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__________________________________________________________________EDO (ORDEN 2 Y SUPERIOR & SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS)

EDO (ORDEN 2 Y SUPERIOR & SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS) Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden es una ecuación cuya forma estándar es:

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′).

৺EDO DE 2DO ORDEN EN LAS QUE ESTÁ AUSENTE LA VARIABLE DEPENDIENTE O LA VARIABLE INDEPENDIENTE El orden de estas ecuaciones se reduce a orden 1 a través de un cambio de variable. i. Ecuaciones en las que está ausente la variable dependiente “𝑦”: Sustitución: 𝑦 ′ = 𝑤 → 𝑦 ′′ = 𝑤′ Ecuación transformada: 𝑤 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑤)

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

ii. Ecuaciones en las que está ausente la variable independiente “𝑥”: Sustitución:

𝑦′

=𝑤

→

Ecuación transformada:

𝑦 ′′ 𝑑𝑤 𝑤 𝑑𝑦

=

𝑑𝑤 𝑑𝑥

=

𝑑𝑤 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑤 𝑤 𝑑𝑦

= 𝑓(𝑥, 𝑦′)

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

` = 𝑓(𝑦, 𝑦′)

= 𝑓(𝑦, 𝑤)

৺EDO LINEALES DE 2DO ORDEN Son ecuaciones cuya forma canónica está dada por: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥). Si 𝑔(𝑥) = 0 se dice que la ecuación es homogénea: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 0. ৺TEOREMA (PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN PARA EDO LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEAS) Si 𝑦1 y 𝑦2 son soluciones de la EDO 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, entonces la combinación lineal: (𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ) también es solución de la misma EDO tal que 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ. Demostración: Hipótesis 1: 𝑦1 es una solución de la EDO, es decir: 𝑦1 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦1 = 0. Hipótesis 2: 𝑦2 es una solución de la EDO, es decir: 𝑦2 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦2 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦2 = 0. Por demostrar: (𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 )′′ + 𝑝(𝑥)(𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 )′ + 𝑞(𝑥)(𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ) = 0 Multiplicando la ecuación de la hipótesis 1 por 𝑐1 se tiene: 𝑐1 𝑦1′′ + 𝑐1 𝑝(𝑥)𝑦1′ + 𝑐1 𝑞(𝑥)𝑦1 = 0 Multiplicando la ecuación de la hipótesis 2 por 𝑐2 se tiene: 𝑐2 𝑦2′′ + 𝑐2 𝑝(𝑥)𝑦2′ + 𝑐2 𝑞(𝑥)𝑦2 = 0 Sumando estas dos últimas ecuaciones se obtiene: (𝑐1 𝑦1′′ + 𝑐2 𝑦2′′ ) + (𝑐1 𝑝(𝑥)𝑦1′ + 𝑐2 𝑝(𝑥)𝑦2′ ) + (𝑐1 𝑞(𝑥)𝑦1 + 𝑐2 𝑞(𝑥)𝑦2 ) = 0 De acuerdo con las propiedades de linealidad de la derivada se tiene: (𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 )′′ + 𝑝(𝑥)(𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 )′ + 𝑞(𝑥)(𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ) = 0 ∴ (𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ) es solución de la EDO. ৺WRONSKIANO DE UN PAR DE FUNCIONES Considere un par de funciones 𝑓 y 𝑔 diferenciables en un intervalo abierto 𝐼, la función: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑊(𝑓, 𝑔)(𝑥) = | | = 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) − 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥): se denomina Wronskiano de 𝑓 y 𝑔. 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) Considere la siguiente combinación lineal igualada a cero: 𝑐1 𝑓(𝑥) + 𝑐2 𝑔(𝑥) = 0 → 𝑐1 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑐2 𝑔′ (𝑥) = 0. 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑐1 0 La representación matricial del sistema homogéneo obtenido es: ( ) ( ) = ( ), para el cual se tiene los siguientes casos: 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑐2 0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 1) Si | | = 𝑊(𝑓, 𝑔)(𝑥) ≠ 0 para al menos un 𝑥 en el intervalo 𝐼, el sistema tiene solución trivial: 𝑐1 = 𝑐2 = 0, con lo cual las 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) funciones 𝑓 y 𝑔 son linealmente independientes (𝐿. 𝐼.). 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 2) Si | | = 𝑊(𝑓, 𝑔)(𝑥) = 0, el sistema tiene infinitas soluciones incluida la solución trivial (𝑐1 = 𝑐2 = 0) pero no se puede 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) concluir ni dependencia ni independencia lineal. Por ejemplo, todo par de funciones 𝑓 y 𝑔 múltiplos escalares con respecto a un único escalar 𝑘 para todo el intervalo 𝐼 (como 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑥)) satisface 𝑊(𝑓, 𝑔)(𝑥) = 0 pero se puede verificar que la combinación lineal de 𝑓 y 𝑔 igualada a cero (𝑐1 𝑓(𝑥) + 𝑐2 𝑔(𝑥) = 0) lleva a concluir que son linealmente dependientes (𝐿. 𝐷.). Otro ejemplo para citar es el de funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por tramos (como 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 y 𝑔(𝑥) = |𝑥 3 |), las cuales satisfacen 𝑊(𝑓, 𝑔)(𝑥) = 0 para cada tramo del intervalo 𝐼 pero se puede verificar que la combinación lineal de 𝑓 y 𝑔 igualada a cero (𝑐1 𝑓(𝑥) + 𝑐2 𝑔(𝑥) = 0) lleva a concluir que son linealmente independientes (esto se debe a que las funciones son múltiplos escalares en cada tramo pero esto no ocurre con respecto al mismo escalar para todos los tramos, por ejemplo, en un tramo son múltiplos con respecto al escalar 𝑘1 pero en otro tramo con respecto al escalar 𝑘2 ) ৺FORMA DE LA SOLUCIÓN GENERAL DE LAS EDO LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEAS Si 𝑦1 y 𝑦2 son soluciones en el intervalo (𝑎, 𝑏) de: 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son funciones continuas en (𝑎, 𝑏) y si existe algún punto 𝑥0 en (𝑎, 𝑏) donde 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥0 ) ≠ 0, entonces cualquier solución de 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 se puede expresar como: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ. Esta última expresión se denomina solución general de la ecuación diferencial y {𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥)} se denomina base o conjunto fundamental de soluciones de dicha ecuación.

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

1

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

__________________________________________________________________EDO (ORDEN 2 Y SUPERIOR & SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS)

৺DEDUCCIÓN DE UNA SOLUCIÓN LINEALMENTE INDEPENDIENTE (𝑳. 𝑰.) A UNA SOLUCIÓN CONOCIDA PARA UNA EDO LINEAL DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEA Sea 𝑦1 (𝑥) una solución de la ecuación: 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, es decir, 𝑦1 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦1 = 0 Una solución 𝐿. 𝐼. a 𝑦1 (𝑥) está dada por: 𝑦2 (𝑥) = 𝑣(𝑥)𝑦1 (𝑥), tal que: 𝑣(𝑥) es una función no constante por hallar. Por lo tanto: 𝑦2′ (𝑥) = 𝑣 𝑦1 ′ + 𝑣′𝑦1 𝑦2′′ (𝑥) = 𝑣 𝑦1′′ + 𝑣 ′ 𝑦1′ + 𝑣 ′′ 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦1′ Sustituyendo 𝑦2 (𝑥) ; 𝑦2′ (𝑥) y 𝑦2′′ (𝑥) en la ecuación diferencial se tiene: 𝑦2′′ + 𝑝(𝑥)𝑦2′ + 𝑞(𝑥)𝑦2 = 0 ′′ ′ ′ ′′ 𝑣 𝑦1 + 𝑣 𝑦1 + 𝑣 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦1′ + 𝑝(𝑥)(𝑣 𝑦1′ + 𝑣 ′ 𝑦1 ) + 𝑞(𝑥)𝑣 𝑦1 = 0 ′′ ′ ′ 𝑣 [𝑦 ⏟1 + 𝑝(𝑥)𝑦1 + 𝑞(𝑥)𝑦1 ] + 𝑣 ′ [2𝑦1 + 𝑝(𝑥)𝑦1 ] + 𝑣 ′′ 𝑦1 = 0 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦1 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑣 ′ [2𝑦1′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ] + 𝑣 ′′ 𝑦1 = 0: EDO de 2do orden en la que está ausenta Al realizar las sustituciones 𝑣 ′ = 𝑤 ; 𝑣 ′′ = 𝑤 ′ para reducir del orden de la EDO se tiene:

𝑤[2𝑦1′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ] + 𝑦1 → 𝑦1

𝑑𝑤 𝑑𝑥

𝑑𝑤

=0

𝑑𝑥

= −𝑤[2𝑦1′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ] → ∫

𝑑𝑤

= −∫

𝑤

2𝑦′1 +𝑝(𝑥)𝑦1

→ 𝑙𝑛(𝑤) = −2𝑙𝑛(𝑦1 ) − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑤 = 𝑒 𝑙𝑛(𝑦1 ) Regresando a la variable original se tiene: 𝑑𝑣 𝑑𝑥

=

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

→ ∫ 𝑑𝑣 = ∫

2

(𝑦1 (𝑥))

la variable dependiente “𝑣”

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

𝑑𝑥

−2

→

(𝑦1 (𝑥))

𝑦1

𝑑𝑥 → ln(𝑤) = − ∫ (2

−∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

→ 𝑤(𝑥) = (𝑦1

𝑣(𝑥) = ∫

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

𝑦′1 𝑦1

+ 𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥

−2 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑥))

𝑒

𝑑𝑥.

(𝑦1 (𝑥))

Entonces una solución 𝐿. 𝐼. a la solución conocida 𝑦1 (𝑥) es: 𝑦2 (𝑥) = 𝑦1 (𝑥) ∫

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦1 (𝑥))

2

𝑑𝑥 . Así, la solución general de la EDO es: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦1 (𝑥) ∫

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦1 (𝑥))

2

𝑑𝑥 ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ.

৺TEOREMA DE ABEL Si 𝑦1 y 𝑦2 son soluciones de la EDO de 2do orden lineal homogénea: 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 tal que 𝑝 y 𝑞 son continuas en un intervalo abierto 𝐼, entonces el Wronskiano de 𝑦1 y 𝑦2 está dado por: 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥, tal que 𝑐 ∈ ℝ y 𝑐 depende de 𝑦1 y 𝑦2 pero no depende de 𝑥. Demostración: 𝐻1 : 𝑦1 es solución de la EDO: 𝑦1 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦1 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦1 = 0 𝐻2 : 𝑦2 es solución de la EDO: 𝑦2 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦2 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦2 = 0 Al multiplicar la ecuación de 𝐻1 por “−𝑦2 ” se tiene: −𝑦2 𝑦1′′ − 𝑦2 𝑝(𝑥)𝑦1′ − 𝑦2 𝑞(𝑥)𝑦1 = 0 Al multiplicar la ecuación de 𝐻2 por “𝑦1 ” se tiene: 𝑦1 𝑦2′′ + 𝑦1 𝑝(𝑥)𝑦2′ + 𝑦1 𝑞(𝑥)𝑦2 = 0 [𝑦1 𝑦2′ − 𝑦1′ 𝑦2 ] = 0 Sumando estas 2 ecuaciones se tiene: 𝑦1 𝑦2′′ − 𝑦1′′ 𝑦2 + 𝑝(𝑥) ⏟ 𝑊(𝑦1 ,𝑦2 )

Se puede verificar que los 2 primeros términos: 𝑦1 𝑦2′′ − 𝑦1′′ 𝑦2 corresponde a la derivada de 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) como sigue: 𝑦1 𝑦2 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) = |𝑦 ′ 𝑦 ′ | = 𝑦1 𝑦2′ − 𝑦1′ 𝑦2 → 𝑊 ′ (𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) = (𝑦1 𝑦2′ − 𝑦1′ 𝑦2 )′ = (𝑦1′ 𝑦2′ + 𝑦1 𝑦2′′ ) − (𝑦1′′ 𝑦2 + 𝑦1′ 𝑦2′ ) = 𝑦1 𝑦2′′ − 𝑦1′′ 𝑦2 . 1 2 Así, representando a 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) con 𝑊 y representando a 𝑊 ′ (𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) con 𝑊 ′ se tiene la ecuación: 𝑊 ′ + 𝑝(𝑥)𝑊 = 0 Resolviendo esta última EDO se tiene: 𝑑𝑊 𝑑𝑊 = −𝑝(𝑥)𝑊 → ∫ = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑙𝑛|𝑊| = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘 → |𝑊| = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 𝑘 → 𝑊 = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑐 > 0 𝑑𝑥

𝑊

Además, se puede verificar que: 𝑊 = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑐 ≤ 0 también satisface la ecuación: 𝑊 ′ + 𝑝(𝑥)𝑊 = 0. Entonces, 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑐 ∈ ℝ. Por lo tanto, los Wronskianos de conjuntos fundamentales de soluciones de una EDO lineal de 2do orden homogénea son múltiplos escalares. Además, sin resolver este tipo de EDO, el Wronskiano de cualquier conjunto fundamental de soluciones puede determinarse en términos de una constante. ৺DEDUCCIÓN DE UNA SOLUCIÓN LINEALMENTE INDEPENDIENTE (𝑳. 𝑰.) A UNA SOLUCIÓN CONOCIDA PARA UNA EDO LINEAL DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEA USANDO EL TEOREMA DE ABEL Considerando el teorema de Abel con 𝑐 ≠ 0, una solución 𝑦1 conocida y una solución 𝑦2 por determinar se tiene lo siguiente: 𝑦1 𝑦2 𝑦′ 𝑐𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → |𝑦 ′ 𝑦 ′ | = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑦1 𝑦2′ − 𝑦1′ 𝑦2 = 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑦2′ − 1 𝑦2 = : EDO lineal para 𝑦2 . 𝑦1 𝑦1 1 2 Para esta última ecuación, el factor integrante está dado por: 𝑢(𝑥) = Multiplicando la EDO lineal por el factor integrante 𝑢(𝑥) se tiene que: 𝑦1 −1 𝑦2′ −

𝑦′1

2 𝑦2

(𝑦1 )

=

𝑐𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

(𝑦1 )

→

𝑑(𝑦2 𝑦1 −1 ) =

𝑐𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦1 )

2

𝑑𝑥

𝑦′ ∫ −𝑦1 𝑑𝑥 1 𝑒

→

Por consiguiente, una solución 𝐿. 𝐼. a una solución 𝑦1 conocida para la EDO intervalo abierto 𝐼, está dada por: 𝑦2 (𝑥) = 𝑐𝑦1 (𝑥) ∫ ejemplo, con 𝑐 = 1: 𝑦2 (𝑥) = 𝑦1 (𝑥) ∫ Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

(𝑦1 (𝑥))

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦1 (𝑥))

2

= 𝑒 −𝑙𝑛(𝑦1) = 𝑦1 −1

𝑦2 𝑦1 −1 = ∫ 𝑦 ′′

+

𝑝(𝑥)𝑦 ′

𝑐𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

(𝑦1 )

𝑑𝑥

→

𝑦2 = 𝑐𝑦1 ∫

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

(𝑦1 )

𝑑𝑥

+ 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 tal que 𝑝 y 𝑞 son continuas en un

𝑑𝑥 ; 𝑐 ≠ 0 (esta expresión se conoce como la identidad de Abel). Por

𝑑𝑥.

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

2 `

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৺EDO LINEAL DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES Es una EDO de la forma: 𝑎𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑏𝑦 ′ (𝑥) + 𝑐𝑦(𝑥) = 0, tal que 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≠ 0. Para resolver esta EDO se plantea la solución de la forma 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 tal que 𝑟 es una constante por determinar. Para determinar el valor de 𝑟 se sustituye 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 y sus derivadas (𝑦 ′ (𝑥) = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 y 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 ) en la EDO como sigue: 𝑎𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 + 𝑏𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑐𝑒 𝑟𝑥 = 0 → 𝑒 𝑟𝑥 (𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐) = 0 → (𝑒 𝑟𝑥 = 0) ∨ (𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0) La ecuación exponencial obtenida no tiene solución, mientras que la ecuación cuadrática obtenida tiene dos soluciones y presenta tres casos posibles. Así, el planteamiento es válido siempre que 𝑟 sea solución de esta ecuación cuadrática, a la cual se la denomina ecuación característica o auxiliar. SOLUCIONES DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN AUXILIAR Caso 1: Si el discriminante 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, entonces la ecuación auxiliar tiene dos soluciones reales distintas 𝑟1 y 𝑟2 , con lo cual las funciones 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟1𝑥 y 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 𝑟2𝑥 son soluciones de la EDO. Estas soluciones forman un conjunto fundamental de soluciones para la EDO, lo cual se muestra a continuación calculando 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) y verificando que es diferente de cero: 𝑒 𝑟1𝑥 𝑒 𝑟2𝑥 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 )(𝑥) = | 𝑟1𝑥 | = 𝑟2 𝑒 (𝑟1+𝑟2)𝑥 − 𝑟1 𝑒 (𝑟1+𝑟2)𝑥 = (𝑟1 − 𝑟2 )𝑒 (𝑟1+𝑟2)𝑥 ≠ 0, puesto que: 𝑟1 ≠ 𝑟2 . 𝑟1 𝑒 𝑟2 𝑒 𝑟2𝑥 Entonces la solución general de la EDO está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑟2𝑥 ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ. Caso 2: Si el discriminante 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación auxiliar tiene solución real repetida 𝑟 y la función 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 es solución de la EDO. Para hallar una segunda solución linealmente independiente a 𝑦1 se puede utilizar la identidad de Abel, como se muestra a continuación: 𝑦2 (𝑥) = 𝑦1 (𝑥) ∫ → 𝑦2 (𝑥) =

𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 2

(𝑦1 (𝑥))

𝑏 𝑒− ∫ 𝑎 𝑑𝑥 𝑒 𝑟𝑥 ∫ [ 𝑟𝑥 ]2 𝑑𝑥 𝑒 𝑒∫ 2𝑟𝑑𝑥

→ 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 ∫ [

𝑒𝑟𝑥 ]2

𝑏

𝑐

𝑏

𝑎

𝑎

𝑎

𝑑𝑥 , considerando la EDO de forma canónica: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0, tal que 𝑝(𝑥) = y además se conoce que para la ecuación auxiliar 𝑟 =

𝑑𝑥 = 𝑒 𝑟𝑥 ∫

𝑒2𝑟𝑥 𝑑𝑥 𝑒2𝑟𝑥

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

=−

𝑏 2𝑎

𝑏

, con lo cual 2𝑟 = − . 𝑎

= 𝑒 𝑟𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑟𝑥 .

Entonces la solución general de la EDO está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑟𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑟𝑥 ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ. Caso 3: Si el discriminante 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación auxiliar tiene soluciones complejas conjugadas: 𝑟1,2 = 𝛼 ± 𝜆𝑖 y las funciones 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟1𝑥 y 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 𝑟2𝑥 son soluciones de la EDO, es decir, las funciones: 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 (𝛼+𝜆𝑖)𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑒 𝜆𝑥𝑖 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)) 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 (𝛼−𝜆𝑖)𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑒 −𝜆𝑥𝑖 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)) Así, la combinación lineal 𝑦3 (𝑥) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) también es una solución de la EDO, pero no es la solución general debido a la dependencia lineal que se puede probar entre 𝑦1 y 𝑦2 así como a los valores imaginarios presentes. Sin embargo, los siguientes artificios llevan a la solución general de la EDO: 𝑦3 (𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)) + 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)) 𝑦3 (𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝑖𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) + 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) − 𝑖𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) (𝑐1 + 𝑐2 ) 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + ⏟ 𝑦3 (𝑥) = ⏟ 𝑖(𝑐1 − 𝑐2 ) 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 𝑘1

𝑘2

Se puede verificar que las funciones 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) y 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) son soluciones de la EDO y que además son linealmente independientes. Entonces la solución general de la EDO está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑘1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝑘2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) ; 𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ. ৺EDO DE CAUCHY-EULER DE 2DO ORDEN HOMOGÉNEA Es una ecuación de la forma: 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑎1 𝑥𝑦 ′ (𝑥) + 𝑎0 𝑦(𝑥) = 0, tal que 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 ∈ ℝ ∧ 𝑎2 ≠ 0. Esta ecuación se transforma en una EDO de coeficientes constantes utilizando la sustitución: 𝑥 = 𝑒 𝑡 , con lo cual: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥) → Además, 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦 ′′ (𝑥) =

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥

𝑑(𝑑𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 −𝑡 𝑒 𝑑𝑡

=

= 𝑒 −𝑡

𝑑(𝑑𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡

= 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑡 𝑑𝑥

1

1

= 𝑥 = 𝑒𝑡 = 𝑒 −𝑡

,

𝑑(𝑒−𝑡 𝑑𝑦 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥

= (−𝑒 −𝑡

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+ 𝑒 −𝑡

𝑑2 𝑦 ) 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 ). 𝑑𝑡2

= 𝑒 −2𝑡 (

Sustituyendo las expresiones de 𝑥, 𝑦 ′ (𝑥) y 𝑦′′(𝑥) en la EDO se obtiene: 𝑎2 (𝑒 2𝑡 ) (𝑒 −2𝑡 ( 2

𝑎2

𝑑 𝑦 − 𝑑𝑡2

𝑎2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 )) + 𝑎1 (𝑒 𝑡 ) (𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ) + 𝑎0 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡2

𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡

=0

→

=0

𝑎2 𝑦 ′′ (𝑡) + (𝑎1 − 𝑎2 )𝑦 ′ (𝑡) + 𝑎0 𝑦(𝑡) = 0

Esta última ecuación es una EDO lineal de 2do orden homogénea de coeficientes constantes, cuya ecuación auxiliar es: 𝑎2 𝑟 2 + (𝑎1 − 𝑎2 )𝑟 + 𝑎0 = 0 SOLUCIONES DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN AUXILIAR Caso 1: Si la ecuación auxiliar tiene soluciones reales distintas 𝑟1 y 𝑟2 , entonces las soluciones 𝐿. 𝐼. de la EDO son las funciones: 𝑦1 (𝑡) = 𝑒 𝑟1𝑡 = (𝑒 𝑡 )𝑟1 = 𝑥 𝑟1 y 𝑦2 (𝑡) = 𝑒 𝑟2𝑡 = (𝑒 𝑡 )𝑟2 = 𝑥 𝑟2 La solución general de la EDO es: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑥 𝑟1 + 𝑐2 𝑥 𝑟2 ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ ; 𝑥 > 0. Caso 2: Si la ecuación auxiliar tiene solución real repetida 𝑟, entonces las soluciones 𝐿. 𝐼. de la EDO son las funciones: 𝑦1 (𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 = (𝑒 𝑡 )𝑟 = 𝑥 𝑟 y 𝑦2 (𝑡) = 𝑡𝑒 𝑟𝑡 = (𝑒 𝑡 )𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑟 𝑙𝑛(𝑥) 𝑟 𝑟 La solución general de la EDO es: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ ; 𝑥 > 0. Caso 3: Si la ecuación auxiliar tiene soluciones complejas conjugadas 𝑟1,2 = 𝛼 ± 𝜆𝑖, entonces las soluciones 𝐿. 𝐼. de la EDO son: 𝑦1 (𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) = 𝑥 𝛼 𝑐𝑜𝑠(𝜆 𝑙𝑛(𝑥)) y 𝑦2 (𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) = 𝑥 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝜆 𝑙𝑛(𝑥)) La solución general de la EDO es: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑥 𝛼 𝑐𝑜𝑠(𝜆 𝑙𝑛(𝑥)) + 𝑐2 𝑥 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝜆 𝑙𝑛(𝑥)) ; 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ ; 𝑥 > 0. Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

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৺EDO LINEAL DE 2DO ORDEN NO HOMOGÉNEA Es una ecuación cuya forma canónica está dada por: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥) tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0. ৺TEOREMA 1 (PARA LAS EDO LINEALES DE 2DO ORDEN NO HOMOGÉNEAS) Si 𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥) son dos soluciones de la ecuación no homogénea: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥), entonces (𝑦1 −𝑦2 ) es solución de la ecuación homogénea correspondiente: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 0. Demostración: 𝐻1 : 𝑦1 (𝑥) es solución de la ecuación no homogénea, esto es: 𝑦1′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥) 𝑦1′ (𝑥) + 𝑞(𝑥) 𝑦1 (𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝐻2 : 𝑦2 (𝑥) es solución de la ecuación no homogénea, esto es: 𝑦2′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥) 𝑦2′ (𝑥) + 𝑞(𝑥) 𝑦2 (𝑥) = 𝑔(𝑥). Por demostrar: (𝑦1 −𝑦2 ) es solución de la ecuación homogénea correspondiente: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 0. Restando las ecuaciones planteadas en 𝐻1 y 𝐻2 se tiene que: (𝑦1′′ (𝑥) − 𝑦2′′ (𝑥)) + (𝑝(𝑥) 𝑦1′ (𝑥) − 𝑝(𝑥) 𝑦2′ (𝑥)) + (𝑞(𝑥) 𝑦1 (𝑥) − 𝑞(𝑥) 𝑦2 (𝑥)) = 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥) Agrupando términos semejantes, se obtiene: ′′ ′ (𝑦1 (𝑥) − 𝑦2 (𝑥)) + 𝑝(𝑥)(𝑦1 (𝑥) − 𝑦2 (𝑥)) + 𝑞(𝑥)(𝑦1 (𝑥) − 𝑦2 (𝑥)) = 0 ∴ (𝑦1 − 𝑦2 ) es solución de la ecuación homogénea. ৺TEOREMA 2 (PARA LAS EDO LINEALES DE 2DO ORDEN NO HOMOGÉNEAS) Dada una solución cualquiera 𝑦𝑝 (𝑥) (denominada solución particular) de la EDO no homogénea: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥), cualquiera de sus otras soluciones puede escribirse como: 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥), tal que 𝑦𝑐 (𝑥) = 𝑐1 𝑌1 (𝑥) + 𝑐2 𝑌2 (𝑥), 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ, (denominada solución complementaria) es la solución general de la EDO homogénea correspondiente. Por lo tanto, 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) es la solución general de la EDO no homogénea. Demostración: De acuerdo con el teorema 1, si 𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥) son dos soluciones de la ecuación no homogénea, entonces (𝑦1 − 𝑦2 ) es solución de la ecuación homogénea correspondiente. Por lo tanto, (𝑦1 − 𝑦2 ) es igual a la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea para algún par de constantes 𝑐1 , 𝑐2 , esto es: 𝑦1 (𝑥) − 𝑦2 (𝑥) = 𝑐1 𝑌1 (𝑥) + 𝑐2 𝑌2 (𝑥). Si se considera que 𝑦1 (𝑥) es una solución desconocida y se la denomina 𝑦(𝑥) y además se considera que 𝑦2 (𝑥) es una solución conocida y se la denomina 𝑦𝑝 (𝑥), se obtiene: 𝑦(𝑥) − 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑐1 𝑌1 (𝑥) + 𝑐2 𝑌2 (𝑥). Entonces, al despejar 𝑦(𝑥) se obtiene la solución general de la ecuación no homogénea, esto es: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑌1 (𝑥) + 𝑐2 𝑌2 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥). ৺PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN PARA UNA SOLUCIÓN PARTICULAR (PARA LAS EDO LINEALES DE 2DO ORDEN NO HOMOGÉNEAS) Considere la EDO: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔1 (𝑥) + ⋯ + 𝑔𝑛 (𝑥). Sea 𝑦𝑝1 (𝑥) la solución de la EDO: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔1 (𝑥). Sea 𝑦𝑝2 (𝑥) la solución de la EDO: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔2 (𝑥). En general, sea 𝑦𝑝𝑛 (𝑥) la solución de la EDO: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔𝑛 (𝑥). Así, 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑦𝑝1 (𝑥) + 𝑦𝑝2 (𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑝𝑛 (𝑥) es una solución particular de: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔1 (𝑥) + ⋯ + 𝑔𝑛 (𝑥). ৺MÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN PARTICULAR (PARA LAS EDO LINEALES NO HOMOGÉNEAS) Se tiene el método de los coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros. En ambos métodos se requiere del conocimiento previo de la solución de la EDO homogénea correspondiente (la solución denominada complementaria). ৺MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS (PARA LAS EDO LINEALES NO HOMOGÉNEAS) Este método se puede aplicar solamente a las EDO no homogéneas de coeficientes constantes cuyo término no homogéneo 𝑔(𝑥) sea de tipo exponencial, polinomial, combinación lineal de senos y cosenos, combinación lineal de los casos anteriores o producto de los casos anteriores. El método consiste en que la solución particular 𝑦𝑝 (𝑥) a plantear y el término no homogéneo 𝑔(𝑥) sean del mismo tipo. Si 𝒈(𝒙) es: entonces 𝒚𝒑 (𝒙) se plantea de la forma: ?

?

?

?

i)

polinomial: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

𝑛−1 + ⋯ + 𝐴 ⏞𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐴⏞ ⏞1 𝑥 + 𝐴 ⏞0 ] 𝑥 𝑆 [𝐴 𝑛−1 𝑥

ii)

exponencial: 𝑎𝑒 𝜆𝑥

⏞ 𝑒 𝜆𝑥 ] 𝑥 𝑆 [𝐴

iii)

combinación lineal de seno y coseno: 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)

⏞ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝐵 ⏞ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)] 𝑥 𝑆 [𝐴

iv)

(𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 )𝑒 𝜆𝑥

𝑛−1 + ⋯ + 𝐴 ⏞𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐴⏞ ⏞1 𝑥 + 𝐴 ⏞0 ] 𝑒 𝜆𝑥 𝑥 𝑆 [𝐴 𝑛−1 𝑥

v)

(𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥))𝑒 𝜆𝑥

⏞ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝐵 ⏞ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)] 𝑒 𝜆𝑥 𝑥 𝑆 [𝐴

vi)

𝑝𝑛 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑞𝑚 (𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)

⏞𝑁 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑄 ⏞𝑁 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)] 𝑥 𝑆 [𝑃

tal que 𝑝𝑛 (𝑥) y 𝑞𝑚 (𝑥) son polinomios de grados 𝑛 y 𝑚

tal que el grado de los polinomios 𝑃 y 𝑄 es: 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛, 𝑚}

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

⏞𝑁 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑄 ⏞𝑁 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)] 𝑒 𝜆𝑥 𝑥 𝑆 [𝑃

vii) (𝑝𝑛 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑞𝑚 (𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥))𝑒 𝜆𝑥 tal que 𝑝𝑛 (𝑥) y 𝑞𝑚 (𝑥) son polinomios de grados 𝑛 y 𝑚

tal que el grado de los polinomios 𝑃 y 𝑄 es: 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛, 𝑚}

𝑆: es el menor entero no negativo (positivo o cero), tal que cada término de la solución particular planteada 𝑦𝑝 (𝑥) es linealmente independiente a cada término de la solución de la EDO homogénea correspondiente (la solución denominada complementaria). Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

4 `

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৺MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS (PARA LAS EDO LINEALES DE 2DO ORDEN NO HOMOGÉNEAS) Este método se puede aplicar tanto a las EDO no homogéneas de coeficientes constantes como a las de coeficientes variables. Además, no es necesario que el término no homogéneo sea de algún tipo específico. Considere la EDO no homogénea: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥) tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0. El método de variación de parámetros consiste en plantear la solución particular de la forma: 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑣1 (𝑥)𝑌1 (𝑥) + 𝑣2 (𝑥)𝑌2 (𝑥), tal que 𝑣1 y 𝑣2 son parámetros variables (funciones no constantes) que deben hallarse, mientras que 𝑌1 (𝑥) y 𝑌2 (𝑥) son soluciones linealmente independientes de la EDO homogénea correspondiente. De esta forma, se tiene: 𝑦𝑝′ (𝑥) = 𝑣1′ 𝑌1 + 𝑣1 𝑌1′ + 𝑣2′ 𝑌2 + 𝑣2 𝑌2′ → 𝑦𝑝′ (𝑥) = 𝑣1 𝑌1′ + 𝑣2 𝑌2′ + [𝑣1′ 𝑌1 + 𝑣2′ 𝑌2 ]. Se hace la suposición de que: 𝑣1′ 𝑌1 + 𝑣2′ 𝑌2 = 0 (1era condición que deben satisfacer 𝑣1 y 𝑣2 ) Por lo tanto, se tiene: 𝑦𝑝′ (𝑥) = 𝑣1 𝑌1′ + 𝑣2 𝑌2′ 𝑦𝑝′′ (𝑥) = 𝑣1′ 𝑌1′ + 𝑣1 𝑌1′′ + 𝑣2′ 𝑌2′ + 𝑣2 𝑌2′′ Sustituyendo 𝑦𝑝 (𝑥), 𝑦𝑝 ′(𝑥) y 𝑦𝑝 ′′(𝑥) en la EDO no homogénea se obtiene: 𝑦𝑝 ′′(𝑥) + 𝑝(𝑥)𝑦𝑝 ′(𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑔(𝑥) [𝑣1′ 𝑌1′ + 𝑣1 𝑌1′′ + 𝑣2′ 𝑌2′ + 𝑣2 𝑌2′′ ] + 𝑝(𝑥)[𝑣1 𝑌1′ + 𝑣2 𝑌2′ ] + 𝑞(𝑥)[𝑣1 𝑌1 + 𝑣2 𝑌2 ] = 𝑔(𝑥) ′′ ′ ′ ′ ′ ′ 𝑣1 (𝑥) [𝑌 ⏟1′′ + 𝑝(𝑥)𝑌1′ + 𝑞(𝑥)𝑌1 ] + 𝑣2 (𝑥) [𝑌 ⏟2 + 𝑝(𝑥)𝑌2 + 𝑞(𝑥)𝑌2 ] + 𝑣1 𝑌1 + 𝑣2 𝑌2 = 𝑔(𝑥) 0

0

(𝑌1′′ + 𝑝(𝑥)𝑌1′ + 𝑞(𝑥)𝑌1 = 0 y 𝑌2′′ + 𝑝(𝑥)𝑌2′ + 𝑞(𝑥)𝑌2 = 0 puesto que 𝑌1 y 𝑌2 son soluciones de la EDO homogénea correspondiente). Entonces se tiene: 𝑣1′ 𝑌1′ + 𝑣2′ 𝑌2′ = 𝑔(𝑥) (2da condición que deben satisfacer 𝑣1 y 𝑣2 ). Por lo tanto, para que todo lo planteado y supuesto sea válido, 𝑣1 y 𝑣2 deben satisfacer el sistema: 𝑌1 𝑌2 𝑣1′ 𝑣 ′ 𝑌 + 𝑣2′ 𝑌2 = 0 0 { 1′ 1′ , cuya representación matricial es: [ ′ ][ ] = [ ] 𝑔(𝑥) 𝑌1 𝑌2′ 𝑣2′ 𝑣1 𝑌1 + 𝑣2′ 𝑌2′ = 𝑔(𝑥) Así, las soluciones del sistema, utilizando la regla de Cramer, son las siguientes: |

𝑣1′ =

0

𝑌2

𝑔(𝑥) 𝑌′2 𝑌1 𝑌2 | ′ 𝑌

1

𝑌′2

|

𝑌1

|

=

−𝑌2 𝑔(𝑥) 𝑊(𝑌1 ,𝑌2 )

Finalmente, 𝑦𝑝 (𝑥) =

→ 𝑣1 =

−𝑌 𝑔(𝑥) ∫ 𝑊(𝑌2 ,𝑌 ) 𝑑𝑥 1 2

−𝑌 𝑔(𝑥) 𝑌1 ∫ ( 2 ) 𝑑𝑥 𝑊 𝑌1 ,𝑌2

;

𝑣2′ =

𝑌 𝑔(𝑥) + 𝑌2 ∫ 1 𝑑𝑥. 𝑊(𝑌1 ,𝑌2 )

| ′ 𝑌

0

|

1 𝑔(𝑥) 𝑌1 𝑌2

| ′ 𝑌

1

𝑌′2

|

𝑌 𝑔(𝑥) 1 ,𝑌2 )

1 = 𝑊(𝑌

𝑌 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. 1 ,𝑌2 )

→ 𝑣2 = ∫ 1 𝑊(𝑌

৺EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEA Es una ecuación cuya forma canónica está dada por: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0. ৺WRONSKIANO DE N FUNCIONES Considere N funciones 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 diferenciables en un intervalo abierto 𝐼, la función: 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛 𝑦1′ 𝑦2′ … 𝑦𝑛′ | 𝑦 ′′ 𝑦2′′ … 𝑦𝑛′′ | se denomina Wronskiano de 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 . 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = 1 | ⋮ ⋮ ⋮ | (𝑛−1) (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛 De forma análoga al Wronskiano entre 2 funciones, si 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) ≠ 0 para al menos un 𝑥 en el intervalo 𝐼, entonces las funciones 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 son linealmente independientes (𝐿. 𝐼.). ৺SOLUCIÓN GENERAL DE LA EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEA Si 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 son soluciones de la ecuación diferencial: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0, tal que 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) ≠ 0, la solución general de la EDO está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) ; 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ∈ ℝ. ৺EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES Es una ecuación de la forma: 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 𝑦 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0, tal que 𝑎0 , . . . , 𝑎𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑛 ≠ 0. Para resolver esta EDO, al igual que en el caso de las EDO de 2do orden, se plantea la solución de la forma 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 , tal que 𝑟 es una constante por determinar. Sustituyendo 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 y sus derivadas (𝑦 ′ (𝑥) = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 , …, 𝑦 (𝑛) (𝑥) = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑟𝑥 ) en la EDO se tiene: 𝑎𝑛 𝑟 𝑛 𝑒 𝑟𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 𝑒 𝑟𝑥 + ⋯ + 𝑎2 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 + 𝑎1 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑟𝑥 = 0 → 𝑒 𝑟𝑥 (𝑎𝑛 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑟 2 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 ) = 0 Por lo tanto, la suposición es válida si los valores de 𝑟 son las raíces de la ecuación: 𝑎𝑛 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 +. . . +𝑎2 𝑟 2 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 = 0 (denominada ecuación auxiliar). SOLUCIONES DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN AUXILIAR Caso 1: Si la ecuación auxiliar tiene 𝑛 soluciones reales distintas 𝑟1 , … , 𝑟𝑛 , entonces la EDO tiene las siguientes 𝑛 soluciones linealmente independientes: 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟1𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 𝑟2𝑥 , …, 𝑦𝑛 (𝑥) = 𝑒 𝑟𝑛𝑥 . Caso 2: Si la ecuación auxiliar tiene alguna solución real repetida 𝑟 de multiplicidad 𝑚, entonces la EDO tiene las siguientes 𝑚 soluciones linealmente independientes: 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑥𝑒 𝑟𝑥 , …, 𝑦𝑚 (𝑥) = 𝑥 𝑚−1 𝑒 𝑟𝑥 . Caso 3: Si la ecuación auxiliar tiene alguna solución compleja conjugada 𝑟1,2 = 𝛼 ± 𝜆𝑖 de multiplicidad 𝑚, entonces la EDO tiene las siguientes 2𝑚 soluciones linealmente independientes: 𝑦11 (𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) ; 𝑦12 (𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 𝛼𝑥 𝑦21 (𝑥) = 𝑥𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) ; 𝑦22 (𝑥) = 𝑥𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) ⋮ ⋮ 𝑦𝑚1 (𝑥) = 𝑥 𝑚−1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) ; 𝑦𝑚2 (𝑥) = 𝑥 𝑚−1 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) Usando el Wronskiano, se puede verificar que todas las soluciones obtenidas en cualquiera de los 3 casos son linealmente independientes a las soluciones obtenidas a los otros casos. Así, todas las soluciones obtenidas forman un conjunto fundamental de soluciones de la EDO. Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

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৺EDO DE CAUCHY-EULER DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEA Es una ecuación de la forma: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0, tal que 𝑎0 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑛 ≠ 0. Esta ecuación se transforma en una EDO de coeficientes constantes utilizando la sustitución: 𝑥 = 𝑒 𝑡 . EDO de Cauchy- Euler de 3er orden: 𝑎3 𝑥 3 𝑦 ′′′ + 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0, tal que 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ∈ ℝ ∧ 𝑎3 ≠ 0. 𝑑𝑡 1 1 Sustitución: 𝑥 = 𝑒 𝑡 → 𝑡 = ln(𝑥) → = = 𝑡 = 𝑒 −𝑡 . Además, 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦 ′′ (𝑥) =

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑( ) 𝑑𝑥

𝑑𝑥

= =

𝑑𝑦

𝑦 ′′′ (𝑥) =

=

𝑑𝑥

𝑒

= (−𝑒 −𝑡

𝑑𝑦

𝑒 −𝑡 = 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑥

2

𝑑 𝑦 𝑑( 2 ) 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑒 −𝑡 , 𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

𝑑 𝑦 𝑑( 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑥

+ 𝑒 −𝑡

= (−2𝑒 −2𝑡 (

Sustituyendo las expresiones de 𝑥, 𝑦 ′ (𝑥), 𝑦′′(𝑥) 𝑎3 𝑒 3𝑡 (𝑒 −3𝑡 (

𝑑3𝑦 𝑑𝑡 3

−3

𝑎3 (

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

𝑑3𝑦

𝑑𝑡 3 𝑑3𝑦

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

𝑑2𝑦

) 𝑒 −𝑡 = 𝑒 −2𝑡 (

−

𝑑𝑦

) + 𝑒 −2𝑡 (

𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 y 𝑦 ′ ′′(𝑥) en

+2

−3

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

𝑑3𝑦 𝑑𝑡 3

−

𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

),

`

)) 𝑒 −𝑡 = 𝑒 −3𝑡 (

𝑑3𝑦 𝑑𝑡 3

−3

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

+2

𝑑𝑦 𝑑𝑡

).

la EDO se obtiene:

)) + 𝑎2 𝑒 2𝑡 (𝑒 −2𝑡 (

+2

−

) + 𝑎2 (

𝑑𝑡 𝑑2𝑦 3𝑎3 ) 2 𝑑𝑡

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2

−

𝑑𝑦 𝑑𝑡

−

𝑑𝑦 𝑑𝑡

)) + 𝑎1 𝑒 𝑡 (𝑒 −𝑡

) + 𝑎1

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡

) + 𝑎0 𝑦 = 0

+ 𝑎0 𝑦 = 0

𝑎3 3 + (𝑎2 − + (2𝑎3 − 𝑎2 + 𝑎1 ) + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Esta última ecuación es una EDO lineal de 3er orden homogénea de coeficientes constantes, cuya ecuación auxiliar es: 𝑎3 𝑟 3 + (𝑎2 − 3𝑎3 )𝑟 2 + (2𝑎3 − 𝑎2 + 𝑎1 )𝑟 + 𝑎0 = 0 ৺EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGÉNEA Sea 𝑦𝑝 (𝑥) una solución particular de la EDO no homogénea: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) +. . . +𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥). Si {𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 } es un conjunto fundamental de soluciones de la correspondiente EDO homogénea: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0, entonces la solución general de la ecuación no homogénea está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥), donde: 𝑦𝑐 (𝑥) = 𝑐1 𝑌1 (𝑥) + 𝑐2 𝑌2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑌𝑛 (𝑥) ; 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 ∈ ℝ (denominada solución complementaria) es la solución general de la EDO homogénea correspondiente. Para hallar 𝑦𝑝 (𝑥) se aplica el método de los coeficientes indeterminados descrito previamente o se aplica el método de variación de parámetros como se explica a continuación. ৺MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS (PARA LAS EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGÉNEAS) Sea {𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 } un conjunto fundamental de soluciones de la EDO homogénea: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0, entonces la solución particular de la EDO no homogénea: 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑎𝑛−2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) +. . . +𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), usando el método de variación de parámetros, se plantea de la forma: 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑣1 (𝑥)𝑌1 (𝑥) + 𝑣2 (𝑥)𝑌2 (𝑥) + ⋯ + 𝑣𝑛 (𝑥)𝑌𝑛 (𝑥), tal que 𝑣1 (𝑥), 𝑣2 (𝑥), … 𝑣𝑛 (𝑥) son parámetros variables (funciones no constantes) que deben hallarse y que de manera análoga a lo deducido para el caso de las EDO de 2do orden deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑌1 𝑣1′ + 𝑌2 𝑣2′ + … + 𝑌𝑛 𝑣𝑛′ 𝑌1′ 𝑣1′ + 𝑌2′ 𝑣2′ + … + 𝑌𝑛′ 𝑣𝑛′ ⋮ (𝑛−2) ′ (𝑛−2) ′ (𝑛−2) ′ 𝑌1 𝑣1 + 𝑌2 𝑣2 + ⋯ + 𝑌𝑛 𝑣𝑛 (𝑛−1) ′ 𝑣1

{𝑌1

(𝑛−1) ′ 𝑣2

+ 𝑌2

(𝑛−1) ′ 𝑣𝑛

+ ⋯ + 𝑌𝑛

= = =

0 0 ⋮ 0

. De forma matricial:

𝑌1 𝑌1′ ⋮

𝑌2 … 𝑌2′ … ⋮ (𝑛−2) 𝑌2 …

(𝑛−2)

𝑌1

(𝑛−1)

(𝑛−1)

[ 𝑌1

= 𝑔(𝑥)

𝑌2

…

𝑌𝑛−1 𝑌𝑛 𝑣1′ 0 ′ 𝑌𝑛−1 𝑌𝑛′ 𝑣2′ 0 ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ . (𝑛−2) (𝑛−2) ′ 𝑌𝑛−1 𝑌𝑛 0 𝑣𝑛−1 (𝑛−1) (𝑛−1) [ 𝑣 ′ ] [𝑔(𝑥)] 𝑛 𝑌 𝑌𝑛 ] 𝑛−1

Así, las soluciones del sistema, utilizando la regla de Cramer, son las siguientes: 0

𝑌2

…

𝑌𝑛−1

0 𝑌′2 … 𝑌′𝑛−1 ⋮ ⋮ ⋮ (𝑛−2) (𝑛−2) 0 𝑌 … 𝑌 2 𝑛−1 | (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑔(𝑥) 𝑌2 … 𝑌𝑛−1 ′ (𝑥) 𝑣1 = 𝑌 𝑌2 … 𝑌𝑛−1 1 | 𝑌′1 𝑌′2 … 𝑌′𝑛−1 ⋮ ⋮ ⋮ (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) 𝑌 𝑌 … 𝑌 1 2 𝑛−1 | |

(𝑛−1)

𝑌1

(𝑛−1)

𝑌2

(𝑛−1)

… 𝑌𝑛−1

𝑌𝑛

𝑌1

𝑌′𝑛 | ⋮

𝑌2

…

𝑌𝑛−1

0

𝑌′1 𝑌′2 … 𝑌′𝑛−1 0 | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) 𝑌𝑛 𝑌 𝑌 … 𝑌 0 1 2 𝑛−1 | | | (𝑛−1) (𝑛−1) (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑌𝑛 𝑌1 𝑌2 … 𝑌𝑛−1 𝑔(𝑥) ′ 𝑌𝑛 , … , 𝑣𝑛 (𝑥) = 𝑌1 𝑌2 … 𝑌𝑛−1 𝑌𝑛 . ′ ′ ′ ′ | 𝑌1 𝑌𝑛 | 𝑌2 … 𝑌𝑛−1 𝑌′𝑛 | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) (𝑛−2) 𝑌𝑛 𝑌 𝑌 … 𝑌 𝑌 𝑛 1 2 𝑛−1 | | | |

(𝑛−1)

(𝑛−1)

𝑌𝑛

𝑌1

(𝑛−1)

𝑌2

(𝑛−1)

… 𝑌𝑛−1

(𝑛−1)

𝑌𝑛

Entonces: 𝑣1 (𝑥) = ∫ 𝑣1′ (𝑥)𝑑𝑥 ; … ; 𝑣𝑛 (𝑥) = ∫ 𝑣𝑛′ (𝑥)𝑑𝑥. Finalmente, 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑌1 (𝑥) ∫ 𝑣1′ (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑌2 (𝑥) ∫ 𝑣2′ (𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + 𝑌𝑛 (𝑥) ∫ 𝑣𝑛′ (𝑥)𝑑𝑥.

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

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Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

__________________________________________________________________EDO (ORDEN 2 Y SUPERIOR & SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS)

SOLUCIONES DE EDO UTILIZANDO SERIES DE POTENCIAS Se considera las EDO lineales de 2do orden de la forma: 𝑃(𝑥)𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑅(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝐺(𝑥). Una gran cantidad de problemas de la física matemática llevan a ecuaciones de la forma: 𝑃(𝑥)𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑅(𝑥)𝑦(𝑥) = 0. Como ejemplos se pueden citar: La ecuación de Bessel (de orden 𝑣): 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + (𝑥 2 − 𝑣 2 )𝑦 = 0 tal que 𝑣 ∈ ℝ. La ecuación de Legendre: (1 − 𝑥 2 )𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 𝛼(𝛼 + 1)𝑦 = 0 tal que 𝛼 ∈ ℝ. La ecuación de Hermite: 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 𝜆𝑦 = 0 tal que 𝜆 ∈ ℝ. 2 La ecuación de Chebyshev: (1 − 𝑥 )𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝛼 2 𝑦 = 0 tal que 𝛼 ∈ ℝ. A continuación, se considera sólo a las ecuaciones homogéneas puesto que las no homogéneas se analizan de manera similar. TIPOS DE PUNTOS ALREDEDOR DE LOS CUALES SE BUSCAN SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS Considerando que 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) y 𝑅(𝑥) son polinomios y que no hay factor que sea común para ellos: 1) Un punto 𝑥0 tal que 𝑃(𝑥0 ) ≠ 0 se denomina punto ordinario. Dado que 𝑃(𝑥) es continua, existe un intervalo alrededor de 𝑥0 en el que 𝑃(𝑥) nunca es cero. En dicho intervalo es factible dividir a la EDO 𝑃(𝑥)𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑅(𝑥)𝑦(𝑥) = 0 para 𝑃(𝑥) como sigue: 𝑦 ′′ (𝑥) +

𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) ⏟

𝑦 ′ (𝑥) +

𝑝(𝑥)

𝑅(𝑥) 𝑃(𝑥) ⏟

𝑦(𝑥) = 0,

𝑞(𝑥)

tal que 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son continuas, por lo que, según el teorema de existencia y unicidad, en ese intervalo existe una solución única para la EDO sujeta a las condiciones iniciales 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦0′ , para valores arbitrarios de 𝑦0 , 𝑦0′ . ?

⏞𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ , Alrededor de un punto ordinario se buscan soluciones de la forma: 𝑦(𝑥) = ∑+∞ 𝑛=0 𝑎 tal que se supone que la serie converge en un intervalo de la forma |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 para algún 𝛿 > 0. Por consiguiente, la solución general tiene la forma: 𝑦(𝑥) = 𝑎0 𝑦1 (𝑥) + 𝑎1 𝑦2 (𝑥) ; 𝑎0 , 𝑎1 ∈ ℝ. 2) Un punto 𝑥0 tal que 𝑃(𝑥0 ) = 0 se denomina punto singular. En este caso, 𝑄(𝑥0 ) ≠ 0 ó 𝑅(𝑥0 ) ≠ 0 y al menos uno de los coeficientes 𝑝(𝑥) o 𝑞(𝑥) de la ecuación de forma canónica se vuelve no acotado (discontinuo) cuando 𝑥 se acerca a 𝑥0 . Por lo tanto, el teorema de existencia y unicidad no es aplicable en este caso y se utiliza la teoría de Frobenius. TEORÍA DE FROBENIUS Esta teoría hace uso de desarrollos en series de potencias alrededor de puntos singulares denominados regulares. Dada la ecuación diferencial ordinaria 𝑃(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑄(𝑥)𝑦′ + 𝑅(𝑥)𝑦 = 0: 1) Se dice que un punto singular 𝑥0 es regular si:

lim

𝑥→𝑥0

(𝑥−𝑥0 )𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥)

existe:= 𝑓0 y lim

𝑥→𝑥0

(𝑥−𝑥0 )2 𝑅(𝑥) 𝑃(𝑥)

existe:= 𝑔0 .

2) Cualquier punto singular que no sea regular se denomina punto singular irregular. Alrededor de un punto singular regular se buscan soluciones linealmente independientes de la forma: ?

?

?

?

+∞ ⏞ (𝑥 ⏞𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = ∑𝑛=0 𝑦1 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑟1 ∑+∞ 𝑎𝑛 − 𝑥0 )𝑛+𝑟1 𝑛=0 𝑎 +∞ ⏞ 𝑛 𝑛+𝑟2 ⏞ 𝑦2 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑟2 ∑+∞ 𝑛=0 𝑏𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) = ∑𝑛=0 𝑏𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) ?

⏞𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛+𝑟 . Para esto, primero se plantea una solución de la forma: 𝑦(𝑥) = ∑+∞ 𝑛=0 𝑎 Luego, se deduce una ecuación cuadrática para 𝑟, llamada ecuación indicial. Se puede demostrar que la ecuación indicial tiene la forma: 𝑟(𝑟 − 1) + 𝑓0 𝑟 + 𝑔0 = 0. Una vez hallados los valores de 𝑟 se plantean las soluciones 𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥), para las cuales se debe encontrar los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 respectivamente. Así, la solución general de la EDO analizada está dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑎0 𝑦1 (𝑥) + 𝑏0 𝑦2 (𝑥); 𝑎0 , 𝑏0 ∈ ℝ. CASOS DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN INDICIAL Caso 1: Si se tienen dos raíces reales 𝑟1 ≠ 𝑟2 tal que (𝑟1 − 𝑟2 ) ∉ ℤ, entonces las soluciones linealmente independientes de la EDO son: 𝑛+𝑟1 ; 𝑦 (𝑥) = ∑+∞ 𝑏 (𝑥 − 𝑥 )𝑛+𝑟2 𝑦1 (𝑥) = ∑+∞ 2 0 𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑛=0 𝑛 Caso 2: Si se tiene raíz real repetida 𝑟, entonces las soluciones linealmente independientes de la EDO son: 𝑛+𝑟 ; 𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑥 ) + ∑+∞ 𝑏 (𝑥 − 𝑥 )𝑛+𝑟 𝑦1 (𝑥) = ∑+∞ 2 1 0 0 𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑛=0 𝑛 Caso 3: Si se tienen dos raíces reales 𝑟1 ≠ 𝑟2 tal que (𝑟1 − 𝑟2 ) ∈ ℤ, entonces las soluciones linealmente independientes de la EDO son: 𝑛+𝑟1 ; 𝑦 (𝑥) = 𝑎𝑦 (𝑥) 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑥 ) + ∑+∞ 𝑏 (𝑥 − 𝑥 )𝑛+𝑟2 tal que 𝑎 es una constante por hallar. 𝑦1 (𝑥) = ∑+∞ 2 1 0 0 𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑛=0 𝑛 Observación: Si la primera solución obtenida 𝑦1 converge a una función conocida, entonces para hallar una segunda solución 𝑦2 linealmente independiente a 𝑦1 se puede utilizar el método de reducción de orden, el teorema de Abel o la identidad de Abel.

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

Referencia Bibliográfica: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce – Diprima, 4ta edición

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