• Author / Uploaded
• john moreno

Citation preview

ALGEBRA LINEAL CÓDIGO: 208046

Unidad 3: Tarea 3 - Espacios vectoriales

Presentado a: CARLOS ALBERTO BOCANEGRA

Entregado por: JOHN MORENO CASTAÑEDA 80819396 MIGUEL ANGEL ARAQUE 80904655 ANDRES RICARDO IZQUIERDO RODRIGUEZ 8092774 OMAR ANDRES RINCON

Grupo: 69

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 02 de Diciembre de 2018 Bogotá

Introducción

En el desarrollo de la presente actividad interpretaremos los diferentes axiomas, operaciones y propiedades relacionadas con espacios vectoriales para la realizacion de demostraciones matematicas, con el fin de dar solucion a los problemas con el debido procedimiento y resultados. De igual forma se dara uso a la estrategia basada en tareas (ABT), donde involucramos nuestros conocimientos previos y nuevos, asumiendo un rol especifico para la construccion final del trabajo colaborativo.

Descripción del ejercicio 1: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 3, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: El tema que elegí para el desarrollo del ejercicio 1 de la actividad tres es el siguiente b)   Combinación Lineal

Ejercicio 2 DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS a) Dados X =( 1,3,5 ) ;Y =( 2,4,5 ) ; Z= (1,0,2 ) vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. Primero se van a sumar solo dos vectores y ese vector resultante recibirá el nombre de M M = X+ Y M =[ ( 1,3,5 ) ] + [ ( 2,4,5 ) ] M =[ ( 1+2 ) , ( 3+4 ) , ( 5+5 ) ] M =[ ( 3,7,10 ) ] Luego se va a aplicar la ley conmutativa entre el vector Z y el vector resultante M M +Z =[ ( 3,7,10 ) ] + [ (1,0,2 ) ]=[ ( 3+1 ) , ( 7+ 0 ) , ( 10+2 ) ] =[ ( 4,7,12 ) ] Z+ M =[ ( 1,0,2 ) ] + [ ( 3,7,10 ) ]=[ (1+3 ) , ( 0+7 ) , ( 2+10 ) ] =[ ( 4,7,12 ) ] M +Z =[ ( 4,7,12 ) ] =Z+ M Así queda la demostración de la ley conmutativa entre tres vectores. b) Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales, usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use los valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. Se va a aplicar la primera ley distributiva que enuncia lo siguiente α ( X +Y +Z ) =α ( X ) + α ( Y )+ α ( Z ) Se van a reemplazar los vectores dados para hacer la demostración de la ley. α ( X +Y +Z ) =3 {[ ( 1,3,5 ) ]+ [ ( 2,4,5 ) ]+ [ (1,0,2 ) ] } ¿ 3 {[ ( 1+2+1 ) ] , [ ( 3+ 4+ 0 ) ] , [ ( 5+5+2 ) ] } ¿ 3 [ ( 4,7,12 ) ]

¿ [ 3 ( 4 ) ,3 ( 7 ) , 3 (12 ) ] ¿ [ ( 12,21,36 ) ] α ( X ) +α ( Y ) +α ( Z )=3 [ ( 1,3,5 ) ] +3 [ ( 2,4,5 ) ]+ 3 [( 1,0,2 ) ] ¿ [ 3 ( 1 ) , 3 ( 3 ) , 3 ( 5 ) ]+ [ 3 ( 2 ) , 3 ( 4 ) , 3 ( 5 ) ] + [ 3 (1 ) , 3 ( 0 ) ,3 ( 2 ) ] ¿ [ ( 3,9,15 ) ] + [ ( 6,12,15 ) ] + [ ( 3,0,6 ) ] ¿ [ ( 3+6+3 ) , ( 9+12+ 0 ) , ( 15+15+6 ) ] ¿ [ ( 12,21,36 ) ] α ( X +Y +Z ) =[ (12,21,36 ) ] =α ( X )+ α ( Y ) +α ( Z ) Así queda la demostración de la primera parte de la ley distributiva entre tres vectores. Se va a aplicar la segunda ley distributiva que enuncia lo siguiente

( α + β )( X )=α ( X )+ β ( X ) Se van a reemplazar los vectores dados para hacer la demostración de la ley.

( α + β )( X )=( 3+4 ) [ ( 1,3,5 ) ] ¿ ( 7 [ ( 1,3,5 ) ] ) ¿ [ 7 ( 1 ) ,7 ( 3 ) , 7 ( 5 ) ] ¿ [ ( 7,21,35 ) ] α ( X ) + β ( X )=3 [ ( 1,3,5 ) ]+ 4 [ ( 1,3,5 ) ] ¿ [ 3 ( 1 ) , 3 ( 3 ) , 3 ( 5 ) ]+ [ 4 ( 1 ) , 4 ( 3 ) , 4 ( 5 ) ] ¿ [ ( 3,9,15 ) ] + [ ( 4,12,20 ) ] ¿ [ ( 3+ 4 ) , ( 9+12 ) , ( 15+20 ) ] ¿ [ ( 7,21,35 ) ]

( α + β )( X )=( 3+4 ) [ ( 1,3,5 ) ]=α ( X )+ β ( X )

Así queda la demostración de la segunda parte de la ley distributiva entre tres vectores.

Ejercicio 3 a) Dado el conjunto S= { U 1 ,U 2 } donde U 1= (5,1 ) y U 2=(−3 ,−2) Demostrar que S genera a R2. Se va a escribir m, n como una Combinación Lineal de U 1 y U 2, se tiene lo siguiente: m 5 −3 =a +b n 1 −2

[ ] [] [ ]

Seguido, se va a reducir la matriz dada para así hallar los valores de a , b

[ 51

−3 ⋮ m F → F 2 −2 n 1

[ 15

−2 ⋮ n F =F −5 F 2 1 −3 m 2

[ 10

−2 ⋮ n F =7 F1 +2 F2 7 m−5 n 1

] ]

]

[

F1 7 0 ⋮ 2 m−3 n 7 0 7 m−5 n F 2 7

[

2m−3 n 1 0⋮ 7 0 1 m−5 n 7

]

]

Los valores de a y b son los siguientes:

a=

2m−3 n 7

;

b=

m−5 n 7

Se va a realizar la comprobación reemplazando el valor de a y b llegando a n y m nuevamente: m=5 a−3 b 2m−3 n m−5 n ¿5 −3 7 7 10 m−15 n 3 m−15 n ¿ − 7 7 10m−15 n−3 m+15 n ¿ 7 10m+3 m ¿ 7 7m ¿ 7

[

[

] [ ][

]

]

¿m n=a−2b 2 m−3 n m−5 n ¿ −2 7 7 2 m−3 n 2 m−10 n ¿ − 7 7 2m−3 n−2 m+ 10 n ¿ 7 −3 n+10 n ¿ 7 7n ¿ 7 ¿n

[ [

] [ ][

]

]

^ 9 ^j y ´v =−i+9 ^ ^j ¿es correcto afirmar que el vector b) Dados los vectores u´ =−6 i+ ^ ^j es una combinación lineal de u´ y ´v? Justificar la respuesta. w=−11 ´ i−9 Se va a escribir w como una Combinación Lineal de u y v, se tiene lo siguiente: −6 −1 =a +b [−11 −9 ] [ 9 ] [ 9 ] Seguido, se va a reducir la matriz dada para así hallar los valores de a , b

[−69

−1 ⋮ −11 R2 9 −9 9

[−61

−1 −11 ⋮ R → R2 1 −1 1

[−61

1 −1 ⋮ R =R 2+ 6 R 1 −1 −11 2

[ 10 [

] ] ]

1 −1 ⋮ R =5 R1−R 2 5 −17 1

]

R1 5 0 ⋮ 12 5 0 5 −17 R2 5

]

12 1 0⋮ 5 0 1 −17 5

[ ] Los valores de a y b son los siguientes: 12 a= ; 5

b=

−17 5

Se va a realizar la comprobación reemplazando el valor de a y b llegando a los valores dados: −11=−6 a−b 12 17 ¿−6 + 5 5 72 17 ¿− + 5 5 55 ¿− 5 ¿−11

( )

−9=9 a+ 9 b 12 −17 ¿9 +9 5 5

( ) ( )

108 153 − 5 5 45 ¿− 5 ¿−9 ¿

Ejercicio 4 De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule: 7 −9 −11 A= 3 4 −1 4 −13 −10

[

a) b) c) d)

]

Determinante. Rango. Matriz escalonada usando Gauss Jordan. Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal.

a) Determinante.

SOLUCION: Determinante

Det ( A) = (7)det

[−134 3 det [ −14 det [ 3 −14 det

[−134

−1 3 −1 3 4 −(−9)det −(11) det −10 −14 −10 4 13

]

−1 =−53 −10 −1 =−26 −10 −1 =−55 −10

] ] ]

(7)(−53)−(−9)(−26)−(−11)(−55)=0

[

]

[

]

b) Rango.

[ [ [ [

7 −9 −11 0 3 4 −1 ⋮ 0 F 2=7 F 2−3 F1 4 −13 −10 0

] ] ]

7 −9 −11 0 0 55 26 ⋮ 0 F 3=7 F 3−4 F1 4 −13 −10 0 7 −9 −11 0 0 55 26 ⋮ 0 F3 =F3 + F 2 0 −55 −26 0 7 −9 −11 0 0 55 26 ⋮ 0 0 0 0 0

]

7 −9 De lo anterior, los vectores son Linealmente Independientes gen= 3 , 4 4 −13

{( ) ( )}

c) vamos a reducir la matriz por el método de Gauss Jordan

[ [ [

7 −9 −11 0 3 4 −1 ⋮ 0 F 2=7 F 2−3 F1 4 −13 −10 0

] ] ]

7 −9 −11 0 0 55 26 ⋮ 0 F 3=7 F 3−4 F1 4 −13 −10 0 7 −9 −11 0 0 55 26 ⋮ 0 F1 =55 F 1 +9 F2 0 −55 −26 0

[ [ [ [

385 0 −371 0 0 55 26 ⋮ 0 F 3=F 3+ F 2 0 −55 −26 0

]

385 0 −371 0 F 1 0 55 26 ⋮ 0 385 0 0 0 0

] ]

1 0 −53/55 0 F 2 0 55 26 ⋮ 0 55 0 0 0 0 1 0 −53 /55 0 0 1 26 /55 ⋮ 0 0 0 0 0

]

d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal. En el inciso a tenemos que el determinante es igual a cero, por lo tanto, es linealmente dependiente. En el inciso b tenemos que el rango está generado solo por dos vectores, implica que los vectores son Linealmente Independientes. Del inciso c tenemos que al encontrar la matriz escalonada llegamos a un renglón de ceros, entonces eso nos dice que es linealmente dependiente.

Ejercicio 5 Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a) V 1=(0,2,2). V 2=( 3,3,3) . V 3=( 0,0,4). Se van a escribir matricialmente los vectores 0 3 0 2 3 0 2 3 4

[ ]

Se va a reducir la matriz hallada para encontrar los pivotes y determinar la independencia lineal. 0 3 0 (R ¿ ¿2 → R )¿ 2 3 0 ( R1 → R2 ) 2 3 4

[ ] [ ]

1

2 3 0 R1 0 3 0 R1 → 2 2 3 4

3 2 3 3

[ ] 1 0 2

0 0 4

R3 → R3 −2 R 1

3 2 3 0

[ ] [ ] 1 0 0

1 0 0

3 2 1 0

[ ] 1 0 0

0 0 1

R 1 → R 1−

3 2 1 0

0 0 4

R2 → R2/3

0 0 4

R3 →

R3 4

R23 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

[ ] Como la reducción muestra que tiene tres pivotes, entonces es linealmente independiente. b) V 1=(6 ,−2, 8) .V 2=

( 12 , 4 , 0) . V =(−10 ,6 ,2). V =(2,1,4). 3

4

Se van a escribir matricialmente los vectores

[

6 −2 8

1 −10 2 2 4 6 1 0 2 4

]

Se va a reducir la matriz hallada para encontrar los pivotes y determinar la independencia lineal.

[ [ [ [ [ [ [ [ [

6 1 /2 10 2 0 −2 4 6 1 ⋮ 0 F 2=3 F 2 + F1 8 0 24 0

]

]

6 1/2 10 2 0 0 25 /2 28 5 ⋮ 0 F 3=6 F 3−8 F 1 8 0 24 0

]

6 1/2 10 1 0 25 0 25 /2 28 5 ⋮ 0 F1= F 1−F 2 2 0 −4 −68 8 0

]

150 0 222 45 0 25 0 25 /2 28 5 ⋮ 0 F3 = F 3 + 4 F2 2 0 −4 −68 8 0

]

150 0 222 45 0 0 25 /2 28 5 ⋮ 0 F 1=738 F 1 +222 F 3 0 0 −738 120 0

]

110700 0 0 59850 0 0 25/2 28 5 ⋮ 0 F 2=738 F2 +28 F 3 0 0 −738 120 0

] ]

110700 0 0 59850 0 F1 0 9225 0 31810 ⋮ 0 110700 0 0 −738 120 0 1 0 0 133/246 0 F 2 0 9225 0 31810 ⋮ 0 9225 0 0 −738 120 0

]

1 0 0 133/246 0 F 3 0 1 0 6362/1845 ⋮ 0 −738 0 0 −738 120 0

]

[

1 0 0 133/246 0 0 1 0 6362/1845 ⋮ 0 0 0 1 −20/123 0

]

Como la reducción muestra que tiene tres pivotes y cuatro incógnitas, entonces es linealmente dependiente. Ejercicio 6 Demostrar lo siguiente: Si A y B son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo: a. Rango (AB)= rango (Bt At ) tenga presente el orden de las matrices. b. Si A no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes. a. Rango (AB)= rango (Bt At ) tenga presente el orden de las matrices. Rango (AB) = Rango (BtAt) Para resolver este ejercicio asumamos que la raíz AB es tal que: AB = mx1 AtBt=1xm De modo que podríamos afirmar que la fila de rango es igual a la columna de rango, de modo que el rango de una matriz siempre es igual al rango de su matriz traspuesta. b. Si A no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes. Si A, es una matriz cuadrada, puede llegar a establecerse un sistema de ecuaciones de una sola solución de tal modo que se valide la independencia lineal da misma, pues se tiene la misma cantidad de elementos que de relaciones (filas y columnas), en cambio si la cantidad de soluciones es menor o mayor directamente serán dependientes las filas entre sí.

Conclusiones 

En el desarrollo de la presente actividad se presentaron de forma clara y precisa la temática escogida utilizando el recurso cmaptools, para construcción del mapa conceptual, cumpliendo con todos los criterios de la guía.



Se identificaron los espacios vectoriales a través de sus axiomas y propiedades de acuerdo al conjunto de vectores expuestos en la actividad.



Se usaron conceptos de combinación lineal y espacios generadores al demostrar de una forma adecuada lo requerido. Se aplicó el rango, determinante y matriz escalonada a través de operaciones elementales entre filas, para resolver correctamente uno de los ejercicios a resolver.





Mediante el concepto de dependencia e independencia lineal se demostró adecuadamente el cumplimiento de ésta propiedad en el conjunto de vectores.

Bibliografía  

 





Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 241-245 Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081 Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas  61 a la 30. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=76&docID=11013215&tm=1468971154423 Saenz, W. (2017). Introducción a los espacios vectoriales. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11544 Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse Grupo Editorial Patria.  Disponible en la Biblioteca virtual UNAD. Páginas 72 a la 90. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=76&docID=11013205&tm=1469034479383 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Colombia: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca virtual.  Paginas 113 a la 114. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=123&docID=10584265&tm=1469034812986 Gutiérrez, G. I., & Robinson, E. B. J. (2012). Álgebra  lineal. Colombia: Universidad del Norte. Disponible en Biblioteca virtual. Paginas 20 a la 27. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=32&docID=10584172&tm=1469035022652