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CALCULO DIFERENCIAL Tarea 3 Derivadas

Presentado por: German Pulido Álvarez Código 79747222 Harold Esteban Garzón Tijaro Código: 1019095972 María Del Pilar Fuentes Trujillo Código: 52900346 Mónica Andrea Ruiz Sánchez Código: 1022938085 Olga Lucia Sereno Garzón Código: 52460017

Presentado a: Frey Rodríguez

Grupo: 100410_12

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Programa de administración de empresas 07 julio 2020

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se abordará la unidad 3 Derivadas, se reconocerán y se resolverán los ejercicios y problemas de estos temas: Concepto de Derivada, Derivada de monomios y polinomios, Derivadas producto y cociente – Reglas de la derivación, Derivadas implícitas, Derivadas de orden superior y Aplicaciones de las derivadas.

Estudiante 1 Mónica Andrea Ruiz Sánchez Derivadas 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ( x+ h )−f ( x ) f ´ ( x )=lim h h →0 Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: 1. Ejercicio f ( x )=6 x 2 +5 x

Estudiante 1

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x ) h

f ( x +h ) =6 ¿ f ´ ( x )=lim 6 ¿ – (6 x 2+ 5 x ¿ h →0

h f ´ ( x )=lim 6 ( x 2+ 2 xh+ h2 ) +5 x+5 h – 6 x 2−5 x h

h →0

f ´ ( x )=lim 6 x 2+12 xh+6 h 2+5 x +5 h – 6 x 2−5 x h →0

h f ´ ( x )=lim 12 xh+ 6 h2 +5 h h →0

h f ´ ( x )=lim h ¿ h

h →0

f ´ ( x )=lim 12 x +6 h+5 h →0

f ´ ( x )=lim ¿ = 12 x+6 ( 0 )+ 5 h →0

f ´ ( x )=12 x+ 5

2. los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Estudiante 1

2. Ejercicio f ( x )=( 4 x +6 ) ( √ x+ 8 )

d d (4 x 3+6)(√ x+ 8)+ ( x+ 8) (4 x 3+6) dx dx √ d (4 x 3+6)=12 x2 dx d dx

√ x+ 8=

1 2 √x

f ´ ( x )=12 x 2 ( √ x+ 8 ) + f ´ ( x )=

1 2 √x

1 2√ x

(4 x 3+6)=

(4 x 3+6)

2 x 3 +3 √x 3

2 x +3 f ´ ( x )=12 x ( √ x+ 8 )+ √x 2

f ´ ( x )=12 x 2 ( √ x+ 8 )=12 x2 √ x +96 x 2 f ´ ( x )=12 x

2

3

√ x+ 96 x 2+

f ´ ( x )=14 x +96 x √x

2

2 x 3 +3 √x

√ x +3

3

Estudiante 1

3. Ejercicio 4 x3 −15 f ( x )= 7 x 2 +7

d d (4 x 3-15)(7 x 2+7) (7 x 2+7) (4 x 3-15) dx dx (7 x 2+7¿2 d (4 x 3-15) =12 x 2 dx d (7 x 2+7) =14x dx 12 x 2(7 x 2+7) - 14x (4 x 3-15) f ´ ( x )=¿ (7 x 2+7¿2 f ´ ( x )=¿ 14x (2 x 3+6x+15) (7 x 2+7¿2 f ´ (x) =

14x (2 x 3+6x+15) 49 ( x 2+1¿2

f ´ ( x ) = 2x (2 x 3+6x+15) 7 ( x 2+1¿2

Estudiante 1

2

2− x

f ( x )=e

4. Ejercicio +8√ x

d 2−x d (e ¿+ (8 √ x ) dx dx 2

d 2−x d u d ( e ) ( 2−x 2 ) ( dx e ¿=¿ du dx d u ( e ) =e u du 2

d ( 2−x 2 )= -2x dx =e u (−2 x ) d 2−x ( ¿=−2 e 2−x x dx e 2

2

d √x ( 8 ) =( e √ x ln (8 ) ) dx d u d ( e ) ¿) du dx d u ( e ) =e u du d d d 1 1 1 ¿) = ln (8) ¿) = ln (8) ( ) = ln (8) x 2 dx dx dx x 2 2 1

1 21 1. ln(8) ln(8) =ln (8) 1. x = ln (8) = = 2√x 2√x 2 √x 2 ln ( 8 )=3 ln ( 2 )

1

3 ln(2) 3 ln(2). 8√ x u 3 ln (2) x ln (8) 3 ln (2) =e =e √ = 2√ x 2 √x 2√ x 2 √x d √ x 3 ln(2). 8√ x ( 8 )= dx 2 √x 2

f ´ ( x )=−2 e 2−x x +

3 ln(2). 8√ x 2 √x

Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 1

5. Ejercicio 54−2 yx+ y 2=3

d d (54−2 yx+ y 2 ¿ = (3) dx dx d d d (54 ¿− (2 yx ¿+ ( y 2 ) dx dx dx d (54 ¿=0 dx d d d d (2 yx ¿=¿2 ( yx )=2 ( ( y) x+1. y ) = 2(x ( y )+ y ) dx dx dx dx d 2 d d d d d ( y )= 0 – 2(x ( y )+ y ¿+2 y ( y) =2y (y) - 2(x ( y )+ y )¿ 2 y ( y) dx dx dx dx dx dx d (3) = 0 dx 2y

d d ( y)−¿2(x ( y )+ y ) = 0 dx dx

2yy´ - 2(xy´+ y)=0 y´=

y y−x

d y ( y )= dx y−x

Calcule las siguientes derivadas de orden superior. 6. Ejercicio Estudiante 1

f ( x )=

f ( x )=12 x 4 +cotx

d d (12 x 4 )+ (cot ( x)) dx dx

d =(12 x 4) = 48 x 3 dx d (cot (x))=-csc²(x) dx f ´ ( x )=48 x3 −¿ csc²(x) d d =48 x 3− ( csc ² ( x)) dx dx d =48 x 3=144 x ² dx d ( csc ²(x))=-2csc²(x)cot(x) dx =144x²-(-2csc²(x)cot(x)) f ´ ´ ( x )=¿144x²+2csc²(x)cot(x)

Derivada de orden superior f ´ ´ ´ ( x )=¿288x +2 (-2csc²(x)cot²(x) - csc 4 (x)

d d =¿144x² + 2csc²(x)cot(x) dx dx d =¿144x² =288x dx d 2csc²(x)cot(x)= 2(-2csc²(x)cot²(x) - csc 4 (x) dx =288x +2 (-2csc²(x)cot²(x) - csc 4 (x) f ´ ´ ´ ( x )=288 x−4 csc ²(x )cot ²(x)−2 csc 4 (x)

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiante 1

a. f ( x )=6 x 2 +2 x

b. f ( x )=sen ( x )−4

f ( x )=6 x 2 +2 x d d =(6 x ¿¿ 2)+ ¿ ¿2x) dx dx d =6 x ²=12 x dx d ¿2x) =2 dx f ´ ( x )=12 x+ 2

f ( x )=sen ( x )−4 d =¿4) dx d =¿ dx d ¿4) =0 dx f ´ ( x )=cos( x )−0=¿ cos (x)

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas Asignación A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 3 f ( x )= x 3−7 x + 4, graficarlos en Geogebra. 5 Estudiante 1 B Encontrar el ancho y el largo de un rectángulo para que su área sea máxima, si su perímetro es de 200 centímetros.

A

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 3 f ( x )= x 3−7 x + 4, graficarlos en Geogebra. 5

3 f ( x )= x 3−7 x + 4 5 9 f ´ ( x )= x 2−7 5 9 35 f ´ ( x )= x 2−7=0 → x=± √ 5 3 35 ¿− √ =−1.97 maximo 3 35 ¿ √ =1.97 minimo 3

Sustituir punto extremo: −√ 35 3 3 14 35 en x −7 x +4= y = √ + 4 = 13.202 3 5 9

Máximo: (-1.97, 13.2)

Sustituir punto extremo:

√ 35 en 3 x 3−7 x+ 4= y= −14 √35 + 4 = - 5. 202 3

5

9

Mínimo : (1.97, - 5.2) Puntos De Inflexión: 3 f ( x )= x 3−7 x + 4 5 9 f ´ ( x )= x 2−7 5 f ´ ´ ( x )= =

18 x 5

18 x=0 5

x=0 3 f ( x )= ¿ = 4 5

Punto de Inflexión (0, 4)

B Encontrar el ancho y el largo de un rectángulo para que su área sea máxima, si su perímetro es de 200 centímetros.

Y X

P=2 x +2 y=200 A=x y y=100−x A(x )=x (100−x ) A(x )=100 x−x ² A ´ (x )=100−2 x=0 ¿ 100−2 x=0 x=

100 =50 2 y=100 – x y=100 – 50 y=50

Las dimensiones del rectángulo para maximizar el área son: X=50cm ; y=50cm A(50)=100(50)−(50)²= 2,500² cm

Área máxima: 2,500² cm es un cuadrado. Enlace del video: https://www.loom.com/share/7c8487affad24a4394b70c5a060581c3

Estudiante 2 María Del Pilar Fuentes Trujillo

A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1.

De acuerdo con la definición de derivada de una función

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 2

f ( x )=9 x 3−6 x

f ( x )=9 X 3−6 X

f ( x +h ) =9 ¿ =

1er paso – se evalúa la función

f ( x +h )

¿ 9 ( x 3 +3 x2 h+3 x h2+ h3 )−6 x−6 h ¿ 9 x 3+ 27 x2 h+27 x h2+ 9 h3−6 x−6 g ¿ 27 x 2 h+ 27 x h2 +9 h3 −6 x−6 g

2do paso – al resultado obtenido se le resta la función original

¿ 9 x 3+ 27 x2 h+27 x h2+ 9 h3−6 x−6 h−(9 x 3−6 x) ¿ 9 x 3+ 27 x2 h+27 x h2+ 9 h3−6 x−6 h−¿ ¿ 27 x 2 h+ 27 x h2 +9 h3 −6 h ¿ h ( 27 x 2+ 27 xh+9 h2−6 )

3er paso – se divide entre h

¿

h ( 27 x2 +27 xh+ 9 h2−6 ) =27 x2 +27 xh+ 9 h2−6 h

4to paso – se aplica el límite cuando h tiende a cero

lim

h→ 0

f ( x +h )−f (x) =27 x 2+ 27 xh+ 9 h2−6 h

¿ 27 x 2+ 27 x (0)+ 9¿

¿ 27 x 2−6

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2.

f ( x )=( √ x+6)(5 x 2−7 x )

Estudiante 2

f ( x ) . g( x)¿' =f ' (x) . g (x)+ f (x). g (x)

(

−1

)

f ( x )= x 2 +6 .( 5 x 2−7 x ) f

'(x )

1

1 −1 = x 2 . ( 5 x2 −7 x ) + x 2 +6 . ( 10 x −7 ) 2

(

( ) 1

3

)

1

5 32 7 2 ¿ x − x +10 x 2 −7 x 2 + 60 x −42 2 2 f

'( x )

√

3

√

1

25 2 21 2 = x − x +60 x−42 2 2

3. Estudiante 2

f ( x )=

8 x 2+ 24 3 x 4−7

f ( x ) ' f ' ( x ) . g ( x )−f ( x ) . g ' ( x ) = g (x ) ( g ( x )) 2

( ) f

'(x )

=

f ' ( x )=

f

'(x )

=

( 16 x . ( 3 x 4−7 ) )−( ( 8 x 2+24 ) . ( 12 x 3 ) ) ( 3 x 4 −7 )

2

( 48 x5 −112 x ) −( 96 x 5 +288 x3 ) 2 ( 3 x 4 −7 ) 48 x 5−112 x −96 x5 −288 x3

( 3 x 4 −7 )

2

f ' ( x )=

−48 x5 −288 x 3−112 x 2 ( 3 x 4−7 )

f ' ( x )=

−(48 x 5−288 x 3−112 x) 9 x 8−42 x 4 + 49

4. Estudiante 2

2

3

f ( x )=e x +4 +3 x

f ( x )=eu f ' ( x )=eu . du

u=x2 + 4 du=2 x f ( x )=a u → constante 3

f ( x )=3 x a=3 u2 du=3 x 3 f ' ( x )=au ln ( a ) du 3

f ( x )=3 x ln (3 ) 3 x 2

2

f ' ( x )=2 x e(x¿¿2 +4 )+3 x .3

5.

x

3

ln(3)¿

Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 2

y 4 + xy + x=9

4 y 3 y ' + ( y + x y' ) +1=0 ⇒ 4 y 3 y ' + y + x y ' +1=0 y ' ( 4 y 3 + x )=− y−1 y'=

−( y +1 ) dy −( y +1) ⇒ = 4 y 3 + x dx 4 y 3+ x

6.

Calcule las siguientes derivadas de orden superior.

Estudiante 2

f ( x )=4 x 6 +secx

f ' ( x )=24 x5 +(secx . tanx) f ' ' ( x )=120 x 4 +( ( secx . tanx ) .tanx+ ( secx . sec 2 x )) f ' ' ( x )=120 x 4 + ( secx . tan 2 x )+ sec 3 x f ' ' ' (x )=480 x 3 +¿ f ' ' ' (x )=480 x 3 +¿ f ' ' ' (x )=480 x 3 +¿

f ' ' ' ( x)=?

7.

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudiante 2

f ( x )=12 x 2−7 x

a.

b.

f ( x )=cos ( x ) +7

a−f (x )=24 x−7 graficar b−f (x )=cosx +7 f ( x )=−senx graficar

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

2 f ( x )= x 3 −2 x +6, graficarlos 7

en Geogebra.

2 f ( x )= x 3−2 x+ 6 7

⇒ Si x=0 =

2 f ( x )= ( 0 )3 −2 ( 0 )+ 6 f (0)=6 7

6 f ( x )= x 2−2 ⇒ f ( x )=0 7 6 2 6 2 2 x −2 ⇒ x =2 ⇒ 6 x =14 7 7 x 2=

14 7 7 ⇒ x 2= ⇒ x=∓ 6 3 3

√

x=∓ 1,53 valores criticos

6 reemplazando x=−2 f (2)= (−2 )2−2=1,43( crece) 7

6 x=−1 ⇒ f ' (−1 )= (−1 )2−2 ⇒−1,14( Decrece) 7 6 x=2 ⇒ f ' ( 2 )= ( 2 )2−2⇒ 1,43(Crece) 7 maximo=−1,43 y minimo 1,43

f '' ( x) =

12 ' ' x f ( x )=0 7

12 x=0 ⇒12 x=0 x=0 7

f ' ' (−2 )=

f ' ' ( 3 )=

12 ( 2 )=−3,43 ( Decrece ) 7

12 ( 3 )=5,14 (crece) 7

B Se requiere construir una caja con base cuadrada y parte superior abierta con un volumen de

22000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.

v=x . x . y=x 2 y v=22000 c m3

Y X X

v=x . x . y 22000=x2 y

Área de la caja Sin Tapa =

Y=

22000 sustituimos x2

A=x2 + 4 x ( A=x2 +

22000 ) x2

88000 x

A=x2 +88000 x−1

A' =2 x−88000 x−2 A' ' =2+176000 x−3

Puntos críticos

A' =2 x−88000 x−2 ⇒ 2 x− '

A=

0=

2 x3 −88000 x2

88000 x2 Igualamos a cero

2 x 3−88000 3 ⇒ 0=2 x −88000 2 x

A=x2 + 4 xy

2 x3 =88000 ⇒ x 3=

88000 2

x 3=44000⇒ x ¿3 √ 44000 ⇒ 35,3 cm

Mínimo

Y=

Y=

22000 x2

22000 ¿¿

Las dimensiones de la caja que se requieren para la menor cantidad de material son altura: y = 17,65cm y ancho de la base x=35,3cm

Estudiante 3 Harold Esteban Garzón Tijaro A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ( x+ h )−f ( x) f ´ ( x )=lim h h →0 Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 3

Ejercicio f ( x )=8 x 2 + x

Desarrollo: f ( x +h )−f (x ) f ( x )=8 x 2 + x f ´ ( x ) =lim Reemplazamosusando la función f ´ ( x ) h h→ 0 f ´ ( x )=lim 8 ¿ ¿ ¿ h →0

8 ( x2 +2 xh+h2 ) + x +h−( 8 x 2+ x ) f ´ ( x )=lim Utilizamos la propiedad distributiva . h h →0 8 x 2 +16 xh+8 h2 + x +h−8 x 2−x f ´ ( x )=lim Simplificamos términos semejantes . h h →0 16 xh+ 8 h2 +h f ´ ( x )=lim Ahora factorizamos , porque al reemplzar h=0 nos daindeterminación . h h →0 h(16 xh+8 h2 +h) f ´ ( x )=lim Remplazamos h=0 h h →0

f ´ ( x )=¿ lim h→⁡ 0 16 x +1

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. Estudiante 3

Ejercicio ( ) f x =( √ x+6)(8 x 2−x )

f ( x )=( √ x +6 ) ( 8 x 2−x ) Utilizamos la primera regla u ´∗v +u∗v ´ 1 f ´ ( x )= ( 8 x2 −x ) + ( √ x +6 ) ( 16 x−1 ) Utilizamos lasreglas para raices , exponentes y x=1 K=0 2√ x x f ´ ( x )=4 x √ x− √ +16 x √ x+ 96 x−√ x−6 Utilizamos propiedad distributiva , despúes agrupamos y operamos te 2 3 f ´ ( x )=20 x √ x− √ x +96 x−6 2

( )

2. Estudiante 3

Ejercicio 5 x 2+12 x f ( x )= 5 x3 −3

5 x 2+12 x u ´∗v −v ´∗u ( ) f x= Utilizamos la regla del cociente 3 5 x −3 v2 ( 10 x+12 ) ( 5 x 3−3 ) −(5 x 2+ 12 x)(15 x 2 ) f ´ ( x )= ¿¿ 4 3 50 x −30 x +60 x −36−75 x 4 −180 x 3 f ´ ( x )= ¿¿ 4 −25 x −30 x−120 x 3−36 f ´ ( x )= ¿¿ f ´ ( x )=

−25 x 4−120 x 3−30 x−36 ¿¿

3. Estudiante 3

Ejercicio f ( x )=e2− x +2√ 2 x 3

3

f ( x )=e2− x +2√ 2 x Utilizamos la regla de la cadena . Decimos que e f ( x)=e x y ax =a x lna Al utilizar esta regla decimos que el primer término igual por la derivada interna + primer término igual por el logaritmo natural de la base por la derivada interna y nos queda así. 1 f ´ ( x )=e2− x (−3 x 2 )+2 √2 x ln 2 Podemos organizar términos . √2 x 2 √2 x ln 2 2 2−x e ¿+ ( ) ( f ´ x =−3 x √2 x 3

3

4. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Estudiante 3

Ejercicio x 2 y 2 + y + x=2

x 2 y 2 + y + x=2 Derivar de lado y lado y aparece y ´ ( x ¿ ¿ 2 y 2 + y + x )=( 2 ) Derivamospor un producto y agregamos y ´ cada que derivemos y . ¿ 2 x∗y 2 + x 2∗2 y∗y ´ +1∗y ´ +1=0 Dejamostodas las y ´ para unlado . 2 x2 y y ´ + y ´ =−1−2 x y 2 Sacamos factor común que seria y ´ y ´ (2 x 2 y +1)=−1−2 x y2 Elfactor que esta multiplicando la paso a dividir . −1−2 x y 2 y ´= 2 x 2 y +1

5. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Estudiante 3

Ejercicio f ( x )=5 x 3 +tanx

Derivada de orden superior f ' ' ' (x)=?

Para realizar este ejercicio debemos derivar de la derivada de la derivada, entonces decimos: f ( x )=5 x 3 +tanx Hallamos la derivada utilizando las reglas para derivar decimos que la derivada de tanx es x=sec 2 x f ´ ( x )=15 x 2+ sec 2 x Ahora realizamosla segunda derivada .

Para derivar esta parte derivamos el primer término y el segundo término derivamos como se haría para derivar con exponentes y lo multiplicamos por la derivada del interno: f ´ ´ =30 x+ 2 sec 2 x ¿ Ahora derivamos una tercera vez y decimos que el primer término se deriva x=1, 30 *1 = 30 el segundo término se deriva usando la regla con exponente y derivados la interna sec 2 x , después el factor lo dejo igual y derivamos el producto, que es la derivada del primero * el segundo sin derivar + el primero sin derivar * el segundo derivado, quedando así: f ´ ´ ´ =30+ 4 sec x ( sec x∗tan x ) +2¿ f ´ ´ ´ =30+ 4 sec 2 x∗tan x +2 sec x∗tan 2 x +2 sec 3 x 6. Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiante 3

f ( x )=7 x 2 +9 x

a. f ( x )=7 x 2 +9 x

b. f ( x )=tan ( x )

f ( x )=tan ( x )

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Asignación Problemas A Se necesita un tanque cilíndrico para almacenar agua, para su fabricación se requieren materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $4000 y el del lateral es de $80000. Calcular la altura h y el diámetro d para que el costo de un Estudiante 3 tanque de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del tanque? B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 3 f ( x )= x 3 −3 x +10, graficarlos en Geogebra. 7 A: Se necesita un tanque cilíndrico para almacenar agua, para su fabricación se requieren materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $4000 y el del lateral es de $80000. Calcular la altura h y el diámetro d para que el costo de un tanque de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del tanque? Desarrollo:

1: Debemos hallar las ecuaciones el problema nos pide el precio total, entonces decimos: El precio total es igual al área de los dos círculos + el área del rectángulo que forma el cilindro. Pt =2 π r 2 +2 πrh 2: Pero en el ejercicio tenemos otra variable y es el volumen: el volumen de un cilindro es igual a base por altura que a su vez es 10000L V =π r 2 h=10000 L De estaecuación podemos despejar h . 10000 h= π r2 Ahora podemos reemplazar de la primera ecuación el valor de h. 10000 Pt =2 π r 2 +2 πr Simplificando y operando tenemos : π r2 Pt =2 π r 2 +20000 r−1 Ahora derivamos , pase el r al numerador para derivar mejor .

(

)

3: Derivamos y nos queda: Pt ´=4 πr−20000 r −2 4: Igualamos a 0 y despejamos r, vuelvo a pasar el r al denominador para facilidad. 20000 Pt ´=4 πr− 2 =0 r 3 Pt ´=4 π r −20000=0 Pt ´=4 π r 3=20000 5000 Pt ´=r 3= π 3 50 Pt ´=r= π r =11,67 ∅=2r =23,34

√

5: Debemos averiguar si el valor es el mínimo aplicando la segunda derivada. 20000 Pt ´=4 πr− 2 r Pt ´=4 πr−20000 r −2 Pt ´ ´=4 π +40000 r −3 40000 Pt ´ ´=4 π + 3 r 6: Como r está en función debemos sustituirlo: 40000 Pt ´ ´=4 π + (11,67)3 Pt ´ ´=37,73Como este valor nos dio positivo quiere decir que el valor es mínimo . 7: El ejercicio nos pide hallar la altura entonces reemplazamos los valores para hallar h:

10000 π r2 10000 h= π (11,67 )2 h=23,37 h=

8: Después de hallar todo, sustituimos todo en la primera función y multiplicamos por los precios de cada parte del cilindro. Pt =2 π r 2 +2 πrh Pt =4000 ¿ Pt =3,4228 X 10 6+ 3,35653 X 107 Pt =$ 3423135,6 aproximadamente . 3 3 B. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −3 x +10, 7 graficarlos en Geogebra. 3 f ( x )= x 3 −3 x +10 1: Lo primero es hallar la primera derivada . 7 9 f ´ ( x )= x 2−32 : Para hallalos puntoscandidatos a críticos ,igualamos a 0. 7 9 f ´ ( x )= x 2−3=0 7 9 f ´ ( x )= x 2=3 7 f ´ ( x )=9 x 2=3 (7) 21 f ´ ( x )=x 2= 9 7 f ´ ( x )=x=± Estos son los puntos candidatos a críticos . 3 x=−1,52 x=1,52

√

Con este valor que acabamos de hallar vamos a encontrar los valores máximos y mínimos relativos. 3: Dibujamos una tabla de signos para saber cómo se comporta la función.

Para saber si entre −1,52 y−∞ nos da creciente o decreciente cambiamos un valor menor y reemplazamos en x. Escogí el número -5. 9 204 f ´ ( x )= (−5)2−3= El valor da positivo ,quiere decir que estramo es creciente . 7 7 Para saber si entre −1,52 y 1,52 nos da creciente o decreciente cambiamos en x un valor entre estos dos. Escogí el número 0. 9 f ´ ( x )= (0)2−3=−3 El valor dio negativo quiere decir que ese tramo es decreciente . 7 Para saber si entre 1,52 e ∞ nos da creciente o decreciente cambiamos un valor mayor y reemplazamos en x. Escogí el número 5. 9 204 f ´ ( x )= (5)2−3= El valor da positivo , quiere decir que es tramo es creciente . 7 7

En la gráfica con geogebra nos queda así:

4: Para hallar los puntos de inflexión: Realizamos una segunda derivada. 9 f ´ ( x )= x 2−3 7 f ´ ´ ( x )=

18 x Ahora a esta derivada laigualamos a 0. 7

f ´ ´ ( x )=

18 x=0 7

x=0 Este valor es candidato a punto de inflexión 5. Ahora realizamos la tabla de signos para determinar la forma en que se comporta, entre −∞y 0, y 0 ∞. Si nos da negativo la función original es cóncava hacia abajo. Si nos da positivo la función original es cóncava hacia arriba.

Para saber el signo entre −∞ y 0 reemplazamos un valor menor a 0 en la función de la segunda derivada.

f ´ ´ ( x )=

18 −54 (−3 )= El primer tramo da negativo . 7 7

Para saber el signo entre 0 y ∞ reemplazamos un valor mayor a 0 en la función de la segunda derivada. 18 54 f ´ ´ ( x )= ( 3 ) = El segundo tramo da positivo . . 7 7 Esto quiere decir que en este punto de inflexión hay un cambio de concavidades. Enlace de grabación: https://www.youtube.com/watch?v=uM_Lye_-bHU

Estudiante 4 OLGA LUCIA SERENO GARZON 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ( x+ h )−f ( x) f ´ ( x )=lim h h →0

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f ( x )=5 x 3−8 x f (x)

lim ¿ f ( x+ 4 x )−f ( x ) = ¿ h→0 4x

f (x)

lim ¿ f ( x+ h )−f ( x ) = ¿ h→0 h

f ( x +h ) =5( x +h)3−8(x +h) f ( x +h ) =5 ( x3 +3 x 2 +3 x h2 +h3 ) −8 x−8 h f ( x +h ) =5 x3 +15 x 2 h+15 x h2 +5 h3−8 x−8 h f (x)

lim ¿ 5 x 3 +15 x 2 h+15 x h2 +5 h3−8 x−8 h−5 x 3+ 8 x = ¿ h→0 h

f (x)

lim ¿ 15 x 2 h+15 x h2 +5 h3 −8 h = ¿ h→0 h

2 2 lim ¿ h(15 x +15 xh+5 h −8) f (x) = ¿ h→0 h

f (x)

lim ¿ =15 x 2+15 x (0)+5(0)2−8¿ h→0

¿ 15 x2 −8

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. f ( x )=(6 x 3+ 4)( √ x−2 x)

( 6 x 3 + 4) ( x 1/ 2−2 x) f ( x )= u v ¿)

( 12 − 22 )=−1/2 ¿ ( 6 x 3 +4 )

1 2

¿ ( ( x −2 x ) ( 18 x ) ) 2

(

−1

1 2 x −2 ¿ ) 2

)

−1

((

1

1 f ( x )=6 x + 4 ¿ x 2 −2 + x 2 −2 x ( 18 x 2 ) 2 3

(

5 /2

)

)

5 2

−1 2

3

)

f ( x )=3 x −12 x +2 x −8+18 x −36 x 3

2

f ( x )=21 √ x 5−48 x 3−

2 −8 √x

3. f ( x )=

x 2 +3 x 9 x 4 +9 g=2 x +3

g= x2 +3 x

h=36 x3

h=9 x 4 +0

f ( x )=

( ( 9 x 4+ 9 ) ( 2 x +3 ) ) −( ( x2 +3 x ) ( 36 x3 ) ) 4

2

(9 x + 9)

f ( x )=

18 x 5+27 x 4 + 18 x +27−36 x5 −108 x 4 (9 x 4 +9)2

f ( x )=

−18 x 5−81 x 4 +18 x+27 4 2 (9 x +9)

2 x

f ( x )=e +2√ x 4.

f ( x )=e2 x−1 +21/ 2

1 f ( x )=e2 x−1∗2 x−2 + (2 x 1/ 2) 2

f ´ ( x )=e2 x−1 (−2 x−2)+ x−1 /2

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

y 4 xy− =6 x

d y ( 4 xy− )=(6) dx dx

4 (1. y ¨ . x )

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior.

f ( x )=10 x 3 +cscx f ´ ( x )=30 x 2−cscx∗cstx f ´ ¨ ( x ) =60 x−co t 2 x .cscx+ cs c 3 x

f ' ' ' ( x)=?

f ´ ¨ ( x ) =60−¨ (co t 3 x . cscx)−(5 cs c 3 x . cotx)−(cotx . csc)

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

a. f ( x )=6 x 2−10 x f ( x )=6 x 2−10 x

b.

f ( x )=ln ( x ) −6

f ( x )=ln ( x ) −6

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Estudian te 4

A Encontrar dos números tales que la suma de uno de ellos con el cubo del otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible. m = No 1 n = No 2 m+n3 =108

m=108−n3

m n= producto

maximo

p=( 108−n 3) n p ’( x )=108 n−n4 p ’( x )=108 n−4 n3 p ’( x )=0 108−4 n 3=0 108=4 n 3 108 3 =n 4 3

√3 27= √ n3 √3 27=n n=3 p ’ ´ ¨ ( x )=−12 n2 p ’ ´ ¨ ( 3 ) =−12(3)2 p ’ ´ ¨ ( 3 ) =−1080 f ´ (x)