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Sistemas de Orden Superior

Introducción • Los sistemas de orden superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente.

Sistemas de orden sup

Sistemas de segundo orden con polo adicional • La función de transferencia de un sistema de segundo orden con polo adicional es la siguiente: n 2 1 H ( s)  2 s  2  n s   n2  1  bs

P1

Im(s) 

P3

p

 

-1/b

P2

Sistemas de orden sup

d

o

Re(s)

• La respuesta transitoria viene dada por la siguiente expresión: e t y (t )  1  send t    p sen   p   e  t sen 2 p 2 sen 





• Que podemos comparar con la de un sistema de segundo orden puro. 

n

y (t )  K  1  e 2 1 

 t

sen d t    



Sistemas de orden sup



• Su efecto sobre la respuesta transitoria dependerá de la posición relativa del nuevo polo con respecto al par de polos complejos conjugados:

Sistemas de orden sup

Respuesta transitoria de sistemas de orden superior • Partimos de una función de transferencia genérica del tipo: bm s m  bm 1s m1    b1s  bo H ( s)  an s n  an 1s n 1    a1s  ao

 s  z  m

H ( s)  K

j 1 n

 s  p  i 1

Sistemas de orden sup

j

i

• Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:  s  z  m

j

j 1

H ( s)  K

q

s

l

 s    h 1

h

h



 s   h 1

k

 j k 

k

 s 

k

 j k 

k

• Y descomponiendo en fracciones simples:  k Au q h Bhu Cku H ( s)   u    u   s u 1 h 1 u 1  s    k 1 u 1  s    j l

h

k

k



  s u

Sistemas de orden sup

Cku * k

 j k 

u

• Agrupando términos: q h Au Bhu H ( s)   u    u 1 s h 1 u 1  s  



l

h



u

k

  k 1 u 1

s

M ku s  N ku

2

 2 k s    k   k 2

2



u

• Con lo que estos sistemas pueden verse como una combinación de sistemas de primer y segundo orden.

Sistemas de orden sup

• La respuesta ante escalón vendrá dada por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples: k  M u q h N hu Pku Y ( s )  u    u u u 1 s h 1 u 1  s   h  k 1 u 1  s   k  jk  l

*

Pku     térmi nos u  s   k  jk 

debidos

a

U ( s)

• Pasando al dominio temporal: M u u 1 q h N hu u 1  h y (t )   t  t e u 1  u  1! h 1 u 1  u  1! l



k

u





2 Pku u 1 k t  t e cos k  arg  Pku      L-1 térmi nos debidos a U ( s )  k 1 u 1  u  1!

Sistemas de orden sup

Sistemas de orden reducido • En algunos casos, los sistemas de orden superior pueden simplificarse para dar lugar a sistemas de orden inferior más fáciles de analizar. – A) Dominancia: Polos y ceros alejados. – B) Cancelaciones: Pares de polos y ceros próximos.

Sistemas de orden sup

• A) Polos dominantes: d >10 d

Sistemas de orden sup

• B) Cancelaciones:

Sistemas de orden sup

• Hay que verificar analíticamente o por medio de simulaciones que la simplificación es admisible: • Pueden imponerse condiciones al nuevo sistema. – P. E. garantizar el mismo comportamiento estático: 1 1 lim s0 sH ( s )  lim s0 sK eq H eq ( s ) s s Sistema reducido

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