• Author / Uploaded
• Yosellin Alvarez Ríos

Citation preview

Unidad 3- Tarea 3 Derivadas Estudiante Karol Dayana Marin Presiga (Estudiante 1) Yosellin Alvarez Rios (Estudiante 2) Luis Felipe Mogollon (Estudiante 3) Jhon Deiner Diaz (Estudiante 4) Seabastian Villalda Garci (Estudiante 5) Grupo: 100410_563 Docente Marlon Andrés Pineda Curso Calculo Diferencial – (100410 A 761)

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería Electrónica Año 2020

Introducción El siguiente trabajo tiene por objetivo saber que significa una derivada y desarrollar los ejercicios basados en los diferentes casos de derivadas, vistos en la unidad 3, a través de un aprendizaje basado en problemas, en conocimientos nuevos y dar solución a los ejercicios los cuales servirá para darnos aplicación en nuestra área específica.

Link del video https://youtu.be/hsfIuXNmWMU https://youtu.be/hsfIuXNmWMU

Estudiante 1

1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Ejercicio f ( x )=6 x 2 +4 x

Estudiant e1

Solución

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

f ( x )=6 x 2 +4 x Para resolver la derivada primero tenemos que encontrar la función f ( x +h ) : f ( x )=6 x 2 +4 x Reemplazamos donde está la x, una x +h 2

f ( x +h ) =6 ( x+ h ) + 4 ( x +h ) Ahora si procedemos a resolver la derivada

f ´ ( x )=lim

f ( x+ h )−f ( x) h

f ´ ( x )=lim

6(x +h)2+ 4 ( x +h )−(6 x 2+ 4 x ) h

h →0

h →0

6 ( x2 +2 xh+h2 ) + 4 x +4 h−6 x 2−4 x f ´ ( x )=lim h h →0 6 x 2 +12 xh+6 h2 +4 x+ 4 h−6 x 2−4 x ( ) f ´ x =lim h h →0 Cancelamos los términos iguales

f ´ ( x )=lim

6 x 2 +12 xh+6 h2 +4 x+ 4 h−6 x 2−4 x h

f ´ ( x )=lim

12 xh+6 h 2+ 4 h h

h →0

h →0

Factorizamos la h

f ´ ( x )=lim h →0

f ´ ( x )=lim h →0

h(12 xh+ 6 h2 +4 h) h h(12 x h+6 h 2+ 4 h) h

f ´ ( x )=lim 12 x +6 h+ 4 h →0

Y por último procedemos a resolver el limite reemplazando la h por el 0 f ´ ( x )=12 x+ 6 ( 0 ) +4 f ´ ( x )=12 x+ 4

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. Ejercicio f ( x )=(4 x3 +6)( √ x +8)

Estudiante 1

Solución Esta función se resuelve por la regla de la derivada de un producto, lo cual es igual a la función de la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera Si f ( x )=f ( x )∗g ( x ) entonces f ´ ( x )=f ( x )∗g ´ ( x ) + f ´ ( x )∗g (x) f ( x )=( 4 x 3 +6 ) ( √ x +8) Lo primero que se hace es buscar las derivadas de cada función f ´ = ( 4 x 3+ 6 ) Aplicamos la regla de la potencia ( x a ) =a∗xa −1 f ´ =4∗3 x 3−1=12 x 2 f ´ =6=0

f ´ =( 4 x 3+ 6 )=12 x 2 g ´= ( √ x +8 ) Primero aplicamos la ley de los exponentes 1

g ´= ( √ x )=x 2 Luego la regla de la potencia 1

1

−1 1 g ´= ∗x 2 =x 2 2

g ´=

1 2 √x

g ´=8=0 g ´= ( √ x +8 ) =

1 2√ x

Luego de encontrar las derivadas de cada función procedemos a solucionar f ´ ( x )=f ´ ( x )∗g ( x ) + f ( x )∗g ´ (x)

( 2 1√ x )∗4 x +6

f ´ ( x )=12 x 2∗( √ x+ 8 ) +

3

Primero multiplicamos la primera función con la derivada de la segunda función, se multiplica en

fracciones

a∗b a∗b = c c

( 2 1√ x )

f ´ ( x )=( 4 x 3 +6 )∗

1∗(4 x 3 +6) 4 x 3 +6 = 2 √x 2√x Ahora factorizamos

4 x3 +6=

2 ( 2 x 3 +3 ) 2 x 3 +3 = 2 √x √x

f ´ ( x )=12 x 2∗( √ x+ 8 ) +

2 x 3 +3 +¿ √x

Ahora multiplicamos la segunda función por la derivada de la primera 12 x2∗( √ x +8 )=12 x2∗√ x +12 x2∗8 12 x2 √ x +96 x 2 2 x3 +3 ( ) f´ x = +12 x 2 √ x +96 x 2 √x f ´ ( x )=12 x 2 √ x+ 96 x 2+

2 x 3 +3 √x

Convertimos la función en fracciones 2 x 3 +3 12 x 2 √ x √ x 96 x 2 √ x + + √x √x √x

¿

2 x 3 +3+12 x2 √ x √ x+ 96 x 2 √ x √x

Hacemos lo que esta arriba de la fracción 2 x3 +3+12 x 2 √ x √ x +96 x 2 √ x 12 x2 √ x √ x=√ x √ x=x

12 x2 + x=12 x 3 2 x3 +3+12 x 3+ 96 x 2 √ x Sumamos los términos iguales 14 x 3 +3+96 x 2 √ x Luego organizamos los términos semejantes y nos queda así la derivada de la función

f ´ ( x )=

14 x 3 +96 x 2 √ x+ 3 √x

3. Ejercicio Estudiant e1

f ( x )=

4 x3 −15 7 x 2 +7 x

Solución Esta función se resuelve por la regla de la derivada de un cociente, la cual es la segunda función, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda, entre la segunda al cuadrado.

Si f ( x )= f ´ ( x )= f ( x )=

f (x ) entonces g( x )

f ' ( x )∗g ( x )−g' ( x )∗f ( x ) 2 (g ( x ) )

4 x3 −15 7 x 2 +7 x

Lo primero que se hace es encontrar las derivadas de cada función f ´ ( x )=4 x 3−15 Aplicamos la regla de la potencia ( x a ) =a∗xa −1 f ´ ( x )=4 x 3 f ´ ( x )=4.3 x3−1=12 x 2 f ´ ( x )=−15=0 f ´ ( x )=4 x 3−15=12 x 2 g ´ ( x )=7 x 2+7 x g ´ ( x )=7.2 x 2−1=14 x +7 x

g ´ ( x )=14 x+ 7 Después de encontrar las derivadas de cada función, procedemos a solucionar la derivada f ´ ( x )=

f ' ( x )∗g ( x )−g' ( x )∗f ( x ) 2 (g ( x ) )

f ´ ( x )=

12 x 2∗ ( 7 x2 +7 x )− (14 x+7 )∗( 4 x 3−15) (7 x 2+7 x )2

f ´ ( x )=

f ´ ( x )=

84 x 4 + 84 x3 −(14 x +7)( 4 x 3−15) 2

( 7 x 2 +7 x )

84 x 4 + 84 x3 −(56 x 4 −210 x+28 x 3−105) 2

( 7 x 2+7 x )

84 x 4 + 84 x3 −56 x 4 +210 x−28 x3 +105 ( ) f´ x = (7 x 2+ 7 x)2 Agrupamos los términos semejantes 28 x 4 +56 x 3+ 210 x +105 ( ) f´ x = (7 x 2 +7 x)2 f ´ ( x )=

28 x 4 +56 x 3+ 210 x +105 49 x 4 +98 x 3+ 49 x 2

Factorizamos por el termino común f ´ ( x )=

7( 4 x 4 +8 x 3 +30 x+15) 7 (7 x 4 +14 x 3+ 7 x 2 )

4 x 4 +8 x3 +30 x +15 ( ) f´ x = 7 x 4 +14 x 3 +7 x 2

4. Ejercicio 3

Estudiant e1

f ( x )=( 6 x3 +6 ) . ( 4 x )5 x

Solución Esta función se resuelve por la regla de la derivada de un producto, lo cual es igual a la función de la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera Si f ( x )=f ( x )∗g ( x ) entonces

f ´ ( x )=f ( x )∗g ´ ( x ) + f ´ ( x )∗g (x) 3

f ( x )=( 6 x3 +6 ) . ( 4 x )5 x Lo primero que hacemos es encontrar la derivada de cada función f ´ ( x )=¿ Regla de la cadena f ´ ( x )=3 ¿ f ´ ( x )=¿ f ´ ( x )=54 x 2 ¿

g ´ ( x )=¿ Aplicamos las leyes de los exponentes a b=e bln(a)

dy =( e 5 xln (4 x) ) dx df ∗du Luego aplicamos la regla de la cadena df (u) du = dx dx d u d ( e ) (5 xln ( 4 x )) du dx d u ( e ) =e u du d (5 xln ( 4 x )) dx Sacamos la constante 5

d ( xln ( 4 x ) ) dx

5

( dxd ( x ) ln ( 4 x ) + dxd (ln ( 4 x) ) x)

d ( x )=1 dx d ( ln ( 4 x )) dx Aplicamos la regla de la cadena d d ( ln (u ) ) ( 4 x ) du dx d ( ln (u ) ) du 1 u d (4 x ) dx Sacamos la constante 4

d ( x) dx

4∗1=4

1 ∗4 u Sustituimos u=4x 1 ∗4 4x Multiplicamos fracciones 1∗4 1 = 4x x 1 5 1∗ln ( 4 x ) + x x

(

)

El siguiente paso es simplificar 1 5 1∗ln ( 4 x ) + x x

(

)

5 ( ln ( 4 x )+1 ) e u∗5 ( ln ( 4 x )+ 1 ) En la ecuación reemplazamos u=5xln(4x) e 5 xln (4 x)∗5 ( ln ( 4 x ) +1 ) e 5 xln ( 4 x ) Aplicamos las leyes de los exponentes ¿ Luego aplicamos la propiedad de los logaritmos

¿ ( 4 x)

5x

45 x x5 x 5∗4 5 x x 5 x ( ln ( 4 x )+1 ) g ´=5∗102 4 x x5 x ( ln ( 4 x )+ 1 ) Luego de encontrar la derivada de la segunda función, procedemos a reemplazar en la derivada 54 x 2 ¿ 54 x 2 ¿ Primero aplicamos la ley de los exponentes para resolver la primera parte de la derivada

54∗45 x x 2 x 5 x ¿ 54 ¿ Factorizamos 2∗27 ¿ 2∗27 ¿ 2∗27 ¿ 27∗21+10 x x 2+5 x ¿

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Ejercicio 5 x 3−3 yx+ 7 y 2=3

Estudiant e1

Solución Las derivadas implícitas o derivación implícita son derivadas de aquellas funciones donde la variable dependiente no está despejada. Lo primero que hacemos es saber por cual método derivar, en este caso derivaremos la ecuación con respecto a x d ( 5 x 3−3 yx+ 7 y 2) = d ( 3 ) dx dx Derivamos cada uno d ( 5 x 3 )=15 x 2 dx

d ( 3 yx )=sacamosla constante ( a∗f ) ´ =a∗f ´ dx 3

d ( yx ) dx

( dxd ( y ) x+ dxd ( x ) y) d 3 ( ( y ) x+ 1∗y ) dx d d 3 ( ( y ) x+ y ) dx dx 3

d (7 y 2 ) dx 7

d 2 (y ) dx

Aplicamos la regla de la cadena 7∗2 y

d d ( y )=14 y ( y) dx dx

Ahora si procedemos a solucionar la derivada implícita d d d 15 x2 −3 ( y ) + y +14 y ( y )=3 dx dx dx

( ) d d d 15 x −3 ( ( y ) + y ) +14 y ( y )=0 dx dx dx 2

d 15 x2 −3 ( xy ´ + y ) +14 yy ´ =0 dx Restamos 15 x 2 en amboslados d 15 x2 −3 ( xy ´ + y ) +14 yy ´ −15 x2 =0−15 x 2 dx d −3 ( xy ´ + y ) +14 yy ´ =−15 x 2 dx d −3 xy ´ −3 y+ 14 yy ´ =−15 x 2 dx

d −3 xy ´ −3 y+ 14 yy ´ +3 y=−15 x 2+ 3 y dx d −3 xy ´ +14 yy ´ =−15 x 2+3 y dx Factorizamos el termino común que seria y´ d y ´ (−3 x +14 y ) =−15 x 2 +3 y dx d y ´ (−3 x +14 y ) −15 x2 3y = + dx −3 x+14 y −3 x +14 y −3 x +14 y d −15 x2 +3 y y´= dx −3 x +14 y

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio Estudiant e1

f ( x )=12 x 4 +3 x 3+ 12 x

Derivada de orden superior f ' ' ' ( x)=?

Solución Derivadas de orden superior. Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Esta derivada se deriva hasta la tercera parte como lo dice f ' ' ' (x)=? f ( x )=12 x 4 +3 x 3+ 12 x Procedemos a solucionar la derivada

d3 ( 4 3 12 x + 3 x +12 x ) 3 dx f ´ ( x )=48 x3 +9 x 2 +12 f ´ ´ ( x )=144 x 2 +18 x f ´ ´ ´ ( x )=288 x +18 Comprobación geogebra

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudiante 1

a.

f ( x )=6 x 2 +2 x

Solución Primero mostramos la derivada de la primera función f ( x )=6 x 2 +2 x f ´ ( x )=12 x+ 2

b. f ( x )=sen ( x )−4

Grafica en geogebra En esta grafica veremos que valores toma la función cada vez que se desplaza, también podemos observar la recta tangente del punto en la función y se observa el rastro de los puntos cada vez que se mueve la tangente

Ahora derivamos la segunda función f ( x )=sen ( x )−4 f ´ ( x )=( sin ( x ) ) −

d (4 ) dx

f ´ ( x )=cos( x ) Grafica en geogebra En esta grafica veremos que valores toma la función cada vez que se desplaza, también podemos observar la recta tangente del punto en la función y se observa el rastro de los puntos cada vez que se mueve la tangente

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Asignación

Problemas A

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la 3 3 función f ( x )= x −7 x + 4 5

B

Encontrar el ancho y el largo de un rectángulo para que su área sea máxima, si su perímetro es de 100 centímetros.

Estudiante 1

Solución Lo primero que se hace para calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión es derivar la función 3 f ( x )= x 3−7 x + 4 5 Aplicamos la regla de suma y diferencia f ´ ( x )=

d 3 3 d d x − (7 x )+ (4 ) dx 5 dx dx

f ´ ( x )=

3 d 3 d d (x )− ( 7 x ) + ( 4 ) 5 dx dx dx

( )

3 d d f ´ ( x )= ∗3 x 2− ( 7 x )+ ( 4 ) 5 dx dx 9 f ´ ( x )= x 2−7 5 Igualamos la derivada a 0 9 2 x −7=0 5 Despejamos x entonces 9 2 x =7 5 el

9 pasa invertido 5

x 2=

7∗5 9

x 2=

35 9

x=

√

35 9

x=± 1.972 Ahora hallamos la segunda derivada de la primera 9 f ´ ´ ( x )= x 2−7 5 f ´ ´ ( x )=

18 x 5

Luego de hacer estos procedimientos, podemos hallar el mínimo reemplazando x con derivada. f ´ ´ ( x )=

√

18 x 5

18 35 ∗ 0 Asi comprobamos que la coordenada hace parte del mínimo Ahora reemplazamos x con 3 y= 5

√

35 en la primera función para hallar la coordenada de y. 9

3

35 −7 9

(√ ) ( √ 359 )+ 4

y=−5.2 El punto mínimo es a=(1.97−5.2)

√

Para hallar el máximo, reemplazamos x con f ´ ´ ( x )=

35 en la segunda derivada 9

18 35 ∗− 0 si x > 40. Con esto obtenemos que f (40)≤ f (x) para cualquier x >0. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material utilizado son 40 × 40 ×20.

ESTUDIANTE 3 1) De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f ( x )=8 x 2 +2 x Solución: Se evalúa la función en x +h f ( x +h ) =8 ( x+ h )2+ 2 ( x +h ) f ( x +h ) =8 ( x 2+ 2 xh+h 2 )+ 2 x +2 h f ( x +h ) =8 ( x 2+ 2 xh+h 2 )+ 2 x +2 h f ( x +h ) =8 x 2+16 xh+ 8 h2+ 2 x +2 h f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Reemplazamos los valores de cada una de las funciones f ´ ( x )=lim h →0

8 x 2 +16 xh+8 h2 +2 x+ 2h−8 x 2−2 x h

Sacamos factor común para h f ´ ( x )=lim h →0

h(16 x+ 8 h+2) h

Se simplifica la variable h en la fracción f ´ ( x )=lim (16 x +8 h+2¿)¿ h →0

Eliminamos 8 h pues se está evaluando con un límite que tiende a cero, y se obtiene como resultado f ´ ( x )=lim 16 x+ 2 h →0

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Constante

Suma o Resta

Producto

Cociente

d ( k ) =0 dx

1

d ( kx )=k dx

2

d ( f ( x ) ± g ( x ) )=f ' ( x ) ± g ' ( x ) dx

3

d ( k f ( x ) ) =k f ' ( x ) dx

4

d ( f ( x ) g ( x ) )=f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) dx

5

d f ' ( x ) g ( x )−f ( x ) g ' ( x ) ( f ( x ) g ( x ) )= dx g ( x )2

6

d k ( x )=k x k−1 dx

7

d ( f ( x)k ) =k f (x)k−1 f ' (x ) dx

8

1

( )

Potencia

d ( ) d 2 1 √x = x = dx dx 2√x

9

d 1 d −1 = ( x −1 ) = 2 dx x dx x

1 0

d f ( x) ( k )=k f ( x ) f ' ( x ) ln (k ) dx

1 1

d ( f ( x) g ( x ) )=f ( x)g ( x ) ¿ dx

1 2

d du ( sen(u) )=cos ⁡(u) dx dx

1 3

d du ( cos (u) )=−sen(u) dx dx

1 4

d du ( tan (u) )=sec 2( u) dx dx

1 5

d du ( cot(u) ) =−csc 2 ( u ) dx dx

1 6

()

Identidades Trigonométri cas

d du ( sec (u) )=sec ( u ) tan(u) dx dx

1 7

d du ( csc (u) ) =−csc ( u ) cot(u) dx dx

1 8

2) f ( x )=( √ x+ 9)( 4 x 4 −8 x2 ) Se aplica la regla del producto (5) f ' ( x )= Para

( √ x ( x )+ 9 )∗d 4 d ( ( 4 x −8 x 2 ) √ x +9 )∗( 4 x 4−8 x 2 ) + dx dx

d ( √ x+ 9 ) se aplica la regla de la suma (3) dx d d (√ x)+ ( 9 ) dx dx Para

d ( √ x ) se aplica la regla de la potencia (9). dx

d ( 9 ) se aplica la regla de la constante (1), por lo tanto, tendremos dx como resultado. Para

d 1 ( √ x+ 9 )= +0 dx 2√x f ' ( x )= Para

1

( 2 √x )

( x ( x ) +9 )∗d 4 ( 4 x 4 −8 x 2 )+ √ ( 4 x −8 x 2 ) dx

d ( 4 x 4−8 x 2 ) se aplica la regla de la resta (3) dx d ( 4 x 4 )− d ( 8 x 2 ) dx dx Para

d ( 4 x 4 ) se aplica la regla de la potencia (7) dx

Para

d ( 8 x 2 ) se aplica la regla de la potencia (7) dx

d ( 4 x 4−8 x 2 )=16 x 3−16 x dx

f ' ( x )=

( 2 1√ x ) (4 x −8 x )+ (√ x ( x )+ 9) (16 x −16 x ) 4

2

3

Se expresa de forma que ( 4 x 4−8 x 2 ) y ( 16 x 3−16 x ) tienen como factor común 4 x2 f ' ( x )=4 x 2

( 2√1 x )( x −2)+4 x (√ x +9 )(4 x − 4x ) 2

2

Se saca factor común sobre toda la función 4 x2 y se obtiene como resultado f ' ( x )=4 x 2

3) f ( x )=

(( 2 1√ x ) ( x −2)+( √ x ( x) + 9)( 4 x− 4x )) 2

5 x 2+12 x 5 x 3−3 x

Aplicamos la regla del cociente (6), por lo tanto, se obtiene para la ecuación

f ' ( x )= Para

( 5 x 2+ 12 x )∗d 3 d ( 2 3 ( 5 x −3 x ) 5 x +12 x )∗( 5 x −3 x )− dx dx ( 5 x 3−3 x )

2

d ( 5 x 2+12 x ) se aplica la regla de la suma (3) dx d ( 5 x 2) + d ( 12 x ) dx dx Para

d ( 5 x 2) se aplica la regla de la potencia (7). dx

d ( 12 x ) se aplica la regla de la constante (2), por lo tanto, dx tendremos como resultado. Para

d ( 5 x 2+12 x )=10 x +12 dx

( 10 x+12 ) ( 5 x 3−3 x )− f ' ( x )= Para

( 5 x2 +12 x )∗d dx

( 5 x 3−3 x )

2

( 5 x 3−3 x )

d ( 5 x 3−3 x ) Se aplica la regla de la resta y suma (2) dx

d ( 5 x 3 )− d ( 3 x ) dx dx Para

d ( 5 x 3 ) se aplica la regla de la potencia (7). dx

d ( 3 x ) se aplica la regla de la constante (2), por lo tanto, dx tendremos como resultado. Para

d ( 5 x 3−3 x ) =15 x 2−3 dx f ' ( x )=

( 10 x+12 ) ( 5 x 3−3 x )−( 5 x 2+ 12 x ) ( 15 x2 −3 )

( 5 x3 −3 x )

2

Se factoriza 2x para ( 10 x+12 ) ( 5 x 3−3 x ) y 3x para ( 5 x 2+ 12 x ) ( 15 x 2−3 ) de forma que podamos operar para simplificar la ecuación f ' ( x )=

2 x ( 5 x+ 6 ) ( 5 x 2−3 )−3 x ( 5 x +12 ) ( 5 x 2−1 )

( 5 x 3−3 x )

2

Se aplica factor común x en ambos lados de la facción f

'(x )

=

x ( 2 (5 x +6 ) ( 5 x 2−3 ) −3 (5 x +12 ) ( 5 x 2−1 ) ) 2

( x ( 5 x2 −3 ) )

Se aplica la propiedad distributiva f ' ( x )=

f ' ( x )=

x ( 2 ( 25 x 3 +30 x 2−15 x−18 )−3 ( 25 x 3 +60 x 2−5 x−12 ) ) x 2 ( 5 x 2−3 )

2

x ( ( 50 x3 +60 x 2−30 x−36 )−( 75 x 3+ 180 x 2−15 x−36 ) ) 2

x 2 ( 5 x 2−3 )

Se eliminan los paréntesis f ' ( x )=

x ( 50 x 3 +60 x 2−30 x−36−75 x 3−180 x 2+ 15 x +36 ) x2 ( 5 x 2−3 )

2

Se suma o resta dependiendo del caso

f ' ( x )=

x ( −25 x 3 −120 x 2−15 x ) x 2 ( 5 x 2−3 )

2

Nuevamente se aplica factor común para el numerador -5x f

'( x )

=

−5 xx ( 5 x 2 +24 x +3 ) x2 ( 5 x 2−3 )

2

Multiplicamos 5xx f ' ( x )=

−5 x 2 ( 5 x 2 +24 x +3 ) 2

x 2 ( 5 x2 −3 )

Se simplifica x 2 y queda como resultado f ' ( x )=

−5 ( 5 x 2+ 24 x+ 3 ) 2

( 5 x 2−3 )

5

4) f ( x )=( 3 x 4 + 3 ) . ( 9 x )7 x Se aplica la regla del producto (7) 5 5 d ( ( 3 x 4 +3 ) ) ( 9 x )7 x + ( 3 x 4 +3 ) d ( ( 9 x )7 x ) dx dx 5 d ( ( 3 x 4 +3 ) ) dx

Se debe aplicar la regla del producto (8) d 5−1 d 5 (f ( x )) ( 3 x 4 +3 ) dx dx 5 ( 3 x 4 +3 )

4

d ( 3 x 4 +3 ) dx

Para

d ( 3 x 4 +3 )se debe aplicar la regla de la suma (3) dx

d (3 x4 )+ d ( 3) dx dx Para

d ( 3 x 4 )se debe aplicar la regla de la potencia (7) dx

d ( 3 )se debe aplicar la regla de la constante (1), por dx tanto, se obtiene Para

d ( 3 x 4 ) + d ( 3 )=12 x 3+ 0 dx dx 5 ( 3 x 4 +3 )

4

4 d ( 3 x 4 +3 )=5 ( 3 x 4 +3 ) ( 12 x 3 ) dx

4

f ' ( x )=5 ( 3 x 4 +3 ) ( 12 x 3 ) ( 9 x )7 x + ( 3 x 4 + 3 )

5

d ( ( 9 x )7 x ) dx

d ( ( 9 x )7 x ) dx d ( 9 x 7 x ) se aplica la regla de la potencia (12), obteniendo dx como resultado Para el factor

d ( 9 x 7 x )=9 x 7 x 7 ln ( 9 x )+7 x 9 dx 9x

(

( ))

Simplificamos el factor 7 x

9 9x

d ( 9 x 7 x )=9 x 7 x ( 7 ln ( 9 x ) +7 ) dx Sacamos 7 como factor común d ( 9 x 7 x )=9 x 7 x ( 7) ( ln ( 9 x ) +1 ) dx 4

5

f ' ( x )=5 ( 3 x 4 +3 ) ( 12 x 3 ) ( 9 x )7 x + ( 3 x 4 + 3 ) ( 9 x7 x ) ( 7 ) ( ln ( 9 x ) +1 ) 4

5

f ' ( x )=( 3 x 4 +3 ) ( 60 x3 ) ( 9 x )7 x + ( 3 x 4 +3 ) (9 x 7 x ) ( 7 ) ( ln ( 9 x )+1 ) 4

5

Se saca 3 como factor común en ( 3 x 4 +3 ) y ( 3 x 4 +3 ) 4

5

f ' ( x )=( 3 ( x 4 + 1 ) ) ( 60 x 3 ) ( 9 x )7 x + ( 3 ( x 4 +1 ) ) ( 9 x 7 x ) ( 7 ) ( ln ( 9 x )+1 ) Aplicamos la potencia para el número 3 y descomponemos a 60 como 3 x 20 4

5

f ' ( x )=3 4 ( x 4 + 1 ) ( 3 ) ( 20 x 3 ) ( 9 x )7 x +35 ( x 4 +1 ) ( 9 x7 x ) ( 7 ) ( ln ( 9 x ) +1 ) 5

Se aplica nuevamente factor común 35 ( x 4 +1 ) ( 9 x 7 x ) dando como resultado 5 20 x3 4 7x ( ) ( ) f ( x )=3 x +1 9 x + ( 7 ) ( ln ( 9 x )+ 1 ) ( x 4 +1 ) '

5

(

)

5) x 2 y 2 + y + x=2 Para la derivada implícita se tiene en cuenta que dy =y' dx En consecuencia, cada vez que se derive con respecto a y debemos asignar y’ Para x 2 y 2 se aplica la regla del producto (5) por tanto tenemos que dy ¿ dy dy ( x ¿ 2 y 2)= (x ¿¿ 2) y 2 + ( y ¿¿ 2) x 2 ¿ ¿¿ dx dx dx Aplicando la regla de la potencia (7) dy ¿ ( x ¿ 2 y 2)=2 x y 2+2 x 2 y y ' ¿ dx Para y se aplica la regla de la constante (2) dy y=1 y ' dx Para x se aplica la regla de la constante (2) dy x=1 dx Para 0 se aplica la regla de la constante (1) dy 0=0 dx Finalmente dará como resultado 2 x y 2 +2 x 2 y y ' + y ' +1=0 Despejando y ' queda 2 x2 y y ' + y ' +1=−2 x y 2 2 x2 y y ' + y ' =−2 x y 2−1 Factor común y ' ( 2 x 2 y +1 ) =−2 x y 2−1 Despejamos y ' '

y=

−2 x y 2−1 dy −2 x y 2−1 ; ( y)= 2 x2 y +1 dx 2 x 2 y+1

6) f ( x )=5 x 3 +4 x 2 +9 x Se aplica la regla de la suma (3) d d d 5 x3 + 4 x 2 + 9 x dx dx dx Para

d 5 x3 se aplica la regla de la potencia (7) dx

Para

d 4 x 2 se aplica la regla de la potencia (7) dx

Para

d 9 x se aplica la regla de la constante (2) dx

d d d 5 x3 + 4 x 2+ 9 x=15 x 2+ 8 x+ 9 dx dx dx f ' (x)=15 x 2 +8 x+ 9 Se aplica la regla de la suma (3) d d d 15 x2 + 8 x + 9 dx dx dx Para

d 15 x 2 se aplica la regla de la potencia (7) dx

Para

d 8 x se aplica la regla de la constante (2) dx

Para

d 9 se aplica la regla de la constante (1) dx

d d d 15 x2 + 8 x + 9=30 x +8+0 dx dx dx f ' ' ( x )=30 x +8 Se aplica la regla de la suma (3) d d 30 x+ 8 dx dx Para

d 30 x se aplica la regla de la constante (2) dx

Para

d 8 se aplica la regla de la constante (1) dx

d d 30 x+ 8=30+0 dx dx f ' ' ' ( x )=30

7) a) f ( x )=7 x 2 +9 x Se aplica la regla de la suma (3) d d 7 x 3+ 9 x dx dx Para

d 7 x 2 se aplica la regla de la potencia (7) dx

Para

d 9 x se aplica la regla de la constante (2) dx

d d 7 x 2+ 9 x=14 x +9 dx dx f ' ( x )=14 x+ 9 Validamos en distintos puntos positivos de X x=1 f ( 1 ) =7(1)2+ 9 (1 ) =16 f ' ( 1 )=14 (1 ) + 9=23

x=2 f ( 2 ) =7(2)2+ 9 ( 1 )=16

f ' ( 2 )=14 ( 2 )+ 9=37

x=3 f ( 3 )=7(3)2 +9 ( 3 )=16 f ' ( 3 )=14 ( 3 ) +9=51

b) f ( x )=tan ⁡( x ) Se aplica la regla de las identidades trigonométricas (14) f ' ( x )=sec 2 ( x) Validamos en distintos puntos positivos de X x=0.99 f ( 0.99 )=tan ( 0.99 )=1.539 f ' ( 0.99)=sec 2 ( 0.99 )=3.33 Se evidencia que para este punto la pendiente corresponde al valor de la derivada.

8) a) Área lateral de un cilindro

Área de la base de un cilindro Ab =π r 2

Al =2 π r h Área total de un cilindro At = Al +2 Ab

Establecemos la función de costo con respecto al área total Costo= Al ( 10.000 $ )+ 2 A b ( 5.000 $ ) Conversión de litros a metros cúbicos 1 l→ 0.001 m3 15000 l→ 15 m3 Volumen del cilindro v=π r 2 h 15 m3=π r 2 h Despejamos la h para poder reemplazar la función en nuestra función de costos y quedar con en base de una variable (radio) h=

15 m3 π r2

Sustituimos las funciones correspondientes Costo=2 π r h ( 10.000 $ )+ 2 π r 2 ( 5.000 $ ) Sustituimos h en la función de costos 15 m3 Costo=2 π r (10.000 $ ) +2 π r 2 ( 5.000 $ ) 2 πr

( )

Se empieza a operar (simplificar, multiplicar) Costo=2

(

15 m3 10.000 $ +10.000 $ π r 2 r

)

Se define finalmente la función Costo=

300.000 $ m 3 2 +10.000 $ π r r

Se busca la primera derivada para poder tener el valor de x que hace en la segunda derivada de la función un punto crítico. '

Costo =

−300.000 $ m 3 +20.000 $ π r r2

Se iguala a 0 '

Costo =

−300.000 $ m3 +20.000 $ π r =0 r2

Costo ' =−300.000 $ m3 +20.000 $ π r ( r 2 )=0(r 2 ) Costo ' =−300.000 $ m3 +20.000 $ π r 3=0 Se despeja para r (radio) r 3 ( 20.000 $ ) π=300.000 $ m 3 r 3=

3 300.000 $ m3 3 15 m 15 ; r= ; r =3 m 20.000 $ π π π

√

√

Se calcula la segunda derivada para evaluar el punto crítico y determinar por medio de la regla de validación si es un punto mínimo o máximo, para ello debemos tener en cuenta que: “Si al evaluar el punto sobre la segunda derivada obtenemos un número negativo, significa que será un punto máximo y si se obtiene como resultado un número positivo indicará que es un punto mínimo” 600.000 $ m3 Costo = +20.000 $ π r3 ''

Se observa que los valores de la segunda derivada son positivos para cualquier caso y se asume que Costo’’(r) > 0 por lo tanto se esta utilizando el punto que hace mínima la función. Sustituimos r en la función de altura para encontrar su valor. 15 m 15 m 15 m π h= ; h= × 2 2 3 15 3 15 3 15 m π m π m π π π

√ (√ ) √ 3

3

(√ )

3

(√ 15π m) ; h= 15 m ( √ 15π m) 15 m 15 π( m) √π

15 m3 h=

3

3 3

3

3

3

Se opera cada en cada uno de los paso y se concluye que h = r h=

√ 3

15 m; h=r π

Se opera la raíz cúbica para obtener el valor de h y r y posteriormente se convierte en cm aunque para el ejercicio se manejará en m. 1 m→ 100 cm h=r=1.68389 m ; h=r =168.389 cm d=2r =3.36778 m; d=336.778cm Una vez encontrado los resultados de las variables del cilindro, se decide evaluar el costo a tomar sustituyendo estas en la función de costos. Costo=2 π r 2 ( 10.000 $ )+ 2 π r 2 ( 5.000 $ ) Costo=2 π r 2 ( 10.000 $+5.000 $ ) ; Costo=2 π r 2 ( 15.000 $ ) Costo=2 π (1.68389)2 ( 15.000 $ )=266.004 $ Finalmente se puede determinar que para minimizar los costos en la construcción del cilindro y poder almacenar 15 mil litros se debe construir con un diámetro de 3.36778 m y una altura de 1.68389 m respectivamente.

3 3 b) f ( x )= x −3 x +10 7 Se calcula la primera derivada de la función 9 f ' ( x )= x2 −3 7 Se iguala a 0 y posteriormente despejamos la variable x 9 2 9 7 x −3=0 x 2=3 x 2=3 7 7 9 Se halla el valor de x que hace que en la segunda derivada de la función resuelva un punto crítico y obtenemos dos valores para ello

√ √

x=± x 1=

21 7 x=± 9 3

√ √

7 7 x 2=− 3 3

Se calcula la segunda derivada para aplica la regla de determinación si el punto es máximo o mínimo f ' ' ( x )=

18 x 7

(√ 73 )= 187 (√ 73 ) 7 f ' ' ( )=6.994 PuntoMínimo=(1.527 , 6.994) √3 7 18 7 f ' ' (− )= (− ) 3 7 √ √3 7 f ' ' (− )=13.002 PuntoMáximo=(1.527 ,13.002) √3 f ''

Puntos de Inflexión Para las raíces de la segunda derivada se obtiene que x=0 Igualando a cero la segunda derivada de la función. f ' ' ' ( x )=

18 7

Realizamos la tercera derivada para la función y evaluamos el para x = 0, por lo que siempre obtendremos un valor distinto de cero quiere decir que 0 es un punto de inflexión. Finalmente evalúanos el valor x en la función original para obtener el valor de y, se obtiene que: 3 f ( 0 )= (0)3−3(0)+10 7 f ( 0 )=10 Es posible decir que nuestro punto de inflexión se encuentra en el par ordenado (0, 10).

ESTUDIANTE 4 https://youtu.be/gU3nHw6Q8FA 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f ( x )=5 x 3−9 x

f ( x +h ) =5( x +h)3−9( x+h)

5 (x+ h)3 −9 ( x+ h )−f ( x) f ( x )=lim h x→0 5 (x+ h)3 −9 ( x+ h )−(5 x 3 −9 x) f ( x )=lim h x→0 5(x +h)3−9 ( x +h ) −¿

Expandimos −9 ( x +h ) Ponemos paréntesis

¿−9 x+ (−9 ) h ¿−9 x−9 h ¿¿

−( 5 x 3−9 x ) Ponemos paréntesis

¿−( 5 x3 ) −(−9 x)

¿−5 x 3 +9 x ¿ 5( x +h)3−9 x−9 h−5 x 3+ 9 x Simplificamos

5(x +h)3−9 x−9 h−5 x 3+ 9 x

Agrupamos términos semejantes 3

3

¿−9 h+5 ( h+ x ) −5 x −9 x +9 x Sumamos elementos similares 3

¿−9 h+5 ( h+ x ) −5 x

3

−9 h+5 ( h+ x )3−5 x 3 ¿ h Factorizamos 3

−9 h+5 ( h+ x ) −5 x

3

Factorizamos el termino común

¿−9 h+5( ( x +h )¿ ¿ 3−x 3) ¿ Factorizamos

( x +h)3−x 3 Aplicamos la regla de productos notables (Diferencia de cubos):

( x +h )3−x 3=( ( x+h )−x ) ( ( x+ h )2+ ( x+ h ) x + x 2 ) ¿( ( x +h )−x) ¿

x 3− y 3= ( x− y ) ( x 2 + xy + y 2 )

Simplificamos

¿ h( x 2 + x ( h+ x )+ ( h+ x )2 ) Expandimos

( x +h)2+ x ( x+ h ) + x 2 ¿ x 2+ 2 xh+ h2+ x ( x+ h ) + x 2 Expandimos x (x+h):

x 2+ xh

¿ x 2+ 2 xh+ h2+ x 2 + xh+ x 2 Simplificamos

x 2+ 2 xh+ h2+ x2 + xh+ x 2 Agripamos términos semejantes

¿ h2 +2 xh+ xh+ x 2+ x2 + x 2 Sumamos elementos similares:

x 2+ x2 + x 2=3 x 2

¿ h2 +2 xh+ xh+3 x 2 Sumamos de nuevo elementos similares: 2 xh+ xh=3 xh

¿ h2 +3 xh+3 x 2 ¿ h( h2+ 3 xh+ 3 x 2 ) ¿ 5 h ( h2 +3 xh+3 x 2 )−9 h

Factorizamos el termino común h

¿ h(−9+5 ( h2 + x 2 . 3+3 xh ) )

¿

h(−9+ 5 ( h2+ x2 . 3+3 xh ) ) h

Eliminamos los términos comunes: h

¿−9+5( h2+ 3 xh+ 3 x 2 )¿ ¿ lim ¿h →0 (−9+5(h 2+3 xh+3 x 2)) ¿ Sustituimos la variable

¿−9+5( 02+ 3 x . 0+3 x2 ) Simplificamos

¿−9+15 x 2

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

2. Ejercicio Estudia nte 4

f ( x )=(6 x 3+ 2)(x 2− √ x)

1

d (6 x 3 +2)(x 2−x 2 ) dx Aplicamos la regla del producto, es un método para calcular la derivada de un producto de funciones. 1

(

)

(

1

)

d ( 3 ) 2 2 d 2 2 ( 3 ) 6 x +2 x − x + x −x 6 x +2 dx dx

d ( 6 x 3+ 2 ) dx Aplicamos la regla de la suma diferencia ¿

d (6 x3)+ d ( 2) dx dx

d ( 6 x 3 )=18 x 2 dx d ( 2 )=0 dx ¿ 18 x2 +0 ¿ 18 x2

(

1

d 2 2 x −x dx

)

Aplicamos la regla de la suma /diferencia 1

( )

d d 2 ¿ ( x 2 )− x dx dx d 2 ( x )=2 x dx

1

( )

d 2 x dx

Aplicamos la regla de la potencia 1

1 −1 ¿ x2 2 Simplificamos 1

x2

−1

¿ 2 x−

1 2√x

Simplificamos

¿−

1 −1 en una fracción 2

1 ⋅2 1 + 2 2

Ya qué los denominadores son iguales, combinamos fracciones ¿

−1⋅2+1 2

−1 ⋅2+ 1=−1 ¿

−1 2

¿x

−1 2

1 ¿ x 2

−1 2

Aplicamos las leyes de los exponentes 1 1 ¿ ⋅ 2 √x Multiplicamos fracciones

¿

1 ⋅1 2√ x

Multiplicamos ¿

1 2√ x 1

¿ 2 x−

2√x 1

(

)

(

¿ 18 x2 x 2−x 2 + 2 x−

1

)( 6 x +2) 3

2√ x

1

(

)

(

Simplificamos 18 x 2 x 2−x 2 + 2 x−

(

1

Expandimos 18 x 2 x 2−x 2 1

(

18 x 2 x 2−x 2

)

)

Ponemos los paréntesis 2

2

2

¿ 18 x x −18 x x

1 2

1

Simplificamos 18 x 2 x 2−18 x 2 x 2 18 x 2 x 2=18 x 4

1

5

18 x 2 x 2 =18 x 2 5

¿ 18 x 4−18 x 2

1

( 6 x +2 ) 2 √x ) 3

5 2

4

(

¿ 18 x −18 x + 2 x−

(

Expandimos 2 x−

1

( 6 x +2 ) 2√ x ) 3

1

( 6 x +2 ) 2√ x ) 3

Aplicamos la propiedad distributiva ¿ 2 x ⋅6 x 3+ 2 x ⋅2+

( 2−1√ x ) ⋅ 6 x +( 2−1√ x ) ⋅ 2 3

Aplicamos las reglas de los signos 1

3

¿ 2 ⋅6 x x+ 2⋅2 x−6 ⋅

2 √x

1

3

x −2 ⋅

2√x

3 Simplificamos 2 ⋅6 x x +2⋅2 x−6 ⋅

1 2 √x

x 3−2 ⋅

1 2√x

2 ⋅6 x3 x=12 x 4 2 ⋅2 x=4 x 6⋅ 2⋅

1 2 √x 1 2√x

3

x =3 x

=

5 2

1 √x

5

¿ 12 x 4 + 4 x−3 x 2 −

4

5 2

1 √x 5 2

4

¿ 18 x −18 x + 12 x + 4 x−3 x −

5

1 √x

5

4 4 Simplificamos 18 x −18 x 2 + 12 x + 4 x−3 x 2 −

1 √x

Agrupamos términos semejantes 5

5

¿ 18 x 4 +12 x 4 + 4 x−18 x 2 −3 x 2 −

1 √x

Sumamos elementos similares 18 x 4 +12 x 4 =30 x 4 5

5

¿ 30 x 4 +4 x −18 x 2 −3 x 2 −

1 √x 5

5

5

Sumamos elementos similares −18 x 2 −3 x 2 =−21 x 2 4

5 2

¿ 30 x +4 x −21 x −

1 √x

3. Ejerci cio Estudia nte 4

f ( x )=

x 2+ 3 x +6 9 x4 + 9 x

d x 2+ 3 x +6 dx 9 x 4 + 9 x

(

)

Aplicamos la regla del cociente:

´.f ( fg )= f ´ . g−g g 2

d 2 ( x +3 x+ 6 ) ( 9 x 4 +9 x )− d (9 x 4 +9 x)(x 2 +3 x+ 6) dx dx ¿ ¿¿ d 2 ( x +3 x+ 6) dx Aplicamos la regla de la suma/diferencia( f ± g ) ´=f ´ ± g ´ ¿

d 2 d ( x )+ (3 x ) + d (6) dx dx dx

d 2 ( x )=2 x dx d ( 3 x ) =3 dx d (6)=0 dx ¿ 2 x+3+ 0 Simplificamos ¿ 2 x+3 d ( 9 x 4 +9 x ) dx Aplicamos la regla de la suma/diferencia ¿

d ( 9 x 4 +9 x ) dx

d ( 9 x 4 +9 x )=36 x 3 dx

d ( 9 x )=9 dx ¿ 36 x 3+ 9

( 2 x +3 ) ( 9 x 4 +9 x )−(36 x 3+ 9)( x 2 +3 x+ 6) ¿ (9 x 4 + 9 x )2

Simplificamos

( 2 x +3 ) ( 9 x 4 +9 x )−(36 x 3+ 9)( x2 +3 x +6) (9 x 4 + 9 x )2

Expandimos ( 2 x+3 ) ( 9 x 4 + 9 x ) −(36 x 3 +9)( x 2+ 3 x +6) (2 x+3)( 9 x 4 + 9 x)−(36 x3 + 9)(x 2 +3 x+ 6) Expandimos (2 x+3)(9 x 4 + 9 x) Aplicamos la propiedad distributiva 2 x · 9 4 +2 x · 9 x+3 · 9 x 4 +3 · 9 x 2 x · 9 x 4 +2 x · 9 xx +3 · 9 x 4 +3 ·9 x

Simplificamos 2 x · 9 x 4 +2 x · 9 xx +3 · 9 x 4 +3 ·9 x 2 ·9 x 4 x +2· 9 xx +3 ·9 x 4 +3 · 9 x 2 ·9 x 4 x=18 x 5 2 ·9 xx=18 x 2 3 · 9 x 4 =27 x 4 3 · 9 x =27 x ¿ 18 x5 +18 x 2+ 27 x 4 +27 x

Expandimos −( 36 x 3 +9)(x 2 +3 x+6) (36 x 3 +9)( x 2+3 x +6) Aplicamos la propiedad distributiva ¿ 36 x 3 ⋅ x 2 +3 x+6 +9 ⋅ x 2+3 x +6 ¿ 36 x 3 x 2 +9 x 2+6 x +6+ 6 36 x 3 x 2=36 x 5 ¿ 36 x 5+ 9 x2 +6 x +6+6 Sumamos

¿ 36 x 5+ 9 x2 +6 x +1

¿ 18 x5 +18 x 2+ 27 x 4 +27 x−36 x 5+ 9 x2 +6 x +1 Simplificamos 18 x 5−36 x 5+27 x 4 + 18 x 2 +9 x 2+ 27 x +6 x +12

Agrupamos términos semejantes ¿ 18 x5 −36 x5 +27 x 4 +18 x 2 +9 x 2+27 x +6 x +12 Sumamos elementos similares 18 x 2+ 9 x 2=27 x 2 ¿ 18 x5 −36 x5 +27 x 4 + 27 x 2 +27 x +6 x+12 Sumamos elementos similares 18 x 5−36 x 5=−18 x 5 ¿−18 x 5 +27 x 4 +27 x 2 +27 x+ 6 x+12 Sumamos elementos similares 27 x +6 x=33 x ¿−18 x 5 +27 x 4 +27 x 2 +33 x+12

−18 x 5 +27 x 4 +27 x 2 +33 x+12 2

( 9 x 4 +9 x )

Factorizamos el termino común -3 −18 x 5+ 27 x 4 + 27 x2 +33 x+ 12 Reescribimos 12  como  3 ⋅4 Reescribimos  33  como  3 ⋅11 Reescribir  27  como 3 ⋅9 Reescribir  27  como 3 ⋅9 Reescribir 18  como 3 ⋅6 ¿−3 ⋅6 x5 +3 ⋅9 x 4 +3 ⋅9 x 2 +3⋅ 11x +3 ⋅ 4 Factorizamos el termino común -3 ¿−3 ( 6 x5 −9 x 4−9 x 2−11 x−4 )

¿−

3 ( 6 x 5−9 x 4 −9 x 2−11 x−4 )

( 9 x 4 +9 x )

2

2

Factorizamos ( 9 x 4 + 9 x ) 2

(9 x4 + 9 x ) 9 x 4 +9 x

Factorizamos el termino común 9 x

9 x 4 +9 x Aplicamos las leyes de los exponentes ¿ 9 x 3 x +9 x Factorizamos el termino común 9 x ¿ 9 x ( x 3 +1 ) Aplicamos las leyes de los exponentes 2

¿ ( 9 x )2 ( x 3 +1 )

2

¿ 81 x2 ( x 3+ 1 )

¿−

3 ( 6 x 5−9 x 4 −9 x 2−11 x−4 ) 81 x2 ( x 3+ 1 )

2

Eliminamos los términos comunes 3 ¿−

6 x 5−9 x 4 −9 x 2−11 x−4 2 27 x2 ( x 3 +1 )

4. Ejercicio Estudia nte 4

d ¿¿ dx Aplicamos la regla del producto ¿

d ¿ dx

¿

d ¿ dx

Aplicamos la regla de la cadena

¿

df (u) df du = . dx du dx

d 7 d ( u ) (7 x3 +3) du dx

d 7 ( u )=7 u6 du

d (7 x 3 +3) dx ¿ 7 u6 .21 x 2 Sustituimos en la ecuación u = (7 x 3 +3)

¿7¿ Simplificamos

7

f ( x )=( 7 x 3 +3 ) . ( 7 x )9 x

¿ 14 x 2 ¿

d ¿ dx Aplicamos las leyes de los exponentes ¿

d 9 xln( 7 x ) (e ) dx

Aplicamos la regla de la cadena ¿

d u d (e ) (9 xln ( 7 x ) ) du dx

d u (e ) du Aplicamos la regla de la derivación ¿ eu

d ( 9 xln ( 7 x ) ) du Sacamos la constante ¿9

d ( xln (7 x ) ) dx

Aplicamos la regla del producto ¿9

( dxd ( x ) ∈( 7 x) + dxd (¿ ( 7 x ) ) x)

d ( x )=1 dx d 1 ∈ ( 7 x ) ¿= dx x

1 ¿ 9 1.∈ ( 7 x )+ x x

(

)

Simplificamos 1 ¿ 9 1.∈ ( 7 x )+ x x

(

)

9(¿ (7 x ) +1) ¿ eu . 9 ¿ Sustituimos en la ecuación u ¿ 9 xln(7 x)

e

9 xln (7 x)

.9 ¿

Simplificamos e 9 xln (7 x) ¿ 9 . 79 x x 9 x (¿ ( 7 x )+1) 7 9 x =40353607 x ¿ 9 . 40353607 x x 9 x (¿ ( 7 x ) +1) ¿ 14 x 2 (7 x3 +3) ¿ Simplificamos 3 . 72+9 x x 2+9 x ¿

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Ejercicio Estudia nte 4

4 xy

4 xy−

6y =6 2x

−6 y ∗2 x=6(2 x) 2x

4 xy−6 y=12 x En este caso vamos a tratar a y como una y (x) Derivamos a ambos lados de la ecuación con respecto a x d d ( 4 xy −6 y )= ( 12 x ) dx dx d ( 4 xy −6 y ) dx Aplicamos la regla de la suma / diferencia ¿

d d ( 4 xy ) − ( 6 y ) dx dx

d ( 4 xy ) dx Sacar la constante ¿4

d ( xy ) dx

Aplicamos la regla del producto

¿4

( dxd ( x ) y + dxd ( y ) x)

d (x) dx Aplicamos la regla de la derivación ¿1

(

¿ 4 1 ⋅+

d ( y) x dx

)

Simplificamos

(

¿4 y+x

d (y ) dx

)

d (6 y ) dx Sacamos la constante ¿6

d ( y) dx

(

¿4 y+x

d d ( y ) −6 ( y ) dx dx

)

d ( 12 x ) dx Sacamos la constante

¿ 12

d (x) dx

Aplicamos la regla de la derivación ¿ 12⋅1 Simplificamos ¿ 12

(

4 y+x

d d ( y ) −6 ( y ) =12 dx dx

)

Por conveniencia escribimos

d ( y ) como y ´ dx

4 ( y + x y ' )−6 y ' =12 Despejamos y´ 4 ( y + x y ' )−6 y ' =12 Expandimos 4 ( y + x y ' ) 4 y +4 x y ' −6 y ' =12 Restamos 4 y de ambos lados 4 y +4 x y ' −6 y ' −4 y=12−4 y Simplificamos 4 x y ' −6 y ' =12−4 y

Factorizamos4 x y ' −6 y ' Reescribimos como

¿ 2 ⋅2 y ' x−3 ⋅2 y ' Factorizamos el termino común 2 y ' ¿ 2 y ' ( 2 x −3 ) 2 y ' ( 2 x−3 )=12−4 y

Dividimos ambos lados entre 2 ( 2 x−3 ) 2 y ' ( 2 x−3 ) 12 4y = − 2 (2 x−3 ) 2 ( 2 x−3 ) 2 ( 2 x −3 )

Simplificamos

2 y ' ( 2 x−3 ) 2 (2 x−3 )

Dividimos y ' ( 2 x −3 ) } ¿ 2 x−3 Eliminamos términos comunes 2 x−3 ¿y Simplificamos

12 4y − 2 ( 2 x−3 ) 2 ( 2 x−3 )

12 4y − 2 ( 2 x−3 ) 2 ( 2 x−3 ) Aplicamos la regla

¿

a b a± ± = c c c

12−4 y 2 ( 2 x−3 )

Factorizamos 12−4 y

Reescribimos como ¿ 4 ⋅3−4 y Factorizamos el termino común 4 ¿ 4 ( 3− y ) ¿

4 ( 3− y ) 2 (−3+ 2 x )

Dividimos ¿

2 (− y +3 ) −3+ 2 x

Quitamos los paréntesis ¿

2 (− y +3 ) −3+ 2 x

y'=

2 (− y+3 ) −3+ 2 x

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio Estudia nte 4

f ( x )=10 x 2 +6 x+7

Derivada de orden superior

f ' ' ' ( x )=0

En este caso a la derivada de la primeraderivada sele denomina segunda derivada de la funci ó n primitiva f . Del mismo modo ,la derivada de la segunda derivada se llama terceraderivada de f , y as í sucesivamente . f ´ ( x )=20 x +6 f ´ ´ ( x )=20 f ´ ´ ´ ( x )=0

d (10 x 2 +6 x+7) dx Aplicamos la regla de la suma diferencia ¿

d ( 10 x2 ) + d ( 6 x ) + d (7) dx dx dx d ( 10 x 2) dx Sacamos la constante ¿ 10

d 2 (x ) dx

Aplicamos la regla de la potencia ¿ 10 .2 x 2−1 ¿ Simplificamos ¿ 20 x

d (6 x ) dx Sacamos la constante 6

d (x ) dx

Aplicamos la regla de la derivación ¿6.1 Simplificamos ¿6 d ( 7 )=0 dx La derivada de una constante es = 0 ¿ 20 x+ 6+0 ¿ 20 x+ 6 f ´ ( x )=20 x +6

d2 2 (10 x +6 x +7) 2 dx d ( 20 x+6 ) dx

d ( x )=1 dx

Aplicamos la regla de la suma/diferencia

d d ( 20 x ) + (6) dx dx d ( 20 x ) =20 dx d ( 6 ) =0 dx ¿ 20+0 Simplificamos ¿ 20 f ´ ´ ( x )=20

d3 2 10 x +6 x +7 3 dx d ( 20 ) dx La derivada de una constante es = 0 ¿0 f ´ ´ ´ ( x )=0

7. Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudia nte 4

a. f ( x )=6 x 2−10 x

¿

d ( 6 x 2 )− d (10 x ) dx dx

d (6 x 2 ) dx d (6 x 2 ) dx

Sacamos la constante 6

d 2 (x ) dx

Aplicar la regla de la potencia ¿ 6 . 2 x 2−1

a.

b. 2

f ( x )=6 x −10 x

f ( x )=ln ( x ) −6

Simplificamos ¿ 12 x

d (10 x ) dx Sacamos la constante 10

d (x) dx

Aplicamos la regla de derivación ¿ 10 .1 ¿ 10 ¿ 12 x −10

Como vemos en la imagen graficando la pendiente de la recta y la tangente en cada punto de la función cuadrática original siendo representada por una parábola vertical en la gráfica, obtenemos la función derivada siendo B la que nos deja el rastro de la función y h(x) la función como tal, coloreada de rojo.

b. f ( x )=ln ( x ) −6

d ∈ ( x )−6 dx Aplicamos la regla de la suma/diferencia ¿

d d ∈ ( x )− (6) dx dx

d ∈ ( x )) dx Aplicamos la regla de la derivación

¿

1 x

d 1 ∈ ( x ) ¿= dx x

d (6) dx La derivada de una constante es igual a 0 ¿0 1 ¿ −0 x Simplificamos ¿

1 x

Nuevamente vemos en la imagen que, graficando la pendiente de la recta, la tangente en cada punto de la función logarítmica original, obtenemos la función derivada, siendo B la que nos deja el rastro de la función y h(x) la derivada de la función como tal, coloreada de naranja.

8. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Asignaci ón Estudian te 4

Problemas A

Encontrar dos números tales que la suma de uno de ellos con el cubo del otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible.

B

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la

función

2 f ( x )= x 3−3 x +9 5

A Encontrar dos números tales que la suma de uno de ellos con el cubo del otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible.

Sean los números x e y Los representamos del siguiente modo y + x 3=108 Podemos obtener y en función de x y=108−x 3 Escribí y + x 3 en lugar dex + y 3para que al aislar yen función de xno tengamos que escribir la raíz cúbica.

La función del producto es p ( x ) =x . y ¿ x (108−x 3 ) ¿−x 4 +108 x Derivamos la función p ( x ) =−4 x 3 +108 Igualamos a 0 la derivada siguiente resolvemos la ecuación p ( x ) =0 −4 x3 +108=0

¿ √3 27=3 x=3 Estudiamos el signo de la derivada en ambos intervalos utilizaremos los puntos x=0 , x=4 p ( x ) =−4 x 3 +108 p ( 0 )=108> 0 p ( 4 )=−148