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DERIVADAS

Unidad 3: Tarea 3

Realizado por JOHN FERNANDO ZAPATA Código: 8032028 SERGIO ANDRES JAIMES Código: 1102355487 EDINSON MEDINA RIVERA Código: 12458939 FERNANDO MONSALVE Código:

Presentado a DAVID EDUARDO LOPEZ

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela De Ciencias Básicas Tecnología E Ingeniería Calculo Diferencial Noviembre 28 de 2018

Tabla de Cumplimiento

Cumplimiento

ejercicios de su responsabilidad

Fernando Monsalve

Estudiante 1

Edinson Medina

Estudiante 2

Jhon Zapata

Estudiante 3

Jorge Galvis

Estudiante 4

Sergio Jaimes

Estudiante 5

Edinson Medina

LÍDER

Introducción La derivación se constituye en una de las operaciones más importantes del cálculo y más cuando tratamos con funciones de variables reales puesto que nos ayuda a encontrar la razón de cambio de estas en un instante determinado o valor determinado de la variable, por tal razón se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con la que se produce un cambio de una situación, en esta unidad realizaremos una práctica necesaria para el entendimiento de la derivada y sus aplicaciones.

Ejercicios estudiante 1 Fernando Monsalve Rangel

Ejercicio 1 Calcular por L’Hôpital los 𝑙𝑛𝑥 2 𝑥→1 𝑥 2 − 1 lim

Debemos derivar el denominador y el denominador de manera independiente. 𝑑 (𝑙𝑛𝑥 2 ) 𝑑𝑥 lim 𝑥→1 𝑑 (𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 Derivamos el numerador 𝑑 (𝑙𝑛𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Derivamos términos de forma independiente. Aquí reemplazamos el 2 término por una variable nueva 𝑑 1 (ln(𝑦)) = 𝑑𝑥 𝑦 Reducimos el exponente 1 pero como tiene que seguir existiendo los pasamos a multiplicar la expresión 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥 Ahora multiplicamos las derivadas de cada término. 𝑑 1 (𝑙𝑛𝑥 2 ) = ∗ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑦 Reemplazamos 𝑑 1 2 (𝑙𝑛𝑥 2 ) = 2 ∗ 2𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 Derivamos el denominador. 𝑑 2 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 Derivamos cada término de forma independiente. 𝑑 2 𝑑 (𝑥 ) − (1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Reducimos el exponente 1 pero como tiene que seguir existiendo los pasamos a multiplicar la expresión

𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥 La derivada de una constante es 0 𝑑 (1) = 0 𝑑𝑥

𝑑 2 (𝑥 − 1) = 2𝑥 − 0 = 2𝑥 𝑑𝑥 2 lim 𝑥 𝑥→1 2𝑥 Ahora reemplazamos la x por 1. 2 2 lim 1 = = 1 𝑥→1 2(1) 2

Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de la siguiente función: (𝑥 3 − 𝑥 2 − 2)2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 Aplicamos la regla del cociente. 𝑎 𝑎′ ∗ 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑏′ ( )′ = 𝑏 𝑏2 𝟑 𝟐 𝟐 (𝟐(𝒙 − 𝒙 − 𝟐) ∗ (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙)) ∗ (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙) − ((𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)𝟐 ) ∗ (𝟐𝒙 − 𝟑) (𝒇(𝒙))′ = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙)𝟐 Ejercicio 3 Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 (5𝑥 + 4𝑥 2 )2 Aplicamos la formula (𝑢 ∗ 𝑣)′ = 𝑢 ∗ 𝑣 ′ + 𝑣 ∗ 𝑢′ (𝑢 ∗ 𝑣) = 𝑥 ∗ 2(4𝑥 2 + 5𝑥) ∗ (8𝑥 + 5) + (4𝑥 2 + 5𝑥)2 ∗ 3𝑥 2 (𝑢 ∗ 𝑣)′ = 2𝑥 3 (4𝑥 2 + 5𝑥)(8𝑥 + 5) + 3𝑥 2 (4𝑥 2 + 5𝑥)2 (𝒖 ∗ 𝒗)′ = 𝒙𝟒 (𝟒𝒙 + 𝟓)(𝟐𝟖𝒙 + 𝟐𝟓) ′

3

Ejercicio 4 Calcular la derivada implícita. Derivamos ambos lados de la igualdad, y cada vez que derivemos algo con y lo multiplicamos por y’. 6𝑥 2 𝑦 + 5𝑦 3 + 3𝑥 2 = 12 − 𝑥 2 𝑦 Usamos la regla del producto. 6(2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 ′ ) + 15𝑦 2 𝑦 ′ + 6𝑥 = 0 − 𝑥 2 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 12𝑥𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 ′ + 15𝑦 2 𝑦 ′ + 6𝑥 = −𝑥 2 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 Movemos y’ a un solo lado de la ecuación 7𝑥 2 𝑦 ′ + 15𝑦 2 𝑦 ′ = −14𝑥𝑦 − 6𝑥 Sacamos factor común de y’ 𝑦 ′ (7𝑥 2 + 15𝑦 2 ) = −14𝑥𝑦 − 6𝑥 Despejamos y’ −14𝑥𝑦 − 6𝑥 𝑦′ = 7𝑥 2 + 15𝑦 2 Ejercicio 5 Derivada de Orden superior 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 3𝑥 + √𝑥 Usamos la formula 𝑦 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑢′. Cuando la se deriva una raíz esta se convierte a potencia. 1

12−1 1 (√𝑥) = = 2 2 √𝑥 ′ ′ (𝑥 Ahora usamos + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦′ ′

𝑓 ′ = 12𝑥 2 + 3 +

1

2√𝑥 1 1 ( )′ = ∗ ( )′ 2 √𝑥 2 √𝑥 1 1 − 𝑥 2−1 1 ( )′ = 2 2 2 √𝑥 ′ 1 1 ( ) =− 3 2 √𝑥 4𝑥 2 1

𝑓 ′′ = 24𝑥 + 0 +

1 3

4𝑥 2

′

1 1 ∗ ( 3) ′ 4 𝑥2 2 − 32−1 ′ − (3) 𝑥 1 ( 3) = 4 4𝑥 2 ′ 1 3 ( 3) = 5 4𝑥 2 8𝑥 2 (

1

3) 4𝑥 2

=

𝑓 ′′′ (𝑥) = 24 +

3 5

8𝑥 2

Graficar las siguientes funciones en GeoGebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en GeoGebra” 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑓(𝑥) = cot(5𝑥)2

Graficas en GeoGebra de acuerdo con las indicaciones del contenido “Derivadas en GeoGebra”

Ejercicios estudiante 2 Edinson Medina Rivera Ejercicio 1 Calcular por L’Hôpital el siguiente límite: 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 lim 𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛𝑥

Evaluamos el límite cuando x tiende a cero (0) y corroboramos la indeterminación 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 0 − 𝑒 −0 1 − 1 0 = = = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑠𝑒𝑛(0) 2(0) 0

Comprobada la indeterminación de la forma

0 0

procedemos a aplicar L’Hôpital

donde procedemos a derivar la función para dar solución al límite. 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 lim 𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛𝑥

Ahora aplicamos la regla de límites para este tipo de productos 𝒍𝒊𝒎(𝒄 ∗ 𝒇(𝒙)) = 𝒄 ∗ 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 1 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = ∗ lim 𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛𝑥 2 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 lim

𝑑 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ( ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑 𝑥 (𝑒 − 𝑒 −𝑥 ) 𝑑 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ( )= 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para suma o diferencia

𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑥 𝑑 𝑥 𝑑 −𝑥 (𝑒 − 𝑒 −𝑥 ) = 𝑒 − 𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅𝒚 𝒙 (𝒆 ) = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑦 = 𝑒𝑢 𝑢 = −𝑥 𝑑 𝑢 𝑑 (𝑒 ) ∗ (−𝑥) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝑑 𝑢 (𝑒 ) = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 Ahora 𝑑 𝑑 (−𝑥) = − 1(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 (𝑥) − 1(𝑥) = −1 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙

−1 ∗

𝑑 (𝑥) = −1 ∗ 1 = −1 𝑑𝑥

Luego 𝑒 𝑢 (−1) = −𝑒 𝑢 Reemplazamos 𝑢 −𝑒 −𝑥 Ahora 𝑑 𝑥 𝑑 −𝑥 𝑒 − 𝑒 = 𝑒 𝑥 − (−𝑒 −𝑥 ) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒔𝒆𝒏𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 Entonces tenemos que 𝑑 𝑥 (𝑒 − 𝑒 −𝑥 ) (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝑥) (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 Tenemos ahora el límite 1 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ∗ lim 2 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 Evaluamos el limite cuando x tiende a cero (0) 1 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 1 𝑒 0 + 𝑒 −0 1 1 + 1 1 2 2 ∗ = ∗ = ∗ = ∗ = =1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(0) 2 1 2 1 2

El límite de la función cuando x tiende a cero (0) es 1

Ejercicios 2 Aplicando las reglas de la derivación calcule, la derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) =

(6 + 3𝑥)3 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2

Aplicamos regla del cociente 𝒅 𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙)′ 𝒈(𝒙) − 𝒈(𝒙)′ 𝒇(𝒙) [ ]= [𝒈(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 𝒈(𝒙) 𝑑 𝑑 3 (6 + 3𝑥)3 ∗ (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2) − (𝑥 + 4𝑥 2 + 2) ∗ (6 + 3𝑥)3 (6 + 3𝑥)3 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ( )= (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2)2 𝑑𝑥 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2 𝑑 𝑑 3 (6 + 3𝑥)3 ∗ (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2) − (𝑥 + 4𝑥 2 + 2) ∗ (6 + 3𝑥)3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2)2 Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑦 = 𝑢3 𝑢 = (6 + 3𝑥) 𝑑 𝑑 (𝑢3 ) ∗ (6 + 3𝑥) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 (𝑢3 ) = 3𝑢2 𝑑𝑢

Aplicamos la regla de derivación para suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (6 + 3𝑥) = (6) + (3𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙

𝑑 (6) = 0 𝑑𝑥

Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 (3𝑥) = 3 ∗ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙 3∗

𝑑 (𝑥) = 3 ∗ 1 = 3 𝑑𝑥

Luego 3𝑢2 ∗ 3 = 9𝑢2 Reemplazamos 𝑢 9𝑢2 = 9(6 + 3𝑥)2 Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 3 𝑑 3 𝑑 𝑑 (𝑥 + 4𝑥 2 + 2) = (𝑥 ) + (4𝑥 2 ) + (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 3 (𝑥 ) = 3𝑥 2 𝑑𝑥

Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 2 (4𝑥 2 ) = 4 ∗ (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 4∗

𝑑 2 (𝑥 ) = 4 ∗ 2𝑥 = 8𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑥

Tenemos entonces que 3𝑥 2 + 8𝑥 + 0 = 3𝑥 2 + 8𝑥

Luego 𝑑 𝑑 3 (6 + 3𝑥)3 ∗ (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2) − (𝑥 + 4𝑥 2 + 2) ∗ (6 + 3𝑥)3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2)2 𝒇′ (𝒙) =

𝟗(𝟔 + 𝟑𝒙)𝟐 ∗ (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 ∗ (𝟔 + 𝟑𝒙)𝟑 (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐

Ejercicios 3 Aplicando las reglas de la derivación calcule, la derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑥 3 )3 Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 2 2 (6𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑥 3 )3 ) = 6 ∗ (𝑥 (𝑥 + 𝑥 3 )3 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla del producto 𝒅 [𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ 𝒈(𝒙) + 𝒈(𝒙)′ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 6∗

𝑑 2 2 𝑑 2 𝑑 2 (𝑥 (𝑥 + 𝑥 3 )3 ) = 6 ∗ (𝑥 ) ∗ (𝑥 2 + 𝑥 3 )3 + (𝑥 + 𝑥 3 )3 ∗ (𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑦 = 𝑢3 𝑢 = (𝑥 2 + 𝑥 3 ) 𝑑 𝑑 2 (𝑢3 ) ∗ (𝑥 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 (𝑢3 ) = 3𝑢2 𝑑𝑢

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 2 𝑑 2 𝑑 3 (𝑥 + 𝑥 3 ) = (𝑥 ) + (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑 3 (𝑥 ) = 3𝑥 2 𝑑𝑥

Luego 𝑑 2 𝑑 3 (𝑥 ) + (𝑥 ) = 2𝑥 + 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Entonces 𝑑 2 (𝑥 + 𝑥 3 )3 = (3𝑢2 )(2𝑥 + 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥

Reemplazamos 𝑢 (3(𝑥 2 + 𝑥 3 )2 )(2𝑥 + 3𝑥 2 )

Por lo cual 6∗

𝑑 2 𝑑 2 (𝑥 ) ∗ (𝑥 2 + 𝑥 3 )3 + (𝑥 + 𝑥 3 )3 ∗ (𝑥 2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝒇′ (𝒙) = 𝟔 ((𝟐𝒙)(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )𝟑 + (𝟑(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )𝟐 )(𝟐𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 )(𝒙𝟐 ))

Ejercicio 4 Calcular la derivada implícita

𝑑𝑦 𝑑𝑥

−𝑥 5 𝑦 7 − 1 = 𝑥 + 𝑦

Asumimos que 𝑦 = 𝑦(𝑥) Derivamos a ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥 𝑑 𝑑 (−𝑥 5 𝑦 7 − 1) = (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (−𝑥 5 𝑦 7 − 1) = − (𝑥 5 𝑦 7 ) − (1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥) + (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla del producto 𝒅 [𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ 𝒈(𝒙) + 𝒈(𝒙)′ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝑑 5 7 𝑑 5 𝑑 7 (𝑥 𝑦 ) = (𝑥 ) ∗ (𝑦 7 ) + (𝑦 ) ∗ (𝑥 5 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable

𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 5 (𝑥 ) = 5𝑥 4 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑧 = 𝑢7 𝑢=𝑦 𝑑 𝑑 (𝑢7 ) ∗ (𝑦) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 (𝑢7 ) = 7𝑢6 𝑑𝑢

Entonces 7𝑢6 ∗

𝑑 (𝑦) 𝑑𝑥

𝑑 (𝑦) = 𝑦′ 𝑑𝑥 Reemplazamos 𝑢 7𝑦 6 ∗ 𝑦′

Por lo tanto tenemos que 𝑑 5 𝑑 7 (𝑥 ) ∗ (𝑦 7 ) + (𝑦 ) ∗ (𝑥 5 ) = (5𝑥 4 )(𝑦 7 ) + (7𝑦 6 ∗ 𝑦′)(𝑥 5 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙 𝑑 (1) = 0 𝑑𝑥

Ahora −

𝑑 5 7 𝑑 (𝑥 𝑦 ) − (1) = −((5𝑥 4 )(𝑦 7 ) + (7𝑦 6 ∗ 𝑦 ′ )(𝑥 5 )) − 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

−((5𝑥 4 )(𝑦 7 ) + (7𝑦 6 ∗ 𝑦 ′ )(𝑥 5 )) −5𝑥 4 𝑦 7 − 7𝑦 6 𝑥 5 ∗ 𝑦 ′

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥) + (𝑦) = 1 + (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (𝑦) = 𝑦′ 𝑑𝑥 1 + 𝑦′

Retomamos la ecuación −5𝑥 4 𝑦 7 − 7𝑦 6 𝑥 5 ∗ 𝑦 ′ = 1 + 𝑦′ Despejamos la ecuación transponiendo términos −7𝑦 6 𝑥 5 ∗ 𝑦 ′ = 1 + 𝑦 ′ + 5𝑥 4 𝑦 7 −7𝑦 6 𝑥 5 ∗ 𝑦 ′ − 𝑦′ = 1 + 5𝑥 4 𝑦 7 Factorizamos −7𝑦 6 𝑥 5 ∗ 𝑦 ′ − 𝑦′ = 1 + 5𝑥 4 𝑦 7

−𝑦 ′ (7𝑦 6 𝑥 5 + 1) = 1 + 5𝑥 4 𝑦 7

Despejamos 𝑦 ′ −𝑦 ′ (7𝑦 6 𝑥 5 + 1) = 1 + 5𝑥 4 𝑦 7 −𝑦 ′ =

1 + 5𝑥 4 𝑦 7 (7𝑦 6 𝑥 5 + 1)

𝑦′ = −

1 + 5𝑥 4 𝑦 7 (7𝑦 6 𝑥 5 + 1)

Ejercicio 5 Derivadas de orden superior 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 4𝑥 2 + √𝑥 + 2 𝑓 ′′′ (𝑥) =?

𝑓 ′ (𝑥) =

𝑑 (2𝑥 4 + 4𝑥 2 + √𝑥 + 2) 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 (2𝑥 4 ) + (4𝑥 2 ) + (2𝑥 4 + 4𝑥 2 + √𝑥 + 2) = (√𝑥 + 2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 4 (2𝑥 4 ) = 2 ∗ (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 2 (4𝑥 2 ) = 4 ∗ (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 4 (𝑥 ) = 4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥

Luego 2∗

𝑑 4 (𝑥 ) = 2(4𝑥 3 ) = 8𝑥 3 𝑑𝑥

4∗

𝑑 2 (𝑥 ) = 4(2𝑥) = 8𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑦 = √𝑢 𝑢 = (𝑥 + 2) 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) (√𝑢) ∗ 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos ley de exponentes 1

√𝑎 = 𝑎 2 1 𝑑 𝑑 (√𝑢) = (𝑢2 ) 𝑑𝑢 𝑑𝑢

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 1 𝑑 1 1 1 1 (𝑢2 ) = 𝑢2−1 = 𝑢−2 𝑑𝑢 2 2

Aplicamos regla de los exponentes 𝑎−𝑏 =

1 𝑎𝑏

1 −1 1 1 1 1 1 𝑢 2= ∗ 1= ∗ = 2 2 2 √𝑢 2 √𝑢 𝑢2

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) = (𝑥) + (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑥

Luego 𝑑 𝑑 (𝑥) + (2) = 1 + 0 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 1 1 (𝑥 + 2) = (√𝑢) ∗ ∗1= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2√𝑢 2√𝑢

Reemplazamos 𝑢

1 2√𝑢

=

1 2 √𝑥 + 2

𝑓 ′ (𝑥) = (8𝑥 3 + 8𝑥 +

𝑓 ′ ′(𝑥) =

1 2√𝑥 + 2

)

𝑑 1 (8𝑥 3 + 8𝑥 + ) 𝑑𝑥 2 √𝑥 + 2

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 1 𝑑 𝑑 𝑑 1 (8𝑥 3 ) + (8𝑥) + (8𝑥 3 + 8𝑥 + )= ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2√𝑥 + 2 2 √𝑥 + 2

Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 3 (8𝑥 3 ) = 8 ∗ (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 (8𝑥) = 8 ∗ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 1 1 𝑑 1 ( )= ∗ ( ) 𝑑𝑥 2√𝑥 + 2 2 𝑑𝑥 √𝑥 + 2

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 3 (𝑥 ) = 3𝑥 2 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación

𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙

Luego 8∗

𝑑 3 (𝑥 ) = 8(3𝑥 2 ) = 24𝑥 2 𝑑𝑥

8∗

𝑑 (𝑥) = 8 ∗ 1 = 8 𝑑𝑥

Aplicamos regla de los exponentes 1 = 𝑎−𝑏 𝑎𝑏 1 1 𝑑 1 1 𝑑 (𝑥 + 2)−2 ∗ ( )= ∗ 2 𝑑𝑥 √𝑥 + 2 2 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 1

𝑦 = 𝑢 −2 𝑢 = (𝑥 + 2) 1 1 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) ∗ (𝑢−2 ) ∗ 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 1 𝑑 1 1 1 3 (𝑢−2 ) = − 𝑢−2−1 = − 𝑢−2 𝑑𝑢 2 2

Aplicamos regla de los exponentes 𝑎−𝑏 =

1 𝑎𝑏

1 3 1 1 1 − 𝑢 −2 = − ∗ 3 = − 3 2 2 𝑢2 2𝑢2

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) = (𝑥) + (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑥

Luego 𝑑 𝑑 (𝑥) + (2) = 1 + 0 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 1 𝑑 𝑑 1 1 1 (𝑥 + 2) = ∗ (− 3 ) ∗ 1 = − 3 ∗ (𝑢−2 ) ∗ 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 2𝑢2 4𝑢2

Reemplazamos 𝑢 −

1 3 4𝑢2

=−

1 3

4(𝑥 + 2)2

𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 2 + 8 −

1 3

4(𝑥 + 2)2

𝑓′′′(𝑥) =

𝑑 (24𝑥 2 + 8 − 𝑑𝑥

1 4(𝑥 +

3) 2)2

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 (24𝑥 2 + 8 − 𝑑𝑥

1 4(𝑥 +

3) 2)2

=

𝑑 𝑑 𝑑 (24𝑥 2 ) + (8 ) − ( 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

1 4(𝑥 +

3) 2)2

Aplicamos la regla del factor constante 𝒅 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 [𝒙] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 2 (24𝑥 2 ) = 24 ∗ (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 ( 𝑑𝑥

1 4(𝑥 +

3) 2)2

=

1 𝑑 ∗ ( 4 𝑑𝑥

1 (𝑥 +

3) 2)2

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥

Luego 24 ∗

𝑑 2 (𝑥 ) = 8(2𝑥) = 48𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙

𝑑 (8) = 0 𝑑𝑥

Aplicamos regla de los exponentes 1 = 𝑎−𝑏 𝑎𝑏 1 𝑑 ∗ ( 4 𝑑𝑥

1

3) =

(𝑥 + 2)2

3 1 𝑑 (𝑥 + 2)−2 ∗ 4 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la cadena 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 3

𝑦 = 𝑢 −2 𝑢 = (𝑥 + 2) 3 1 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) ∗ (𝑢−2 ) ∗ 4 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de derivación para una potencia constante de una variable 𝒅 𝒏 (𝒙 ) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 3 𝑑 3 3 3 5 (𝑢−2 ) = − 𝑢−2−1 = − 𝑢−2 𝑑𝑢 2 2

Aplicamos regla de los exponentes 𝑎−𝑏 =

1 𝑎𝑏

3 5 3 1 3 − 𝑢 −2 = − ∗ 5 = − 5 2 2 𝑢2 2𝑢2

Aplicamos regla de la suma o diferencia

𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 + 2) = (𝑥) + (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de derivación 𝒅 (𝒙) = 𝟏 𝒅𝒙

Aplicamos la regla de derivada de una constate 𝒅 (𝒄) = 𝟎 𝒅𝒙 𝑑 (2) = 0 𝑑𝑥

Luego 𝑑 𝑑 (𝑥) + (2) = 1 + 0 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 1 𝑑 𝑑 1 3 3 (𝑥 + 2) = ∗ (− 5 ) ∗ 1 = − 5 ∗ (𝑢−2 ) ∗ 4 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4 2𝑢2 8𝑢2

Reemplazamos 𝑢 −

3 5 8𝑢2

3

=−

5

8(𝑥 + 2)2

3

𝑓 ′′′(𝑥) = 48𝑥 − (−

8(𝑥 + 𝒇′′′(𝒙) = 𝟒𝟖𝒙 +

𝟑 𝟓

𝟖(𝒙+𝟐)𝟐

5) 2)2

Ejercicio 6 Gráficar las siguientes funciones en Geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra” a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

Ejercicio 7 b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

Realizadas las gráficas podemos afirmar que la derivada de una función corresponde a la pendiente de la tangente de la función.

Ejercicio 8 Resolver los problemas y Graficas en Geogebra de acuerdo con las indicaciones del contenido “Derivadas en Geogebra”

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: 𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 ) (𝑥 − 3)

Para hallar los máximos y mínimos hallamos la primera y segunda derivada de la función Primera derivada 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑑 ((𝑥 2 ) (𝑥 − 3)) 𝑑𝑥

Aplicamos regla del producto 𝒅 [𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ 𝒈(𝒙) + 𝒈(𝒙)′ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝑑 𝑑 2 𝑑 2 (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) + (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) ((𝑥 2 ) (𝑥 − 3)) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑑 2 (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) + (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑑 (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) + (𝑥 − 3) ∗ (𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 − 3) = (𝑥) − (3) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 (𝑥) − (3) = 1 − 0 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 2 𝑑 (𝑥 ) ∗ (𝑥 − 3) + (𝑥 − 3) ∗ (𝑥 2 ) = 𝑥(𝑥 − 3) + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2𝑥(𝑥 − 3) + 𝑥 2 2𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑥 2 3𝑥 2 − 6𝑥 𝒅 ((𝒙𝟐 ) (𝒙 − 𝟑)) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒅𝒙 Hallada la primera derivada calculamos los puntos críticos 3𝑥 2 − 6𝑥 Tenemos que 𝑎 =3,

𝑏 = −6,

𝑐=0

Aplicamos la fórmula cuadrática

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazamos valores 𝑥=

−(−6) ± √(−6)2 − 4(3)(0) 2(3)

𝑥=

6 ± √36 − 0 6

𝑥=

6±6 6

6 + 6 12 = =2 6 6 { 6−6 0 𝑥= = =0 6 6 𝑥=

Realizamos la segunda derivada 𝑓 ′′ (𝑥) =

𝑑 (3𝑥 2 − 6𝑥) 𝑑𝑥

Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 (3𝑥 2 − 6𝑥) = (3𝑥 2 ) − (6𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (3𝑥 2 ) = 6𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (6𝑥) = 6 𝑑𝑥 𝒅 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 𝒅𝒙

Evaluamos cada derivada en los puntos críticos 𝑓 ′′ (2) = 6(2) − 6 = 6 Cuando 𝑥 = 2 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓 ′′ (0) = 6(0) − 6 = −6 Cuando 𝑥 = 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Para hallar el punto mínimo evaluamos la función cuando 𝑥 = 2 𝑓 (2) = (22 ) (2 − 3) 𝑓 (2) = (4 ) (−1) 𝑓 (2) = −4 Por lo cual definimos que el punto mínimo está en (2, −4) Para hallar el punto máximo evaluamos la función cuando 𝑥 = 0 𝑓 (0) = (02 ) (0 − 3) 𝑓 (2) = (0 ) (−3) 𝑓 (2) = 0 Por lo cual definimos que el punto máximo está en (0, 0) Ahora para hallar el punto de inflexión calculamos las coordenadas en 𝑥 y 𝑦 primero la coordenada en 𝑥 igualando la segunda derivada a 0 y despejando 𝑥 6𝑥 − 6 = 0 6𝑥 = 6 𝑥=

6 6

𝑥=1 Luego buscamos la coordenada en 𝑦 evaluando la función en 1 𝑓 (1) = (12 ) (1 − 3) 𝑓 (1) = 1 (−2) 𝑓 (1) = −2 Esto nos muestra las coordenadas del punto de inflexión (1, −2)

Ejercicio 9 b) Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo. Para este problema debemos buscar de la ecuación de volumen cuando la caja es armada, para esto tenemos que recortar de cada esquina del cartón un cuadrado del mismo tamaño para poder armar una caja sin tapa.

Si definimos cada cuadrado con un tamaño de lado 𝑥 los lados finales de la caja serán 𝑙 = 6 − 2𝑥 𝑎 = 4 − 2𝑥 ℎ=𝑥 La ecuación de volumen es 𝑉 = 𝑙∗𝑎∗ℎ Reemplazando valores 𝑉 = (6 − 2𝑥)(4 − 2𝑥)(𝑥)

Hallamos el Dominio de la función analizando cada factor mediante asumir que son mayores que 0 6 − 2𝑥 > 0 6 > 2𝑥 6 >𝑥 2 3>𝑥

4 − 2𝑥 > 0 4 > 2𝑥 4 >𝑥 2 2>𝑥

𝑥>0 Luego el intervalo para el dominio será [0,2] dado que el intervalo que pueden cumplir los tres factores. Realizamos las multiplicaciones 𝑉 = (6 − 2𝑥)(4𝑥 − 2𝑥 2 ) 𝑉 = 24𝑥 − 12𝑥 2 − 8𝑥 2 + 4𝑥 3 𝑉 = 24𝑥 − 20𝑥 2 + 4𝑥 3

Organizamos el polinomio 𝑉 = 4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 24𝑥 Teniendo la función del volumen halamos la primera derivada para hallar los puntos críticos. 𝑓′ =

𝑑 (4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 24𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 (4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 24𝑥) 𝑑𝑥 Aplicamos regla de la suma o diferencia 𝒅 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙)′ ± 𝒈(𝒙)′ 𝒅𝒙 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 (4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 24𝑥) = (4𝑥 3 ) − (20𝑥 2 ) + (24𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (4𝑥 3 ) = 12𝑥 2 𝑑𝑥

𝑑 (20𝑥 2 ) = 40𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (24𝑥) = 24 𝑑𝑥 𝑓 ′ = 12𝑥 2 − 40𝑥 + 24

Hallada la primera derivada calculamos los puntos críticos, igualamos la ecuación a 0 y luego factorizamos 12𝑥 2 − 40𝑥 + 24 = 0 4(3𝑥 2 − 10𝑥 + 6) = 0 4(3𝑥 2 − 10𝑥 + 6) 0 = 4 4 3𝑥 2 − 10𝑥 + 6 = 0

Tenemos que 𝑎 =3,

𝑏 = −10,

𝑐=6

Aplicamos la fórmula cuadrática 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazamos valores 𝑥=

−(−10) ± √(−10)2 − 4(3)(6) 2(3)

𝑥=

10 ± √100 − 72 6

𝑥=

10 ± √28 6

𝑥=

10 ± 5,29 6

10 + 5,29 15,29 = = 2,54 6 6 { 10 − 5,29 4,70 𝑥= = = 0,78 6 6 𝑥=

Si revisamos el intervalo del dominio el valor de 2,54 no está dentro del intervalo [0,2] por lo cual el valor de 𝑥 que cumple la condición es 𝑥 = 0,78 Reemplazamos el Volumen máximo reemplazando x en la ecuación del volumen 𝑉 = 4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 24𝑥 𝑉 = 4(0,78)3 − 20(0,78)2 + 24(0,78) 𝑉 = 4(0,474) − 20(0,6084) + 24(0,78) 𝑉 = 1,898 − 12,168 + 18,72 𝑽 = 𝟖, 𝟒𝟓𝟎 𝒎𝟑

Ejercicios estudiante 3 John Fernando Zapata Urrego Ejercicio 1 Calcular por L’Hôpital el siguiente límite: √𝑡 − 𝑡 2 0 = 𝑡→1 𝑙𝑛𝑡 0

lim Si aplicamos lhopital

1 1 𝑑 − 2𝑡 − 2 −3 ( √𝑡 − 𝑡 2 ) 3 2√𝑡 2√1 𝑑𝑡 lim = lim = = 2=− 1 𝑑 𝑡→1 𝑡→1 1 1 2 𝑙𝑛𝑡 𝑡 𝑑𝑡

Ejercicio 2 Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones: (𝑥 4 − 3𝑥 + 1)3 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2 Según la derivada del cociente podemos ver que nos queda la siguiente forma 𝑓´(𝑥) =

−(𝑥 4 − 3𝑥 + 1)3 (𝑥 4 + 2)´ + ((𝑥 4 − 3𝑥 + 1)3 )´(𝑥 4 + 2) (𝑥 4 + 2)2

Luego a la expresión le queda derivando que: (𝑥 4 − 3𝑥 + 1)3 (−4𝑥 3 ) + 3(𝑥 4 − 3𝑥 + 1)2 (𝑥 4 + 2)(4𝑥 3 − 3) (𝑥 4 + 2)2 Podemos sacar de factor común la siguiente forma 𝑓´(𝑥) =

(𝑥 4 − 3𝑥 + 1)2 [(𝑥 4 − 3𝑥 + 1)(−4𝑥 3 ) + 3(𝑥 4 + 2)(4𝑥 3 − 3)] (𝑥 4 + 2)2

Ejercicio 3 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 + 𝑥)2 (𝑥 3 ) Desarrollamos el binomio cuadrático (3𝑥 2 + 𝑥)2 = 9𝑥 4 + 6𝑥 3 + 𝑥 2 Ahora se multiplica (9𝑥 4 + 6𝑥 3 + 𝑥 2 ) ∗ 𝑥 3 = 9𝑥 7 + 6𝑥 6 + 𝑥 5 Ahora a cada expresión se le aplica la derivada 9𝑑 7 6𝑑 6 𝑑 5 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 63𝑥 6 + 36𝑥 5 + 5𝑥 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Ejercicio 4

𝑥 3 + 𝑦 4 + 𝑦 3 + 𝑥 4 = 𝑥𝑦 Realizamos cada derivada por separado (𝑥 3 )´ + (𝑥 4 )´ + (𝑦 3 )´ + (𝑦 4 )´ = (𝑥𝑦)´ Las derivadas de x son: (𝑥 3 )´ = 3𝑥 2 (𝑥 4 )´ = 4𝑥 3 Ahora: (𝑥𝑦)´ = 𝑥𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦 Ahora las derivadas faltantes (𝑦 3 )´ = 3𝑦 2 ∗ 𝑦´(𝑥) (𝑦 4 )´ = 4𝑦 3 ∗ 𝑦´(𝑥) Luego la expresión queda de la siguiente forma 4𝑦 3 𝑦 ′ (𝑥) + 3𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑦 ′ (𝑥) + 4𝑥 3 + 𝑥𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦 (4𝑦 3 − 𝑥 + 3𝑦 2 )𝑦 ′ (𝑥) = −4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑦

La respuesta es: 𝑦 ′ (𝑥) =

−4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑦 4𝑦 3 − 𝑥 + 3𝑦 2

Ejercicio 5

3

𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 + 𝑥 2 + √𝑥 𝑓 ′′′ (𝑥) =? Se aplica para cada parte de la expresión la derivada 3

3(𝑥 3 )´ + (𝑥 2 )´ + ( √𝑥)´ =

1 + 2𝑥 + 9𝑥 2 3𝑥 2⁄3

(𝑥 3 )´ = 3 ∗ 3𝑥 2 (𝑥 2 )´ = 2𝑥 3

( √𝑥)´ =

1 ∗ 𝑥 −2⁄3 3

Lo que nos lleva a la siguiente expresión 9𝑥 2 +

1 ∗ 𝑥 −2⁄3 + 2𝑥 3

Ahora en la segunda derivada (9𝑥 2 )´ = 18𝑥 1 2𝑥 −5⁄3 −2⁄3 ( ∗𝑥 )´ = − 3 9 (2𝑥)´ = 2 La segunda derivada es: −

2𝑥 −5⁄3 + 18𝑥 + 2 9

Para la tercera derivada se tiene que: (18𝑥)´ = 18 (2)´ = 0

8

8

2𝑥 −5⁄3 2 5𝑥 −3 10𝑥 −3 −( ) ´ = − (− )= 9 9 3 27 La tercera derivada es: 8

10𝑥 −3 𝑓´´´(𝑥) = 18 + 27

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: 𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 )(𝑥 − 1) La derivada es: 𝑓 ´(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 Se buscan los valores del máximo y mínimo 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 3𝑥 2 − 2𝑥 = 0 Por la cuadrática

𝑥=

2 ± √(−2)2 − 4 ∗ 3 ∗ 0 2 ± √4 + 0 = 6 6

Esto me arroja don valores 𝑥=

2+2 2 = 6 3

𝑥=

2−2 =0 6

La coordenada del máximo 𝑓´´(0) = 0 − 2 = −2 𝑓(0) = (− 1) ∗ 0 = 0 Máximo coordenada= (0,0) 2 𝑓´´ ( ) = 4 − 2 = 2 3 Ahora en la función 2 4 𝑓 ( )=− 3 27

2

4

Máximo coordenada=(3 , − 27) Finalmente para la inflexión podemos ver: 6𝑥 − 2 = 0 𝑥=

1 3

Se reemplaza en la función. 1 1 2 𝑓(𝑥) = ( − ) = − 27 9 27 1

2

Valor de la inflexión: (3 , − 27)

Ejercicio 9 Calcular el volumen máximo de un paquete rectangular, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + largo es 144cm. Para calcular el volumen se usa 𝑣𝑜𝑙 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜 Del enunciado sacamos las siguientes igualdades 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 + 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 + 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 144 𝑐𝑚 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 Manipulando las expresiones llegamos a qué 𝑣𝑜𝑙 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ (2𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 − 144) Asignamos x=ancho, y simplificando 𝑣𝑜𝑙 = −2𝑥 3 + 144𝑥 2 Derivando la expresión 𝑑(−2𝑥 3 + 144𝑥 2 ) = −6𝑥 2 + 288𝑥 𝑑𝑥 Está derivada igualada a 0 es 𝑑(−2𝑥 3 + 144𝑥 2 ) =0 𝑑𝑥 −6𝑥 2 + 288𝑥 = 0

Resolviendo la cuadrática 𝑥1 = 48 𝑥2 = 0 El volumen entonces es con x=48, o ancho = 48 𝒗𝒐𝒍 = −𝟐(𝟒𝟖)𝟑 + 𝟏𝟒𝟒(𝟒𝟖)𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟓𝟗𝟐

Ejercicios estudiante 5 Sergio Andrés Jaimes

Ejercicio 1 Calcular por L’Hôpital el siguiente límite: 𝑙𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑙𝑖𝑚

Si resolvemos el límite 0 𝑥→0 1 (0) 𝑙𝑖𝑚

Procedimiento Derivamos ambas partes de la fracción ya que este límite es de la forma 0/0 (indeterminado). 1 (𝑥 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)

Resolvemos el límite 1 ( ) 𝑙𝑖𝑚 0 2 𝑥→0 1 (− ) 0

Seguimos derivando el límite, ya que este sigue resultando indeterminado, si aplicamos la regla de la oreja para división de fracciones 1 (𝑥 ) 1 𝑙𝑖𝑚 − = 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥→0 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) 𝑥→0 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)

Aplicamos regla para límites 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥→0

𝑙𝑖𝑚 (1) 1 𝑥→0 = − 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)) 𝑥→0

Resolvemos los límites 𝑙𝑖𝑚 (1) = 1 𝑥→0

Ahora aplicamos identidad trigonométrica 𝑙𝑖𝑚 (𝑥𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

𝑥→0

𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)

Aplicamos nuevamente regla de L’ Hôpital 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

1 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Resolviendo este límite tenemos que para cuando x tiende a 0 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) > 0 y por lo tanto será un valor del límite será ∞ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

1 =∞ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Ahora tenemos que −

𝟏 =𝟎 ∞

Ejercicio 2 Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥) =

(5𝑥 2 + 7𝑥 + 4)2 𝑥2 + 6

Procedimiento Aplicamos derivación de productos en cada parte de la fracción 𝑓(𝑥) =

(5𝑥 2 + 7𝑥 + 4)2 2(5𝑥 2 + 7𝑥 + 4)(10𝑥 + 7) = 𝑥2 + 6 2𝑥

Resolvemos el polinomio, eliminamos factores comunes y agrupamos factores comunes 𝑓(𝑥) =

2(5𝑥 2 + 7𝑥 + 4)(10𝑥 + 7) 50𝑥 3 + 35𝑥 2 + 70𝑥 2 + 49𝑥 + 40𝑥 + 28 𝟓𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝟗𝒙 + 𝟐𝟖 = = 2𝑥 𝑥 𝒙

Ejercicio 3 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 + 𝑥)2 (2𝑥 2 )

Procedimiento Resolvemos el polinomio 𝑓(𝑥) = [9𝑥 4 + 6𝑥 3 + 𝑥 2 ](2𝑥 2 ) 𝑓(𝑥) = 18𝑥 6 + 12𝑥 5 + 2𝑥 4

Aplicamos derivación 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟖𝒙𝟓 + 𝟔𝟎𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑

Ejercicio 4 Calcular derivada implícita

𝑑𝑦 𝑑𝑥

6𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦 3 = 4𝑦𝑥

Procedimiento Aplicamos derivación de productos 6[

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 + 𝑥 ] + 4 [ 𝑦3 + 𝑥 𝑦 ] = 4 [ 𝑦(𝑥) + 𝑦 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Derivamos 6 [𝑦 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ] + 4 [𝑦 3 + 𝑥 (3𝑦² )] = 4 [𝑥 + 𝑦] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Rompemos llaves 6𝑦 + 6𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑦 3 + 12𝑥𝑦 2 = 4𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Igualamos la ecuación para agrupar factores comunes

6𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 12𝑥𝑦 2 − 4𝑥 = −6𝑦 − 4𝑦 3 + 4𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Sacamos factor común 2(𝑥 + 6𝑥𝑦 2 )

𝑑𝑦 = 2(−𝑦 − 2𝑦 3 ) 𝑑𝑥

Despejamos

𝑑𝑦 𝑑𝑥

y eliminamos factor común 𝑑𝑦 2(−𝑦 − 2𝑦 3 ) = 𝑑𝑥 2(𝑥 + 6𝑥𝑦 2 )

𝒅𝒚 (−𝒚 − 𝟐𝒚𝟑 ) = 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 )

Ejercicio 5 Derivada de orden superior, hallar la tercera derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 𝑥 3 + √(𝑥 − 1)

Procedimiento Hallamos la primera derivada −1 1 𝑓′(𝑥) = 8𝑥 3 + 3𝑥 2 + (𝑥 − 1) 2 (1) 2

Ordenamos la función 𝑓′(𝑥) = 8𝑥 3 + 3𝑥 2 +

1 2√(𝑥 − 1)

Hallamos la segunda derivada 𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 2 + 6𝑥 +

1 −1 1 2 ( (𝑥 − 1) 2 ) (1) 2

Ordenamos la función 1

𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 2 + 6𝑥 + 2(

1 ) 2√(𝑥 − 1)

Eliminamos factor común, y aplicamos regla de la oreja de fracciones 𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 2 + 6𝑥 + √(𝑥 − 1)

Hallamos la tercera derivada −1 1 𝑓′′′(𝑥) = 48𝑥 + 6 + (𝑥 − 1) 2 (1) 2

Gráficas en Geogebra

Ejercicio 6 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒊𝒏(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)

Ejercicio 7 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒙)

Gráficas en Geogebra

Ejercicio 8 Hallar puntos máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)𝑥 2

Resolvemos la función y hallamos la primera derivada

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2

𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥

Hallamos las raíces de la forma 𝑥 =

−𝑏±√(𝑏 2 −4𝑎𝑐) 2𝑎

−6 + √(62 − 4(3)(0)) 𝑥1 =

=

2(3)

−6 + √(62 ) −6 + 6 0 = = 6 6 6

𝑥1 = 0

−6 − √(62 − 4(3)(0)) 𝑥2 =

2(3)

=

−6 − √(62 ) −6 − 6 −12 = = 6 6 6

𝑥2 = −2

Hallamos la segunda derivada para evaluar las raíces encontradas 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 6 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥1 + 6𝑓 ′′(0) = 6(0) + 6𝑓 ′′(0) = 6 > 0 ⇒ 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜(0) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑓 ′′(−2) = 6(−2) + 6𝑓 ′′(−2) = −6 < 0 ⇒ 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−2)

Hallamos los extremos de la función en los puntos dados 𝑓(𝑥1 ) = (𝑥1 + 3)𝑥12 𝑓(0) = (0 + 3)02 𝑓(0) = 0 𝑓(𝑥2 ) = (𝑥2 + 3)𝑥22 𝑓(−2) = (−2 + 3)(−2)2 𝑓(−2) = (1)(4)𝑓(−2) = 4

El punto Máximo (−𝟐, 𝟒)

El punto Mínimo (𝟎, 𝟎)

Calculamos el punto de inflexión, hallando las raíces de la segunda derivada

𝑓′′(𝑥) = 00 = 6𝑥 + 6 − 6 = 6𝑥𝑥 = −1

Reemplazamos el valor hallado en la función 𝑓(−1) = (−1 + 3)(−1)2 𝑓(−1) = 2

El punto de inflexión (−𝟏, 𝟐)

Grafica en Geogebra con puntos hallados

Ejercicio 9 Dado un cilindro de volumen 8 m³, determinar sus dimensiones para que su área total incluyendo las tapas, sea mínima.

Procedimiento Para hallar el mínimo material requerido para construir el cilindro, unificamos las fórmulas de área y volumen, para este caso, requerimos la fórmula de área (cantidad de material a usar) y la dejamos en función del radio. 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋𝑟 2 ℎ𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 8

Reemplazamos en la fórmula de volumen el volumen dado y despejamos h 8 = 𝜋𝑟 2 ℎℎ =

8 𝜋𝑟 2

Reemplazamos la función de h en la función de área, y tendríamos el área del cilindro en función de su radio 8 16 𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟 ( 2 + 𝑟) 𝐴(𝑟) = + 2𝜋𝑟 2 𝜋𝑟 𝑟

Derivamos la función de área para hallar sus raíces 𝐴′(𝑟) = −16𝑟 −2 + 4𝜋𝑟

Igualamos a cero la ecuación 𝐴′(𝑟) = 0 0 = −16𝑟 −2 + 4𝜋𝑟

3 4 16 16 4 3 3 √ 𝑟 = 1.0839 = 4𝜋𝑟 = 𝑟 𝑟 = 𝑟 = 𝑟2 4𝜋 𝜋 𝜋

Hallamos la segunda derivada y reemplazamos el valor resultado 𝐴′′(𝑟) = 32𝑟 −3 + 4𝜋𝐴′′(𝑟) =

32 + 4𝜋 𝑟3

Reemplazamos el valor de r 32

𝐴′′(1.0839) =

3

+ 4𝜋𝐴′′(1.0839) =

3 4 ( √𝜋)

𝐴′′(1.0839) =

32 32𝜋 + 4𝜋𝐴′′(1.0839) = + 4𝜋 4 4 𝜋

32𝜋 + 16𝜋 48𝜋 𝐴′′(1.0839) = 𝐴′′(1.0839) = 37.6991 > 0 ⇒ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 4 4

Obteniendo el valor mínimo del radio, podemos reemplazarlo en la función de volumen y saber el valor de la altura.

ℎ=

8 ℎ= 𝜋𝑟 2

8

4 𝜋 ( √𝜋) 3

8

2ℎ =

𝜋

2ℎ =

43

8 2

1ℎ =

43 𝜋 3

8 3

3

( √42 )( √𝜋)

=

8 3

3

( √16)( √𝜋)

ℎ = 2.1677

2

𝜋3

Reemplazamos los resultados de radio y altura en la fórmula de área total, y el resultado nos determina el área de material mínimo requerido para un cilindro de 8 m³.

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)𝐴𝑟𝑒𝑎 = 2𝜋(1.0839)(2.1677 + 1.0839)𝐴𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 22.1432

El área mínima para la construcción del cilindro es de 22.1432 m² y sus dimensiones son r=1.0839 h=2.1677

Conclusiones

 Podemos concluir que las derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, en este trabajo vimos cómo se aplica en áreas y volúmenes, además también en nuestro estudio de ingeniería vemos como se aplica en diferentes áreas.  También comprobamos mediante el ejercicio grafico que la primera derivada de una función corresponde a la pendiente que tendrá la tangente con respecto a dicha función. (Edinson Medina Rivera)

Referencias Bibliográficas.

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