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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CURSO CALCULO DIFRENCIAL

TAREA 3: DERIVADAS

DOCENTE: WILLIAN FABIAN CHAPARRO

PRESENTADO POR

JONATHAN SMITH MORENO CASTELBLANCO

TUNJA

2019

INTRODUCCIÓN Hola, este es el trabajo número 4 de cálculo diferencial este trabajo fue presentado por mi para poder sustentar los puntos que se debían realizar durante el tiempo de estos además agradezco al profesor William ya que sin el este trabajo no hubiera sido posible y sin nada más que decir empecemos con la sustentación

1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f ( x )=4 x 3 +4 x 3

f ´ ( x )=lim

4 ( x +h ) +4 ( x+ h )−( 4 x 3+ 4 x ) h

f ´ ( x )=lim

4 ( x 3 +3 x 2 h+3 x h2+ h3 ) + 4 x+ 4 h−4 x 3 −4 x h

f ´ ( x )=lim

12 x 2 h+ 12 x h2+ h3 +4 h h

h →0

h →0

h →0

f ´ ( x )=lim 12 x 2 +12 xh+ h2 +4=¿ 12 x 2+12 x ( 0 )+ ( 0 )2+ 4 ¿ h →0

f ´ ( x )=12 x 2+ 4

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2) regla de derivadas de productos f ( x )=(x−2)(2 x 2− √ x )

(

f ' ( x )=( 2 x 2−√ x ) + ( x −2 ) 4 x − '

2

2

f ( x )=2 x −√ x + 4 x − f ' ( x )=6 x 2−√ x+

x 2√x

2−x −8 x 2√x

3) derivada de un cociente f ( x )=

x 2−3 x 2−√ x

1 2√x

−8 x +

) 2

2 √x

2 x ( x 2−√ x )−( x 2−3 ) (2 x − f ' ( x )=

1 2√x

)

2

(x 2−√ x)

x2 3 −6 x + 2 √x 2√x 4 5 x −2 √ x + x

3

3

2 x −2 x √ x −2 x − f ' ( x )=

3−x 2 2 √x 4 5 x −2 √ x + x

x (−2 √ x −6)+ f ' ( x )=

4) derivada de un producto y sucesiva f ( x )=( x−5 x )3 x ( 2 x−2 )2 f ( x )= (⏟ −4 x )3 x (⏟ 2 x −2 )2 a

b 3x

f ( x )=( x−5 x ) ( 2 x−2 )

2

f ' ( x )=a ' b+ a b' a ' =3 (−4 x )3 x∗ln (−4 x )∗−4

b ' =4 (2 x−2)

f ' ( x )=−12 (−4 x )3 x∗ln (−4 x )( 2 x−2 )2+ (−4 x )3 x 4 (2 x−2)

5) Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. sen ( xy )+ cos ( xy )=3 ¿

( y + x y ' ) ( cos ( xy )+ sen ( xy ) )=0 y + x y ' =0 y'=

−y x

6) Calcule las siguientes derivadas de orden superior. f ' ' ' (x)=?

f ( x )=x 6 +2 x 5+ √ x−3

( x−3 )−1/ 2 f ( x )=6 x +10 x + 2 '

5

4

f ' ' ( x ) =30 x 4+ 40 x 3−

( x −3 )−3 /2 4

f ' ' ' ( x )=120 x 3 +120 x 2 +

3 ( x −3 )−5 /2 8

f ' ' ' ( x )=120 x 3 +120 x 2 +

3 8 √ ( x−3 )

5

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada. a) f ( x )=x 2−3 x f ' ( x )=2 x−3

b) f ( x )=cos ( x ) f ' ( x )=−sen ⁡(x)

Realice los sigu3entes problemas de aplicación a) El crecimiento de una palma de aceite está determinado por la expresión: 300 h ( t )=60− ,con t en años. t +20

Encuentre la razón de crecimiento de la palma a los 3 años de haber sido plantada. Se deriva y luego se sustituye t con 3

h ( t )=60−300 (t +20 ) h' ( t ) =300 (t +20 )−2= h' ( 3 ) =

−1

300 ( t +20 )2

300 300 300 = = =0,567 2 ( 3+20 ) ( 23 )2 529

Rta: la palma de aceite tiene una razón de crecimiento de 0.567 metros en 3 años 1 3 b) Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −x+5 6 Para calcular los máximos y minimos se usa la primera derivada 1 f ' ( x )= x 2−1=0 2

Se usa x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

1 ( √ 1 2 ) (−1)= 0 ±1√2 2( ) 2

−0 ± 0 2−4 x=

x 1= √ 2 x 2=−√ 2 Para saber cuál es máximo y mínimo se parte de la evaluación de la segunda derivada si el valor es positivo quiere decir que es un mínimo y si es negativo es que un máximo f ' ' ( x )=x f ' ' ( √ 2 ) =√ 2 f ' ' ( −√ 2 ) =−√ 2 Se evalúa para saber el máximo y mínimo en relación a y o imagen 1 f ( √2 ) = ¿ 6 1 3 f (− √ 2 ) = (−√ 2) −(−√ 2)+5=5,943 6 Para evaluar los puntos de inflexión se iguala a 0 la segunda derivada f ' ' ( x )=x =0

CONCLUSIONES

-

Las suceciones y funciones se pueden graficar

-

Para resolver suceciones se usan distintos metodos matematicos

-

Las suceciones y funciones se usan mucho en la vida real

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Reglas de derivación Guerrero, T. G. (2014). Cálculo diferencial: Serie universitaria patria. Surgimiento de la Derivada. Pág. 33-35. Derivada de monomios y polinomios. Pág. 42-44. Regla de la Cadena. 46-48. Derivada de un Producto. Pág. 50-52. Derivada de un cociente. 54-57. Derivada Implícita. 59-62. Derivadas de orden superior. Pág. 101-106. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.11013390&lang=es&site=eds-live USE (2017). Videos Educativos Matemáticos. Reglas de derivación.http://www.ehu.eus/ehusfera/mathvideos/reglas-de-derivacion Derivadas, propiedades, derivadas implícitas y de orden superior.  García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125.  México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx? direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Solución ejercicios derivadas.   Cabrera, J. (2018). OVA. Solución Ejercicios Derivadas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/19075 Derivadas en geogebra.   Cabrera, J. (2017). OVI - Derivadas en geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621 Recursos educativos adicionales (Bibliografía complementaria) Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.  Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570 Uso de la herramienta Loom.  Salazar, G. (2018). Herramienta Loom. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/22463  Uso de la aplicación Screencast-omatic.  Cabrera, J. (2018). Uso de la aplicación Screencast-o-matic. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/22300 Responder Mensajes en el Foro.  Cabrera, J. (2105). Responder Mensajes en el Foro. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11622 Dedicación de Tiempo a un curso en la UNAD.  Cabrera, J. (2105). Dedicación de Tiempo a un Curso en la UNAD. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11568

Aportes Significativos en los Foros Cabrera, J. (2105). Aportes Significativos en los Foros. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11569