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DERIVADAS

Anderson Steven Giraldo Vergara Grupo: 703

Tutor: Diego Francisco Martínez. Calculo diferencial

Universidad nacional abierta y a distancia UNAD Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería ECBTI Programa de ingeniería industrial San José del Guaviare 2019

EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑓´(𝑥) =? 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + (2𝑥 2 + 2ℎ2 ) (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + (2𝑥 2 + 2ℎ2 ) − (𝑥 3 + 2𝑥 2 ) ℎ→0 ℎ lim

Quitamos paréntesis (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + (2𝑥 2 + 2ℎ2 ) − 𝑥 3 + 2𝑥 2 ℎ→0 ℎ lim

Cancelamos términos semejantes 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2ℎ2 lim ℎ→0 ℎ

Cuando ℎ tiende a 0 ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 + 2ℎ) lim ℎ→0 ℎ Cancelamos términos semejantes lim (3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 + 2ℎ)

ℎ→0

Remplazamos ℎ lim 3𝑥 2 + 3𝑥(0) + (0)2 + 2(0)

ℎ→0

Reducimos = 3𝑥 2

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. Estudiante 2

𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥 2 − 2)

𝑓(𝑥) =

𝑑 = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥 2 − 2) 𝑑𝑥

Aplicamos la regla del producto: (𝑓 ∗ 𝑔)´ = 𝑓´ ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑔´

𝑑 𝑑 (2𝑥 2 − 2)(√𝑥 − 𝑥) (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥 2 − 2) + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 1 (√𝑥 − 𝑥) = −1 𝑑𝑥 2 √𝑥 𝑑 (2𝑥 2 − 2) = 4𝑥 𝑑𝑥 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 1 =( − 1) (2𝑥 2 − 2) + 4𝑥(√𝑥 − 𝑥) 2√𝑥 𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑟 3

= 𝑥2 −

1 √𝑥

− 2𝑥 2 + 2 + 4𝑥√𝑥 − 4𝑥 2

𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 3

= −2𝑥 2 − 4𝑥 2 + 4𝑥 √𝑥 + 𝑥 2 −

1 √𝑥

+2

𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 3

= −6𝑥 2 + 4𝑥√𝑥 + 𝑥 2 −

1 √𝑥

+2

3. Estudiante

𝑓(𝑥) =

2

𝑓(𝑥) = 𝑓

Aplicamos la regla del cociente: (𝑔) ´ =

√𝑥 + 1 2𝑥 2 − 4

𝑑 √𝑥 + 1 = 2 𝑑𝑥 2𝑥 − 4

𝑓´∗𝑔−𝑔´∗𝑓 𝑔2

𝑑 𝑑 (√𝑥 + 1)(2𝑥 2 − 4) − (2𝑥 2 − 4)(√𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥 2 − 4)2 𝑑 1 (√𝑥 + 1) = 𝑑𝑥 2√𝑥 𝑑 (2𝑥 2 − 4) = 4𝑥 𝑑𝑥 Remplazamos 1 (2𝑥 2 − 4) − 4𝑥(√𝑥 + 1) 2 𝑥 = √ (2𝑥 2 − 4)2 Simplificamos 1 2 √𝑥 Reemplazamos

(2𝑥 2 − 4) =

𝑥2 − 2 √𝑥

𝑥2 − 2 − 4𝑥(√𝑥 + 1) 𝑥 √ = (2𝑥 2 4)2 Simplificar y convertir en fracción

=

𝑥2 − 2 √𝑥

−

4𝑥(√𝑥 + 1)√𝑥 √𝑥

Ya que los denominadores son iguales, combinamos las fracciones:

=

𝑥 2 − 2 − 4𝑥(√𝑥 + 1)√𝑥 √𝑥

Expandir

=

−3𝑥 2 − 4𝑥√𝑥 − 2 √𝑥

−3𝑥 2 4𝑥 √𝑥 − 2 √𝑥 = 2 (2𝑥 − 4)2

Aplicamos propiedades de la fracción:

𝑏 𝑐

𝑎

=

𝑏

= 𝑐∗𝑎 −3𝑥 2 − 4𝑥√𝑥 − 2 √𝑥(2𝑥 2 − 4)2

4. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥 . 𝑥 3

Estudiante 2

𝑓(𝑥) =

𝑑 = (2𝑥 − 5)𝑥 . 𝑥 3 𝑑𝑥

Aplicamos la regla del producto: (𝑓 ∗ 𝑔)´ = 𝑓´ ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑔´

=

𝑑 𝑑 3 ((2𝑥 − 5)𝑥 )𝑥 3 + (𝑥 )(2𝑥 − 5)𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 ((2𝑥 − 5)𝑥 ) 𝑑𝑥

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎𝑏 = 𝑒 𝑏𝑙𝑛(𝑎) =

Aplicar la regla de la cadena: 𝑑

𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑥

𝑑𝑓

𝑑 𝑥𝑙𝑛(2𝑥−5) (𝑒 ) 𝑑𝑥

𝑑𝑢

= 𝑑𝑢 ∗ 𝑑𝑥

𝑑

= 𝑑𝑢 (𝑒 𝑢 ) 𝑑𝑥 (𝑥𝑙𝑛(2𝑥 − 5)) 𝑑 𝑢 (𝑒 ) = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 𝑑 2𝑥 (𝑥𝑙𝑛(2𝑥 − 5)) = ln(2𝑥 − 5) + 𝑑𝑥 2𝑥 − 5 = 𝑒 𝑢 (ln(2𝑥 − 5) +

2𝑥 ) 2𝑥 − 5

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢 = 𝑥𝑙𝑛(2𝑥 − 5)

= 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2𝑥−5) (ln(2𝑥 − 5) +

2𝑥 ) 2𝑥 − 5

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2𝑥−5) = (2𝑥 − 5)𝑥 = (ln(2𝑥 − 5) +

2𝑥 ) (2𝑥 − 5)𝑥 2𝑥 − 5

𝑑 3 (𝑥 ) = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝐸𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠: = (ln(2𝑥 − 5) +

2𝑥 ) (2𝑥 − 5)𝑥 𝑥 3 + 3𝑥 2 (2𝑥 − 5)𝑥 2𝑥 − 5

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Estudiante 2

𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5

Se trata 𝑦 como 𝑦(𝑥) Se deriva ambos lados la ecuación con respeto a x 𝑑 𝑑 (𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥) = 5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Aplicamos regla de suma/diferencia: 𝑑 𝑑 (𝑦 2 ) = 2𝑦 (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 (2𝑥 2 ) = 4𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 (6𝑥𝑦) = 6(𝑦 + 𝑥 (𝑦)) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (4𝑥) = 4 𝑑𝑥

= 2𝑦

𝑑 𝑑 (𝑦) − 4𝑥 + 6 (𝑦 + 𝑥 (𝑦)) − 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (5) = 0 𝑑𝑥

= 2𝑦

𝑑 𝑑 (𝑦) − 4𝑥 + 6 (𝑦 + 𝑥 (𝑦)) − 4 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑

Por conveniencia se escribe 𝑑𝑥 (𝑦) como 𝑦´ 2𝑦𝑦´ − 4𝑥 + 6(𝑦 + 𝑥𝑦´) − 4 = 0 Despejar 𝑦´

𝑦´ =

2𝑥 + 2 − 3𝑦 𝑦 + 3𝑥

𝑑

Escribir y´ como 𝑑𝑥 (𝑦) 𝑑 2𝑥 + 2 − 3𝑦 (𝑦) = 𝑑𝑥 𝑦 + 3𝑥

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑒 −5𝑥 + 2𝑥 2

Estudiante 2

𝑓

′′ (𝑥)

Derivada de orden superior

𝑑2 = 2 = 𝑒 −5𝑥 + 2𝑥 2 𝑑𝑥

Aplicar la regla de suma/diferencia 𝑑

𝑑

= 𝑑𝑥 (𝑒 −5𝑥 ) + 𝑑𝑥 (2𝑥 2 ) 𝑑 −5𝑥 (𝑒 ) = −5𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (2𝑥 2 ) = 4𝑥 𝑑𝑥 = −5𝑒 −5𝑥 + 4𝑥 =

𝑑 (−5𝑒 −5𝑥 + 4𝑥) 𝑑𝑥

Aplicamos regla de suma/diferencia =−

𝑑 𝑑 (−5𝑒 −5𝑥 ) + (4𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 (−5𝑒 −5𝑥 ) = −25𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 𝑑 = (4𝑥) = 4 𝑑𝑥 = −(−25𝑒 −5𝑥 ) + 4 simplifacar = 25𝑒 −5𝑥 + 4

𝑓 ′′′ (𝑥) = 25𝑒 −5𝑥 + 4

7. Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiante 2 a.

b.

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥

b. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)

8. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1

𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 3

Estudiante 2

B Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por: 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 4𝑡 + 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s

Solución: 1

a. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 3𝑥 + 3

𝑓(𝑥) =

1 ∗ 𝑥³ − 3𝑥 + 3 6

Para la solución se deriva la función

𝑓(𝑥) =

𝑓′(𝑥) =

1 ∗ 𝑥³ − 3𝑥 + 3 6

3 ∗ 𝑥² − 3 = 0.5 ∗ 𝑥² − 3 = 0 6

0.5𝑥² = 3

𝑥² =

3 0.5

𝑥 = ±√ 6

Evaluamos con segunda derivada

𝑓 ′′ (𝑥) = 2 ∗ 0.5 ∗ 𝑥

𝑓′′(𝑥) = 𝑥

𝑓 ′′(√6) = √6 > 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑓′′(−√6) = −√6 < 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Igualamos la segunda derivada a cero: luego calculamos la tercera 𝑓′′(𝑥) = 𝑥 = 0 𝑓′′′(𝑥) = 0 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

b. Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por: 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 4𝑡 + 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 4𝑡 + 4 Determinar la aceleración = 3𝑡 2 + 4 Remplazamos t=2 𝑎(𝑡) = 3𝑡 2 + 4 𝑎(2) = 3(2)2 + 4 𝑎(2) = 3(4) + 4 𝑎(2) = 12 + 4 𝑎(2) = 16𝑚/𝑠 2 Remplazamos t=4 = 𝑎(4) = 3(4)2 + 4 𝑎(4) = 3(8) + 4 𝑎(4) = 24 + 4 𝑎(4) = 28𝑚/𝑠 2

Referencias bibliográficas.

Guerrero, T. G. (2014). Cálculo diferencial: Serie universitaria patria. Surgimiento de la Derivada. Pág. 33-35. Derivada de monomios y polinomios. Pág. 42-44. Regla de la Cadena. 4648. Derivada de un Producto. Pág. 50-52. Derivada de un cociente. 54-57. Derivada Implícita. 59-62. Derivadas de orden superior. Pág. 101-106. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct= true&db=edselb&AN=edselb.11013390&lang=es&site=eds-live USE (2017). Videos Educativos Matemáticos. Reglas de derivación. http://www.ehu.eus/ehusfera/mathvideos/reglas-de-derivacion.

García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&l ang=es&site=eds-live.