ℎ2 −2ℎ ℎ

ℎ→0

Se factoriza la h, para hallar el resultado 𝑓´(𝑥) = lim = ℎ→0

ℎ( 2𝑥+ℎ−2) ℎ

Se elimina la h, y luego se resuelve el limite reemplazando la h, por el limite en este caso es (0) 𝑓´(𝑥) = lim = 2𝑥(0) − 2 = 2𝑥 − 2 ℎ→0

𝑓´(𝑥) = lim = 2𝑥 − 2 ℎ→0

Obtenemos el resultado de la derivada cuando h →0

EJERCICIO - 2

2. Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación

Estudiante 1

𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(√𝑥 + 2)

4

Primero se reescribe la formula cambiando la ecuación de la raíz usando la formula 𝑛

√𝑎 𝑚 = 𝑎

𝑚 𝑛

Resultando 1

(𝑥 2 − 3)(𝑥)2 + 2 Se halla la derivada aplicando la formula (𝑢 ∗ 𝑣)′ = 𝑢 ∗ 𝑣 ′ + 𝑣 ∗ 𝑢′ 1

Siendo el valor de la ecuación: (𝑥 2 − 3) valor de U - (𝑥)2 + 2 valor de V

Reemplaza la formula 𝑓´(𝑥) = (𝑥 2 − 3)

1 1 𝑑 𝑑 (𝑥)2 + 2 + (𝑥)2 + 2 (𝑥 2 − 3) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Se resuelve las derivadas 1

1

1

𝑑

𝑑

𝑑

𝑓´(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(2 (𝑥)−2 + 2 + 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)) + (𝑥)2 + 2(𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑑𝑥 − 3)

Se halla las derivadas con la formula

1

1

𝑑 𝑑𝑥

𝑣 𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑣 𝑛−1

𝑑

𝑑

𝑓´(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(2 (𝑥)−2 + 2 (𝑑𝑥 𝑥 +

1

1

𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥

𝑣

1

2) + (𝑥)2 + 2(2𝑥)

1

𝑓´(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(2 (𝑥)−2 + 2 (1) + (𝑥)2 + 2(2𝑥) Se obtuvo la derivada, de este resultado se simplifica y se reducen lo terminos, realizando operación de fracciones multiplicado denominadores y numeradores

5

1 (𝑥 2 − 3) 𝑓´(𝑥) = . . 2 1

1 1 2

+ √𝑥 + 2 (2𝑥)

(𝑥) + 2

Se realiza la operación correspondiente a la suma de fracciones, colocando en el denominador elevado al cuadrado dentro de raíz

𝑓´(𝑥) =

1( x 2 − 3) 1 2(x)2

+ 2𝑥√𝑥 + 2

+2

1

𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 − 3

+ 2𝑥 √𝑥 + 2

1

Resultado de la derivada

2(x)2 +2

EJERCICIO – 3

Estudiante 1

𝑓(𝑥) =

√𝑥 − 2 2𝑥 2 + 3

Primero se toma el numerador y se eleva a ½ por ser raíz cuadrada 1

(𝑥)2 −2

→𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝑈

2𝑥 2 +3

→𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝑉

Se usa la formula

(

𝑢 𝑣

′

) =

𝑣.𝑢′ −𝑢.𝑣′ 𝑣

6

−1

𝑑

𝑓´(𝑥) = 𝑑𝑥 (𝑥) 2 − 2(2𝑥 2 + 3) Se reemplaza la formula y se realiza las operaciones correspondientes y se hallan las derivadas

3

−1

𝑓´(𝑥) = (𝑥)−2 − 2( 2 )(2𝑥 2 + 3)(4𝑥)

Se realiza la operacion de división del primer término y posteriormente se multiplica numeradores y denominadores para hallar el resultado, usando la regla del cociente

3

𝑓´(𝑥) =

− (𝑥) 2 −2 1 (2𝑥 2 )

𝑓´(𝑥) = −

.

1 (2𝑥 2 +3)

6𝑥 2 −3−16𝑥 3/2 1

.

4𝑥 1

Halla el resultado final

2𝑥 2 (2𝑥 2 +3)2

EJERCICIO – 4 Estudiante 1

𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 + 3)3 . (3𝑥)2𝑥

Se encuentran las derivadas de los productos y se aplica la formula

𝑝. 𝑠 ′ + 𝑠. 𝑝′

𝑝′ = 3(2𝑥 2 + 3)2 (4𝑥) = 𝑝′ = 12𝑥(2𝑥 2 + 3) 𝑠 ′ = 2(9)𝑥 𝑥 2𝑥 (ln(3𝑥) + 1)

Reemplaza la formula

𝑓´(𝑥) = (2𝑥2 + 3)3 . 2(9)𝑥 𝑥2𝑥 (ln(3𝑥) + 1) +. (3𝑥)2𝑥 . 12𝑥(2𝑥2 + 3)

7

Se deja hasta este punto la solucion del ejercicio

EJERCICIO – 5

Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 1

𝑥𝑦 + √1 − 𝑥 2 = 20

Se cambia la expresión elevando la raíz al exponente ½, se aplica la regla del producto con la formula (𝑓. 𝑔)′ = 𝑓 ′ . 𝑔 + 𝑓. 𝑔′

1

𝑥𝑦 + (1 − 𝑥 2 )2 = 20 Luego se derivan implícitamente los terminos y se reemplaza la ecuación, hallando las derivadas

1

1

1. 𝑦 + 𝑥. 1. 𝑦′ + 2 (1 − 𝑥 2 )−2 . (1 − 𝑥 2 ) = 0 1

1

= 𝑦 + 𝑥. 𝑦 + 2 . (1−𝑥 2 )1/2 . (𝑥 2 + 1. −2𝑥) = 0

Se usa la propiedad distributiva 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ +

1

. (𝑥 2 − 2𝑥) = 0

2√1−𝑥 2 𝑥2 2√1−𝑥 2

.

2𝑥 2√1−𝑥 2

=0

Se pasas los terminos de y a la derecha cambia, el símbolo de los otros terminos ′

𝑥𝑦 = −𝑦 −

𝑥2

.

2𝑥

2√1 − 𝑥 2 2√1 − 𝑥 2

=0

8

Se despeja y’ 𝑦 ′ . (𝑥) = −𝑦 −

𝑥2

𝑥2

′

𝑦 = −𝑦 −

−

2√1−𝑥 2 −

2𝑥 2√1−𝑥 2

2𝑥

2√1−𝑥2 2√1−𝑥2

𝑥

2√1−𝑥2

Se halla el resultado final

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= −𝑦

(−𝑥 2 +1)+𝑥(−𝑥 2 +1) 𝑥(−𝑥 2 +1)

EJERCICIO -6 Calcule las siguientes derivadas de orden superior

3 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 6𝑥 2 5

Estudiante 1

𝑓 ′′ (𝑥) =?

3 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 6𝑥 2 5

𝑓 ′ (𝑥) = 5𝑥 4 +

12 5

𝑓 ′′ (𝑥) = 20𝑥 3 +

𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥

36 5

𝑥 2 − 18𝑥 + 12

Primera derivada Segunda derivada

Se hallan las derivadas de la función para obtener, la segunda derivada, derivando cada expresión dada

9

EJERCICIO -7

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudiante 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥

a.

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥

𝑓(𝑥) = √𝑥

b.

𝑓(𝑥) = √𝑥

Derivada de esta función

derivada de esta función

𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = 𝑥1/2 1

1

𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 2−1 𝑓 ′ (𝑥) =

1 2

𝑥 −1/2

GRAFICA 1- COMPROBACION DE LA FUNCION DERIVADA

FUNCION: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥

DERIVADA DE ESTA FUNCION

𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 3

10

GRAFICA 2- COMPROBACION DE LA FUNCION DERIVADA

FUNCION: 𝑓(𝑥) = √𝑥

DERIVADA DE ESTA FUNCION: 𝑓 ′ (𝑥) =

1 2

𝑥 −1/2

11

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Asignación

Problemas A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 3 − 6 3𝑥 + 2

Estudiante 1 B

El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:

12

𝐶(𝑥) = 0.05𝑥 3 + 0.03𝑥 2 + 60 a. b.

Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥) Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.

DESARROLLO DE LOS PROBLEMASD DE APLICACIÓN

1

A- Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 2

Derivamos la función e igualamos a cero: F(x) = 1/6*x³ - 3x + 2 F'(x) = 3/6*x² - 3 = 0.5*x² - 3 = 0 0.5x² = 3 X² = 3/0.5 = 6 𝑥 = 2.45

Nos da el valor 2,45 ese valor lo tomamos en positivo y negativo para hallar los puntos máximos y mínimos de los puntos

Se halla la segunda derivada de la función:

6 6

=1

Se remplaza los valores para hallar los puntos máximos y mínimos

1

𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 𝑓 (2.45) =

1 (2.45)3 − 3(2.45) + 2 = −2,9 6

13

1

𝑓 (2.45) = 6 (−2.45)3 − 3(−2.45) + 2 = 6.9

Se obtiene valor de los puntos:

Puntos mínimos: (2,45) (-2,9) Puntos máximos: (-2,45) (6,9)

Para hallar los puntos de inflexión se iguala la ecuación a (0) y luego se despeja, tomado la segunda derivada y re realizada

𝑓 ′′ (𝑥) = 1 1𝑥 = 0 𝑥=

0 1

=0

Nos da el resultado del primer punto de inflexión

Luego se sustituye este valor en la función dada para hallar el otro punto de inflexión

1

𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 1 6

Función dada

(0)3 − 3(0) + 2 = 2 Hallamos el otro punto de inflexión

Puntos de inflexión de la función dada: (0, 2)

COMPROBACION EN GEOGEBRA

14

B- El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:

𝐶(𝑥) = 0.05𝑥 3 + 0.03𝑥 2 + 60 Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥) Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.

1- FUNCION DEL COSTO MARGINAL 𝐶´(𝑥)

15

Se halla derivando la función dada

Derivamos: 𝐶(𝑥) = 0.05𝑥 3 + 0.03𝑥 2 + 60 𝐶 ′(𝑥) = 3 ∗ 0.05 𝑥 2 + 2 ∗ 0.03𝑥 𝐶 ′(𝑥) = 0.15𝑥 2 + 0.06𝑥

RTA: función del costo marginal para esta función es 𝐶´(𝑥) = 0.15𝑥2 + 0.06𝑥

2- ENCUENTRE EL COSTO MARGINAL CUANDO 2000 UNIDADES SON PRODUCIDAS

Se reemplaza el valor dado por 2000 que son la cantidad unidades producidas y se realiza la operación para hallar la respuesta con el resultado dado

𝐶(𝑥) = 0.05𝑥 3 + 0.03𝑥 2 + 60

𝐶 ′(𝑥) = 0.15𝑥 2 + 0.06𝑥 𝐶 ′ (𝑥) = 0,15(2000)2 + 0.06(2000) 𝐶 ′ (𝑥) = 600.120

RTA: El costo marginal cuando 2000 unidades son producidas es 600120

LINK DEL VIDEO http://youtu.be/cE-3l9yEMtM?hd=1

16

SOLUCION EJERCICIOS ESTUDIANTE - 2 EDUARD GEOVANNY USEDA Link video: https://www.youtube.com/watch?v=ZfKnyHgkteI&feature=youtu.be&hd=1 A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Estudiante 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 F(x) = Lim f(x+ h) – f(x) H→o

h

Lim (𝑥 + ℎ) [(𝑥 + ℎ)2 + 2 (𝑥 + ℎ) ] − 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥) h→o

h

𝐿𝑖𝑚 (𝑥 + ℎ)[𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + 2ℎ]‒ 𝑥 3 ‒ 2𝑥 2 h

h→o

𝐿𝑖𝑚 𝑥 3 + 2𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + 2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + 𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥ℎ + 2ℎ2 − 𝑥 3 − 2𝑥 2 H→o

h 𝐿𝑖𝑚 2𝑥 2 ℎ + 𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + 2𝑥ℎ2 + 2𝑥ℎ + 2𝑥ℎ + ℎ3 + 2ℎ2 H→o

h

𝐿𝑖𝑚 (3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + 4𝑥ℎ) + (ℎ3 + 2ℎ2 ) H→o

h

𝐿𝑖𝑚 𝑥ℎ(3𝑥 + 3ℎ + 4) + (ℎ3 + 2ℎ2 )

17

H→o

h ℎ3 + 2ℎ2 ] ℎ

𝐿𝑖𝑚 𝑥(3𝑥 + 3ℎ + 4) + [ h→o

𝐿𝑖𝑚 𝑥(3𝑥 + 3.0 + 4) = 3𝑥 2 + 4𝑥 Grafica en GeoGebra

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. Estudiante 2

𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥 2 − 2)

18

𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥 2 − 2) 𝑓(𝑥) (

1 2√𝑥

= (2𝑥 − = 4𝑥

3⁄ 2

= 4𝑥

1⁄ 2

− 1) (2𝑥 2 − 2) + (√𝑥 − 𝑥)4𝑥 − 1) (2𝑥 2 − 2) + (√𝑥 − 𝑥)4𝑥

− 4𝑥

3⁄ 2

−

= 𝑥

−1⁄ 2

1 1 4𝑥 ⁄2

3⁄ 2

−

− 2𝑥 2 + 2 + 4𝑥√𝑥 − 4𝑥 2 − 2𝑥 2 + 2 + 4𝑥√𝑥 − 4𝑥 2

1 1 𝑥 ⁄2

− 6𝑥 2 + 2 + 4𝑥√𝑥

= −6𝑥 2 + 4𝑥√𝑥 −

1 √𝑥

+𝑥

3⁄ 2

+2

Gráfica en GeoGebra

19

Ejercicio 3

Estudiante 2

𝑓(𝑥) =

√𝑥 + 1 2𝑥 2 − 4

𝑓 𝑓´𝑔 − 𝑓𝑔´ √𝑥 + 1 = 𝑓(𝑥) . 2 2𝑥 − 4 𝑔 𝑔2

𝑓(𝑥) =

(√𝑥 + 1)´(2𝑥 2 − 4) − (√𝑥 + 1)(2𝑥 2 − 4)´ 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 4)2 𝑓(𝑥) =

(2𝑥 2 − 4) − (√𝑥 + 1)4𝑥 (2𝑥 2 − 4)2 2 √𝑥 1

𝑥2 4 − ] − 4𝑥 √𝑥 + 8𝑥 𝑥 2√𝑥 √ = (2𝑥 2 − 4)2 [

𝑥2 2 − − 4𝑥 √𝑥 + 4𝑥 √𝑥 √𝑥 4𝑥 4 − 4𝑥 2 (−4) − 16 4𝑥 2 + 16𝑥 2 − 16 3 ⁄2 − 1 − 4𝑥 3⁄2 + 4𝑥 √𝑥 𝑥

Grafica en GeoGebra

20

Ejercicio 4 Estudiante 2

𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥 . 𝑥 3

(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥 . 𝑥 3 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 (2𝑥 − 5) +

2𝑥 (2𝑥 − 5)2 𝑥 + 3𝑥 2 (2𝑥 − 5)𝑥 2𝑥 − 5

Grafica en GeoGebra

Ejercicio 5 Calcule la derivada implícita de la Siguiente función Estudiante 2

𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5

21

𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5 2𝑦𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 + 1𝑦´ 6𝑥 − 4 = 0 2𝑦𝑦´ + 11´6𝑥 = 4𝑥 − 6𝑦 + 4 𝑦´(2𝑦 + 6𝑥 = 4𝑥 − 6𝑦 + 4 𝑦´ =

4𝑥 − 6𝑦 + 4 2𝑦 + 6𝑥

Grafica en GeoGebra

Ejercicio 6 Calcule las siguientes derivadas de orden superior Estudiante 2

Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑒 −5𝑥 + 2𝑥 2

Derivada de orden superior 𝑓 ′′′ (𝑥) =?

𝑓(𝑥) = 𝑒 −5𝑥 + 2𝑥 2 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒 −5𝑥 + 4𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒 −5𝑥 + 4

22

𝑓(𝑥) = −12𝑠𝑒 −5𝑥 + 0

Grafica en GeoGebra

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra. Estudiante 2

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥

b. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑥

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

23

Asignación

Problemas A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 3 B Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por: 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 4𝑡 + 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s

Estudiante 2

1

1

1

a) 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 3 = 𝑓 (𝑥) = 3 6 𝑥 2 − 3 = 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 2 − 3 = 0 (3, −3⁄2)

−3, (15⁄2)

↓ Mínimo

↓ Máximo

(0,3) ↓ Mínimo relativo

b) 𝑡 2 + 4𝑡 + 4 𝑡 = 2𝑠 𝑦 𝑡 = 4 𝑠´𝑡: 2𝑡 + 4 𝑡 = 2𝑠 = 2(2𝑠 ) + 4 = 8𝑚⁄𝑠 𝑡 = 4𝑠 = 2(4𝑠 ) + 4 = 12𝑚⁄𝑠

Gráfica en GeoGebra

24

SOLUCION DE EJERCICIOS ESTUDIANTE - 4 DANNY SOFIA LIZARAZO

1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ→0

ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 4

lim =

ℎ→0

lim =

ℎ→0

𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 4𝑥

4(𝑥 + ℎ)3 + 4(𝑥 + ℎ) − 4𝑥 3 − 4𝑥 ℎ

4(𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + 𝑏 3 ) + 4(𝑥 + ℎ) − 4𝑥 3 − 4𝑥 ℎ

(4𝑥 3 + 12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4ℎ3 ) + (4𝑥 + 4ℎ) − 4𝑥 3 − 4𝑥 lim = ℎ→0 ℎ

25

lim =

ℎ→0

12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4ℎ3 + 4ℎ ℎ

ℎ(12𝑥 2 + 12𝑥ℎ + 4ℎ2 + 4) lim = ℎ→0 ℎ lim = 12𝑥 2 + 12𝑥ℎ + 4ℎ2 + 4

ℎ→0

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(2𝑥 2 − √𝑥) 𝑦 = 𝑢∗𝑣

𝑦´ = 𝑢´ ∗ 𝑣 + 𝑢 ∗ 𝑣´

𝑓´(𝑥) = (1)(2𝑥 2 − √𝑥) + (𝑥 − 2) ∗ 1 (4𝑥 − 𝑓´(𝑥) = (2𝑥 2 − √𝑥) + (𝑥 − 2) ∗ (4𝑥 − 𝑓´(𝑥) = (2𝑥 2 − √𝑥) + 4𝑥 2 − 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 2 − √𝑥 + 4𝑥 2 − 𝑓´(𝑥) = 6𝑥 2 + 8𝑥 +

𝑥 2 √𝑥

1 2√𝑥

1 2 √𝑥

− 8𝑥 +

)

)

2 2√𝑥

1√𝑥 1 − 8𝑥 + 2 √𝑥

−3√𝑥 1 + 2 √𝑥

SE LE AGREGO LOS APORTES QUE ELLA ENVIO

SOLUCION EJERCICIOS ESTUDIANTE - 5

26

MIGUEL ANGEL PARADA

Solución del ejercicio 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 2𝑥 2 Se realiza de acuerdo a la derivada una vez se aplica el limite 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ lim

Reemplazando se llega a 2(𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 lim ℎ→0 ℎ Ahora se realiza el desarrollo de los términos con los exponentes. 2(𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 lim [ ] ℎ→0 ℎ Ahora se multiplica cada término a los factores ya desarrollados 2(𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 lim [ ] ℎ→0 ℎ (2𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 ) + (2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 ) − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 = lim [ ] ℎ→0 ℎ

Al simplificar se tiene lo siguiente lim [

ℎ→0

(6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 ) + (4𝑥ℎ + 2ℎ2 ) ] ℎ

27

Todo el numerador tiene como expresión común h, por esto lim [

ℎ→0

ℎ((6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 ) + (4𝑥 + 2ℎ)) ] ℎ

Cuando se simplifica se llega a ((6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 ) + (4𝑥 + 2ℎ)) lim [ ] = lim [(6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 ) + (4𝑥 + 2ℎ)] ℎ→0 ℎ→0 1 = 6𝑥 2 + 4𝑥

Solución del ejercicio 2 𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 𝑥) La derivada de esta función es 𝑓´(𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑥) (

𝑑 𝑑 (√𝑥 − 𝑥)) + (√𝑥 − 𝑥) ( (𝑒 𝑥 + 𝑥)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Como primera medida se tiene que: 𝑓´(𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑥) (

1 1

𝑥 (2)

− 1) + (√𝑥 − 𝑥) (

𝑑 𝑥 (𝑒 + 𝑥)) ⅆ𝑥

Ahora el valor de la segunda expresión es 𝑓´(𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑥) (

1 1 𝑥 (2)

− 1) + (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 1)

Esa misma es la expresión que me da la derivada de la función 𝑓´(𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑥) (

1 1 2𝑥 (2)

− 1) + (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 1)

28

Solución del ejercicio 3 𝑓(𝑥) =

𝑒𝑥 − 𝑥 √𝑥 − 3

La derivada se plantea así 𝑑 𝑒𝑥 − 𝑥 ( ) ⅆ𝑥 √𝑥 − 3 Según regla del cociente, me queda de esta manera. (√𝑥 − 3) ( 𝑓´(𝑥) =

𝑑 𝑥 𝑑 (𝑒 − 𝑥)) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) ( (√𝑥 − 3)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 (√𝑥 − 3)2

Al realizar la primera derivada se tiene 𝑑 𝑥 𝑑 𝑑 𝑒 − 𝑥)) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) ( (√𝑥 − 3)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

(√𝑥 − 3) (( 𝑓´(𝑥) =

(√𝑥 − 3)2 =

𝑑 (√𝑥 − 3)((𝑒 𝑥 − 1)) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) ( (√𝑥 − 3)) ⅆ𝑥 (√𝑥 − 3)2

Por otro lado el valor de la segunda expresión ya derivada es

29

(√𝑥 − 3)((𝑒 𝑥 − 1)) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) (( 𝑓´(𝑥) =

𝑑 𝑑 𝑥− 3)) ⅆ𝑥 √ ⅆ𝑥

(√𝑥 − 3)2 1 (√𝑥 − 3)((𝑒 𝑥 − 1)) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) (( )) 2√𝑥 = (√𝑥 − 3)2

Si se reagrupan los términos, me lleva al valor de la derivada de la función

(√𝑥 − 3)((𝑒 𝑥 − 1)) − 𝑓´(𝑥) =

(𝑒 𝑥 − 𝑥) 2√𝑥

(√𝑥 − 3)2

Solución del ejercicio 4

𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (1 − 𝑥)2 Se plasma la derivada del producto (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (

𝑑 𝑑 (1 − 𝑥 2 )) + (1 − 𝑥 2 )( ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 ) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

La primera parte es (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (

𝑑 (1 − 𝑥 2 ) = (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (−2𝑥) ⅆ𝑥

La expresión queda así

(−2𝑥)(2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 + (1 − 𝑥 2 )(

𝑑 ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 ) ⅆ𝑥

30

Ahora (1 − 𝑥 2 )(

𝑑 ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 ) ⅆ𝑥

(2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 = 𝑒 ln((2𝑥

2 −𝑥)𝑥 )

= 𝑒 𝑥ln(2𝑥

2 −𝑥)

Esta derivada es 𝑑 xln(2𝑥 2 −𝑥) 𝑑 2 (𝑒 = (𝑥ln(2𝑥 2 − 𝑥))𝑒 𝑥ln(2𝑥 −𝑥) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Por otro lado 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 ln(2𝑥 2 − 𝑥)) = ln(2𝑥 2 − 𝑥) (𝑥) + 𝑥 (ln(2𝑥 2 − 𝑥)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Esta forma simplificada da ln(2𝑥 2 − 𝑥)

𝑑 𝑑 𝑑 1 (𝑥) + 𝑥 (ln(2𝑥 2 − 𝑥)) = ln(2𝑥 2 − 𝑥) + 𝑥( (2𝑥 2 − 𝑥)) 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 2𝑥 − 𝑥

Ahora 1 4𝑥 2 − 𝑥 2 ln(2𝑥 − 𝑥) + 𝑥(4𝑥 − 1) 2 = ln(2𝑥 − 𝑥) + 2 2𝑥 − 𝑥 2𝑥 − 𝑥 2

Si reunimos los términos, se obtiene el valor de la derivada

𝑓´(𝑥) = (−2𝑥)(2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 + (1 − 𝑥 2 ) (ln(2𝑥 2 − 𝑥) +

4𝑥 2 − 𝑥 𝑥ln(2𝑥 2 −𝑥) )𝑒 ) 2𝑥 2 − 𝑥

31

Solución del ejercicio 5

ln(𝑥𝑦)2 − 𝑦 3 = 25 La forma de la derivada es: 𝑑 𝑑 (ln2 (𝑥𝑦) − 𝑦 3 ) = (25) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Se utiliza a continuación la regla de la cadena 𝑑 𝑑𝑢2 𝑑𝑢 (ln2 (𝑥𝑦)) = ⅆ𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Donde 𝑢 = ln(𝑥𝑦) Ahora 𝑑 2 (𝑢 ) = 2𝑢 𝑑𝑢 Quedando 𝑑 𝑑 (ln2 (𝑥𝑦)) = (ln(𝑥) + ln(𝑦))(2ln(𝑥𝑦)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Las derivadas indicadas son 𝑑 1 𝑦´(𝑥) (ln(𝑥) + ln(𝑦)) = + ⅆ𝑥 𝑥 𝑦 Entonces esta parte es 1 𝑦´(𝑥) ( + ) (2 ln(𝑥𝑦)) − 𝑦 3 = 25 𝑥 𝑦 Ahora el termino elevado a la tres −

𝑑 (𝑦 3 ) = −3𝑦 2 𝑦´(𝑥) 𝑑𝑥

32

Ahora se deriva el término constante 𝑑 (25) = 0 𝑑𝑥 Se agrupan los términos

1 𝑦´(𝑥) ( + ) (2 ln(𝑥𝑦)) − 3𝑦 2 𝑦´(𝑥) = 0 𝑥 𝑦 Se expande la expresión 2ln(𝑥𝑦) 2ln(𝑥𝑦)𝑦 ′ (𝑥) + − 3𝑦 2 𝑦 ′ (𝑥) = 0 𝑥 𝑦 Se resta a expresión 2ln(𝑥𝑦) 𝑥 Quedando 2ln(𝑥𝑦)𝑦 ′ (𝑥) 2ln(𝑥𝑦) − 3𝑦 2 𝑦 ′ (𝑥) = − 𝑦 𝑥 Ahora se utiliza como factor común 𝑦 ′ (𝑥) Se llega a (

2 ln(𝑥𝑦) 2ln(𝑥𝑦) − 3𝑦 2 ) 𝑦 ′ (𝑥) = − 𝑦 𝑥

Se despeja 𝑦 ′ (𝑥) = −

2ln(𝑥𝑦) 2 ln(𝑥𝑦) 𝑥( 𝑦 − 3𝑦 2 )

Aplicando productos extremos, producto medio se tiene la respuesta

33

𝑦 ′ (𝑥) = −

2ln(𝑥𝑦)𝑦 𝑥(2ln(𝑥𝑦) − 3𝑦 3 )

Solución del ejercicio 6

𝑓(𝑥) = (𝑥 3 )(𝑥 4 + 1)

𝑓 ′′′ (𝑥) =?

Se desarrolla la tercera derivada en la función 𝑑3 (𝑥 3 (𝑥 4 + 1)) ⅆ𝑥 3 Hay que ver que por la derivada del producto, el valor de la primera derivada es (𝑥 4 + 1)

𝑑 3 𝑑 (𝑥 ) + 𝑥 3 (𝑥 4 + 1) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Luego 𝑑 3 (𝑥 ) = 3𝑥 2 ⅆ𝑥 Ahora 𝑑 4 (𝑥 + 1) = 4𝑥 3 ⅆ𝑥

Ahora la forma de la primera derivada es 4(𝑥 6 ) + 3(𝑥 2 (𝑥 4 + 1)) Ahora la segunda derivada es

34

4

𝑑 6 𝑑 (𝑥 ) + 3 (𝑥 2 (𝑥 4 + 1)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Donde 𝑑 6 (𝑥 ) = 6𝑥 5 ⅆ𝑥 𝑑 2 4 𝑑 𝑑 (𝑥 (𝑥 + 1)) = (𝑥 4 + 1) (𝑥 2 ) + 𝑥 2 (𝑥 4 + 1) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Separando cada derivada 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 ⅆ𝑥 𝑑 4 (𝑥 + 1) = 4𝑥 3 ⅆ𝑥 Finalmente operando cada termino, se obtiene la segunda derivada 24𝑥 5 + 3(4𝑥 5 + 2𝑥(𝑥 4 + 1))

Ahora se plantea la tercera derivada 24 (

𝑑 5 𝑑 (𝑥 )) + 3 ( (4𝑥 5 + 2𝑥(𝑥 4 + 1))) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Donde 𝑑 5 (𝑥 ) = 5𝑥 4 ⅆ𝑥 Ahora 3(

𝑑 𝑑 𝑑 (4𝑥 5 + 2𝑥(1 + 𝑥 4 )) = 4 (𝑥 5 ) + 2 (𝑥(𝑥 4 + 1)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

El primer término es 𝑑 5 (𝑥 ) = 5𝑥 4 ⅆ𝑥 El segundo y simplificando la expresión queda planteado así:

35

𝑓´´´(𝑥) = 120𝑥 4 + 3 (20𝑥 4 + 2 (

𝑑 (𝑥(𝑥 4 + 1)))) 𝑑𝑥

Por otro lado 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥(𝑥 4 + 1)) = (𝑥 4 + 1) (𝑥) + 𝑥 (𝑥 4 + 1) 𝑑𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Se realizan las últimas derivadas 𝑑 (𝑥) = 1 ⅆ𝑥 𝑑 4 (𝑥 + 1) = 4𝑥 3 ⅆ𝑥 Simplificando, me queda que el valor de la tercera derivada es 𝑓´´´(𝑥) = 120𝑥 4 + 3(20𝑥 4 + 2(5𝑥 4 + 1)) Que es lo mismo que: 𝑓´´´(𝑥) = 210𝑥 4 + 6

GRAFICAS #1-A

36

DERIVADA #1-A

37

#1-B

38

DERIVADA #1-B

39

Problemas Límites Y Continuidad

A La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las o y 4 horas de recorrido se representa con la expresión 𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡 , donde t es el tiempo en horas y 𝑣(𝑡) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que momento del intervalo [0,3]circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante? B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 3 − 2𝑥 + 4

Parte A La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las o y 4 horas de recorrido se representa con la expresión 𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡 , donde t es el tiempo en horas y 𝑣(𝑡) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que momento del intervalo [0,3]circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante? Lo primero que se realiza es la derivada del a función 𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡 Para analizar, hay que derivar. En este caso se emplea la derivada del producto. 𝑣´(𝑡) = [2 − 𝑡] (

𝑑 𝑡 𝑑 (𝑒 )) + [𝑒 𝑡 ] ( (2 − 𝑡)) ⅆ𝑡 ⅆ𝑡

40

Cada derivada se trabaja a continuación 𝑑 𝑑 𝑑 (2 − 𝑡) = (2) − (𝑡) = −1 ⅆ𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ya que 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑡 Por otro lado 𝑑 𝑡 (𝑒 ) = 𝑒 𝑡 ⅆ𝑡 Quedando 𝑣´(𝑡) = 𝑒 𝑡 (2 − 𝑡) − 𝑒 𝑡 Se busca encontrar los valores máximos 𝑒 𝑡 (2 − 𝑡) − 𝑒 𝑡 = 0 𝑒𝑡 (2 − 𝑡) = 𝑡 = 1 𝑒 −𝑡 = −1 𝑡=1 Para saber si representa un máximo o un mínimo, basta con encontrar la segunda derivada y reemplazar. −𝑒 𝑡 + (2 − 𝑡) ∗

𝑑 𝑡 𝑑 (𝑒 ) + 𝑒 𝑡 ∗ (2 − 𝑡) ⅆ𝑡 ⅆ𝑡

Ahora 𝑑 𝑑 𝑑 (2 − 𝑡) = (2) − (𝑡) = −1 ⅆ𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ya que 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑡

41

Recordar que: 𝑑 𝑡 𝑒 = 𝑒𝑡 ⅆ𝑡

Por eso la segunda derivada es −𝑒 𝑡 + (2𝑒 𝑡 − 𝑡 ∗ 𝑒 𝑡 ) − 𝑒 𝑡 = −𝑡 ∗ 𝑒 𝑡 Cuando t es uno 𝑣´´(1) = −(1) ∗ 𝑒 (1) = −𝑒 Esto es un máximo, entre cero y uno la función crece, de uno a tres, la función decrece. Se corrobora dando valores 𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡 𝑣(0) = (2 − 0). 𝑒 0 = 2 𝑣(1) = (2 − 1). 𝑒 1 = 𝑒 1 𝑣(2) = (2 − 2). 𝑒 2 = 0 𝑣(3) = (2 − 3). 𝑒 3 = −𝑒 3 𝑣(4) = (2 − 4). 𝑒 4 = −2𝑒 4 La velocidad máxima es 𝑘𝑚

100𝑒 (

ℎ

)

El vehículo se detiene al pasar dos horas. 𝑣(2) = (2 − 2). 𝑒 2 = 0

𝑘𝑚 ℎ

El comportamiento se muestra a continuación

42

Parte B 1

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 3 − 2𝑥 + 4 Se comienza derivando 𝑓´ (𝑥) =

3 2 𝑥 −2 2

Ahora se calculan las raíces del polinomio 3 2 𝑥 −2=0 2 Quedando que: 3 2 𝑥 =2 2 3𝑥 2 = 4 𝑥2 =

4 3

Quedando que: 𝑥=±

2 √3

Ahora se busca la segunda derivada de esta función, con el fin de saber si es máximo o mínimo.

43

𝑓´´ (𝑥) =

6 𝑥 2

Con base en esto se llega a la siguiente conclusión 2 6 2 𝑓´´ ( ) = ( ) 2 √3 √3 Por ser positivo representa un mínimo Su coordenada es: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜: (

2

2 ; 𝑓 ( )) √3 √3

1 2 3 2 𝑓( ) = ( ) −2( )+4 2 √3 √3 √3 2

2 8 𝑓( ) = 4− 3√3 √3 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 → (

2 √3

; (4 −

8

)) 3√3

Ahora para el máximo 𝑀𝑎𝑥: (−

2 √3

; 𝑓 (−

2

)) √3

Por ende 1 2 3 2 𝑓 (− ) = (− ) − 2(− ) + 4 2 √3 √3 √3 2

𝑓 (−

2

8 )= 4+ 3√3 √3

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 → (−

2 √3

; (4 +

8

)) 3√3

44

Ahora la inflexión se da en: 𝑓´´ (0) =

6 𝑥=0 2

𝑥=0 Se reemplaza en 𝑓(𝑥) 𝑓 (0) =

(0)3 − 2(0) + 4 = 4 2

El corte en la ordenada es (0; 4)

45

CONCLUSIONES



Despues de realizado el trabajo se puede concluir la importancia de la apropiación del concepto de derivadas , las reglas de la derivación y las derivadas de orden superior aplicándolas a la solucion de ejercicios propuestos de manera oportuna



La importancia de verificar las funciones de derivadas en GeoGebra para establecer la comprobación del ejercicio de aplicación de manera oportuna



Para desarrollar correctamente los ejercicios propuestos es fundamental la apropiación del materia teórico adecuado e investigar sobre los temas propuestos con el fin de afianzar los conocimientos sobre el tema desarrollado y realizar de manera adecuada la solucion de los ejercicios de aplicación dados

46

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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