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TAREA 3 - DERIVADAS

OSCAR FERNANDO MONTEALEGRE

Tutor EDGAR CASTILLO GAMBA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD MAYO 2019

𝑓(𝑥) =

A.

𝑋 3

√𝑋 2 +4

1. EJERCICIOS UNIDAD 3 Calcular la Resolver la Asignaci Calcular la Primera Derivada de las derivada implícita derivada de orden ón Siguientes Funciones de la Siguiente superior solicitada. función Estudian 𝑦 𝑓(𝑥) 2𝑥 2 𝑦 1 1 3 3 te 1 𝑓(𝑥) 4 2 = ( = 3𝑥 − 𝑥 = 1 + 𝑦 𝑥 𝑥 A = B C D 2 2 4 3 3 2 + 4𝑥 2 + 7𝑥 √𝑥 2 + 4 − 3𝑥 4 ) ( 𝑥 6 𝑓 ′′′ (𝑥) =? 3

Resolver el límite por L`Hoppital

E

𝑥2 − 9 lim 𝑥→2 𝑥 2 − 𝑥 − 2

3

+ 3)

Para calcular la primera derivada de una función racional dada por dos funciones diferentes en el numerador y denominador, se debe emplear la siguiente regla: la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la primera derivada del denominador sobre el denominador sin derivar al cuadrado. 𝑓(𝑥)´ 𝑓(𝑥)′ ∗ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)′ = 2 𝑔(𝑥)´ (𝑔(𝑥)) Primeramente, reescribiremos la función modificando el denominador el cual esta dado por un radical, dicho cambio será la expresión en potencia de dicha raíz cubica.

𝑓(𝑥) =

𝑋 1

=

(𝑋 2 + 4)3 Luego procedemos a emplear la regla anteriormente explicada: 1 2 1 1 ∗ (𝑥 2 + 4)3 − 𝑥 ∗ 3 (𝑥 2 + 4)−3 ∗ (2𝑥) 𝑦′ = 1 ((𝑥 2 + 4)3 )2 1 2 2𝑥 2 (𝑥 2 + 4)3 − 3 (𝑥 2 + 4)−3 𝑦′ = 2 (𝑥 2 + 4)3

1

𝑦 ′ = [(𝑥 2 + 4)3 −

2 2 2𝑥 2 2 (𝑥 + 4)− 3 ] [(𝑥 2 + 4)− 3 ] 3

B. 1 2 𝑓(𝑥) = ( − 3𝑥 4 )3 ∗ ( 𝑥 6 + 3)3 2 3 Para calcula la primera derivada de un producto entre dos funciones, debemos emplear la siguiente regla: la derivada de la primera por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la primera derivada de la segunda función. 𝑓(𝑥)´ = 𝑓(𝑥)′ ∗ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)′

Resolvemos la derivada aplicando la regla y a su vez empleando la regla de la cadena para funciones exponenciales. 1 2 1 2 𝑦 ′ = 3( − 3𝑥 4 )2 ∗ (−12𝑥 3 ) ∗ ( 𝑥 6 + 3)3 + ( − 3𝑥 4 )2 ∗ 3 ( 𝑥 6 + 3)2 2 3 2 3 12 5 ∗( 𝑥 ) 3 1 2 1 36 2 𝑦 ′ = −36 𝑥 3 ( − 3𝑥 4 )3 ∗ ( 𝑥 6 + 3)3 + ( − 3𝑥 4 )2 ∗ ( 𝑥 5 ) ( 𝑥 6 + 3)2 2 3 2 3 3

C. Para calcular la derivada implícita de la siguiente ecuación, tenemos que tener claridad en las variables dependientes e independientes, siendo y la variable dependiente; debemos realizar los siguientes pasos: 2𝑥 2 𝑦 = 2 +

3 2 𝑦 𝑥 4

Primeramente, pasar los términos a un lado de la igualdad e igualarlo a cero. 2𝑥 2 𝑦 −

3 2 𝑦 𝑥−2 =0 4

Luego debemos derivar todos los términos de la ecuación, sin discriminar la variable dependiente, agregando a la derivada obtenida el termino y’. 3 3 (4 𝑥𝑦 ∗ 𝑦 + 2𝑥 2 ∗ 1𝑦 ′ ) − ( 𝑦𝑦 ′ 𝑥 − 𝑦 2 ∗ 1) = 0 2 4

Debemos agrupar todos los términos semejantes que tengan la y’. 3 3 (4 𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦 ′ ) − ( 𝑦𝑥𝑦 ′ − 𝑦 2 ) = 0 2 4 3 3 4 𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦 ′ + 𝑦𝑥𝑦 ′ = + 𝑦 2 2 4 3 3 2𝑥 2 𝑦 ′ + 𝑦𝑥𝑦 ′ = 𝑦 2 − 4 𝑥𝑦 2 2 4

Debemos pasar los términos agrupados al otro lado de la igualdad a dividir.

𝑦 ′ ( 2𝑥 2 +

3 3 𝑥𝑦 ) = 𝑦 2 − 4 𝑥𝑦 2 2 4

3 2 𝑦 − 4 𝑥𝑦 2 4 ′ 𝑦 = 3 2𝑥 2 + 2 𝑥𝑦

D. Para calcular la tercera derivada de la siguiente función debemos derivar termino a termino hasta que este lo permita, es así como se irán disminuyendo términos que ya no tienen la variable independiente. 1 3 𝑥 + 4𝑥 2 + 7𝑥 2 3 𝑦 ′ = 12𝑥 3 − 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 2 𝑦 ′′ = 36𝑥 2 − 3𝑥 + 8 𝑦 ′′′ = 72𝑥 − 3

𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 −

E. Para poder resolver el siguiente limite por el método de L’Hopital, debemos hacer lo siguiente:

Primeramente, evaluar en todas las variables el numero dos que es lo que nos indica el ejercicio.

(2)2 − 9 𝑋2 − 9 = = 2 − (2) − 2 lim 𝑋 2 − 𝑋 − 2 (2) 𝑋→2 4−9 5 = − 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 𝑋→2 0 0 lim

Al notar que se nos presenta una indeterminación acudimos al método de L’Hopital, el cual consiste en derivar en arriba y abajo de la fracción. L’ Hopital 2𝑋 2 (2) 4 = = 𝑅𝑡𝑎. 𝑋→2 2𝑋 − 1 2 (2) − 1 3 lim

2. Gráficas.

𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 −

𝑓(𝑥) =

1 2 𝑥 + 4𝑥 2 2

2𝑥 1 − 𝑥4 2 + 2𝑥 4

3. Problemas:

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Asignación Problemas A De acuerdo con los psicólogos, la habilidad de comprender los conceptos de relación espacial está dada por la expresión ℎ(𝑡) = 1 √𝑡 + 1, donde 𝑡 es la edad en años, con 5 ≤ 𝑡 ≤ 18 5 Encuentre la razón de cambio de la habilidad de comprender relaciones espaciales una persona tiene 15 años. B El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:

Estudiante 1

𝐶(𝑥) = 0.013𝑥 2 + 0.02𝑥 + 100 a. Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥) b. Encuentre el costo marginal cuando 1000 unidades son producidas.

A) ℎ (𝑡) =

1 5

√𝑡 + 1

Debemos evaluar la variable independiente t en la función, según el valor que nos indica el enunciado. 1 √15 + 1 5 4 √16 ℎ (15) = = = 0,8 5 5 ℎ (15) =

B) Para desarrollar este problema, primeramente, debemos realizar la primera derivada de la siguiente función: 𝐶 (𝑥) = 0,013 𝑥 2 + 0,02 𝑋 + 100. 𝐶 ′ (𝑥) = 0,026 𝑋 + 0,02 Luego de conocer la derivada debemos reemplazar el numero indicado en el enunciado y evaluarlo. 𝐶 ′ (1000) = 0,026 (1000) + 0,02 = 26 + 0,02 𝐶 ′ (1000) = 26,02

Referencias Bibliográficas 

Guerrero, T. G. (2014). Cálculo diferencial: Serie universitaria patria. Surgimiento de la Derivada. Pág. 33-35. Derivada de monomios y polinomios. Pág. 42-44. Regla de la Cadena. 46-48. Derivada de un Producto. Pág. 50-52. Derivada de un cociente.

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54-57. Derivada Implícita. 59-62. Derivadas de orden superior. Pág. 101-106. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login. aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.11013390&lang=es&site=eds-live USE (2017). Videos Educativos Matemáticos. Reglas de derivación.http://www.ehu.eus/ehusfera/mathvideos/reglas-de-derivacion García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&A N=865890&lang=es&site=eds-live Cabrera, J. (2017). OVI - Derivadas en geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621