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1 CALCULO DIFERENCIAL TAREA 3-DERIVADAS

JUAN CARLOS RODRIGUEZ MARTINEZ CODIGO 12645462

No. Grupo: 100410_89

TUTORA MARY ELSY ARZUAGA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ECACEN: ADMINISTRACION DE EMPRESAS VALLEDUPAR, JUNIO 2020

2 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN......................................................................................................................3 DERIVADA ESTUDIANTE 5...................................................................................................4 EJERCICIO 1..........................................................................................................................4 Representación gráfica en GeoGebra ejercicio 1................................................................5 EJERCICIO 2..........................................................................................................................5 EJERCICIO 3..........................................................................................................................6 EJERCICIO 4..........................................................................................................................7 EJERCICIO 5..........................................................................................................................8 EJERCICIO 6..........................................................................................................................8 EJERCICIO 7..........................................................................................................................9 Representación gráfica en GeoGebra Punto a...................................................................10 Representación gráfica en GeoGebra punto b...................................................................11 EJERCICIO 8........................................................................................................................11 Representación gráfica en GeoGebra punto b...................................................................14 CONCLUSIONES....................................................................................................................15 BIBLIOGRÁFIA......................................................................................................................16

3 INTRODUCCIÓN La siguiente actividad será realizada con el fin de dar a conocer la solución de problemas con relación de los temas de la unidad 3 derivada, resolviendo los ejercicios y aplicando las diferentes reglas de derivación con algunas representaciones en GeoGebra, además realizando la sustentación por medio de un video los ejercicios seleccionado.  

 

4 DERIVADA ESTUDIANTE 5 A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. EJERCICIO 1 De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Vamos a determinar la función f ( x +h ) en 3 x 3+12 x f ( x )=3 x 3 +12 x A continuación, vamos a reemplazamos donde esta x por x +h f ´ ( x )=lim

( 3 ( x+h )3+12 ( x +h ) ) +(3 x3 +12 x) h

h →0

Luego aplicamos la factorización binomio cuadrado perfecto f ´ ( x )=lim ¿ ¿ ¿ h →0

Se eliminan términos semejantes f ´ ( x )=lim

3 x 3 +9 x 2 h+ 9 x h2 +3 h3 +12 x+12 h+3 x 3 +12 x h

f ´ ( x )=lim

9 x 2 h+9 x h2+ 3 h3+ 12h h

h →0

h →0

Simplificamos la h y elevamos la función y obtenemos el resultado del límite de la función h(9 x 2+ 9 xh +3 h2 +12) f ´ ( x )=lim h h →0 Una vez simplificado h se tiene el siguiente limite f ´ ( x )=lim 9 x 2+ 9 xh+ 3 h2+ 12 h →0

Reemplazamos el límite de la función donde h tiende a cero 0 f ´ ( x )=lim 9 x 2+ 9 x ( 0 ) +5 ( 0 )2 +12 h →0

f ´ ( x )=9 x 2 +12

5 Representación gráfica en GeoGebra ejercicio 1

EJERCICIO 2 En el ejercicio 2 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. f ( x )=( √ x+ 8)( √ x−5 x ) A continuación, aplicamos la regla del producto ( f ¿¿ '∗g) '=f ' . g+f ∗g ' ¿ '

f =( √ x+ 8 )( √ x−5 x ) + f '=( √ x−5 x )( √ x +8) Derívanos la primera ecuación f ' =( √ x+ 8 )=

1 2 x 1 /2

Derívanos la segunda ecuación f ' =( √ x−5 x )

1 −5 2 x 1/ 2

6

f ''=

1 1 ( √ x−5 x ) + 1 /2 −5 ( √ x +8 ) 1 /2 2x 2x

(

)

Simplificamos f '' '=

−15 x −78 √ x +8 2√x

EJERCICIO 3 En el ejercicio 3 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. f (x)=

6 x 3 +3 x 2 x2−4

Para este ejercicio aplicamos la regla del cociente

f (x)=

f ' ( 6 x3 +3 x ) ( 2 x 2−4 )−f ' ( 2 x 2−4 ) ( 6 x 3+3 x ) ¿¿

Derívanos la primera ecuación f ' ' =( 6 x3 +3 x )=18 x 2 +3 Derívanos la segunda ecuación f ' ' =( 2 x 2−4 ) =4 x Reemplazamos '' '

f = f ' ' '=

( 18 x2 +3 ) ( 2 x 2−4 )−4 x ( 6 x3 +3 x ) ¿¿ 3 ( 2 x 4−1 3 x2 −2 ) 2¿¿

f ' f ' ∗g−g' . f = g g2

()

7 EJERCICIO 4 En el ejercicio 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 1 x

f ( x )=

e 2x

Débenos sacar la constante ( a∗f )' =a∗f ' 1 x

()

1 e f' 2 x

A continuación, aplicamos la regla del cociente 1

1

( )

1 ∗f ' e x x −f '( x ) e x 2 x2 Derívanos la primera ecuación 1 x

1 x

e 2 x

( )

f '' e =

Derívanos la segunda ecuación f ' ' ( x ) =1 Simplificamos 1 x

f '' '=

()

1

1 e ∗ x−1∗e x 2 x2 x2

Simplificamos f '' '=

1 x

1 x

−e −e x 3 2x

f ' f ' ∗g−g' . f = g g2

()

8 EJERCICIO 5 Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. x 3 y 3 −2 y =2 x A continuación, Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x f ' ( x 3 y 3−2 y )=f '(2 x) Derívanos la primera ecuación f ' ( x 3 y 3−2 y )=3 x 2 y 3 +3 y 2 f ' ( y ) x3 −2 f '( y ) Derivamos la segunda ecuación f ' ' (2 x )=2 Tenemos que 3 x 2 y 3 +3 y 2 f ' ' ( y ) x 3−2 f ' ' ( y ) =2 3 x 2 y 3 +3 y 2 y ' x3 −2 y '=2 Despejamos y’ '

y=

2−3 y 3 x 2 3 y 2 x 3−2

f ' ' ' ( y )=

2−3 y 3 x 2 3 y 2 x 3−2

EJERCICIO 6 Calcule las siguientes derivadas de orden superior. f ( x )=5 x 4 + cotx Multiplicamos el exponente por el coeficiente y al exponente le restamos 1, f ( x )=5 x 4 +cot ⁡( x) A continuación, aplicamos la regla de suma / Diferencia ( f ¿¿ ' ± g) '=f ' ± g ' ¿ f ' ( x )=5 x 4 + f ' ( x )=cot x Derívanos la primera ecuación

9 f ' ' 5 x 4 =20 x 3 Derívanos la Segunda ecuación f ' ' cotx=¿ −csc 2 x f ' '' =20 x 3−csc 2 x Derivada de orden superior f ' ' ' (x)=20 x 3 −csc 2 x

EJERCICIO 7 Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). A.

f ( x )=8 x 2 +32 x

Multiplicamos el exponente por el coeficiente y al exponente le restamos 1, f ( x )=8 x 2 +32 A continuación, aplicamos la regla de suma / Diferencia ( f ¿¿ ' ± g) '=f ' ± g ' ¿ f ' ( x )=8 x 2+ f ' ( x ) =32 x Derívanos la primera ecuación f ' ' 8 x2 =16 x Derívanos la Segunda ecuación f ' ' 32 x=32 f ' '' =16 x +32

10 Representación gráfica en GeoGebra Punto a

B.

f ( x )=cot ( x ) +5

A continuación, aplicamos la regla de suma / Diferencia ( f ¿¿ ' ± g) '=f ' ± g ' ¿ f ' ( x )=cot ⁡( x)+ f ' ( x )=5 Derívanos la primera ecuación f ' ' cot ( x ) =−csc 2 x Derívanos la Segunda ecuación f ' ' (5)=0 f ' '' =−csc 2 x +0 f ' '' =−csc 2 x

11 Representación gráfica en GeoGebra punto b

EJERCICIO 8 PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS a. La utilidad en la comercialización de artículos escolares está dada por la siguiente función I (x)=25−x 2+ 24 x En miles de pesos, donde I es la utilidad y x el número de artículos vendidos. Determinar la cantidad de artículos x que hacen que la utilidad sea máxima y cual esa utilidad. Solución I (x)=25−x 2+ 24 x Se inicia calculando la primera derivada y se iguala a cero

12 I ( x )=0 Maximización I ( x )=−2 x +24=0 A continuación, se procede a despejar x por lo cual se pasa −2 x al otro lado de la igualdad con signo contrario. Así: 24=2 x Para despejar x se pasa el 2al otro lado de la igualdad como denominador. 24 =x 2 Se cambia la orden de la igualdad x=

24 2

Operamos y obtenemos la cantidad de artículos que hace que la utilidad sea máxima. x=12 A continuación, calcularemos cuanto es su utilidad tomando la función dada. I (x)=25−x 2+ 24 x Reemplazamos la variable x I (12)=25−( 12 )2 +24 (12) Multiplicamos los valores I ( 12 )=25−144+ 288 Obtenemos la utilidad de los 12 artículos dada en miles de pesos I ( 12 )=169.000

13 3 3 b. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −7 x +2, 5 graficarlos en Geogebra. A continuación, aplicamos la regla de suma / Diferencia ( f ¿¿ ' ± g) '=f ' ± g ' ¿ 3 f ' ( x )= x 3−f ' ( 7 x ) +f ' (2) 5 Derívanos la primera ecuación 3 3 9 x2 ' f ' ( x )= x = 5 5 Derívanos la Segunda ecuación f ' ' ( 7 x ) =7 Derívanos la tercera ecuación f ' ' (2 )=0 Simplificamos las ecuaciones para obtener

'' '

f =

9 x2 −7 5

14 Representación gráfica en GeoGebra punto b

15 CONCLUSIONES Con la realización de esta actividad individual se puede hacer la siguiente conclusión:  El límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiene un valor determinado.  Los limites laterales son aquellos que se calculan para x teniendo un valor por la izquierda y por la derecha.  Para exista el límite de una función los limites laterales deben ser iguales.  Para evaluar un límite de una función aplicamos sustitución directa siempre y cuando este definida en el punto al cual vamos a cercarnos.

16 BIBLIOGRÁFIA http://eds.b.ebscohost.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/eds/detail/detail?vid=0&sid=a135c25389e2-4b89-bbc7-4713dd0d471f%40pdc-vsessmgr05&bdata=Jmxhbmc9ZXMmc2l0ZT1lZHMtbGl2ZSZzY29wZT1zaXRl#AN=ed selb.3227452&db=edselb http://www.ehu.eus/ehusfera/mathvideos/reglas-de-derivacion  http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx? direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live http://hdl.handle.net/10596/19075 http://hdl.handle.net/10596/11621