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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

UNIDAD 3 FASE 3

CALCULO DIFERENCIAL

NATALIA WILCHEZ-CODIGO: MARCELA BEDOYA-CODIGO: CLAUDIA MILENA HERNANDEZ-CODIGO:24780592 ALEJANDRA CARDONA- CODIGO:1113595290

TUTOR: BIBIANA ROSERO

GRUPO: 100410_621

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA DOSQUEBRADAS, NOVIEMBRE DE 2019

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INTRODUCCION Con el siguiente trabajo comprenderemos la forma de dar solucion a las derivadas aplicándolas a los diferentes ejercicios propuestos en la guía OBJETIVO GENERAL Comprender mediante la aplicación del concepto de derivadas y sus aplicaciones a los problemas reales, analizando las opciones y posibles soluciones para el desarrollo de cada uno de los ejercicios expuestos en las diferentes temáticas. OBJETIVOS ESPECIFICOS · Comprender la utilización de la herramienta geogebra en la aplicación de las diferentes áreas del cálculo diferencial y su importancia. · Conocer las diferentes temáticas sobre límites, funciones implícitas, derivadas de orden superior y derivadas en general para lograr desarrollar con éxito los ejercicios abordados y su aplicación.

Trabajo desarrollado del punto 1

f ( x )=x 2−2 x

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Con base en la definición de derivada se llega a: lim

h→ 0

(

( x +h)2−2 ( x+ h )−x 2 +2 x h

)

Se realiza la respectiva operación del binomio cuadrático

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lim

h→ 0

(

x 2+2 xh+h 2−2 x−2h−x 2+ 2 x 2 xh+h2 −2h =lim h h h →0

) (

)

Ahora se saca factor común.

( (

lim h∗ h→ 0

2 x+ h−2 =lim (2 x +h−2) h h→0

))

Ahora se aplica el límite lim ( 2 x +h−2 )=2 x−2 h→ 0

DERIVADAS ESTUDIANTE 2 A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1) De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante f ( x )=x 3 +2 x2 2 Solución: f'(x) =

Lim h →0

Lim h →0

Lim h →0

( x+ h)3 + 2( x+h )2 h =

x 3 + 3 x 2 h+ 3 xh 2 +h3 + 2( x 2 + 2 xh+ h2 )−x 3 −2 x 2 h =

x 3 + 3 x 2 h+ 3 xh 2 +h3 + 2 x 2 + 4 xh+2 h2 −x 3 −2 x 2 h =

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2

3

3 x h+3 xh + h +4 xh+2 h h

Lim h →0

2

2

=

2

h(3 x + 3 xh+ h + 4 x +2 h) h =

Lim h →0

Lim

3 x2 +3 xh+h2 + 4 x +2 h

h →0

2 2 f'(x) = 3 x +3 x(0 )+0 +4 x +2(0 ) 2 f'(x) = 3 x +4 x

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2) Estudiante f ( x )=( √ x−x)(2 x 2−2) 2

f'(x)=

(

−1

1

)

1 2 x −1 ( 2 x 2 −2 ) +(x 2 −x )( 4 x ) 2 3 2

−1 2

2

3 2

2 f'(x)= x −2 x −x +2+4 x −4 x 3 2

2

−1 2

f'(x)= 5 x −6 x −x +2

f'(x)= 3)

5 x √ x−6 x 2−

1 +2 √x

Estudiant e2

f ( x )=

√ x+ 1 2 x2 −4

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(

1 x 2

−1 2

1 2

)( 2 x −4 )−( x +1)( 4 x ) 2

( 2 x2 −4 )2

f'(x)= 3 2

3 2

−1 2

( x −2x )−(4 x +4 x ) ( 4 x 4−8 x 2 +16 )

f'(x)= 3 2

f'(x)=

f'(x)=

3 2

−1 2

x −2 x −4 x −4 x 4 x 4 −8 x 2 + 16 3 2

=

=

−1 2

−3 x −2 x −4 x 4 x 4 −8 x 2 +16

2 −4 x √x (2 x 2 −4 )2

−3 √ x 3 −

f'(x)=

−3 x √ x √ x−2−4 x √ x √x

f'(x)=

2

( 2 x 2 −4 )

−3 x 2 −4 x √ x−2

f'(x)= 4)

2

√ x ( 2 x 2−4 )

Estudiant e2 SOLUCION: Por propiedades sabemos que: ab = e b ln a x ln( 2 x−5 ) (2x-5)x = e

x

f ( x )=( 2 x−5 ) . x

3

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d d x ln(2 x−5 ) (2 x−5) x (e dx = dx 2x d x ln(2 x−5 ) e x ln( 2 x−5 ) ln(2 x−5 )+ (e 2 x−5 dx =

(

x

( ) x + (2x-5) (3x ) 2x (2 x−5 ) ( ln(2 x−5 )+ 2 x−5 ) x + (2x-5) (3x ) 2x x (2 x−5) ( ln(2 x −5)+ +3 x (2 x−5 ) 2 x−5 ) (2 x−5 ) x ln(2 x−5 )+

f'(x)=

2x 2 x−5

) = (2 x−5 ) ( ln(2 x−5 )+ 2 2x−5x )

3

x

2

3

x

2

x

f'(x)=

3

f'(x)=

x

2

x

5) Calcule la derivada implícita de la siguiente función Estudiante y 2−2 x 2+ 6 xy −4 x =5 2 SOLUCION: 2yy'-4x+ 6y+ 6xy' -4 = 0 2yy'+ 6xy' = 4x – 6y + 4 y'( 2y+ 6x) = 4x – 6y + 4 4 x−6 y+4 y' = 2 y+6 x 2(2 x−3 y +2) 2( y +3 x ) y' = (2 x−3 y +2 ) ( y +3 x ) y' =

6)Calcule la siguiente derivada de orden superior Ejercicio Derivada de orden

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superior Estudiante 2

f ( x )=e−5 x + 2 x 2

f ' ' ' (x)=?

SOLUCION: −5 x f'(x)= -5 e +4 x −5 x f''(x)= 25 e +4 −5 x f'''(x)= -125 e 7) Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). f ( x )=ln ⁡(x ) Estudiant f ( x )=x 2 +4 x e2 a) f(X) = X2+4X f'(x)= 2x +4

En el punto (1,5)

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Y-f(a)= f'(a)(x-a) Y-5=6(x-1) Y= 6x- 6 + 5 Y= 6x -1

b) f(X) = ln(x) 1 x f'(x)=

En el punto (1,0) Y-f(a)= f'(a)(x-a) Y-0 =1(x-1) Y= x- 1 PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Estudiante 2 A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la 1 3 función f ( x )= 6 x −3 x +3

B Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por: s ( t ) =t 3 + 4 t+ 4 , donde s está dado en m y t en segundos.

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Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s 1 3 x −3 x +3 a) f(X) = 6 1 2 x −3 f'(x)= 2

f'(x)= 0 1 2 x −3 2 =0 x 2 = 3(2) x2 = 6 X=

±√ 6

X1 =

√6

X2 =

−√ 6

f''(x)= x

√6

f''( f''(-

)=

√6

√6

)= -

≥0

√6

Minimo ≤0

Maximo

puntos de inflexión: 1 ( √6 )3 −3 √6+3 f( √ 6 ) = 6 = 14 .69 −3(2, 45)+3 6 f( √ 6 ) = =

f( (

√6 √6

) = 2,45−7 ,35+3 = -1,88 , -1,88)

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1 (−√ 6 )3−3(− √6 )+3 f(- √ 6 ) = 6 = −14 .69 +3(2 , 45)+3 6 f( √ 6 ) = =

f(

√6

) = −2 ,45+7 ,35+3 = 7,91

(-

√6

, 7,91)

puntos de inflexión: (

√6

, -1,88) y

(-

√6

, 7,91)

Como podemos observar la función tendrá un máximo en x = los puntos de inflexión son ( cambia de sentido

√6

, -1,88) y

(-

√6

√6

y un minimo en x=

√6

,

, 7,91) que son los sitos donde la grafica

b) Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por:

s ( t ) =t 3 + 4 t+ 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la

velocidad para los tiempos t=2s y t=4s

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ds V(t) = dt S'(t) = 3t2 +4

m S'(2) = 3(2) +4= 3x4 + 4 = 12+4= 16 s 2

m S'(4) = 3(4)2 +4= 3x16 + 4 = 48+4= 52 s

CLAUDIA MILENA HERNANDEZ ESTUDIANTE 4 A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Estudiante 4

f ( x )=4 x 3 +4 x

f ' (x)=lim 4 ¿ ¿ ¿ h→0

4 ( x 3 +3 x 2 h+ 3 x h2 +h3 ) + 4 x +4 h f ' (x)=lim h h→0

f ' ( x )=lim h→ 0

4 ( x 3+ 3 x 2 h+3 x h 2+ h3 ) +4 x + 4 h−(4 x 3+ 4 x) h

4 x 3+12 x 2 h+ 12 x h2+ 4 h3+ 4 x +4 h−4 x 3−4 x ' f ( x )=lim h h→ 0 12 x 2 h+12 x h 2+ 4 h3 + 4 h ( ) f x =lim h h→ 0 '

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f ' ( x )=lim h→ 0

h (12 x 2 h+12 x h2 +4 h3 +4 h) h

f ' ( x )=lim 12 x 2 +12 x h+4 h2 +4 h→ 0

f ' ( x )=lim 12 x 2 +12 x (0)+4 (0)2 +4 h→ 0

f ' ( x )=lim 12 x 2 +4 h→ 0

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. Ejercicio Estudian te 4

f ( x )=(x−2)(2 x 2− √ x )

f ( x )=(x−2)¿ f ( x )=( x−2 )∗¿ f ( x )=( x−2 )∗¿ d d 2∗d 2 d 2 = dX [ x ] + dX [ −2 ] ( 2 x − √ x ) + dX [ x ]− dX [ √ x ] ¿

(

)

(

)

1 −√x =2 x2 +(x-2) 4 x− 2√ x

(

)

f Ejercicio Estudian te 4

f ( x )= =

x 2−3 x 2−√ x

x 2−3 ( ) f x= 2 x −√ x

❑ ( x2 −3)∗d 2 d [ 2 ] 2 [ x −√ x ] ¿¿¿ x −3 ∗ x −√ x ¿− dX dX

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d 2 d d 2 d [ ] ¿ [ ] = dX x + dX [−3 ] (x ¿ 2− √ x )− dX x + dX ¿¿

❑

[ √ x ] (x 2−3)

¿

1

❑ 1 2 −1 2 ( 2 x +0 ) ( x −√ x )−(2 x∓ x )(x −3) 2 ¿¿ 2

¿

⊥ 2 x ( x2 −√ x ) − 2 x− 2 ( x 2−3 ) √x

(

)

( x 2− √ x )

2

Ejercicio Estudiant e4

3x

f ( x )=( x−5 x ) ( 2 x−2 )

( x−5 x )3 x =43 x x 3 x 4 3 x X 3 x ( 2 x −2 )2 4 3 x =64 x ¿ 64 x X 3 x ( 2 x−2 )2

2. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Ejercicio Estudiante 4

sen(xy )+ cos(xy )=3

cos ( xy )∗d ( xy ) −sen ( xy )∗d (xy )=0 cos ( xy ) [ x∗y ' + y ]−sen ( xy ) [ x ¿ y' + y ]=0 x y ' ∗cos ( xy ) + ycos ( xy )−x y ' sen ( xy )− ysen ( xy )− ysen ( xy )=0 y ' ( xcos ( xy )−xsen ( xy ) )= ysen ( xy )− ycos ¿ y'=

ysen ( xy )− ycos (xy ) − y = x xcos ( xy )−xsen( xy )

2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS 3. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio Estudiante 4

6 x 5+ 10 x 4 +

1+0 2 √ x−3

6 x 5+ 10 x 4 +

1 2 √ x−3

f ( x )=x 6 +2 x 5+ √ x−3

Derivada de orden superior

f ' ' ' (x)=?

❑

❑

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiant e4

f ( x )=x 2−3 x f ( x )= X−3

f ( x )=cos ⁡(x ) f ' ( x )=−sen(x )

a.

f ( x )=x 2−3 x

b.

f ( x )=cos ⁡(x )

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PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A El crecimiento de una palma de aceite está determinado por la expresión:

h ( t )=60−

Estudiante 4

300 ,con t en años. t +20

Encuentre la razón de crecimiento de la palma a los 3 años de haber sido plantada.

B

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

1 f ( x )= x3 −x+5 6

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

1 f ( x )= x3 −x+5 6

1 f ' ( x )= x 2 2 f '(x)=0

A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 4. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ( x+ h )−f ( x) f ´ ( x )=lim h h →0 Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f ( x )=2 x 3+ 2 x 2 f ( x +h ) =2¿

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f ( x +h ) =2¿ f ( x +h ) =2 x 3 +6 hx 2 +6 h2 +2 h3 +2 x2 + 4 xh+2 h2 f ( x +h ) =2 x 3 +6 hx 2 +8 h2 +2 h3 +2 x2 + 4 xh lim 2 x 3+ 6 hx2 +8 h 2+2 h3 +2 x 2+ 4 xh−2 x 3−2 x 2

'

f ( x )= h → 0

h

lim 6 hx 2 +8 h2 +2 h3 + 4 xh

'

f ( x )= h → 0

h

lim h (6 x2 +8 h+ 2h 2+ 4 x)

f ' ( x )= h → 0

h

f ' ( x )=lim 6 x2 +8 h+ 2h 2+ 4 x h→ 0

f ' ( x )=6 x 2+ 8 ( 0 ) +2 ¿ f ' ( x )=6 x 2+ 4 x

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 5. f ( x )=( √ x−x ) ( e x + x ) ¿

d ( √ x−x ) ( e x + x ) ]Se aplica la regla de producto [ dx

d d . [ √ x−x ] . ( e x + x ) + ( √ x−x ) . [ e x + x ] La derivación es lineal, se deriva términos por dx dx separado y se saca factores constantes

¿

¿

( dxd . [ √ x ]− dxd [ x ] )( e + x )+( dxd [ e ]+ dxd [ x ]) .(√ x−x ) x

x

Se aplica regla de potenciación y de función exponencial ¿

(

1

1 2 −1 x −1 ( e x + x ) . ( e x + x ) .( √ x− x) 2

)

La derivada de la variable de diferenciación es 1 ¿

( 2 1√ x −1) .( e + x ) . (√ x −x) .(e ¿¿ x+ 1) ¿ x

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6. f ( x )= ¿

d ¿ dx

e x −x √ x−3

Aplicar la regla de cocientes d x [ e −x ] . ( √ x−3 )−( e x −x ) . d [ √ x−3 ] dx dx ¿ ¿¿ La derivación es lineal, se deriva los términos por separados y sacar los factores constantes

(¿ dxd [ e ]− dxd [ x ]) ( √ x−3 )−( dxd [ √ x ] + dxd [−3 ]) . (e −x ) x

x

¿¿

Aplicar la regla de potenciación y de función exponencial, la derivación constante es 1 y 0 1

−1 ( e −1 ) ( √ x−3 )− 1 x 2 +0 ( e x −x ) 2 ¿ ¿¿

(

x

)

Simplifica x ( √ x−3 ) ( e x −x )− e −x

2√ x

¿ ¿

¿¿ e x −1 e x −x − √ x−3 2 ¿ ¿

x

7. f ( x )=( 2 x 2−x ) ( 1−x )2 d ¿ dx

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Aplicar regla de la potencia y la derivada de la función ¿ 2 ( 1−x ) .

x x d d [ 1−x ] . ( 2 x 2−x ) + ( 2 x 2−x ) . ¿ dx dx

La derivación es lineal se puede derivar los términos por separado y aplicar la regla de producto ¿2

( dxd [ 1]− dxd [ x ])( 1−x) (2 x −x ) + dxd [ x ] .∈( 2 x −x )+ x . dxd [¿ (2 x −x )]¿¿ 2

x

2

2

La derivada las constantes es 0 y 1 ¿¿ La derivación es lineal, se puede derivar los términos por separado ¿¿ Aplica la regla de potencia ¿¿ ¿ Simplificar ¿¿

8. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. ln ( xy )2− y 3 =25 Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x

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d ¿ dx d ¿ dx Aplicar regla suma diferencia y derivar 1 constante d 25=0 dx

(

2 xy y + x

d d ( y ) −3 y 2 ( y )=0 dx dx

)

Se escribe d/dx como y’ 2 xy ( y + xy ' ) −3 y2 y '=0 Despejar y’ y'=

2 xy 2 x 2−3 y

Escribir como d/dx (y) d 2 xy ( y )= 2 dx 2 x −3 y

9. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. f ( x )=(x 3)(x ¿¿ 4 +1)f '' ' (x)=? ¿

¿

d (x ¿¿ 3(x 4 +1))¿ dx

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Aplicar la regla de producto: (f.g)’=f’.g+f.g’ f =3 g=x 4 + 1 ¿

d 3 4 ( x )( x + 1 ) + d (x 4 +1)x 3 dx dx

Aplicar la regla de potencia:

d a ( x )=a . x a−1 dx

¿ 3 x 3−1 Simplificar ¿ 3 x2 d 4 ( x +1 ) =4 x 3 dx d 4 ( x +1 ) dx Aplicar la regla de la suma/diferencia ( f ± g )' =f ' ± g ' ¿

d 4 d ( x )+ ( 1) dx dx

d 4 ( x ) =4 x 3 dx d 4 (x ) dx Aplicar la regla de la potencia

d a ( x )=a . x a−1 dx

¿ 4 x 4−1 Simplificar ¿ 4 x3 d (1) dx Derivada de una constante d ( 1 )=0 dx

d ( a ) =0 dx

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¿ 4 x3 −0 simplifica=4 x 3 ¿ 3 x 2 ( x 4 +1 ) −4 x 3 x3 Simplificar 3 x 2 ( x 4 +1 ) + 4 x 3 x 3 :7 x6 +3 x 2 3 x 2 ( x 4 +1 ) + 4 x 3 x 3 4 x3 x 3=4 x6 4 x3 x 3 Aplicar las leyes de los exponentes: a b . a c =ab +c x 3 x 3=x 3 +3 ¿ 4 x3 +3 ¿ 4 x 6 3 x 2 ( x 4 +1 ) + 4 x 6 Expandir 3 x 2 ( x 4 +1 ) :3 x 6+ 3 x 2 3 x 2 ( x 4 +1 ) Poner los paréntesis utilizando: a ( b+ c )=ab+ ac a=3 x 2 , b=x 4 , c=1 ¿ 3 x 2 x 4 +3 x 2 .1 ¿ 3 x 4 x 2 +3 . 1. x 2 Simplificar ¿ 3 x 4 x 2 +3 . 1. x 2 :3 x 6+ 3 x 2 ¿ 3 x 4 x 2=3 x 6 Aplicar las leyes de los exponentes a b . a c =ab +c x 4 x 2=x 4+ 2 ¿ 3 x 4+2 =3 x 6 ¿ 3 x 6+ 3 x 2−4 x 6 Simplificar 3 x 6+ 3 x 2 +4 x6 :7 x 6 +3 x2 3 x 6+ 4 x 6 +3 x 2 Suma elementos similares d ( 7 x 6 +3 x 2 ) dx Aplicar regla de suma/diferencias ¿

d ( 7 x 6 ) + d ( 3 x2 ) dx dx

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d (7 x6 ) dx Sacar la constante (a.f)’ = a.f’ ¿7

d 6 (x ) dx

Aplicar regla de potencia

d a ( x )=a . x a−1 dx

¿ 7. 6 x 6−1 simplificar =42 x5 d ( 3 x 2) se aplican los tres pasos anteriores=6 x dx ¿ 42 x 5+ 6 x

10. Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). a. f ( x )=x 2 +5 x d d ¿ [ x 2 ]+5. [ x ] dx dx ¿ 2 x+5.1 ¿ 2 x+5

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b. f ( x )=sen ⁡( x) '

lim sin ( x+ h )−sin ⁡( x)

[ sin ( x ) ] = h →0

h

Aplica teorema de la suma de ángulos

sin ⁡( ( x+ y )=sin ( x ) cos ( y ) +cos ( x ) sin ( y )) '

lim sin ( x ) cos ( h )+ cos ( x ) sen(h)−sin ⁡(x )

[ sin ( x ) ] = h →0

h

lim cos ( x ) sin ⁡(h) ¿ +¿ [ sin ( x ) ] =lim sin ( x ) cos ( h )−1 ¿ h + h → 0 h h→0 '

lim sin ⁡(h) ¿ [ sin ( x ) ] =lim cos ( h )−1 ¿ h +cos ( x ) . h→ 0 h h→0 '

Se usa la regla de L’Hopital derivadas del seno y coseno en x=0 son 0 y 1 respectivamente lim sin ⁡(h) ¿ [ sin ( x ) ] =sin ( x ) . lim cos ( h )−1 ¿ h +cos ( x ) . h → 0 h h →0 '

¿ sin ( x ) .0+cos ( x ) .1 ¿ cos ⁡(x)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

11. a. La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las o y 4 horas de recorrido se representa con la expresión v(t)=¿ (2−t). e t , donde t es el tiempo en horas y v(t) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que momento del intervalo [ 0,3 ] circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante?

b. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1 f ( x )= x 3−2 x+ 4 2

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