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• Louie Figueroa

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR I) DEFININIONES BÁSICAS Se dice que una ecuación diferencial lineal de orden n, es una ecuación que se puede escribir dn y dn 1 y dy an (x) n  an 1 (x) n 1  ......  a1 (x)  ao (x)y  g(x) dx dx dx de la forma , donde: an (x), an 1 (x),...... , a1 (x), ao (x) y g(x)

 independiente). ***Coeficientes Constantes  Cuando 5y'''8y' y  9 d4 y

Ejemplos 

dx

4



d3 y dx

***Coeficientes independiente.

3

3

d2 y dx

2

Variables

3

Son

funciones

que

solo

an (x), an 1 (x),...... , a1 (x), ao (x)

contienen

a

x

(la

variable

son constantes (números).

dy  9y  0 dx

Cuando



an (x), an 1 (x),...... , a1 (x), ao (x)

contienen

la

variable

2xy''' y'3x 2 y  0 d4 y

Ejemplos 

dx

4

 3x

d2 y dx

2



3 dy 7x  9y  x 1 x 3 dx

***g(x) = 0  Se le llama ecuación homogénea (No confundirla con las aprendidas en la primera unidad) 5y'''8y' y  0 d4 y

Ejemplos 

dx

4



d3 y dx

3

3

d2 y dx

2

3

dy  9y  0 dx

***g(x)  0  Se le llama ecuación no homogénea 5y'''8y' y  9x d4 y

Ejemplos 

dx

4



d3 y dx

an (x)

*** Si de obtenemos

la

3

3

dn y dx

n

d2 y dx

2

3

 an 1 (x)

forma

2 dy  9 y  5e x dx

dn 1 y dx

n 1

 ......  a1 (x)

canónica.

dy  ao (x)y  g(x) dx

Entonces

dividimos todo entre a n(x) se puede reescribir M.C. Angélica Holguín López 1

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dn y dx n

 P1 (x)

dn 1 y dx n 1

 P2 (x)

dn 2 y dx n 2

continuas en el intervalo I.

 ......  Pn-1 (x)

dy  Pn (x)y  b(x) dx , donde

UACH

P1 (x),...... , Pn-1 (x), Pn (x) y b(x)

son

M.C. Angélica Holguín López 2

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II) TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD P1 (x), P2 (x),...... , Pn-1 (x), Pn (x) y b(x) Suponga que son continuas en un intervalo (a, b) que contiene xo. Entonces, para cualquier elección de los valores iniciales, existe una única solución y(x) en todo el intervalo (a, b) del problema de valores iniciales: dn y dn 1 y dn 2 y dy  P (x)  P (x)  ......  Pn-1 (x)  Pn (x)y  b(x) 1 2 n n 1 n 2 dx dx dx dx

y(xo )  yo ,

y'(xo )  y1 ,

y''(xo )  y2 ,

...,

y (n -1) (xo )  yn-1

UN PEQUEÑO PARENTESIS, acerca de la notación de un operador diferencial L en una L y  :

dn y dx n

 P1 (x)



L y  : Dn  P1Dn 1

dn 1 y

 P2 (x)

dx n 1  ...  Pn  y 



dn 2 y dx n 2

 ......  Pn-1 (x)

dy  Pn (x)y dx

EDO Lineal. Entonces podemos expresar la ecuación n n 1 n 2 d y d y d y dy  P1 (x) n 1  P2 (x) n 2  ......  Pn-1 (x)  Pn (x)y  b(x) n dx dx dx dx en la forma de operador L[y](x) = b(x)

EJEMPLOS Determinar los valores de xo y los intervalos (a,b) que contienen a x o para los cuales el teorema de existencia garantiza una única solución en (a,b).

x(x  1) y'''3xy''6x 2 y' y cos x  x  5 y(xo )  1,

y'(xo )  0,

y''(xo )  7

1) 3 y lineal.

Solo para tenerlo en mente, esta es una EDO de orden

Primer Paso Calcular su forma canónica, esto se hace al dejar el coeficiente del primer término (es la derivada de mayor orden) en uno. 1 1 x(x  1) y'''3xy''6x 2 y' y cos x  x5 x( x  1) x(x  1)







y'''



3 6x cos x x5 y'' y' y  x 1 x 1 x(x  1) x(x  1)

Segundo Paso Determinar P1, P2, …, Pn y b(x) P1 (x)  

3 x 1

P2 (x) 

6x x 1

P3 (x) 

cos x x(x  1)

b(x) 

x5 x(x  1) M.C. Angélica Holguín López 3

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Tercer Paso Analizar cada una de las funciones, para determinar la continuidad. 3 P1 (x)   x 1  Esta función es continua en todos los números reales excepto en x = 1. x   x  1   ,1  1,   Escrito de otra forma: P2 (x) 

ó

6x x 1

 Esta función es continua en todos los números reales excepto en x = 1. x   x  1   ,1  1,   Escrito de otra forma: ó

P3 (x) 

cos x x(x  1) Esta función es continua en todos los números reales excepto en x = 1 y x x   x  1, x  0   ,0    0,1  1,  

= 0. Escrito de otra forma: b(x) 

ó

x5 x(x  1)

 Esta función es continua en los números mayores o iguales a -5 excepto en x  5 x  1, x  0   5,0   0,1  1,   x = 1 y x = 0. Escrito de otra forma: ó Cuarto Paso Determinar el conjunto solución donde podría estar xo.

DUDAS

x(x  1) y'''3xy' y  0

2)

 1 y    1,  2

 1 y'    0,  2

 1 y''    0  2

Primer Paso

M.C. Angélica Holguín López 4

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Calcular su forma canónica, esto se hace al dejar el coeficiente del primer término (es la derivada de mayor orden) en uno.

Segundo Paso Determinar P1, P2, …, Pn y b(x) Tercer Paso Analizar cada una de las funciones, para determinar la continuidad.

Cuarto Paso Determinar el conjunto solución donde podría estar xo.

xy'''3y'e x y  x 2  1 y  2  1,

3) y'''

0.

y'  2  0,

y''  2  2

3 ex x2  1 y' y x x x 3 P1 (x)   x x e P2 (x)  x x2  1 b(x)  x

En las tres ecuaciones encontradas la continuidad existe siempre y cuando x sea distinto de

x   x  0 Escrito de otra forma

  ,0    0,   ó

.

M.C. Angélica Holguín López 5

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  ,0  El intervalo más grande donde existe solución es de x de las condiciones inciales.

, por que ahí esta contenido el valor

EJERCICIOS Determinar el intervalo (a, b) más grande para el que el teorema 1 garantice la existencia de una única solución en (a, b) para el problema de valor inicial dado. xy'''3y' e x y  x 2  1

y( 2)  1,

y'( 2)  0,

y''( 2)  2

1)

y''' x y  senx y( )  0,

y'( )  11,

y''( )  3

2)

y''' y'' x  1 y  tan x y(5)  1,

y'(5)  1,

y''(5)  1

3) x x  1 y''' y' xy  0  1   1,  2

y

4)

x

2

 1 y''   1  2



 1 y'''e x y  ln x

 3   1,  4

y

5)

 1 y'   1,  2

 3   0,  4

y'

 3  0  4

y''

III) WRONSKIANO Dependencia e Independencia Lineal ¿Recuerdas como determinar si un par de vectores o más son linealmente independientes? ¿Qué es la solución trivial?

EJEMPLOS f1 (x)  e x f2 (x)  e 2x 1) Mostrar que

f3 (x)  3e x  2e 2x

son linealmente dependientes en (-∞,∞) c1 e x  c2 e 2x  c3 3e x  2e 2x  0





Para probar se forma una ecuación , con esta formamos un sistema asignando 3 (dado que son tres constantes que buscamos) valores arbitrarios para x. x=0 M.C. Angélica Holguín López 6

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c1  c2  c3  0

x=1 c1 e  c2 e 2  c3 3e  e 2  0





x = -1 c1 e 1  c2 e 2  c3 3e 1  2e 2  0





El sistema que se forma lo resolvemos, si tiene SOLUCIÓN NO TRIVIAL son linealmente dependientes. Si su SOLUCIÓN ES TRIVIAL sonlinealmente independientes. Para resolver el sistema pueden utilizar cualquier método aprendido en algebra lineal (Reducción, Gauss, Cramer, etc.) Si queremos un poco más rápido y tenemos la posibilidad utilizaremos el mathematica, como se muestra a continuación:

Esto nos indica que tiene múltiples soluciones, entonces tiene SOLUCIÓN NO TRIVIAL por lo tanto son LINEALMENTE DEPENDIENTES.

f1 (x)  x f2 (x)  x 2

2) Mostrar que

f3 (x)  1  2x 2

son linealmente independientes en (-∞,∞)

Formulamos la ecuación para el cálculo de las constantes asignamos valores arbitrarios a x para formar el sistema: c3  0 x=0 c1  c2  c3  0 x=1 c1  c2  c3  0 x = -1 

c1 x  c2 x 2  c3 (1  2x 2 )  0

M.C. Angélica Holguín López 7

,

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Resolviendo el sistema:

La solución es TRIVIAL, por lo tanto son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

Este método es un poco largo y engorroso, ya que si nos equivocamos en un signo, sustitución o algo así, nos salió todo mal. Probemos con elwronskiano.

El Wronskiano es una función especialmente importante en el estudiode las ecuaciones diferenciales. Debe su nombre al matemático Polaco JosefHöné-Wronski (1778 - 1853), quien escribió sobre la filosofía de la matemática. Contemporáneo de Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), Höené-Wronski nació con el nombre de Josef Höené pero lo cambió por el deWronski hacia 1810 justo después de su matrimonio. Se mudó a Francia y adoptó la ciudadanía francesa en 1800 y luego, en 1810 se mudó a París. Su primer memoria sobre los fundamentos de la matemática fue publicada allí en 1810 pero, tras haber recibido malas revisiones por parte de Lacroix y Lagrange, Wronski rompió relaciones con el Instituto en Paris. Criticó eluso de Lagrance de las series infinitas e introdujo sus propias ideas sobreexpansiones en series de una función. Los coeficientes en sus series eran losdeterminantes hoy conocidos como Wronskianos (llamados de este modo porMuir en 1882- Sir Thomas Muir (18441934) matemático escoses, recordado como una autoridad en determinantes). En 1812 publicó un trabajo afirmando haber demostrado que toda ecuación tiene una solución algebraica, contradiciendo los resultados que Ruffini ya había publicado. Este trabajo de Wronski, aunque erróneo, tuvo sin embargo importantes aplicaciones.

DEFINICIÓN Sean f1, f2, f3, … , fk un conjunto de funciones solución delaecuación diferencial homogéneo. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente (LD) si existen constantes c 1, c2, c3, c1 f1  c2 f2  ...  fk ck  0 … , ck, no todas cero, tales que , para todo El wronskiano es un determinante que se forma con las derivadas de las soluciones: f1 (x) f2 (x) ... fk (x)

W f1 , f2 , f3 , … , fk  

f1 '(x)

f2'(x)

...

   f1 (k 1) (x) f2 (k 1) (x) ...

el

intervalo.

fk '(x)

 fk (k 1) (x)

Si W  0, entonces el conjunto de soluciones son linealmente independiente. Si W = 0, entonces el conjunto de soluciones son linealmente dependiente. M.C. Angélica Holguín López 8

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3) Determinar si las funciones dadas son LI ó LD en el intervalo dado, utilizando el wronskiano sen 2 x, cos 2 x,1





en (-∞,∞)

Se formara el determinante con las funciones originales hasta la segunda derivada, ¿por qué? __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Calculamos los elementos para formular el wronskiano: f1 (x)  sen 2 x f2 (x)  cos 2 x f3 (x)  1 f1'(x)  2senx cos x

f2'(x)  2 cos xsenx

f1''(x)  2sen 2 x  2 cos 2 x

f2''(x)  2 cos 2 x  2sen 2 x

sen 2 x W

cos 2 x

2senx cos x 2

2

f3'(x)  0

1

 2 cos xsenx 2

f3 (x)  0

2

0

 2sen x  2 cos x 2sen x  2 cos x 0

para resolverlo puedes utilizar: cofactores, por

propiedades, Sarrus.

Lo resolveré por Sarrus (esta técnica solo es aplicable para determinantes de orden 3). sen 2 x cos 2 x 1 0  2senx cos x 2sen 2 x  2 cos 2 x  0 2senx cos x  2 cos xsenx 0 W   2sen 2 x  2 cos 2 x 2sen 2 x  2 cos 2 x 0     2 cos xsenx   2sen 2 x  cos 2 x  0  0  0 sen 2 x cos 2 x 1 2senx cos x  2 cos xsenx 0









Dado que W = 0, entonces las funciones son LD. 4) Usar el wronskiano para verificar si son LI o LD y proporcionar una solución general. y'''2y''11y'12y  0



Soluciones  e 3x , e x , e  4x

Las funciones son  e 3x

3x

W  3e 9e 3x

e x

x

e e x



f1 (x)  e 3x

f2 (x)  e  x

f3 (x)  e 4 x

e 4 x

 4e  4 x  16e 2x  3e 2x  36e 2x  9e 2x  4e 2x  48e 2x  84e 2x 16e  4 x

Por lo tanto las soluciones son LI, ya que W  0.

M.C. Angélica Holguín López 9

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y( x )  c 1e 3 x  c 2 e  x  c 3 e 4 x

Solución general 

Al conjunto de soluciones se les llama CONJUNTO DE SOLUCIONES FUNDAMENTALES, dado que son Linealmente Independiente. Para el caso NO HOMOGÉNEO: y p ( x) *** dn y dx n

Sea  P1 (x)

dn 1 y dx n 1

 P2 (x)

una dn 2 y dx n 2

solución

particular de dy  ......  Pn-1 (x)  Pn (x)y  b(x) dx

la

ecuación

no

homogénea

.

*** Se calcula primero como si fuera homogénea, no tomamos en cuenta b(x) y(x)  yp  c1 y1 (x)  c2 y2 (x)  ...  cn yn (x) *** La solución queda expresada 5)

Calcular

la

solución

general

L y  : y'''2y'' y'2y  2x  2x  4  24 2

L y   2x  2x  4

yp2 (x)  e 2x

2

y2 (x)  e

x

y

, que y3 (x)  e 2x

en

el

2x

intervalo yp1 (x)  x 2

, teniendo que

es una solución particular

(-∞,

∞),

dado

que

es una solución particular de

L y   12e 2x

y que

y1 (x)  e x

,

son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente.

Lo primero que tenemos que hacer es probar que las soluciones del sistema homogéneo sean linealmente independientes.

ex W   e x e x

ex

e 2x

ex

2e 2 x  4e 2 x  e 2 x  2e 2 x  e 2 x  2e 2 x  4e 2 x  6e 2 x

ex

4e 2 x

Con la ayuda del mathematica(si tienes alguna duda para hacerlo en el software, te espero) el determinante se calcula de la siguiente forma:

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e

Dado W  0, entonces las soluciones son LI, entonces fundamental de soluciones. Por

lo

que

la

solución

general

y( x )  y p1  y p2  c 1y 1  c 2 y 2  c 3 y 3

de

la

ecuación

x

, e x , e 2x

diferencial



es un conjunto

está

dada

por

, sustituimos los datos que tenemos

y( x )  x 2  e 2 x  c 1e  x  c 2 e x  c 3 e 2 x EJERCICIOS Determinar si las siguientes soluciones son LI o LD en el intervalo dado. e 3x , e 5 x , e  x en   ,   1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)



x



2

senx,

x

1



x 2  1,

,

,

5

1

cos 2x,

x



en

x2,

x3,

x,

xe x ,

1



  ,  

en

 0,  



cos 2 x,

x,

  ,  

tan x

cos x,

e2,

en

sen 2 x

x4 en



en

en

  ,  

  ,  

  ,  

Usar el wronskiano para verificar si son LI o LD y proporcionar una solución general. y''' y''4 y'4 y  0



Solución  e x , 1)

cos 2x,



sen2x

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x 3 y'''3x 2 y''6xy'6y  0



Solución  x, 2) y ( 4)  y  0



Solución  e x , 3)

2

x ,

x

e x ,

x0



3

UACH

cos x,

senx



Se da una solución particular y un conjunto fundamental de soluciones para una ecuación no homogénea y su ecuación homogénea correspondiente. a) Determinar una solución general de la ecuación no homogénea b) Determinar la solución que satisface las condiciones iniciales indicadas. y''' y''3y'5y  2  6x  5x 2

xy''' y''  2

y(0)  1,

y(1)  2,

y'(0)  1,

e

yp  x 2

x

y''(0)  3

e x cos 2x,

,



e x sen2x

y'(1)  1,

1,

yp  x 2

1)

x,

y''(1)  4 x3



2) x 3 y'''xy' y  3  ln x y(1)  3,

y'(1)  3,

yp  ln x

x,

y ( 4)  4 y  5 cos x

x0 y''(1)  0

x ln x,

x(ln x)

3)

2

y(0)  2,



yp  cos x

y'(0)  1,

e

x

y''(0)  1,

cos x,

x

e senx,

y'''(0)  2 e x cos x,

e x senx



4)

IV) ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES ¿Cómo resolverlas? De lo que se trata es de utilizar una ecuación auxiliar de la ED y despejarla. Hay que tener cuidado que la ED tenga coeficientes constantes (números). an y (n )  an 1 y (n 1)  ...  a1 y  0

Si la ED es an rn  an 1rn 1  ...  a1  0

forma que conocemos.

, su ecuación auxiliar la podemos escribir de la

, y lo que haríamos con está es despejarla por algún método de los

EJEMPLOS Determinar cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es homogénea, de coeficientes constantes y escribir su ecuación auxiliar.

M.C. Angélica Holguín López 12

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

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y''' y''4 y'4 y  0 1) Homogénea  Si Coeficientes Constantes  Si, ya que todos los coeficientes que acompañan a la variable dependiente son números.

Ecuación Auxiliar 

r3  r 2  4r  4  0

x 3 y'''3x 2 y''6xy'6y  0

x0

2) Homogénea  Si Coeficientes Constantes  No, ya que algunos coeficientes contienen a la variable independiente. Ecuación Auxiliar  Dado que no es e coeficientes constantes no tiene ecuación auxiliar.

y ( 4)  y  0 3) Homogénea

 Si

Coeficientes Constantes son números.

Ecuación Auxiliar



Si, ya que todos los coeficientes que acompañan a la variable dependiente

r4  1  0

xy''' y''  2 4) Homogénea



Coeficientes Constantes

Ecuación Auxiliar





x 3 y''' xy' y  3  ln x 5) Homogénea

x0



Coeficientes Constantes Ecuación Auxiliar



 M.C. Angélica Holguín López 13

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

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y ( 4)  4 y  0 6) Homogénea



Coeficientes Constantes

Ecuación Auxiliar





SOLUCIÓN GENERAL 1) Raíces Reales Distintas Si la ecuación auxiliar r1t r2t y1 (t)  e , y2 (t)  e , ..., yn (t)  e rn t solución general.

tiene

r1 , r2 , r3 ,..., rn distintas , entonces r1t r2t y(t)  c1 e  c2 e  ...  c3 e rn t

raíces

son soluciones de la ED y

2) Raíces Reales Repetidas Si la ecuación auxiliar tiene una raíz repetida y(t)  c1 e rt  c2 te rt de la ED y

r

, entonces

es

y1 ( t)  e rt y y2 (t)  te rt

son soluciones

es solución general. (Esto sería por cada raíz repetida que aparezca).

3) Raíces Complejas

  i

Si la ecuación auxiliar tiene una raíces complejas e t cos  t e t sen t independientes son y de la ED y general. (Esto sería por cada raíz repetida que aparezca).

, entonces dos soluciones linealmente y(t)  c1 e t cos t  c2 e t sen  t

es solución

EJEMPLOS Determinar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.

y''5y'6y  0 1)

r 2  5r  6  0

Ecuación auxiliar (EA) La ecuación es de segundo orden, para despejarla podemos factorizar o utilizar la formula general.

r 2  5r  6  0 (r  6)(r  1)  0

(r  6)  0 r  6

(r  1)  0 r 1

M.C. Angélica Holguín López 14

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

Las raíces son distintas por lo tanto la solución general es

UACH

y(t)  c1 e 6t  c2 e t

y''2y  y  0 y( 0)  0 2)

y'(0)  1

EA

r 2  2r  1  0

r2  2r  1  0 r

 2  22  4( 1)(1) 2(1)

2 8 2 r1  1  2 r

r2  1  2 Son raíces distintas por lo tanto la solución general es y(t)  c1 e  1



2 t

 c2 e  1



2 t

Este problema tiene condiciones iniciales indica que hay que encontrar los valores de las constantes.

y(0)  0

y(t)  c1 e  1  0  c1 e  1  0  c1  c2

c1   c2 

y'(0)  1

  c e  1  2  t 2 2 ( 0 )  c e   1  2 ( 0 ) 2 t

2

   1  2 c e       1  2 c e   1    1  2 c e   1    1  2 c    1  2 c

y'(t)   1  2 c1 e  1  1

2 t

1  2 ( 0 )

1



1  2 t

2

2



1  2 ( 0 )

2

Resolvemos (ustedes escojan el método para resolver el sistema) que se formo obteniendo 1 2 2 1

y(t)  

2 2 Entonces la solución particular

1 2 2

e  1



2 t



1 2 2

e  1



2 t

36y''12y'37 y  0 3) M.C. Angélica Holguín López 15

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

EA 

UACH

36r 2  12r  37  0

36r 2  12r  37  0 r

12  122  4(36)(37) 2(36)

12   5184 72 1 r1   i 6 1 r2   i 6 r

general es

y(t)  c1

1 t e6

cos t  c2

1 t e 6 sent

Son raíces complejas por lo que su solución

y''4 y'4 y  0 y(0)  1

y'(0)  3

4) r 2  4r  4  0 (r  2) 2  0 r  2

La solución tiene raíces repetidas. Por lo que su solución general es

y(t)  c1 e 2t  c2 te 2t

, dado que tiene condiciones iniciales hay que formar el sistema para encontrar la solución particular. y(t)  c1 e 2t  c2 te 2t y'(t)  2c1 e 2t  c2 te 2t  c2 e 2t 1  c1 e 2( 0)  c2 (0)e 2( 0) 1  c1

3  2c1 e 2( 0)  c2 (0)e ( 0)  c2 e 2( 0) 3  2c1  c2

c1  1 La solución al sistema que se forma es y(t)  e 2t  5te 2t

c2  5

. Entonces la solución particular a la ED es

y'''3y'' y'3y  0 5) M.C. Angélica Holguín López 16

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

EA 

r 3  r2  r  3  0

UACH

, ¿Cómo le hacemos para despejar? _______________________________

 r  1 r2  4r  3  0

(r  1)(r  3)(r  1)  0

1 3 1 3 1

1 4

3 1

4 3

0 0

r 1 r  3

y(t)  c1 e t  c2 e 3t  c3 e  t

r  1 



OJO Para despejar en el mathematica la sintaxis (toda se escribe sin espacios) es Solve[ecuación==0,variable que se despeja]

DUDAS

EJERCICIOS Hallar una solución general de la ecuación diferencial dada. 4w''20w'25w  0 1) 2u''7u'4u  0 2) y'' y'2y  0 3) z''6z'10z  0 4) u''7u  0 5) y''' y''2y  0 6) y ( 4)  13y''36y  0 7) y (5)  3y ( 4)  5 y'''15 y''4 y'12y  0 8)

M.C. Angélica Holguín López 17

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y ( 4)  5 y''5 y  0 9) 10)

w'''w''4w'2w  0

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. y''2y'8y  0; y(0)  3, y'(0)  12 1) y''2y' y  0; y(0)  1, y'(0)  3 2) y''4 y'5 y  0; y( 1)  3, y'( 1)  9 3) y''4 y'4 y  0; y(1)  1, y'(1)  1 4) y''2y'2y  0; y( )  e  , y'( )  0 5) y''2y' y  0;

6) 7) 8) 9)

y(0)  1,

y'(0)  2

y'''4 y''7 y'6y  0;

y( 0)  1,

y'( 0)  0,

y''' y  0;

y(0)  3,

y'(0)  1

y(0)  2,

y'''7 y''14'8y  0;

y(0)  1,

y'''2y'' y  2y  0;

y(0)  2,

y'( 0)  3,

y'(0)  3,

y''(0)  0

y''(0)  13

y''(0)  5

10)

M.C. Angélica Holguín López 18

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

V) ECUACIONES INDETERMINADOS

LINEALES

NO

HOMOGENEAS:

UACH

MÉTODO

DE

COEFICIENTES

Este método se aplica solo a las ED no homogéneas donde g(x) sean polinomios, exponenciales, senos, cosenos o producto de estas funciones. Solo es aplicable para coeficientes constantes. La d y

ecuación diferencial d y dy an (x) n  an 1 (x) n 1  ......  a1 (x)  ao (x)y  g(x) dx dx dx n

no

n 1

homogénea

es

1) Para determinar una solución particular de la ecuación diferencial con coeficientes constantes y p (t)  t s Am t m  Am1 t m1  ...  A1 t  Ao e rt L y   Ct m e rt





utilizar , con: ***s = 0 si r no es raíz de la ecuación auxiliar asociada. ***s = 1 si r es raíz simple de la ecuación auxiliar asociada. ***s = 2 si r es raíz doble de la ecuación auxiliar asociada.

2) Para determinar una solución particular de la ecuación diferencial con coeficientes constantes L y   Ct m e t cos  t L y   Ct m e t sen t s



m

ó

yp (t)  t Am t  Am1 t

m1



 ...  A1 t  Ao e

t

s



m

cos t  t Bm t  Bm1 t

m1



t

 ...  B1 t  Bo e sen t

, con:

  i

***s =0 si ***s =1 si

  i

utilizar

no es raíz de la ecuación auxiliar. es raíz de la ecuación auxiliar.

EJEMPLOS Encontrar la solución particular para las siguientes EDOL y''3y'2y  3t

1)

r 2  3r  2  0

Ecuación Auxiliar (EA)  b(t) = 3t ¿Sabemos por qué? ___________________________________________________________ __________________________________________________________________________

M.C. Angélica Holguín López 19

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

En este problema no involucra al termino exponencial por lo que no necesitamos calcular las raíces de la ecuación auxiliar, entonces la solución debe ser de la forma y p ( t)  Am t m  Am1 t m1  ...  A1 t  Ao , donde m representa el exponente de b(t). y p (t)  At  B La solución tendría que ser de la forma

, ¿DUDAS?

La solución se calcula haciendo las derivadas que marca la ED, sustituirlas y formar un sistema de ecuaciones con el termino b(t). Para este ejercicio se pide la segunda y primera derivada. y p (t)  At  B y p '(t)  A y p ''(t)  0

y''3y'2y  3t

Se sustituyen en la ecuación diferencial y''3y'2y  3t

2A  3

0  3(A)  2(At  B)  3t 2At  2B  3A  3t

El sistema que se forma es A

3 2

B La solución del sistema es

3A  2B  0

¿Por qué? y p (t)  At  B

9 4

y p (t) 

y la solución particular que buscamos sería

3 9 t 2 4

DUDAS

2)

2x'x  3t 2

y p (t)  At 2  Bt  C

La solución de está ED sería de la forma . Se calcula únicamente la primera derivada y las sustituimos para resolver el sistema de ecuaciones que se forma. 2x' x  3t 2 A3 xp (t)  At 2  Bt  C 2(2At  B)  At 2  Bt  C  3t 2 4A  B  0 xp '(t)  2At  B 4At  2B  At 2  Bt  C  3t 2 2B  c  0 La solución al sistema de ecuaciones es A = 3, B = -12, C = 24. M.C. Angélica Holguín López 20

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y p (t)  3t 2  12t  24

La solución particular asociada a la ED es COMPROBACIÓN

y''3y'2y  10e 3t 3) La ED involucra a “e”, entonces si tenemos que calcular su EA y resolverla para determinar la forma de la solución particular. r 2  3r  2  0 (r  2)(r  1)  0 r  2 r  1

EA 

El exponente de “e” involucra un 3 y no es parte de las raíces asociadas a la y p ( t)  t s Am t m  Am1 t m1  ...  A1 t  Ao e rt





EA, por lo que s = 0 de y p (t)  Ae rt

y la solución particular sería

y p (t)  Ae 3t

. DUDAS

Calculamos la primera y segunda derivada, sustituimos en la ecuación diferencial y resolvemos el sistema que se forma.

y''3y'2y  10e 3t y p (t)  Ae 3t y p '(t)  3Ae 3t y p '(t)  9Ae 3t

9Ae 3t  9Ae 3t  2Ae 3t  10e 3t 20Ae 3t  10e 3t A

1 2

Solución Partícular y p (t) 

1 3t e 2

M.C. Angélica Holguín López 21

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

COMPROBACIÓN

y''2y' y  8e t 4) r 2  2r  1  0 (r  1) 2  0 EA 

r1

Dado que tiene raíz doble la solución particular sería de la forma y(p)  At 2 e t

Calculamos la segunda y primera derivada

y p (t)  At 2 e t y p '(t)  At 2 e t  2Ate t y p ''(t)  At 2 e t  2Ate t  2Ae t  2Ate t y p ''(t)  At 2 e t  4Ate t  2Ae t Se sustituye en la ED para obtener el valor de A.

y''2y' y  8e t At 2 e t  4Ate t  2Ae t  2At 2 e t  4Ate t  At 2 e t  8e t 2Ae t  8e t A4

y p (t)  4t 2 e t

La solución particular es

y''3y'2y  sent

5)

M.C. Angélica Holguín López 22

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

r 2  3r  2  0 (r  2)(r  1)  0 r  2 r  1

EA 

Las raíces no se encuentran en el ángulo del seno, porlo que la solución y p (t)  Asent  B cos t

particular es de la forma

.

Calculamos la primera y segundad derivada para sustituirla en la ED y determinar los valores de A y B. y p (t)  Asent  B cos t

y''3y'2  sent

y p '(t)  A cos t  Bsent

 Asent  B cos t  3A cos t  3Bsent  2B cos t  sent

y p ''(t)  Asent  B cos t

(A  3B)sent  (B  3A) cos t  sent

A  3B  1 El sistema que se forma es

9A  3B  0

su solución es A = 0.1, B = 0.3 y p (t)  0.1sent  0.3 cos t

La solución particular asociada a la ED no homogénea es

ty'' y'2y  sen 3t

6) No podemos utilizar este método ya que no es de coeficientes constantes.

y''2y'3y  7 cos 3t

7) b(t) = 7cos3t r 2  2r  3  0 (r  3)(r  1)  0 r  3 EA  es de la forma

r1

Las raíces no están asociadas a b(t), por lo que su solución particular yp (t)  A cos 3t  Bsen 3t . M.C. Angélica Holguín López 23

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y p (t)  A cos 3t  Bsen 3t y p '(t)  3Asen 3t  3B cos 3t y p ''(t)  9A cos 3t  9Bsen 3t

9A cos 3t  9Bsen 3t  6Asen 3t  6B cos 3t  3A cos 3t  3Bsen 3t  7 cos 3t (6B  12A) cos 3t  ( 6A  12B)sen 3t  7 cos 3t

12A  6B  7  6A  12B  0 7 15 7 B 30

A

La solución del sistema que se forma es

yp (t)   La solución particular de la ED es

.

7 7 cos 3t  sen 3t 15 30

.

COMPROBACIÓN

y''2y'3y  2te t sent 8)

Además obtener la solución general. y  yh  y p

LA SOLUCIÓN GENERAL QUEDA EXPRESADA COMO , donde yh Es la solución de la ecuación auxiliar asociada a la ED homogénea.

M.C. Angélica Holguín López 24

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

yp Es la solución particular de la ED no homogénea. r2  2r  3  0 r  3

EA es la de 1.

r 1

Las raíces no son complejas, pero si hay una raíz asociada al termino b(t) que

La solución al sistema homogéneo es

yh (t)  c1 e 3t  c2 e t y p (t)   A1 t  Ao  e t cos t   B1 t  Bo  e t sent

La solución particular queda expresada como

.

DUDAS

Calculamos las derivadas correspondientes, sustituimos, resolvemos el sistema y encontramos la solución particular. Para este ejercicio las derivadas y sustituciones están muy laboriosas, entonces utilizaremos el software para hacerla.

M.C. Angélica Holguín López 25

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

Sustituimos en la ecuación diferencial, formamos el sistema de ecuaciones y resolvemos para A1, Ao, B1, Bo.

La solución particular 8 4 2 152  t   t  y p (t)    t t  e cos t     e sent 289  289   17  17

queda

expresada

como

DUDAS

La solución general 

8 4  t 2 152  t   y(t)  c1 e 3t  c2 e  t    t t  e cos t     e sent 17 289 17 289    

M.C. Angélica Holguín López 26

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

EJERCICIOS Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales y''4 y  3y  20 cos x

1)

y'' y  e x senx

2)

 Esta ecuación diferencial se puede escribir en forma de operador D 2  1 y  e x senx diferencial (lo llaman D)  D 3  2D 2  5D  6 y  e 3x



3)





D

4)



2



 3D  4 y  sen 2x

y''4 y  x 2 e 3x

5)

y''' y'10 y  29e 4x

6) y''3y'  18x

7)

d2 y dx

8)

2

4

dy dx

 5x  10

x''4x'5x  10

9)

y''2y'5 y  8e  t

10)

VI) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS: PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Hasta este momento hemos resuelto ED donde a la derecha (g(x) ó b(x)) del igual solo existe un término. ¿Cómo le hacemos si existe alguna suma o resta? PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Sea y1 una solución de n 1 d y d y dy an (x) n  an 1 (x) n 1  ......  a1 (x)  ao (x)y  g1 (x) dx dx dx

la

n

an (x)

n

d y dx

n

 an 1 (x)

d

n 1

dx

y

n 1

 ......  a1 (x)

dy dx

y

sea

ecuación

y2

una

diferencial

solución

de

 ao (x)y  g2 (x)

. Entonces, para cualesquiera constantes c1

M.C. Angélica Holguín López 27

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

c1 y1  c2 y2 c2, la función es una solución de n n 1 d y d y dy an (x) n  an 1 (x) n 1  ......  a1 (x)  ao (x)y  c1 g1 (x)  c2 g2 (x) dx dx dx

y

UACH

la

ecuación

diferencial

EJEMPLOS y''3y'2y  10e 3t  3t 1) Determinar la solución particular de Como se está sumando al lado derecho del igual el problema se harán dos cálculos para y''3y'2y  3t y''3y'2y  10e 3t y

PRIMERA ECUACIÓN y''3y'2y  3t r 2  3r  2  0 r  2

Ecuación Auxiliar (EA) 

r  1

y p (t)  At  B y p '(t)  A y p ''(t)  0

y''3y'2y  3t

Se sustituyen en la ecuación diferencial A

y''3y'2y  3t 0  3(A)  2(At  B)  3t

2A  3

2At  2B  3A  3t

3A  2B  0

B

y p (t)  At  B y p1 (t) 

y la solución particular que buscamos sería

3 2

la solución del sistema es

9 4

3 9 t 2 4

SEGUNDA ECUACIÓN y''3y'2y  10e 3t

M.C. Angélica Holguín López 28

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

r 2  3r  3  0 (r  2)(r  1)  0

y p (t)  Ae rt

r  2

y p (t)  Ae 3t

r  1

EA 

.

y''3y'2y  10e 3t 9Ae 3t  9Ae 3t  2Ae 3t  10e 3t

y p (t)  Ae 3t

20Ae 3t  10e 3t

y p '(t)  3Ae 3t

A

y p '(t)  9Ae 3t

Solución Partícular

1 2

y p2 (t) 

1 3t e 2

Al aplicar el principio de superposición, es solo juntar las dos soluciones de esta ecuación, por yp  y p1  yp2 yp 

lo que la solución particular sería

3 9 1 t   e 3t 2 4 2

DUDAS

y p (t)  t 2

y'' y  2  t 2

2) Dado que es una solución particular de solución que satisfaga y(0) = 1, y’(0) = 0.

encontrar una solución general y

r2  1  0 EA 

r  1

por lo que la solución asociada a la ED Homogénea es

yh (t)  c1 e t  c2 e  t

.

En este no hay que calcular una particular porque el ejercicio nos la otorga entonces la y  yh  yp y(t)  c1 e t  c2 e t  t 2 solución general es

.

M.C. Angélica Holguín López 29

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y(t)  c1 e t  c2 e t  t 2 1  c1  c2

y'(t)  c1 e t  c2 e t  2t

La solución con condiciones iniciales sería 1  c1  c2

0  c1  c2

la solución del sistema

0  c1  c2

1 2 1 c2  2 c1 

que se forma es

y(t) 

. Entonces la solución final para el ejercicio es

1 t 1 t e  e  t2 2 2

y''y  8te t  2e t 3) Determinar una solución particular de

y''2y'2y  5e t sent  5t 3 e t cos t 4) Escribe la forma de una solución particular de la ecuación

y'''2y'' y' 5e t sent  3  7 te  t c 5) Escribe la forma de una solución particular de la ecuación

EJERCICIOS

I) Dado que y'' y' y  e 2t

y1 (t)  cos t

y2 (t) 

y'' y' y  sent es una solución de

y que

e 2t 3

es una solución de

, usa el principio de superposición para determinar soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales. M.C. Angélica Holguín López 30

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y'' y' y  5sent 1) 2)

y'' y' y  sent  3e 2t y'' y' y  4sent  18e 2t

3) II) Determinar una solución general o de condiciones iniciales (según sea el caso) de la siguientes ecuaciones Diferenciales. y'' y  11t  1 1) 2) 3)

y''3y'2y  e x senx r''(x)  6r'(x)  10r(x)  10x 4  24x 3  2x 2  12x  18 y''()  y()  sen   e 2 y(0)  1 y'(0)  1

4)

y''2y' y t 2 1  e t y(0)  0 y'(0)  2

5)

y'''2y''9y'18y  18x 2  18x  22 y(0)  2 y'(0)  8 y'(0)  12

6) III) Determina la forma de una solución particular para la ecuación diferencia. NO RESUELVAS LA ECUACIÓN. x''x'2x  e t cos t  t 2  t  1 1) y''4 y'5y  e 5 t  tsen 3t  cos 3t 2) 3)

y'' y  10 t  t cos t  sen 3t y'' y  e 2t  te 2t  t 2 e 2t

4)

V1 IV) Determinar una solución particular de la ecuación de orden superior dada. y'''2y'' y'2y  2t 2  4t  9 1) M.C. Angélica Holguín López 31

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y ( 4)  5y''4 y  10 cos t  20sent 2)

y''' y''2y  te t  1

3) y ( 4)  3y'''3y'' y'  6t  20 4)

y''' y''2y  xe x  1

5)

VII) METODO VARIACIÓN DE PARAMETROS: EDO NO HOMOGENEAS DE CONSTANTES VARIABLES

Este método lo podemos aplicar a las EDO de orden superior cuyos coeficientes son variables. El objetivo es determinar una solución particular de la ecuación en forma canónica L y (x)  g( x)

L y   y (n )  p1 y (n 1)  p2 y (n 2)  ...  pn y

p1 , p2 ,..., pn , donde y las funciones coeficientes así como g(x), son continuas en (a,b). Para aplicar el método de variación de parámetros exige que  y1 , y2 , y3 ,..., yn  conozcamos un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. ay''by'cy  g

Para determinar una solución particular de PRIMER PASO

:

Se hallan dos soluciones linealmente independientes y p (t)  v1 (t) y1 ( t)  v2 ( t) y2 ( t) correspondiente y se considera

 y1 (t), y2 (t) .

SEGUNDO PASO

v'1

Se determina y v'2 y se integra.

v1

y

v2

resolviendo el sistema

TERCER PASO Se sustituye

v1

y

v2

de la ecuación homogénea

y1 v'1  y2 v'2  0 g y'1 v'1  y'2 v'2  a

en términos de

y p ( t) en la expresión para

y así obtener una solución particular.

M.C. Angélica Holguín López 32

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

EJEMPLOS 

  1) Determinar una solución general en



  ,  2 2

d2 y

de

dx 2

 y  tan t

PRIMER PASO Encontrar la solución asociada a la homogénea r2  1  0 r 2  1 r   1 EA 

r  i

La solución asociada a la homogénea es

yhom  c1 cos t  c2 sent

y p (t)  v1 (t) cos t  v2 (t)sent

y1 v'1  y2 v'2  0 g y'1 v'1  y'2 v'2  a

SEGUNDO PASO  Resolver el sistema v'1 cos t  v'2 sent  0 tan t  v'1 sent  v'2 cos t   tan t 1 , utilizan el método que más les guste para resolver o el mathematica:

Como no le puedo agregar el apostrofe ni los subíndices, solo uso v1 o v2. Simplify simplifica la respuesta a su mínima expresión. % Toma la última respuesta arrojada por el programa

M.C. Angélica Holguín López 33

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

v'1 (t)  sent tan t v'2 (t)  sent

v'1 y v'2

TERCER PASO Integrar Cuando se integran funciones trigonométricas regularmente empleamos identidades, no se les olvide.

 v'1 (t)dt    sent tan tdt

1  cos 2 t dt cos t 1 v1 (t)   dt  cos tdt cos t v1 (t)  



  v1 (t)    sec tdt   cos tdt

 v'2 (t) dt   sent dt

v1 (t)   ln sec t  tan t  sent

v2 (t)   cos t

y p (t)  v1 (t) cos t  v2 (t)sent CUARTO PASO Sustituir en , para encontrar la solución. y p (t)   sent  ln sec t  tan t  cos t  cos t sent y p (t)    ln sec t  tan t  cos t

Recordemos que una solución general para una ecuación diferencial no homogénea es la suma de la solución homogénea y una solución particular. Por lo que en este ejercicio sería y( t)  yhom  yp

y( t)  c1 cos t  c2 sent  cos tln sec t  tan t  y'' y  tan t  3t  1

2) Determinar una solución particular de y'' y  tan t

Por el principio de superposición, ya conocemos la respuesta a y p (t)   ln sec t  tan t cos t  cos t sent

, que es

.

y'' y  3t  1

Por lo que nos falta resolver PRIMER PASO Encontrar la solución asociada a la homogénea

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

r2  1  0 r 2  1 r   1 EA 

r  i

La solución asociada a la homogénea es

yhom  c1 cos t  c2 sent

y p (t)  v1 (t) cos t  v2 (t)sent

SEGUNDO PASO  Resolver el sistema v'1 cos t  v'2 sent  0  v'1 sent  v'2 cos t 

y1 v'1  y2 v'2  0 g y'1 v'1  y'2 v'2  a

3t  1  3t  1 1

Utilizan el método que más les guste para resolver o el mathematica:

v'1 (t)  (1  3t)sent v'2 (t)  (3t  1) cos t

TERCER PASO Integrar

v'1 y v'2

 v'1 (t)dt   (1  3t)sentdt

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

v1 (t)   cos t  3t cos t  3sent

 v'2 (t)dt   (3t  1) cos tdt

v2 (t)  3 cos t  sent  3tsent

y p (t)  v1 (t) cos t  v2 (t)sent CUARTO PASO Sustituir en

, para encontrar la solución.

y p (t)   ln sec t  tan t cos t  cos t sent  (  cos t  3t cos t  3sent ) cos t  (3 cos t  sent  3tsent )sent DUDAS:

Para determinar una solución particular de una ecuación en forma canónica: donde conocemos el conjunto fundamental de soluciones.

L y (x)  g( x)

,

PRIMER PASO

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

Se hallan soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea correspondiente y y p (t)  v1 (t) y1 (t)  ...  vn (t) yn (t) se considera

.

SEGUNDO PASO

y1 v'1  ...  yn v'n  0  y1(n 2) v'1 

Se determina v'1 ,..., v'n

v'1 ,..., v'n

resolviendo el sistema

... 

ynn 2 v'n

0

y1(n 1) v'1  ...  ynn 1 v'n  g

en términos de

y se integran.

TERCER PASO Se sustituye

v'1 ,..., v'n

yp (t) en la expresión para

EJEMPLO

y así obtener una solución particular.

x 3 y'''x 2 y''2xy'2y  x 3 senx

Determinar una solución general de la ecuación x, x 1 , x 2





, x > 0. Dado que

es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente.

El conjunto fundamental es la solución a la ED homogénea 

yhom (x)  c1 x  c2 x 1  c3 x 2

y'''

y'' 2y 2y  '  senx x x2 x3

Debemos escribir la ecuación en forma canónica , donde 1 yp (x)  v1 (x)x  v2 (x)x  v3 (x)x 2 g(x)  senx . Entonces podemos obtener una solución particular . xv1  x 1 v2  x 2 v3  0 v1  x 2 v2  2xv3  0 Sistema que tenemos que resolver

2x 3 v2  2v3  senx

, su solución sería:

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

Los valores son:

1 v'1   xsenx 2 1 3 v'2  x senx 6 1 v'3  senx 3

Cada valor de v’ hay que integrarlo.

1

 v'1    2 xsenx dx

1

 v'2   6 x

v2 

3

v1 

senx dx

 







1  x  6  x 2 cos x  3 x 2  2 senx 6

1

1 1 x cos x  senx 2 2

 v'3   3 senx dx



1 v3   cos x 3

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Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

Escribimos la solución particular y se trata de simplificar.

yp (x)  v1 ( x)x  v2 ( x)x 1  v3 (x)x 2

 









1  1   1   1  x cos x  senx   x 1   x  6  x 2 cos x  3 x 2  2 senx   x 2   cos x  2  2   6   3 

y p ( x)  x

yp (x)  cos x  x 1 senx

Con el mathematica la simplificación es más rápido y obtenemos:

¿DE ACUERDO?

DUDAS, AHORA ES CUANDO

La solución general es la suma de la solución asociada a la ED homogénea más la solución yhom (x)  yp (x)



particular



. y(x)  c1 x  c2 x 1  c3 x 2  cos x  x 1 senx

ECUACIONES DE CAUCHY-EULER Una clase importante de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables son aquellas que n 1 dn y y n 1 d an x n  a x  ...  ao y(x)  0 n  1 n n 1 dx dx pueden expresarse en la forma , donde an, an-1, … , ao son constantes; es una ecuación homogénea de Cauchy-Euler o equidimensionales. Hay que usar la

M.C. Angélica Holguín López 39

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

y  xr sustitución para determinar un conjunto solución para las ecuaciones diferenciales de coeficientes variables. La solución general asociada a la ED: y1  x r1 Raíces distintas 

y2  x r2

y1  x r Raíces repetidas 

y2  x r ln x

y1  x  cos  ln x  Raíces complejas

y2  x  sen   ln x 

EJEMPLOS

y  xr

Determinar una solución general de la ecuación de Cauchy-Euler, con la sustitución de d2 y dy 3x 2  11x  3y  0 2 dx dx 1) x>0

.

y  xr Dado que , entonces necesitamos calcular la segunda y primera derivada y sustituir donde corresponde para obtener la ecuación auxiliar que necesitamos para encontrar la solución partícular.





3x 2 r(r  1)x r2  11xrx r 1  3x r  0 yx

r

y'  rx

r 1

y''  r(r  1)x





3 r(r  1)x r  11rx r  3x r  0

r 2

3r

2

 3r  8r  3x

 3r  11r  3 x r  0 2

r

0 EA 

3r 2  8r  3  0

Por lo tanto la solución general es:

M.C. Angélica Holguín López 40

Ecuaciones Diferenciales – Orden Superior

UACH

4x 2 y''(x)  y(x)  0 2)

x>0

y  xr



y'  rx r 1 y''  r(r  1)x



4x 2 r(r  1)x r 2  x r  0 r 2

4r

2



 4r  1 x r  0 EA 

4r 2  4r  1  0

Por lo tanto la solución general es:

EJERCICIOS I) Determinar una solución particular general por el método de variación de parametros. y'''3y''3y' y  e x

y''4 y  tan 2t 1)

7)

y'' y  sec t

2)

t

3) y''4 y'4 y  e 4) y'' y 

8)

2 t

ln t

2x

ty''(1  2t) y'(t  1) y  te t

e , e t

9)

1 t

y'''3y''4 y  e 6)

e , t  1  Conjunto fundamenta l t

y''2y' y  e

5)

ty''(t  1) y' y  t 2

10)

t



ln t  Conjunto fundamenta l

x 3 y'''x 2 y''4xy'4 y  g(x)

x, x

1



, x 4  Conjunto fundamenta l

Expresar la solución con integrales.

M.C. Angélica Holguín López 41

11)

y  xr

12) II) Usar una sustitución de la forma ecuaciones diferenciales para x > 0. x 3 y'''x 2 y''2xy'2y  0

, para hallar la solución genral de las siguientes

1) x 4 y ( 4)  6x 3 y'''2x 2 y''4xy'4 y  0 2) 3)

x 3 y'''2x 2 y''13xy'13y  0 x 2 y''(x)  5xy'(x)  4 y  0 y(1)  3 y'(1)  7

4)

x 2 y''(x)  9xy'(x)  17 y  0

5) 13) 14)

y  (x  c) r

15) III) Usar una sustitución de la forma siguientes ecuaciones diferenciales para x > 0. 2(x  3) 2 y''(x)  5(x  3) y'(x)  2y(x)  0 1) 2) 16)

17)

4(x  2) 2 y''(x)  5y( x)  0

, para hallar la solución genral de las