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DERIVADAS

Unidad 3: Tarea 3

Realizado por Maicol Vargas

Presentado a JUAN GABRIEL CABRERA

Universidad Nacional Abierta y a Distancia PROGRAMA: AGRONOMIA Calculo Diferencial CEAD DUITAMA Noviembre 12 2020

Introducción La derivación se constituye en una de las operaciones más importantes del cálculo y más cuando tratamos con funciones de variables reales puesto que nos ayuda a encontrar la razón de cambio de estas en un instante determinado o valor determinado de la variable, por tal razón se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con la que se produce un cambio de una situación, en esta unidad realizaremos una práctica necesaria para el entendimiento de la derivada y sus aplicaciones.

Ejercicios estudiante 1 Maicol Vargas

Ejercicio 1 Calcular por L’Hôpital los lim

x →1

ln x 2 x 2−1

Debemos derivar el denominador independiente. d (ln x2 ) dx lim x →1 d ( x 2−1) dx Derivamos el numerador

y

el

denominador

de

manera

d ( ln x 2 ) dx Derivamos términos de forma independiente. Aquí reemplazamos el 2 término por una variable nueva d 1 ( ln ( y ) ) = dx y Reducimos el exponente 1 pero como tiene que seguir existiendo los pasamos a multiplicar la expresión d 2 ( x )=2 x dx Ahora multiplicamos las derivadas de cada término. d ( ln x 2 )= 1 ∗2 x dx y Reemplazamos d ( ln x 2 )= 12∗2 x= 2 dx x x Derivamos el denominador. d 2 ( x −1 ) dx Derivamos cada término de forma independiente. d 2 d ( x )− ( 1 ) dx dx

Reducimos el exponente 1 pero como tiene que seguir existiendo los pasamos a multiplicar la expresión d 2 ( x )=2 x dx La derivada de una constante es 0 d ( 1 )=0 dx d 2 ( x −1 )=2 x−0=2 x dx 2 x lim x →1 2 x Ahora reemplazamos la x por 1. 2 1 2 lim = =1 2 x →1 2(1)

Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de la siguiente función: 2 ( x 3−x 2−2 ) f ( x )= x 2−3 x Aplicamos la regla del cociente. a a'∗b−a∗b ' '= b b2

()

2

(2 ( x3 −x 2−2 )∗(3 x 2−2 x ))∗(x 2−3 x)−( ( x 3−x 2−2 ) )∗(2 x−3) ( f (x) ) '= (x 2−3 x)2 Ejercicio 3 Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de la siguiente función: 2 f ( x )=x 3 ( 5 x+ 4 x 2 ) Aplicamos la formula ( u∗v )' =u∗v ' + v∗u ' 2

( u∗v )' =x 3∗2 ( 4 x 2+5 x )∗(8 x +5)+ ( 4 x 2 +5 x ) ∗3 x 2

( u∗v )' =2 x 3 ( 4 x 2+5 x ) (8 x +5)+3 x2 ( 4 x2 +5 x ) ( u∗v )' =x 4 ( 4 x +5)(28 x+25)

2

Ejercicio 4 Calcular la derivada implícita. Derivamos ambos lados de la igualdad, y cada vez que derivemos algo con y lo multiplicamos por y’. 6 x 2 y +5 y 3 +3 x 2=12−x 2 y Usamos la regla del producto. 6 ( 2 xy + x 2 y ' ) +15 y 2 y ' +6 x=0−x2 y ' −2 xy 12 xy+ 6 x 2 y ' +15 y 2 y ' +6 x=−x2 y ' −2 xy Movemos y’ a un solo lado de la ecuación 7 x 2 y ' +15 y 2 y ' =−14 xy −6 x Sacamos factor común de y’ y ' (7 x 2+15 y 2 )=−14 xy −6 x Despejamos y’ −14 xy−6 x y'= 7 x 2 +15 y 2 Ejercicio 5 Derivada de Orden superior f ( x )=4 x 3 +3 x + √ x Usamos la formula y ' =n un −1 u '. Cuando la se deriva una raíz esta se convierte a potencia. ' 1 1 −1 1 ( √ x) = 2 = 2 2 √x Ahora usamos ( x + y )' =x ' + y ' 1 f ' =12 x 2 +3+ 2 √x 1 1 1 '= ∗ ' 2 √x 2 √x

( )

( ) 1

−1 2 −1 x 1 2 '= 2 2 √x

( )

'

1

( 2√x )

=

−1 4x

3 2

1

f ' ' =24 x+ 0+ '

1

1 = ∗ 4

3

4 x2 1

( ) ( ) 4x

3 2

( ) ( ) 3

=

4 x2

'

1

4x

3 2

f ' ' ' ( x )=24 +

=

'

2 −32 −1 x 3 4

()

−

'

1

x

3 2

3 5

8 x2

3 5

8x2

Graficar las siguientes funciones en GeoGebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en GeoGebra”

f ( x )=xsen ( x ) +cos ( x)

f ( x )=cot ⁡(5 x)2

Graficas en GeoGebra de acuerdo con las indicaciones del contenido “Derivadas en GeoGebra”

Conclusiones

 Podemos concluir que las derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, en este trabajo vimos cómo se aplica en áreas y volúmenes, además también en nuestro estudio de ingeniería vemos como se aplica en diferentes áreas.  También comprobamos mediante el ejercicio grafico que la primera derivada de una función corresponde a la pendiente que tendrá la tangente con respecto a dicha función. (Edinson Medina Rivera)