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TAREA 3: DERIVADAS GRUPO 100410_173

Presentado por: Walter Jair Peña Fonseca

Presentado a: JUAN CAMILO ZARATE

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA UNAD CEAD SOGAMOSO 2019

Introducción La derivación se constituye en una de las operaciones más importantes del cálculo y más cuando tratamos con funciones de variables reales puesto que nos ayuda a encontrar la razón de cambio de estas en un instante determinado o valor determinado de la variable, por tal razón se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con la que se produce un cambio de una situación, en esta unidad realizaremos una práctica necesaria para el entendimiento de la derivada y sus aplicaciones.

𝑓(𝑥) =

(𝑥 2 − 𝑥 − 2)3 𝑥 3 − 4𝑥

El dominio de una función es el conjunto de entradas o valores de los argumentos para los cuales la función es real y definida. Tomar el denominador de Resolver: 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ∶

(𝑥 2 −𝑥−2) 𝑥 3 −4𝑥

3

y comparar con 0.

𝑥 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2

𝑥 3 − 4𝑥 = 0 Resolver mediante factorización: Factorizar 𝑥 3 − 4𝑥 ∶ 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 𝑥 3 − 4𝑥 Factorizar el termino común x: 𝑥(𝑥 2 − 4) Aplicar las leyes de los exponentes: 𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑥3 = 𝑥2𝑥 = 𝑥 2 𝑥 − 4𝑥 = 𝑥 2 (𝑥 − 4𝑥)

Factorizar 𝑥 2 − 4: (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 𝑥2 − 4 Recibir 4 como 22 = 𝑥 2 − 22 Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado: 𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 𝑥 2 − 22 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

Utilizar el principio de la multiplicación por cero: X=0 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 ∶ 𝑥 + 2 = 0 ∶ 𝑥 = −2 Restar 2 de ambos lados 𝑥+2−2= 0−2 Simplificar: 𝑥 = −2 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑥 − 2 = 0 ∶ 𝑥 = 2 𝑥−2=0 Sumar 2 a ambos lados: 𝑥−2+2= 0+2 Simplificar 𝑥=2

La solución es: 𝑥 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (5𝑥 + 4𝑥 2 )3 2𝑥(5𝑥 + 4𝑥 2 )3 + 3(5𝑥 + 4𝑥 2 )2 (5 + 8𝑥)𝑥 2

𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟑 − 𝒙𝟐 = 𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚 Tratar y como y(x) Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x 𝑑 𝑑 (2𝑥 2 𝑦 + 3𝑦 3 − 𝑥 2 ) = (2 + 𝑥 2 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑑 (2𝑥 2 𝑦 + 3𝑦 3 − 𝑥 2 ) = 2 (2𝑥𝑦 + (𝑦)𝑥 2 ) + 9𝑦 2 (𝑦) − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (2𝑥 2 𝑦 + 3𝑦 3 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Aplicar la regla de la suma/diferencia: 𝑑 𝑑 𝑑 2 (2𝑥 2 𝑦) + (3𝑦 3 ) − (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 (3𝑦 3 ) = 9𝑦 2 (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑑𝑥 2 (2𝑥𝑦 +

𝑑 𝑑 𝑑 (𝑦)𝑥 2 ) + 9𝑦 2 (𝑦) − 2𝑥 = 𝑥 2 (𝑦) + 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑

Por conveniencia, escribir 𝑑𝑥 (𝑦) Como y 2(2𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 2 ) + 9𝑦 2 𝑦 − 2𝑥 = 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 𝑑 2𝑥 (𝑦) = −2𝑦𝑥 + 2 𝑑𝑥 9𝑦 + 𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 − √𝑥 𝑑2 (𝑓(𝑥)) = 𝑥 3 − 3𝑥 − √𝑥 𝑑𝑥 2 Simplificar 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 − √𝑥 ∶ 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 − √𝑥 3

𝑥 4 3𝑥 2 2𝑥 2 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 − √𝑥 ∶ 𝑓 ′ (𝑥) = − − + 𝑐1 4 2 3 𝑓

′ (𝑥)

=

𝑥4 4

−

3𝑥 2 2

3

−

2𝑥 2 3 5

+ 𝑐1 ∶ 𝑓(𝑥) = 20 −

𝑥 5 𝑥 3 4𝑥 2 𝑓(𝑥) = − − + 𝑐1𝑥 + 𝑐2 20 2 15

𝑓 ′′′ (𝑥) =? (𝑓 ′′′ 𝑥)

′′

=0

(𝑓 ′′′ 𝑥)

′

= 𝑓 ′3

(𝑓 ′3 )′ =0 =0

𝑥5

𝑥3 2

5

−

4𝑥 2 15

+ 𝑐1𝑥 + 𝑐2

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥 𝑥→0 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 lim

Aplicar la regla de l’hopital cos(𝑥) − 1 𝑥→0 sin(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) lim

−sin(𝑥) 𝑥→0 2 cos(𝑥) − 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) lim

Simplificar: lim (−

𝑥→0

−sin(𝑥) ) 2 cos(𝑥) − 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Sustituir variable =

sin(0) 2 cos(0) − 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛(0)

=0

2. Realizar las Gráficas en GeoGebra Construyendo la Derivada desde las Pendientes de las Rectas Tangentes de acuerdo con el Contenido “Derivadas en GeoGebra” Estudiante 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

Asignación

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas A Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por

Estudiante 3

𝑥(𝑡) = 4𝑡 3 − 4𝑡 2 + 8𝑡 − 4 donde x se da en metros y t está dado en segundos, con 𝑡 ≥ 0, a. encuentre una expresión para la aceleración de la partícula. b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=2s

Solución: Determinamos la expresión de la aceleración de la partícula.

 

La expresión de la aceleración es a(t) = 24t - 8. La aceleración de la partícula en t= 2 s es a = 40 m/s².

A partir de la expresión de la posición de la partícula:

Podemos determinar la aceleración determinando la segunda derivada de la función. Primera derivada (velocidad): Segunda derivada (aceleración): Evaluando la aceleración en el tiempo t = 2 s, nos queda:

B

1

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 + 6 9

Conclusiones





Podemos concluir que las derivadas tienen muchas aplicaciones en la vida diaria, en este trabajo vimos cómo se aplica en áreas y volúmenes, además también en nuestro estudio de ingeniería vemos como se aplica en diferentes áreas. También comprobamos mediante el ejercicio grafico que la primera derivada de una función corresponde a la pendiente que tendrá la tangente con respecto a dicha función.

Bibliografía 



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Derivadas, propiedades, derivadas implícitas y de orden superior. 

García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865 890&lang=es&site=eds-live

Solución ejercicios derivadas. 

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Derivadas en geogebra. 

Cabrera, J. (2017). OVI - Derivadas en geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621