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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

Unidad 3: Tarea 3 - Derivadas

Presentado a: Andres Dario Bermudez

Presentado por: Jhon Cerquera Gamboa Leidy Sanchez David Mauricio Cárdenas Jhonn Jairo Becerra Cod: 1023013364

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Cálculo Diferencial 2019 Bogotá

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Introducción Durante el transcurso de esta actividad se aplica el concepto de derivada y sus aplicaciones a problemas reales, analizando las opciones y posibles soluciones. Se observa los siguientes temas concepto derivada, derivada de monomios y polinomios, derivadas producto y cociente, reglas de la derivación, derivadas implícitas, derivadas de orden superior y aplicaciones de las derivadas.

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David Mauricio Cárdenas 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Estudiante 2 David Mauricio Cárdenas

Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

𝑓′(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 Se reemplazan las x por lo siguiente f(x+h)= Se obtiene lo siguiente: 𝑓′(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 Se reemplazan las X en la ecuación y se procede a desarrollar el procedimiento: (𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 3 + 2𝑥 2 ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

Se debe desarrollar por partes, por tanto, primero se desarrolla el cubo del binomio: (𝑥 + ℎ)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 Por lo anterior, el ejercicio se plantea así: 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − (𝑥 3 + 2𝑥 2 ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

Se operan los signos posicionados en la última parte de la operación planteada en el númerador: −(𝑥 3 + 2𝑥 2 ) = −𝑥 3 − 2𝑥 2

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Se procede a eliminar las X3 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ Se obtiene 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 2𝑥 2 ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

Se opera lo siguiente: 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) = 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 Se eliminan términos semejantes 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 2𝑥 2 ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim Se obtiene

3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ

Se procede a implementa el factor común y se simplifica ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ3 + 4𝑥 + 2ℎ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

𝑓´(𝑥) = lim = 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ3 + 4𝑥 + 2ℎ ℎ→0

Se resuelve el limite reemplazando la h por el 0 𝑓´(𝑥) = lim = 3𝑥 2 + 3𝑥(0) + (0)3 + 4𝑥 + 2(0) ℎ→0

𝑓´(𝑥) = lim = 3𝑥 2 + 4𝑥 ℎ→0

Por el resultado, se puede indicar que la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 es 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥

Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Ejercicio

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𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5 𝑦 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5 Es una variable implícita dado que la variable y no está despejada. Es importante tener en cuenta que 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 ′ = 𝑓 = (𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑑𝑥 Se procede a derivar. Es importante tener en cuenta la siguiente regla para derivar 6𝑥𝑦 𝑝. 𝑠′ = 𝑠. 𝑝′ El primer factor por la derivada del segundo y el segundo por la derivada del primero, por lo tanto, se obtiene: 6𝑥𝑦 = 6𝑥. 1𝑦′ + 𝑦. 6 Para derivar la y se le agrega la y’ De la derivación se obtiene el siguiente resultado: 2𝑦𝑦′ − 4𝑥 + 6𝑥. 1𝑦′ + 𝑦. 6 − 4 = 0 Importante tener en cuenta: 6𝑥. 1𝑦 ′ = 6𝑥𝑦 ′ Se fijan los términos de la y’ y quedan en un lado de la ecuación: 2𝑦𝑦 ′ + 6𝑥𝑦 ′ = 4𝑥 − 6𝑦 + 4 Se procede a factorizar el lado izquierdo: 𝑦 ′ (2𝑦 + 6𝑥) = 4𝑥 − 6𝑦 + 4 Se despeja y’ 𝑦′ =

4𝑥 − 6𝑦 + 4 2𝑦 + 6𝑥

𝑦′ =

2𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑦 + 3𝑥

Se simplifica

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ENLACE SUSTENTACIÓN:

John Jader Cerquera Gamboa De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Estudiante 4

Ejercicio 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 4𝑥

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 4𝑥 𝑓 ′ (𝑥) =? Se reemplazan las x por lo siguiente f(x+h) = Se obtiene lo siguiente:

𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 + ℎ)3 + 4(𝑥 + ℎ) 𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 3 + ℎ3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 ) + 4𝑥 + 4ℎ

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𝑓(𝑥 + ℎ) = 4𝑥 3 + 4ℎ3 + 12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim Se eliminan términos semejantes

𝑓

′ (𝑥)

4𝑥 3 + 4ℎ3 + 12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 4𝑥 3 − 4𝑥 = lim ℎ→0 ℎ

Se obtiene

4ℎ3 + 12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4ℎ ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

4ℎ3 + 12𝑥 2 ℎ + 12𝑥ℎ2 + 4ℎ ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim Se simplifica

𝑓

′ (𝑥)

ℎ(4ℎ2 + 12𝑥 2 + 12𝑥ℎ + 4) = lim ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim 4ℎ2 + 12𝑥 2 + 12𝑥ℎ + 4 ℎ→0

Se resuelve el limite reemplazando la h por el 0

𝑓 ′ (𝑥) = lim 4(0)2 + 12𝑥 2 + 12𝑥(0) + 4 ℎ→0

Por e l resultado, se puede indicar que la derivada de 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 4𝑥 es

𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 2 + 4

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2.

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Estudiante 4

Ejercicio 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(2𝑥 2 − √𝑥)

𝒅 [√𝒙 − 𝟐(𝟐𝒙𝟐 − √𝒙)] 𝒅𝒙 Aplicamos la regla del producto =

𝒅 𝒅 [√𝒙 − 𝟐] ⋅ (𝟐𝒙𝟐 − √𝒙) + √𝒙 − 𝟐 ⋅ [𝟐𝒙𝟐 − √𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙

Se aplica la regla de la cadena en el primer término y después la regla de la potencia y en el segundo término de derivación, se derivará linealmente, sacando la constante

=

𝟏 𝟏 𝒅 𝒅 𝟐 𝒅 (𝒙 − 𝟐)𝟐−𝟏 ⋅ [𝒙 − 𝟐] ⋅ (𝟐𝒙𝟐 − √𝒙) + (𝟐 ⋅ [𝒙 ] − [√𝒙]) √𝒙 − 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙

El primer término a derivar se realiza la derivación lineal, derivándolo de forma separada, en los últimos dos términos a derivar aplicamos la regla de la potencia. 𝒅 𝒅 [𝒙] + [−𝟐])(𝟐𝒙𝟐 − √𝒙) 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = + (𝟐 ⋅ 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐−𝟏 )√𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟐√𝒙 − 𝟐 (

𝐿a derivada de x es 1 y la derivada de una constante es cero: =

(𝟏 + 𝟎)(𝟐𝒙𝟐 − √𝒙) 𝟐√𝒙 − 𝟐 =

𝟐𝒙𝟐 − √𝒙 𝟐√𝒙 − 𝟐

+ √𝒙 − 𝟐 (𝟒𝒙 −

+ √𝒙 − 𝟐 (𝟒𝒙 −

𝟏 𝟐√ 𝒙

𝟏 𝟐√ 𝒙 )

Simplificamos la respuesta y queda: 𝟓

𝟑

𝟑

𝒙𝟐 + 𝒙 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟏) − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏 √ 𝒙 − 𝟐√ 𝒙

3. Ejercicio

)

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Estudiante 4

𝑓(𝑥) =

𝑥2 − 3 𝑥 2 − √𝑥

𝒅 𝒙𝟐 − 𝟑 [ ] 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − √𝒙 Aplicamos la regla del cociente: 𝒅 𝟐 𝒅 [𝒙 − 𝟑] ⋅ (𝒙𝟐 − √𝒙) − (𝒙𝟐 − 𝟑) ⋅ [𝒙𝟐 − √𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 − √𝒙)

𝟐

Por derivación lineal, podemos derivar los términos de manera separada: 𝒅 𝟐 𝒅 𝒅 𝒅 [𝒙 ] + [−𝟑])(𝒙𝟐 − √𝒙) − ( [𝒙𝟐 ] − [√𝒙]) (𝒙𝟐 − 𝟑) 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 (𝒙𝟐 − √𝒙) (

La derivada de una constante es cero, y aplicamos la regla de la potencia para el primer y últimos términos a derivar: =

𝟏 𝟏 (𝟐𝒙 + 𝟎)(𝒙𝟐 − √𝒙) − (𝟐𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐−𝟏 )(𝒙𝟐 − 𝟑) (𝒙𝟐 − √𝒙) 𝟐𝒙(𝒙𝟐 − √𝒙) − (𝟐𝒙 − =

𝟏 )(𝒙𝟐 − 𝟑) 𝟐√ 𝒙

(𝒙𝟐 − √𝒙)

=

(𝟐𝒙 −

𝟐𝒙 𝒙𝟐 − √𝒙

−

𝟐

𝟐

𝟏 ) (𝒙𝟐 − 𝟑) 𝟐√ 𝒙

(𝒙𝟐 − √𝒙)

𝟐

Simplificamos el resultado, quedando: 𝟑

𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏) −

𝟐√𝒙(𝒙𝟐 − √𝒙)

𝟐

4. Estudiante

Ejercicio (𝑥 𝑓(𝑥) = − 5𝑥)3𝑥 (2𝑥 − 2)2

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4

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5𝑥)3𝑥 (2𝑥 − 2)2 Simplificamos la expresión para un mejor desarrollo: 𝒅 [(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 ] 𝒅𝒙 Aplicamos la regla del producto, quedando:

=

𝒅 𝒅 [(−𝒙)𝟑𝒙 ] ⋅ (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + (−𝒙)𝟑𝒙 ⋅ [(𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ] ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝟑𝒙 ⋅ [𝟒 ] 𝒅𝒙

En el término de color turquesa, aplicamos la derivada de la función potencialexponencial, en el término de color amarillo, aplicaremos la regla de la cadena y de la potencia, multiplicando por la derivada de la función interna. En el último término a derivar, se aplica la regla de la cadena y usamos la regla de la función exponencial para una base arbitraria: = (−𝒙)𝟑𝒙 ⋅

𝒅 𝒅 [𝒍𝒏(−𝒙) ⋅ 𝟑𝒙] ⋅ (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ [𝟐𝒙 − 𝟐] ⋅ (−𝒙)𝟑𝒙 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 + 𝒍𝒏(𝟒) ⋅ 𝟒𝟑𝒙 ⋅ [𝟑𝒙] ⋅ (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙

Del término en turquesa, derivamos de forma separada sacando los factores constantes, del término en amarillo realizamos la derivación de forma separada, del último término sacamos la constante = 𝒍𝒏(𝟒) ⋅ 𝟑 ⋅

𝒅 𝒅 [𝒙] ⋅ (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑 ⋅ [𝒍𝒏(−𝒙)𝒙] ⋅ (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒅 [𝒙] + [−𝟐]) (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ 𝟒𝟑𝒙 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟐 (𝟐 ⋅ 𝒅𝒙 𝒅𝒙

La derivada de x es 1 y de una constante es 0; en el término turquesa aplicamos la regla del producto. = 𝟑 ∗ 𝒍𝒏(𝟒) ⋅ 𝟏(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 𝒅 𝒅 [𝒙]) (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑 ( [𝒍𝒏(−𝒙)] ⋅ 𝒙 + 𝒍𝒏(−𝒙) ⋅ 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐(𝟐 ⋅ 𝟏 + 𝟎)(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ 𝟒𝟑𝒙

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Aplicamos la regla de derivación del ln(u(x)) y la regla de la cadena: 𝟏 = (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ 𝟒𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑𝒍𝒏(𝟒)(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ((− ) 𝒙 𝒅 ⋅ [−𝒙] ⋅ 𝒙 + 𝟏𝒍𝒏(−𝒙)) ⋅ 𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ 𝟒𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑 (𝒍𝒏(−𝒙) − (−

𝒅 [𝒙])) (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙

+ 𝟑𝒍𝒏(𝟒)(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 Se sabe que la derivada de x es 1, entonces empezamos a simplificar la ecuación para dar el resultado final: = (−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐) ⋅ 𝟒𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑(𝒍𝒏(−𝒙) + 𝟏)(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑𝒍𝒏(𝟒)(−𝒙)𝟑𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟒𝟑𝒙 Resultado final: (𝒙 − 𝟏)(−𝒙)𝟑𝒙 ((𝟑𝒍𝒏(−𝒙) + 𝟑𝒍𝒏(𝟒) + 𝟑)𝒙 − 𝟑𝒍𝒏(−𝒙) − 𝟑𝒍𝒏(𝟒) − 𝟏) ⋅ 𝟒𝟑𝒙+𝟏

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 4

Ejercicio 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = 3

𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = 3 𝒅 𝒅 [𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) + 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚)] = [𝟑] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Derivamos la constante y separamos los términos para derivarlos: 𝒅 𝒅 [𝒔𝒆𝒏(𝒚𝒙)] + [𝒄𝒐𝒔(𝒚𝒙)] = 𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Aplicamos la regla de la derivación senyx=cosyx* u’(yx) y cos(yx)=-senyx*u’(yx) 𝒄𝒐𝒔(𝒚𝒙) ⋅

𝒅 𝒅 [𝒚𝒙] + (−𝒔𝒆𝒏(𝒚𝒙)) ⋅ [𝒚𝒙] = 𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙

Aplicamos la regla del producto: (

𝒅 𝒅 𝒅 𝒅 [𝒚] ⋅ 𝒙 + 𝒚 ⋅ [𝒙])𝒄𝒐𝒔(𝒚𝒙) − ( [𝒚] ⋅ 𝒙 + 𝒚 ⋅ [𝒙])𝒔𝒆𝒏(𝒚𝒙) = 𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS 𝒅

Transformamos 𝒅𝒙 [𝒚] = 𝒚′ y sabemos que la derivada de x es 1. (𝒚′𝒙 + 𝟏𝒚)𝒄𝒐𝒔(𝒚𝒙) − (𝒚′𝒙 + 𝟏𝒚)𝒔𝒆𝒏(𝒚𝒙) = 𝟎 Simplificamos la expresión: (𝒚′ 𝒙 + 𝒚)𝒄𝒐𝒔(𝒚𝒙) − (𝒚′ 𝒙 + 𝒚)𝒔𝒊𝒏(𝒚𝒙) = 𝟎 (𝒙𝒚′ + 𝒚)𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚) − (𝒙𝒚′ + 𝒚)𝒔𝒊𝒏(𝒙𝒚) = 𝟎 Sacamos factor común (𝒙𝒚′ + 𝒚) −(𝒙𝒚′ + 𝒚)(𝒔𝒊𝒏(𝒙𝒚) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚)) = 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒆𝒍𝒗𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒚′: 𝒚′ = −

𝒚 𝒙

4. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑥 6 + 2𝑥 5 + √𝑥 − 3

Estudiante 4

Derivada de orden superior 𝑓 ′′′ (𝑥) =?

𝑓(𝑥) = 𝑥 6 + 2𝑥 5 + √𝑥 − 3 Separamos los términos para derivarlos: =

𝑑 6 𝑑 5 𝑑 [𝑥 ] + 2 ⋅ [𝑥 ] + [√𝑥 − 3] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de la potencia 1 1 𝑑 = 6𝑥 5 + 2 ⋅ 5𝑥 4 + (𝑥 − 3)2−1 ⋅ [𝑥 − 3] 2 𝑑𝑥

Separamos el último término para derivar: 𝑑 𝑑 [𝑥] + [−3] 𝑑𝑥 = 6𝑥 5 + 10𝑥 4 + 𝑑𝑥 2√(𝑥 − 3) = 6𝑥 5 + 10𝑥 4 +

1+0 2√𝑥 − 3

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= 6𝑥 5 + 10𝑥 4 +

1 2√𝑥 − 3

Derivamos nuevamente: =6⋅

𝑑 5 𝑑 4 1 𝑑 1 [𝑥 ] + 10 ⋅ [𝑥 ] + ⋅ [ ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 √𝑥 − 3

1 1 𝑑 [𝑥 − 3] (− 2) (𝑥 − 3)−2−1 ⋅ 𝑑𝑥 4 3 = 6 ⋅ 5𝑥 + 10 ⋅ 4𝑥 + 2 𝑑 𝑑 [𝑥] + (−3) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 30𝑥 4 + 40𝑥 3 − 3

4(𝑥 − 3)2 1+0

= 30𝑥 4 + 40𝑥 3 −

3

4(𝑥 − 3)2 1

= 30𝑥 4 + 40𝑥 3 −

3

4(𝑥 − 3)2 Sacamos la tercera derivada: 𝑑 [30𝑥 4 + 40𝑥 3 − 𝑑𝑥 = 30 ⋅

1 3

(4(𝑥 − 3)2 )

𝑑 4 𝑑 3 1 𝑑 [𝑥 ] + 40 ⋅ [𝑥 ] − ⋅ [ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥

1 (𝑥 −

3 3)2

]

3 3 𝑑 [𝑥 − 3] (− 2) (𝑥 − 3)−2−1 ⋅ 𝑑𝑥 = 30 ⋅ 4𝑥 3 + 40 ⋅ 3𝑥 2 − 4 𝑑 𝑑 [−3]) 3 ( [𝑥] + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 120𝑥 3 + 120𝑥 2 + 5

8(𝑥 − 3)2 = 120𝑥 3 + 120𝑥 2 +

(3(1 + 0)) 5

8(𝑥 − 3)2 = 120𝑥 3 + 120𝑥 2 +

3 5

8(𝑥−3)2

- respuesta

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Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiante 4

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)

a.

Según la gráfica podemos concluir que la derivada de función x2-3x da como resultado una parábola, y la pendiente de la tangente de la función es cercana a 4

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La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

Asignación

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas A El crecimiento de una palma de aceite está determinado por la expresión: 300 ℎ(𝑡) = 60 − 𝑡+20 , 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 𝑎ñ𝑜𝑠. Encuentre la razón de crecimiento de la palma a los 3 años de haber sido plantada.

Estudiante 4

300 𝑡 + 20 𝑑 300 ℎ′(𝑡) = 0 − 𝑑𝑥 𝑡 + 20 𝑑 300 𝑑 1 𝑑 = −300 = − (𝑡 + 20)−1 𝑑𝑥 𝑡 + 20 𝑑𝑥 𝑡 + 20 𝑑𝑥 300 = −(𝑡 + 20)−2 = (𝑡 + 20)2 ℎ(𝑡) = 60 −

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Se remplaza en t = 3 300 ℎ′(𝑡) = (𝑡 + 20)2 300 ℎ′ (3) = = 0.567 (3 + 20)2 B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la 1 función 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 3 − 𝑥 + 5 Lo primero es hallar la primera derivada Derivada por definición: 1 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 + 5 6 3 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 − 1 6 𝑥2 𝑓′(𝑥) = −1 2 Igualamos la primera derivada a 0, para hallar los puntos de corte en el eje x 𝑥2 −1=0 2 𝑥2 = 1 − −−→ 2 𝑥1 = 1.41 𝑥2 = −1.41

𝑥 2 = 2 − − − −→

𝑥 = √2

Se verifica a partir de la segunda derivada si es máximo o mínimo 2𝑥 𝑓′′(x) = 2 Sustituimos la solución 2(1.41) 𝑓′′(1.41) = = 1.41 2 Como el resultado es positivo quiere decir que 𝑥1 es un mínimo 2(−1.41) = −1.41 2 Como el resultado es negativo quiere decir que 𝑥2 es un máximo 𝑓 ′′ (−1.41) =

El siguiente paso es buscar las coordenadas de los puntos

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máximo y mínimo 1 𝑓(x) = 𝑥 3 − 𝑥 + 5 6 1 𝑓(1.41) = (1.41)3 − (1.41) + 5 = 4.06 6 1 𝑓(−1.41) = (−1.41)3 − (−1.41) + 5 = 5.943 6 Las coordenadas son: Mínimo: (1.41 , 4.06)  Máximo: (−1.41 , 5.943) Hallamos el punto de inflexión cuando la segunda derivada es igual a cero: 2𝑥 𝑓′′(x) = 2 2𝑥 =0 2 𝑥=0 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 + 5 6 Reemplazamos en la función original. 1 𝑓(0 ) = (0)3 − (0) + 5 3 𝑓(0 ) = 5 Los puntos de inflexión de la función son: (0 , 5)

ENLACE SUSTENTACIÓN: Estudiante Jhonn Becera A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 3. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Estudiante 3

Ejercicio 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥

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Debemos determinar f(x+h) , ya que f(x) es la función que ya conocemos, en la función desapareemos la X y en su lugar abrimos unos paréntesis 𝑓( ) = 3 ( )2 − ( ) Una vez se tienen los espacios de los paréntesis, se ubica dentro de ellos (x+h), para evaluar la función. 𝑓(𝑥 + ℎ) = 3(𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 + ℎ) Se desarrolla la función teniendo en cuenta el desarrollo del binomio al cuadrado 3(𝑥 + ℎ)2 , y se ensambla el límite que ya conocemos. 𝑓(𝑥 + ℎ) = 3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − (𝑥 + ℎ) − (3𝑥 − 𝑥) Se distribuye el número 3 y se realiza la destrucción del paréntesis y poniendo los signos correspondientes. 𝑓(𝑥 + ℎ) = 3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 + 𝑥 Se simplifican términos opuestos. 3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 + 𝑥 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ No se puede remplazar h por 0, debido a que sería una forma indeterminada 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − ℎ 𝑓(𝑥) lim = ℎ→0 ℎ Se realiza factorización en el numerador, factor común h, y se simplifica. ℎ(6𝑥ℎ + 3ℎ2 − ℎ) 𝑓(𝑥) lim = ℎ→0 ℎ 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 3ℎ − 1 𝑓𝑟(𝑥) = 6𝑥 − 1 En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

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2 Estudiante 3

Ejercicio 𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 2)(2𝑥 3 − 𝑥)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜(𝑓 ∗ 𝑔)′ = 𝑓 ′ ∗ 𝑔 + 𝑓 + 𝑔′ 𝑑 𝑑 (2𝑥 3 − 𝑥)(√𝑥 + 2) 𝑓 ′ (𝑥) = (√𝑥 + 2)(2𝑥 3 − 𝑥) + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑑 1 𝑓 ′ (𝑥) = (√𝑥 + 2) = 1 𝑑𝑥 2𝑥 2 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 (𝑎 ∗ 𝑓)′ = 𝑎 ∗ 𝑓 ′ , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 1 𝑑 1 3 2 2 𝑓 ′ (𝑥) = 1 (2𝑥 − 𝑥) = 6𝑥 − 1 (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 2 2𝑥 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 1

1 𝑑 𝑥 2 (2𝑥 3 − 𝑥) ′ (𝑥) 𝑓 = = 6𝑥 2 − 1 (𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 2 𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1

1 1 𝑑 𝑥 2 (2𝑥 3 − 𝑥) ′ (𝑥) 𝑓 = + 6𝑥 2 + 𝑥 2 + 12𝑥 2 − 𝑥 2 − 2 𝑑𝑥 2 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑐𝑚 1

𝑓

′ (𝑥)

1

𝑑 14𝑥 2 + 𝑥 2 + 24𝑥 − 3 + 𝑥 2 = −2 𝑑𝑥 2

3. Estudiante 3

Ejercicio 𝑥3 − 1 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 1

√𝑥 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑥 2 𝑥 3 − 1 (𝑓) 𝑓´(𝑥) = 1 𝑥 2 − 1 (𝑔) 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

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𝑓 𝑓´ ∗ 𝑔 − 𝑔´ ∗ 𝑓 𝑔2 ( ) 𝑔 𝑔2 1 1 𝑑 𝑑 (𝑥 3 − 1) ∗ (𝑥 2 − 1) − (𝑥 2 − 1)(𝑥 3 − 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

1

(𝑥 2 − 1) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑎−1 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟. 1

1

3𝑥 2 (𝑥 2 − 1) − 𝑓´(𝑥) =

1 (𝑥 2𝑥 2 2

1

3

𝑑 𝑎 (𝑥 ) 𝑑𝑥

− 1)

(𝑥 2 − 1) 𝑏 𝑎∗𝑏 = 𝑐 𝑐

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎 ∗ 1

3𝑥 2 (𝑥 2 − 1) −

𝑥3 − 1 1

2𝑥 2

𝑓´(𝑥) =

2

1

(𝑥 2 − 1) 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑥

2

1 (𝑥 2

− 1) −

𝑥3 − 1 1 2𝑥 2

5

𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

5𝑥 3 − 6𝑥 2 + 1

5

5𝑥 3 − 6𝑥 2 + 1 1

𝑓´(𝑥) =

2𝑥 2 1 (𝑥 2

2

− 1)

𝑏 𝑏 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐 = 𝑎 𝑐∗𝑎 5

𝑓´(𝑥) =

5𝑥 3 − 6𝑥 2 + 1 1 1 2𝑥 2 (𝑥 2

1

2𝑥 2

2

− 1)

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4. Estudiante 3

Ejercicio 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)3 . (𝑥 2 − 2)2𝑥

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 ∶ (𝑓 ∗ 𝑔)′ = 𝑓 ′ ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑔′ 𝑑 𝑑 ((3𝑥 2 − 5𝑥)3 ) (𝑥 2 − 2)2𝑥 + ((𝑥^2 − 2)2𝑥 ) (3𝑥 2 − 5𝑥)3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑒𝑛𝑎, 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑑 ((3𝑥 2 − 5𝑥)3 ) = 3 (3𝑥 2 − 5𝑥)2 (6𝑥 − 5) 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 , 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 𝑦 𝑝𝑜𝑟𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑑 2𝑥 2 2 2𝑥 ) 2 ((𝑥 − 2) = 2(𝐼𝑛 (𝑥 − 2) + 2 )(𝑥 2 − 2)2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 −2 𝑑 2𝑥 2 = 3(3𝑥 3 − 5𝑥)2 (6𝑥 − 5)(𝑥 2 − 2)2𝑥 + 2(𝐼𝑛(𝑥 2 − 2) + 2 )(𝑥 2 − 2)2𝑥 (3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 −2 − 5𝑥)3

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 3

Ejercicio 𝑥 + 3𝑦 3 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 4

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑦 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 4 ) + (3𝑦 3 ) − (𝐶𝑜𝑠𝑥) = (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4𝑥 4−3 + 3

𝑑 (cos(𝑥)) = − sin(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 (𝑦 3 ) − 𝑆𝑖𝑛(𝑥) = 0 𝑑𝑥

𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠𝑡𝑒, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑦 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. 𝑑 (𝑦) − (−𝑆𝑖𝑛(𝑥)) = 0 4𝑥 3 + 9𝑦 2 𝑑𝑥 4𝑥 3 + 9𝑦 2 𝑦 1 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥) = 0

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𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4𝑥 + 9𝑦 2 𝑦1 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥) − (4𝑥 3 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥)) = 0 − (4𝑥 3 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥)) 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑦 ′ , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 4𝑥 3 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥)𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟. 9𝑦 2 𝑦 ′ = 4𝑥 3 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥) 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 9𝑦 2 9𝑦 2 𝑦 ′ −(4𝑥 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥)) = 9𝑦 2 9𝑦 2 −4𝑥 3 + 𝑆𝑖𝑛 (𝑥) 𝑦′ = 9𝑦 2 𝑑 𝐸𝑠𝑐𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑦 ′ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥 𝑑 −4𝑥 + 𝑆𝑖𝑛(𝑥) (𝑦) = 𝑑𝑥 9𝑦 2 3

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio Estudiante 3

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + √𝑥

Derivada de orden superior 1 𝑓 ′′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 3+4 4 ∗ 𝑥2

𝑑 4 𝑑 𝑑 (𝑥 ) + (2𝑥) + (√𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 1 𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 3 + 2 + 2√𝑥 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 1 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 2 − 3+4 4 ∗ 𝑥2

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

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Estudiante 3

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥

𝐴) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑 𝑑 (𝑥 2 ) + (2𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑 𝑑 (𝑥) 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑 2𝑥 + 2 ∗ 1 𝑑𝑥 𝑑 (2𝑥) = 2 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2

𝐵) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ò𝑛: 𝑑 𝑥 (𝑒 ) 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥

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Asignación

Estudiante 3

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas A Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por 𝑥(𝑡) = 40 − 𝑡 2 + 6𝑡 donde x se da en metros y t está dado en segundos, con 𝑡 ≥ 0, a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula. b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=8s B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la 1 función 𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 4 − 5𝑥 + 3

𝐴) 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 ∶ 𝑎(𝑡) = 𝑥 ′ (𝑡) = −2 𝑥(𝑡) = 40 − 𝑡 2 + 6𝑡 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 (𝑡) = 𝑥 ′′ (𝑡) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑥 ′ (𝑡) = −2𝑡 + 6 𝑎(𝑡) = 𝑥 ′′ (𝑡) = −2 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑎 2𝑚/𝑠𝑒𝑔2 𝐵) 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎 0 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 5𝑥 + 3 6 se hallan lo puntos criticos Donde el dominio de ∶

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1 4 𝑥 − 5𝑥 + 3: − ∞ < 𝑥 < ∞ 6 3 15 𝑥=√ 2

Derivar: d 2𝑥 3 ( − 5) dx 3 d 2𝑥 3 d (5) ( )− dx 3 dx f(x) = 2x 2 − 0 Simplificar 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 𝑆𝑖 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜, 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 3 15 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 2𝑥 2 𝑒𝑛 𝑥 √ 2

2 3

2 (√

15 ) 2 2

15 3 2( ) 2 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑁𝑜 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

Enlace sustentación: https://www.youtube.com/watch?v=FdWwfs-pAv0&feature=youtu.be

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Leydi Sanchez Estudiante 1 EJERCICIO 1 De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 Dentro de la función en donde se evidencie la variable x, procedemos a cambiarla por (x+h) tal como se evidencia a continuación, este procedimiento podríamos considerarlo la evaluación de la función 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2-2(x+h) Procedemos a desarrollar la expresión 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 − 2(𝑥 + ℎ) Solucionamos las operaciones entre paréntesis, iniciando por el binomio al cuadrado, y el producto de la otra expresión, obteniendo el siguiente resultado

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 + 2ℎ Después de tener la expresión procedemos a plantearla en la fórmula de límite 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

Se tiene en cuenta que en el numerador establecemos la expresión ya hallada menos la función original, tal como se evidencia a continuación 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥 2 + 2𝑥 ℎ→0 ℎ lim

Después de tener escrita la función en expresión de límites procedemos a evidenciar que variables se pueden cancelar, en búsqueda de reescribirla, tal como se evidencia a continuación

𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥 2 + 2𝑥 lim ℎ→0 ℎ

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Siendo los Números escritos en rojo como aquellos que son cancelados de la expresión quedando la función reescrita de la siguiente forma 2𝑥ℎ + ℎ2 − 2ℎ ℎ→0 ℎ lim

Esta expresión puede ser reescrita de la siguiente forma 2𝑥ℎ ℎ2 2ℎ lim + lim − lim ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ Se puede evidenciar que se puede cancelar por cada expresión la “h” del numerador y denominador. 2𝑥ℎ ℎ2 2ℎ lim + lim − lim ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ Al cancelar la “h” que se encuentra en rojo, la expresión queda reescrita de la siguiente forma lim 2𝑥 + ℎ − 2

ℎ→0

Procedemos a evaluar el límite cambiando la h por cero, tal como se evidencia a continuación 2𝑥 + (0) − 2 Al restar 0 -2 evidenciamos que da el resultado de la derivada, siendo el siguiente 𝟐𝒙 − 𝟐

ENLACE SUSTENTACIÓN:

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Conclusiones Se logró aplicar el concepto de derivada y sus aplicaciones a problemas reales, analizando las opciones y posibles soluciones. Aplicar las reglas de diferenciación en la derivación de cualquier tipo de función, a través del análisis, interpretación, cálculo y solución de ejercicios y problemas, teniendo en cuenta su estudio en distintas disciplinas como la física, ingeniería, economía y biología.

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Bibliografía USE (2017). Videos Educativos Matemáticos. Reglas http://www.ehu.eus/ehusfera/mathvideos/reglas-dederivacion

de

derivación.

García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direc t=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Cabrera, J. (2018). OVA. Solución Ejercicios Derivadas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/19075 Cabrera, J. (2017). OVI - Derivadas en Geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621