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Unidad 3: Tarea 3 - Aplicaciones de las integrales

Magda Martínez CC. 1115851084 Edna Lorena Gómez Rodríguez CC. 1.118.552.957 José Fernando Sendoya CC.1.022.362.206 Narly Linares CC. 1.116.862.420 Maribelcy Chavita Ortiz CC.

100411_400 Grupo

Guillermo Alejandro Sarmiento Tutor

UNAD- Universidad Nacional Abierta y a Distancia Facultad de Ciencias Administrativas Calculo Integral Cead- Yopal Casanare Mayo 2019

ii Tabla de Contenidos Introducción .................................................................................................................................... 3 Solución Tipo de ejercicios 1 .......................................................................................................... 4 Solución Tipo de ejercicios 2 .......................................................................................................... 8 Solución Tipo de ejercicios 3 ........................................................................................................ 16 Solución Tipo de ejercicios 4 ........................................................................................................ 21 Tabla de videos explicativos ......................................................................................................... 27 Conclusión .................................................................................................................................... 28 Bibliografía ................................................................................................................................... 29

3 Introducción El cálculo integral es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución, también en la economía y en los procesos variables que encontramos a nuestro alrededor. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos, el resultado de una integral definida por ende, es un valor inmediato, real o imaginario. Una integral indefinida, carece de límites que delimiten la anti derivada, así que su resultado es una expresión variable, en la que debemos adicionar un complemento C, para evidenciar su variabilidad. Nuestro entorno está rodeado de fenómenos, de procesos, de sucesos que involucran matemáticas, y gran parte de estos involucran variaciones, variaciones que debemos estimar y anti derivar, para comprender más profundamente estas situaciones y sacar correctas conclusiones. En ese contexto, en el presente trabajo colaborativo, se busca desarrollar problemas propuestos dela Guía de actividades que contemplan los aspectos prácticos de las aplicaciones integrales

4 Solución Tipo de ejercicios 1 Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Solución Edna Gómez Ejercicio a. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝐹(𝑥) = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas. 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 (𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟏) = 𝟎 𝐱=𝟏 𝟑𝐱 + 𝟏 = 𝟎 𝟑𝐱 = −𝟏 𝟏 𝐱=− 𝟑 𝒙 = 𝟏 ; 𝒙 = −𝟎. 𝟑 𝟏

𝑨 = ∫ [(𝟐𝒙 − 𝟏) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐)] 𝒅𝒙 −𝟎.𝟑 𝟐

𝑨 = ∫ 𝟑𝒙 − 𝟐 − (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝑪 𝟏

𝑨 = ∫ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 − (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = −𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟖𝟓𝟔𝟑 −𝟎𝟑𝟑

𝑨 = −𝟏. 𝟏𝟗 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔

5 Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Solución Narly Linares Ejercicio b. b. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 . Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas.

Igualamos las dos curvas 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) −𝑥 3 + 3𝑥 = 𝑥 2 −𝑥 3 − 𝑥 2 + 3𝑥 = 0 Resuelvo el polinomio −𝑥 3 − 𝑥 2 + 3𝑥 = 0 𝑥(−𝑥 2 − 𝑥 + 3) = 0 Factorizo −𝑥 2 − 𝑥 + 3 = 0 Las Raices 1 13 13 1 𝑥 = − − √ ,𝑥 = √ − 2 2 2 2 Fórmula para obtener el área 𝑏

∫⌊𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)⌋𝑑𝑥 𝑎

𝑔(𝑥) La curva se encuentra por encima de 𝑓(𝑥) el área Íntegro y evaluó 1 𝐴1 = (73 + 13√13) 24 Íntegro y evaluó 1 𝐴2 = (73 − 13√13) 24

6 73 12 Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Solución José Sendoya Ejercicio c. 𝐴1 + 𝐴2 =

Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Solución Maribelcy Chavita Ortiz Ejercicio d.

Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Solución Magda Martinez Ejercicio e. Encontrar el centroide de la región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = 4 − (𝑥 − 2)2 y la Recta 𝑥 − 𝑦 = 0. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale el centroide de la región del ejercicio. 𝑓(𝑥) = 4 − (𝑥 − 2)2 𝑥−𝑦 =0→𝑦 =𝑥 4 − (𝑥 − 2)2 = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 = 𝑥 0 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑥 0 = 𝑥(𝑥 − 3) 𝑥 =0 ∧𝑥 =3 Primero encontramos el área entre las funciones: 3

𝐴 = ∫ [4 − (𝑥 − 2)2 − 𝑥]𝑑𝑥 0 3

3 3 1 3 𝐴 = ∫ [4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 − 𝑥] 𝑑𝑥 = ∫ [−𝑥 2 + 3𝑥]𝑑𝑥 = − 𝑥 3 + 𝑥 2 ] 3 2 0 0 0 1 3 9 𝐴 = [− (3)3 + (3)2 ] − [0] = 3 2 2 Ahora encontramos el componente x del centroide: 𝑏 ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑥̅ = 𝐴 3 (𝑥 𝑥[4 − − 2)2 − 𝑥]𝑑𝑥 ∫0 𝑥̅ = 9 2 3 2 ∫ 𝑥[4 − 𝑥 + 4𝑥 − 4 − 𝑥]𝑑𝑥 𝑥̅ = 0 9 2

7 3

𝑥̅

𝑥̅

𝑥̅ 𝑥̅ 𝑥̅

∫ 𝑥[−𝑥 2 + 3𝑥]𝑑𝑥 = 0 9 2 3 3 ∫ [−𝑥 + 3𝑥 2 ]𝑑𝑥 = 0 9 2 3 4 𝑥 3 3 − 4 + 3𝑥 ] 0 = 9 2 2 −(3)4 04 3 = [( + (3) ) − ( + 03 )] 9 4 4 2 27 3 = [ ] = = 1.5 9 4 2 componente y del centroide:

Luego encontramos el 1 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 ]𝑑𝑥 2 𝑦̅ = 𝐴 1 3 ∫0 [(4 − (𝑥 − 2)2 )2 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥 2 𝑦̅ = 9 2 2 3 𝑦̅ = ∫ [16 − 8(𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2)4 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥 18 0 1 3 𝑦̅ = ∫ [16 − 8(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) + 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 24𝑥 2 − 32𝑥 + 16 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥 9 0 1 3 𝑦̅ = ∫ [16 − 8𝑥 2 + 32𝑥 − 32 + 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 24𝑥 2 − 32𝑥 + 16 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥 9 0 1 3 4 𝑦̅ = ∫ (𝑥 − 8𝑥 3 + 15𝑥 2 )𝑑𝑥 9 0 3 1 𝑥 5 8 4 15 3 𝑦̅ = [ − 𝑥 + 𝑥 ] 9 5 4 3 0 1 (3)5 𝑦̅ = [ + 2(3)4 + 5(3)3 − (0)] 9 5 1 108 12 𝑦̅ = [ ]= = 2.4 9 5 5

8 3 12

El centroide queda en 𝐶 (2 , 5 )

Solución Tipo de ejercicios 2 Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Solución Edna Gómez Ejercicio a. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 4𝑥 2 − 3𝑥 + 1 y las verticales x=0 y x=3 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo.

9

10 Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Solución Narly Linares Ejercicio b. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las 1 curvas 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑦, 𝑔 = 𝑥 2 + 1 Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo

𝑓(𝑥) = 𝑒ˣ 1 𝑔(𝑥) = 2 𝑥 +1 Buscamos el punto de corte entre las gráficas, tales que: 𝑒ˣ =

𝑥2

1 +1

(𝑥² + 1) · 𝑒ˣ = 1 𝑥 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑦 = 1.

Como girará alrededor del eje 'y' debemos dejar todas las funciones respecto a esta variable. 𝑦 = 𝑒ˣ ⇒ 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑦) 1 𝑦 = 1/(𝑥² + 1) ⇒ 𝑥 = √ − 1 𝑦 ninguna de las dos funciones existe en y =0.

𝑉 = ∫ 𝜋 · 𝑟²(𝑦) 𝑑𝑦 Entonces, radios internos se suman, radios externos se restan, tenemos que: 𝑉 = ∫ ₀₊¹ 𝜋 · [√(1/𝑦 − 1)]² − ∫ ₀₊¹ 𝜋 · (𝑙𝑛𝑦)² 𝑑𝑦

Resolvemos la primera integral, tal que: 1

𝐼₁ = ∫ ₀₊¹ 𝜋 · [√𝑦 − 1]

2

11

𝐼1 = ∫

0+1

1

𝜋 · (𝑦 − 1) 𝑑𝑦 0+1

1

𝐼 = 𝜋·∫

1 ( − 1) 𝑑𝑦 𝑦

𝐼₁ = 𝜋 · [𝑙𝑛𝑦 − 𝑦]0+1

Aplicamos teoría de impropia, sustituimos el 0⁺ por una variable y sacamos el límite, tal que: 𝐼₁ = 𝑙𝑖𝑚(𝑤 → 0⁺) [𝑙𝑛(1) − 1] − [𝑙𝑛𝑤 − 𝑤] = −∞

12 Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Solución José Sendoya Ejercicio c. Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las gráficas de (𝑥) = √4𝑥, entre las rectas x=0 y x=3. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. Al rotar alrededor del eje x la curva 𝒇(𝒙) = √𝟒𝒙 limitada por las rectas 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟑, se obtiene un sólido de revolución cuyo volumen 𝑽 = 𝟏𝟖𝝅 Explicación: De las condiciones del problema se tiene que el área que rotará alrededor del eje x está definido por 𝒇(𝒙) = √𝟒𝒙 𝒙=𝟎 𝒙=𝟑 Ahora bien, para calcular volúmenes de sólidos de revolución se aplica la expresión 𝑽 = 𝝅∫ (𝒇(𝒙)²𝒅𝒙 Evaluada en los puntos 𝒙=𝟎𝒚𝒙=𝟑 𝑽 = 𝝅∫ (√𝟒𝒙)² = 𝟒𝝅∫ 𝒙𝒅𝒙 Evaluada en los puntos 𝒙=𝟎𝒚𝒙=𝟑 𝑽 = 𝟒𝝅(𝒙²/𝟐) Evaluada en los puntos 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟑 𝑽 = 𝟒𝝅(𝟗/𝟐 − 𝟎) = 𝟑𝟔𝝅/𝟐 Entonces 𝑽 = 𝟏𝟖𝝅 Respuesta Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Solución Maribelcy Chavita Ortiz Ejercicio d.

13

Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Solución Magda Martinez Ejercicio e. Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las gráficas de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2 y la recta 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.

Puntos de corte:

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4

𝑥2 + 2 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 𝑥 + 2 − 4 = 0 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 𝑥 = 2 ∧ 𝑥 = −1 𝐴(2,6) 𝐵(−1,3)

14

Método de arandelas: 𝑓(𝑥): 𝑦 = 𝑥 2 + 2 𝑥 = √𝑦 − 2

15 𝑔(𝑥): 𝑦 = 𝑥 + 4 𝑥 =𝑦−4 Se divide la región en dos integrales: una entre 𝑦 = 2 y 𝑦 = 4, y otra entre 𝑦=4y𝑦=6 4

6

2

2

𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑦 − 2) 𝑑𝑦 + 𝜋 ∫ [(√𝑦 − 2) − (𝑦 − 4)2 ] 𝑑𝑦 2 4

6

4

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑦 − 2)𝑑𝑦 + 𝜋 ∫ [𝑦 − 2 − 𝑦 2 + 8𝑦 − 16]𝑑𝑦 2

4

4

6 𝑦2 𝑉 = 𝜋 [ − 2𝑦] + 𝜋 ∫ (−𝑦 2 + 9𝑦 − 18) 𝑑𝑦 2 4 2

6 42 22 1 3 9 2 𝑉 = 𝜋 [ − 2(4) − ( − 2(2))] + 𝜋 [− 𝑦 + 𝑦 − 18𝑦] 2 2 3 2 4 1 9 1 9 𝑉 = 𝜋[0 − (−2)] + 𝜋 [− (6)3 + (6)2 − 18(6) − (− (4)3 + (4)2 − 18(4))] 3 2 3 2 64 10 16 𝑉 = 2𝜋 + 𝜋 [−18 − (− )] = 2𝜋 + 𝜋 = 𝜋 3 3 3

x

y

16

Solución Tipo de ejercicios 3 Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Solución Edna Gómez Ejercicio a. Un gas ideal es aquel que presenta interacciones moleculares despreciables a presiones bajas o temperaturas altas. Se sabe que el trabajo realizado por el sistema (gas ideal) se calcula mediante la siguiente integral: W=-∫_v1^v2▒〖p dv〗 Tenga en cuenta que el trabajo realizado por el gas al expandir su volumen es negativo, dado que el gas debe contrarrestar la presión externa y realiza trabajo cediendo energía mecánica al medio. Ahora, el trabajo realizado por el gas al comprimirse debe ser positivo debido a que el medio es quien aporta la energía en forma de trabajo para reducir su volumen. Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación: Si se tiene un sistema comprendido por 4,5 moles de un gas ideal contenido en un recipiente cerrado y es sometido a un proceso isotérmico (temperatura constante de 300°K), transcurrido un tiempo, el gas sufre algunos cambios determinados por la siguiente expresión 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Donde, P= Presión del gas V= Volumen del gas N= Numero de moles del gas R= constante de los gases = 0,082 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎.∗𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑙∗𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 T=Temperatura del gas. Calcular el trabajo realizado por el gas si sufre una expansión de 2,3 Litros a 6,8 Litros Calcular el trabajo realizado por el gas si se comprime de 4,45 Litros a 1 Litro

Rta/ El trabajo realizado por la expansión del gas (2,3L a 6,8L) es de 12.156J El trabajo realizado por la compresión del gas (4,5L a 1L) es de -16.866,45 J Explicación paso a paso: Datos del enunciado: Proceso isotérmico: Temperatura constante; T = 300 K n = 4,5 mol R = 0,082 (atm.*L)/ (mol*K) Para el cálculo del trabajo desarrollamos la integral: W₁₂ = ∫²₁ PdV = ∫²₁ nRT₀/VdV = nRT₀∫²₁ 1/VdV W₁₂ = nRT₀ ln (V₂/V₁) Proceso de expansión V₁ = 2,3 L

17 V₂ = 6,8 L Ahora sustituimos los valores de los volumenes en la ecuacion de trabajo, quedando: W₁₂ = 4,5 mol * 0,082 (atm.*L)/(mol*K) * 300 K ln (6,8 L/2,3 L) W₁₂ = 120 atm L = 120 amt L * 101,3 J / 1 amt L = 12.156 J Proceso de compresión V₁ = 4,5 L V₂ = 1 L Aplicando el mismo procedimiento que el inciso anterior: W₁ ₂ = 4,5 mol * 0,082 (atm.*L)/ (mol*K) * 300 K ln (1 L/4,5 L) W₁₂ = -166,5 atm L = -166,5 amt L * 101,3 J / 1 amt L = -16.866,45 J

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Solución Narly Linares Ejercicio b. En un laboratorio químico se desea probar el efecto de un jabón antibacterial cuyo componente antibacteriano activo es el cloroxilenol (C8H9OCl). Para realizar la prueba se sitúa una población de 1071 bacterias en un recipiente denominado placa de Petri y se les 𝑡 1 proporciona una dosis determinada de cloroxilenol a razón de 1000 𝑒 ⁄2 bacterias por minuto. Si

𝑑𝐵𝑎 𝑑𝑡

representa la variación de población de bacterias con respecto al tiempo.

i. Determine cuantas bacterias se verán afectadas en el intervalo de 5 a 25 minutos i. ¿Cuánto tiempo después de aplicada la dosis de cloroxilenol se afectará toda la población de bacterias en la prueba? El compuesto afectará a todas las bacterias después de t= 29,15 min.

RTA/ calcular la expresión que determina la variación de las bacterias: 𝑑𝐵𝑎/𝑑𝑡 = (

1 𝑡 𝑒 ⁄2 ) 1000

𝑑𝐵𝑎 1 𝑡 = 𝑒 ⁄2 𝑑𝑡 2000

18 Determine cuantas bacterias se verán afectadas en el intervalo de 5 a 25 minutos 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =

5 1 25 ( 𝑒 ⁄2 − 𝑒 2 ) 2000

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 134,16 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠. ¿Cuánto tiempo después de aplicada la dosis de cloroxilenol se afectará toda la población de bacterias en la prueba?

1071 =

1 𝑡 𝑒 ⁄2 2000

𝑡 = 29,15 𝑚𝑖𝑛

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Solución José Sendoya Ejercicio c. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Se requiere una fuerza de 38 N para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 12 cm a una longitud de 17 cm. 

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 17 a 19 cm?



¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 18 a 20 cm?

Explicación Ley de hooke enuncia: 𝐹 = 𝑘 ∗ 𝛥𝑋 Datos del enunciado: 𝐹 = 38 𝑁 𝛥𝑋 = (17 − 12) = 5 𝑐𝑚. Primero vamos a hallar el valor de la constante elástica del resorte: 𝑘 = 38/5 𝑘 = 7,6 𝑁/𝑐𝑚

19

i.

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 17 a 19 cm?

El trabajo se calcula como: 𝑊 = 1/2 𝑘 ∗ 𝛥𝑥² De modo que: 𝑊 = 1/2(7,6 𝑁/𝑐𝑚) ∗ (19 − 17𝑐𝑚)² 𝑊 = 7,6 𝐽 El trabajo necesario para estirar de 17 a 19 cm es de 𝑊 = 7,6 𝐽

ii.

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 18 a 20 cm? 𝑊 = 1/2 ∗ 7,6 ∗ (20 − 18) 𝑊 = 7,6 𝐽

El trabajo necesario para estirarlo de 18 a 20 m es de 𝑊 = 7,6 𝐽

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Solución Maribelcy Chavita Ortiz Ejercicio d. Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Solución Magda Martinez Ejercicio e. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Un resorte tiene una longitud natural de 0,3 metros y una fuerza de 60 N lo estira a 0.36 metros.

i.

Hallar el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural a 0,4 metros. Sea 𝑓(𝑥) la fuerza requerida para estirar el resorte x metros más allá de su longitud natural: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 Como 𝑓(0.36) = 60𝑁, se tiene: 60 = 𝑘 ∙ 0.36

20 60 0.36 60 𝑓(𝑥) = 𝑥 0.36 Como el resorte se estira de 0 a 0.4 metros, el trabajo será: 𝑘=

0.4

𝑤 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 0.4

60 𝑥𝑑𝑥 0.36 0 60 1 2 0.4 60 0.42 𝑤= ∙ 𝑥 ] = ∙( ) = 13.33 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 0.36 2 0.36 2 0 𝑤=∫

ii.

Hallar el trabajo realizado al estirar el resorte de a 0,4 a 0,6 metros. 0.6

𝑤 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0.4 0.6

60 𝑥𝑑𝑥 0.4 0.36 60 1 2 0.6 60 0.62 0.42 𝑤= ∙ 𝑥 ] = ∙( − ) = 16.66 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 0.36 2 0.36 2 2 0.4 𝑤=∫

21 Solución Tipo de ejercicios 4 Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Solución Edna Gómez Ejercicio a. La potencia eléctrica es una medida de la energía consumida por segundo en cualquier equipo electrónico. La siguiente ecuación determina la potencia en función del tiempo, que consume un dispositivo electrónico durante su funcionamiento. (𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) + 0.27 •

Determinar la potencia promedio que dicho dispositivo ha consumido a lo largo de

los primeros 35 segundos de funcionamiento. •

¿Cuánto sería el valor promedio de la potencia del mismo dispositivo en el intervalo

de tiempo comprendido entre 40 y 85 segundos? – Explique el resultado en comparación con el valor obtenido en el primer intervalo. •

¿En qué circunstancia el valor promedio entre los dos intervalos sería igual?

Rta/ i. La potencia promedio = [1,27+0,61]/2= 0,94 ii. La potencia promedio = [0,44-0,71]/2= 0,13 Explicación paso a paso: La potencia en función del tiempo, que consume un dispositivo electrónico durante su funcionamiento viene dada por la siguiente expresión: p (t)=Cos (2t)+0,27 i. Determinar la potencia promedio que dicho dispositivo ha consumido a lo largo de los primeros 35 segundos de funcionamiento: La potencia promedio = [p (0)+p (35)]/2 p (0)=Cos0+0,27 p (0)= 1,27 p (35)=Cos70+0,27 p (35)=0,61

22 La potencia promedio = [1,27+0,61]/2= 0,94 ii. ¿Cuánto sería el valor promedio de la potencia del mismo dispositivo en el intervalo de tiempo comprendido entre 40 y 85 segundos? La potencia promedio = [p (40)+p (85)]/2 p (40)=Cos80+0,27 p (40)= 0,44 p (85)=Cos170+0,27 p (85)=-0,71 La potencia promedio = [0,44-0,71]/2= 0,13 ¿En qué circunstancia el valor promedio entre los dos intervalos sería igual? Para que la potencia media de ambos intervalos sea la misma se necesitaría que los numeradores sumaran lo mismo.

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Solución Narly Linares Ejercicio b. El costo marginal de un producto cuando se producen x unidades es −3𝑥 2 + 60𝑥 + 4000 pesos por unidad. Si el coste total de producción de las 10 primeras unidades es de 90000. ¿Cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades? 𝑑𝑐 𝑑𝑥

= −3𝑥 2 + 60𝑥 + 4000

𝐶(𝑥) = ∫(−3𝑥 2 + 60𝑥 + 4000 )dx 𝐶(𝑥) = ∫ −3𝑥 2 dx + ∫ 60𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4000𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = −

3𝑥 3 60𝑥 2 + + 4000𝑥 + 𝐾 3 2

23 Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000 𝐶(10) = −

3 ∗ 103 60 ∗ 102 + ∗ 4000 ∗ 10 + 𝐾 = 90000 3 2

42000 + 𝐾 = 90000 Entonces; 𝐾 = 90000 − 42000 = 48000 𝐶(𝑥) = −𝑥 3 + 30𝑥 2 + 4000𝑥 + 48000 ¿Cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades? 𝐶(𝑥) = −503 + 30 ∗ 502 + 4000 ∗ 50 + 48000 𝐶(𝑥) = 198000 El costo total de las primeras 50 unidades es de $198000

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Solución José Sendoya Ejercicio c. Dentro de los tipos de software existentes están los compiladores. Los cuales dentro de su función principal es convertir las líneas de código de un lenguaje de programación de alto nivel a uno de más bajo nivel. Un software compilador X realiza dicha función a una velocidad dada por la expresión (𝑡) = 𝑡𝑒, donde 𝑣 (𝑡) es la velocidad de conversión en líneas por segundo y t es el tiempo. i.

Calcule la ecuación general que describa las líneas transformadas por el compilador X, en cualquier intervalo de tiempo.

ii.

ii. Calcule la cantidad de líneas transformadas por el compilador X, entre 2 y 3 segundos.

24

Solución:

Digamos que cantidad de líneas viene representado por x, entonces un cambio de x dado por un cambio en el tiempo es igual a la velocidad de conversión en líneas por segundo. Expresado matemáticamente sería así: 𝑣(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Luego, ya nos dicen la expresión 𝑣(𝑡) por tanto la ecuación quedaría: 𝑡𝑒 𝑡 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Con esta ecuación que nos queda solo es necesario pasar el 𝑑𝑡 a multiplicar al otro lado de la ecuación e integrar a ambos lados: 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡) La integral que nos queda se resuelve por integración por partes se encuentra en las tablas de integrales y queda así: 𝑡𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 + 𝐶 = 𝑥(𝑡) La C que queda es una constante de integración, la cual tenemos que hallar usando lógica. Lo lógico es que en el tiempo 0 hallan 0 líneas de código convertidas, porque en sí el compilador no ha iniciado entonces evaluamos la ecuación en 𝑡 = 0 esperando un resultado de 0 𝑋(0) = 0 = 0 ∗ 𝑒 0 − 𝑒 0 + 𝐶 0=0∗1−1+𝐶 0 = −1 ∗ 𝐶 1=𝐶 Así obtenemos que C = 1 y finalmente tenemos nuestra ecuación general: 𝑥(𝑡) = 𝑡𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 + 1

25 Esa ecuación nos dice cuántas líneas ha transformado el compilador X en cualquier intervalo de tiempo. Ahora, si queremos saber la cantidad de líneas transformadas entre 2 y 3 segundos solo integramos la expresión entre estos límites: 3

∫ 𝑡𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 + 1𝑑𝑡 2 3

3

3

∫ 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 1𝑑𝑡 2

2

2

[𝑡𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 ]2,3 − [𝑒 𝑡 ]2,3 + [𝑡]2,3 [3𝑒 2 − 𝑒 3 − 2𝑒 2 + 𝑒 2 ] − [𝑒 3 − 𝑒 2 ] + [3 − 2] [2𝑒 3 − 𝑒 2 ] − 𝑒 3 + 𝑒 2 + 1 2𝑒 3 − 𝑒 2 − 𝑒 3 + 𝑒 2 + 1 𝑒3 + 1

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Solución Maribelcy Chavita Ortiz Ejercicio d.

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Solución Magda Martinez Ejercicio e. Ejercicio e. Una compañía de ingeniería de sistemas decide crear un aplicativo Mesa de Ayuda, para la gestión automatizada de incidentes, argumentando que una de las acciones más importante en un sistema de gestión de servicios es la gestión de incidentes y problemas relacionados con los elementos de la infraestructura tecnológica, con el fin de realizar un seguimiento, análisis y registro de solución del caso y cierre de la situación. El aplicativo es implementado en la empresa W, en donde el comportamiento de incidente reportados en Mesa de Ayuda es

26 aproximada por la función 𝑓(𝑡) =

𝑡(𝑡+1) 𝑡 2 +1

en donde t son días desde la implementación de la

aplicación.

Hallar el valor medio de incidentes reportados en los primeros 10 días de funcionamiento de la aplicación de Mesa de Ayuda.

10 1 𝑡(𝑡 + 1) ∫ 𝑑𝑡 10 − 0 0 𝑡 2 + 1 Resolviendo la integral indefinida: 𝑡(𝑡 + 1) 𝑡2 + 𝑡 ∫ 2 𝑑𝑡 = ∫ 2 𝑑𝑡 𝑡 +1 𝑡 +1 Dividiendo numerador entre el denominador: 𝑡2 + 𝑡 𝑡2 + 1 -𝑡 2 −1 1 𝑡−1

𝑓 (̅ 𝑥) =

1(𝑡 2 + 1) 𝑡 1 𝑡2 + 𝑡 + − = 𝑡2 + 1 𝑡2 + 1 𝑡2 + 1 𝑡2 + 1 𝑡 1 𝑡2 + 𝑡 1+ 2 − 2 = 2 𝑡 +1 𝑡 +1 𝑡 +1 𝑡(𝑡 + 1) 𝑡 1 ∫ 2 𝑑𝑡 = ∫ 1𝑑𝑡 + ∫ 2 𝑑𝑡 − ∫ 2 𝑑𝑡 𝑡 +1 𝑡 +1 𝑡 +1 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑡 2 + 1 , 𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡 → 𝑡𝑑𝑡 = 2 𝑡(𝑡 + 1) 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑡 + ∫ − 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑡) 2 𝑡 +1 2𝑢 𝑡(𝑡 + 1) 1 ∫ 2 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐿𝑛|𝑢| − 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑡) 𝑡 +1 2 𝑡(𝑡 + 1) 1 ∫ 2 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐿𝑛|𝑡 2 + 1| − 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑡) 𝑡 +1 2 10 1 𝑡(𝑡 + 1) 𝑓 (̅ 𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 10 − 0 0 𝑡 2 + 1 10 1 1 2 −1 (𝑡)] ̅ ( 𝑓 𝑥) = [𝑡 + 𝐿𝑛|𝑡 + 1| − 𝑇𝑎𝑛 10 2 0 1 1 𝑓 (̅ 𝑥) = [(10 + 𝐿𝑛(101) − 𝑇𝑎𝑛−1 (10)) 10 2 1 − (0 + 𝐿𝑛(1) − 𝑇𝑎𝑛−1 (0))] 2 ∫

27 𝑓 (̅ 𝑥) = i.

1 (10.8364) = 1.0836 10

Hallar el valor medio de incidentes reportados entre el día 8 y el día 15 de funcionamiento de la aplicación de Mesa de Ayuda. 15 1 𝑡(𝑡 + 1) ̅ 𝑓 (𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 15 − 8 8 𝑡 2 + 1 15 1 1 2 −1 ̅ 𝑓 (𝑥) = [𝑡 + 𝐿𝑛|𝑡 + 1| − 𝑇𝑎𝑛 (𝑡)] 7 2 8 1 1 𝑓 (̅ 𝑥) = [(15 + 𝐿𝑛(226) − 𝑇𝑎𝑛−1 (15)) 7 2 1 − (8 + 𝐿𝑛(65) − 𝑇𝑎𝑛−1 (8))] 2 1 𝑓 (̅ 𝑥) = [7.5652] = 1.0807 7

Tabla de videos explicativos NOMBRE DEL ESTUDIANTE

EJERCICIOS LINK VIDEO EXPLICATIVO SUSTENTADOS

28 Conclusión

Como podemos denotar en este trabajo necesitamos bases en algebra y trigonometría, solidas, para la resolución correcta de integrales, en algunos casos, primero se aplica estas disciplinas, antes de integrar una función. Se debe tener siempre en cuenta, los teoremas fundamentales del cálculo, para la correcta solución de expresiones que involucren integrales.

29 Bibliografía Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp. 109– 114). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.3201200&lang=es&site=eds-live Guerrero, G. (2015). Cálculo Integral. Grupo Editorial Patria. (pp. 241 – 260). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.3227587&lang=es&site=eds-live Cepeda, W. (2016). OVI Unidad 3 - Aplicaciones de las integrales. [Video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11512 Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 179 – 182). Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 179 – 182). Recuperado dehttps://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=3227 578&tm=1536935311791