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• Diego Velasquez Acevedo

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Índice general I

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1

1. Existencia y Unicidad

2

1.1. Aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden . .

3

1.2. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . .

6

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

8

2.1. Ecuación diferenciales Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. Ecuaciones diferenciales Ordinarias reducibles a variable separable . . .

11

2.4. Existencia y unidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas . . . . . . . . . . . . .

13

2.6. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.6.1. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.7.1. Métodos de de las Isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8.1. aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.9. Ecuación diferenciales de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.10. Ecuación diferencial de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.11. Ecuación diferenciales de Lagrange y Clairouts . . . . . . . . . . . . . .

29

2.12. Ecuaciones diferenciales no resueltas con respecto a la primera derivada

30

2.13. Ecuaciones Diferenciales y soluciones singulares . . . . . . . . . . . . .

32

2.14. Ecuaciones Diferenciales y de orden superior . . . . . . . . . . . . . . .

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i

Parte I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1

1 Existencia y Unicidad Teorema 1.0.1. Dada la ecuación diferencial y 1 “ f px, yq, donde la función f px, yq está definida en la región D Ă R2 que contiene el punto px0 , y0 q. Si la función f px, yq satisface las condiciones : f px, yq es una función continua en la región D. f px, yq admite derivada parcial

Bf px,yq By

continua en la región D .

Entonces existe una y solo una solución y “ ϕpxq de la ecuación diferencial dada que satisface la condición ypx0 q “ y0 (llamada condición inicial) Así el teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de unicidad de soluciones pero no son necesarias. es decir pueden existir una solución única de la ecuación diferencial y 1 “ f px, yq que satisface la condición inicial ypx0 q “ y0 , a pesar que en el punto px0 , y0 q no se cumpla la condición o condiciones del teorema. Ejemplo 1. Dada la ecuación diferencial y 1 “ ejeX pasa una y solo una solución.

1 , y2

verificar que por cada punto del

Bf px, yq 2 “ ´ 3 , vemos en los puntos px0 , 0q no se By y cumplen ninguna de las condiciones del teorema. Pero a podemos observar que por cada punto del eje X pasa una sola curva integral y “ 3 3px ´ x0 q Solución. Veamos f px, yq “

1 y2

ñ

Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial y 1 “ xy ` e´y , determinar la región en la cual tiene solución única. Bf px, yq “ x ´ e´y ,es By continua en todo R2 , en virtud al teorema de existencia y unicidad el problema tiene solución única en todo R2 . Solución. Veamos f px, yq “ xy ` e´y es continua en todo R2 ,

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1.1.

EXISTENCIA Y UNICIDAD

Aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Definición. Se llaman trayectorias ortogonales o curvas ortogonales a una familia de curvas φpx, y, cq “ 0 (con c constante), a otra familia de curvas ψpx, y, kq “ 0 que cortan perpendicularmente a cada elemento de la familia φ. Sea la familia de curvas φpx, y, cq “ 0 suponiendo que φ admite derivadas parciales dy ` Bφ “ 0 de ambas ecuaciones respecto a x y a y, sabiendo además que y “ ypxq Bφ Bx By dx 1 se elimina c y se obtiene la ecuación diferencial f px, y, y q “ 0, la familia de curvas ψpx, y, kq “ 0 tiene por ecuación diferencial f px, y, ´ y11 q “ 0 Si Sea la familia de curvas φpx, y, cq “ 0 cuya ecuación diferencial es f px, y, y 1 q “ 0, y 1 ´ tan$ la familia de curva w´trayectorias es f px, y, q“0 1 ` y 1 tan$ 1. Determinar la familia ortogonal a la familia de curvas y “ cp1 ` xqα , donde c es un parámetro y α ě 1 (fijo) 2. Si en cada punto px, yq de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa, determinar la curva que pasa por el punto p0, eq. 3. Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de hipérbolas xy “ c 4. Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de cardiodes ρ “ cp1 ` senθq dρ La familia de curvas φpρ, θ, cq “ 0 cuya ecuación diferencial es f pρ, θ, q “ 0, la dθ 2 dρ familia de curvas ortogonales es f pρ, θ, ´ρ q“0 dθ 1. La familia de todas las circunferencias con centro en el origen. 2. La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que, además, tienen su centro sobre el eje OY. 3. La familia de parábolas x “ cy 2 . 4. La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que, además, tienen su centro sobre el eje OX. xy 5. La familia “c x´1 6. La familia de circunferencias que pasa por los puntos p´1, 0q y p0, 1q 7. Una tractriz es una curva que pasa por el punto A “ pa, 0q del eje de abscisas, con la propiedad de que la longitud del segmento de la recta tangente desde cualquier punto de la curva al eje de ordenadas es constante. (un perro y su dueño se desplazan a la misma velocidad el perro sigue a su dueño quien se desplaza en linea recta de norte a sur) Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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EXISTENCIA Y UNICIDAD

En cada caso, encuentre la ecuación de la curva en el plano XY que cumple las condiciones dadas 1. Hallar la ecuación de las curvas, tales que la de la tangente, comprendido entre el ejeY y el punto de tangencia queda dividido en partes iguales por el ejeX. 2. La tangente en cualquier punto de una curva y la recta que une con el origen forman un triángulo isósceles con base en el ejeX. Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto p2, 7q. 3. La normal el punto ppx, yq de una curva corta al ejeX en M y al ejeY en N . Hallar la ecuación de las curvas para las cuales p es el punto medio de M N . 4. Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados. 5. La recta normal a una curva dada en cada punto px, yq sobre dicha curva, pasa a través del punto p2, 0q. Si el punto p2, 3q pertenece a dicha curva, determinar la ecuación de dicha curva su ecuación. 6. Determinar todas las curvas planas para las que el ejeY biseca la parte de la tangente comprendida entre el punto de tangencia y el ejeX. 7. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto px, yq de una curva es 1 ` xy . Si la curva pasa por el punto p1, 1q, encuentre su ecuación. 8. Encuentre una ecuación para la familia de curvas tal que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma de la mitad de la ordenada y dos veces la abscisa del punto 9. En intercepto con el eje y, de la recta normal a una curva en cualquiera de sus puntos, es igual a 2. Si la curva pasa por el punto p3, 4q, encuentre su ecuación. 10. El intercepto en el eje y de la recta tangente a una curva en cualquiera de sus puntos, es siempre igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. Si la curva pasa por el punto p2, 1q, encuentre su ecuación. 11. La longitud del segmento de la recta normal entre el punto de tangencia y el punto de corte de dicha recta con el ejeX es siempre igual a una constante a >0. Muestre que la curva es una circunferencia de radio a. 12. En cada punto P px, yq de una curva, la longitud del segmento que la recta tangente intercepta en el ejeY es igual 2xy 2 Hallar la curva solución. 13. En cada punto P px, yq de una curva la longitud de la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa de dicho punto. Hallar la curva que pasa por el punto p1, eq. 14. El segmento de la recta normal trazada en un punto cualquiera P px, yq de una curva, cuyos extremos son este punto y el de intersección con el ejeX, es cortado en dos partes iguales por el ejeY. Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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EXISTENCIA Y UNICIDAD

15. Empleando coordenadas rectangulares hallar la forma del espejo curvado tal que la luz de una fuente situada en el origen se refleje en él como un haz de rayos paralelos al ejeX 16. Una curva pasa por el origen en el plano XY , al primer cuadrante. El área bajo la curva de p0, 0q a px, yq es un tercio del área del rectángulo que tiene esos puntos como vértices opuestos. Encuentre la ecuación de la curva. En cada caso, encuentre la ecuación de la curva en el plano XY que cumple las condiciones dadas 1. Pasa por p´1, 3q y su pendiente en cada punto px, yq es igual a y “ x. 2. Pasa por p2, 5q y su pendiente en cada punto px, yq es igual a 1 ´y “ x. 3. Pasa por p3, 4q y en cada punto px, yq el cuadrado de la pendiente de la recta tangente es igual a 4y. 4. Pasa por p0, 4q y la pendiente de la recta normal en cada punto px, yq es igual a 1`y . x 5. Pasa por pe, 0q y la pendiente de la recta normal en cada punto px, yq es igual a xe´y . 6. Pasa por el punto p´2, 3q, y para cada punto px, yq en la curva, la recta tangente interseca el eje horizontal en p2x, 0q. 7. Pasa por el punto p2, 2q, y para cada punto px, yq en la curva, la recta tangente interseca el eje horizontal en p0, y 2 q. 8. Pasa por p´2; 2q, y para cualquier punto px, yq de la curva, la recta normal pasa por el origen. 9. Pasa por p0, 4q, y el área entre la curva y el eje horizontal, desde el eje vertical hasta cualquier x ą 0, es igual a x ` y. 1. Encontrar la ecuación diferencial que satisface x2 ` y 2 “ cx 2. La ecuación y 1 “ y tiene como solución general y “ cex . 3. La tangente en cada punto de una curva y la recta que une ese punto con el origen forman un triángulo isósceles con la base en el eje de las abscisas. Halle la ecuación de la curva que pasa por el punto p1, 1q. 4. En cada punto P px, yq de una curva, el ángulo que forma la tangente y la ordenada se divide en dos partes iguales por la recta que pasa por P px, yq con el origen. Hallar la ecuación de la curva. 5. Curvas isogonales si γ es el ángulo formado por las curvas C1 y C2 tan β ´ tan α tan γ “ ˙ 1 ` tan β tanα 6. Hallar la familia isogonal de 45˝ a la familia y “ cx Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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1.2.

EXISTENCIA Y UNICIDAD

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden

1. Un recipiente con una sección transversal constante A se llena con agua hasta la altura H. El agua fluye a través de un orificio de sección transversal a en la base del recipiente. Encuentre la altura del agua en cualquier tiempo y encuentre el tiempo necesario para vaciar el tanque. 2. Un reloj de agua de 12 horas va a ser diseñado con las dimensiones que se muestra en la figura. Con la forma de superficie de revolución obtenida al girar la curva y “ f pxq alrededor del ejeY ¿Cuál debe ser la curva, y cual debe ser el radio del agujero circular en el fondo para que el agua descienda a razón de 1pulg{hora (c=1). 3. Supongamos que P ptq es el número de individuos de una población (de humanos, bacterias insectos ) que tienen índices constantes de natalidad y mortalidad β y δ respectivamente (en nacimiento y muertes por unidad de tiempo). Entonces durante un corto intervalo ∆t ocurren βP ptq∆t nacimiento y δP ptq∆t muertes así que el cambio en P ptq está dado aproximadamente por ∆P “ pβ ´ δqP ptq∆t y ∆P dP “ l´ım “ kP ptq ∆tÑ0 ∆t dt donde k “ β ´ δ 4. A mediados de 1982 la población mundial era de 4, 5 mil millones de habitantes y después creció a razón de un cuarto de millón de personas diarias. Suponiendo que son constantes los índices de natalidad y mortalidad ¿Para cuando se puede esperar una población mundial de 20 mil millones? 5. Si se considera el espacio, los individuos compiten por los recursos este hecho, se puede corregir la ecuación inicial basándonos en la hipótesis de que en la disminución del crecimiento de la población influye también un factor que es proporcional al número de encuentros entre dos individuos cuyo valor medio es, a su vez, proporcional a p2 . Con ello se tendrá que el crecimiento de la población está regido por la ecuación. dp “ ap ´ bp2 dt se conoce con el nombre de ley logistica donde a es la denominada tasa de crecimiento natural en un medio ilimitado 6. Un cilindro recto con eje vertical se llena con agua y se hace rotar alrededor de su eje con una velocidad angular constante ω ¿Qué forma toma la superficies del agua? Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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EXISTENCIA Y UNICIDAD

7. Un tanque contiene 1000lt de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos con agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 Lt por segundo y la mezcla (que se mantiene uniforme mediante agitación) se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo pasará para que en el tanque queden solamente 10kg de sal? 8. El número de átomos que se desintegran en un tiempo dado es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra. La constante de proporcionalidad es conocida como la constante de desintegración Se llama periodo de semidesintegración al tiempo t1/2, para el cual, el número de núcleos iniciales se reduce a la mitad. Cada sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración. Por tanto, si: Experimentalmente se ha comprobado que el ritmo de desintegración de los elementos radiactivos es proporcional a la cantidad de elemento presente. Así, si Qptq designa dicha cantidad en cada instante de tiempo, se tiene que la ley de desintegración es dQ “ kQ, k ă 0 dt

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7

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1.

Ecuación diferenciales Introducción

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta última materia nos ayudar´a a entender mejor los fenómenos naturales. Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, básicamente, atendiendo a dos criterios: I) TIPO: Si la función incógnita contiene una única variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la función incógnita contiene dos o más variables independientes, la ecuación se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales II) ORDEN: Es la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación diferencial. El grado de la ecuación diferencial es dado por la potencia de termino de la derivada de orden mas alto Nos restringiremos al análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición. Llamamos ecuación diferencial ordinaria de orden n (E. D.O) a una ecuación que relaciona una variable independiente, la variable dependiente y sus derivadas hasta de orden n ; Consideremos una ecuación diferencial ordinaria de orden n f px, y, y 1 , y 2 , ¨ ¨ ¨ , y n q “ 0

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Dada una ecuación diferencial, tendremos que distinguir de qué tipo de ecuación se trata y saber cuál es el método que nos va a permitir resolverla. Para ello, veamos cuáles son las distintas formas en que se nos puede presentar una ecuación diferencial de primer orden: Forma general F px, y, y 1 q “ 0 Forma normal

dy “ f px, yq dx

Forma diferencial M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0

2.2.

Variables separables

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y 1 “ f px, yq se dice de variables separables si es posible escribir como y 1 “ hpyq ¨ gpxq para resolver escribimos como: y 1 “ gpxqhpyq

ñ

1 dy “ gpxqdx hpyq

ñ

dy “ gpxqhpyq żdx ż 1 dy “ gpxqdx ` c hpyq

del cual se obtiene una solución implícita formada por una familia 1 ´ paramtrica de soluciones: F pyq “ Gpxq ` c Si hpyq “ 0 es solución de la ecuación diferencial, la añadiremos a la familia 1 ´ paramtrica para obtener la solución general de la ecuación diferencial, a menos que ya esté incluida en ella en la ecuación diferencial de la forma M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 h1 pxqg1 pyqdx ` h2 pxqg2 pyqdy “ 0 h1 pxq g2 pyq dx ` dy “ 0 h2 pxq g1 pyq ż ż h1 pxq g2 pyq dx ` dy “ c h2 pxq g1 pyq en este caso observemos que la solución obtenida no está definida para los valores de x tales que h2 pxq “ 0. Si g1 pyq “ 0 es solución de la ecuación diferencial, la añadiremos a ésta para obtener la solución general de la ecuación diferencial. Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Nota 1. Como hemos visto, en el proceso de resolución se pueden perder soluciones con las manipulaciones algebraicas. Por ello, hay que comprobar si alguna de ellas es o no solución, y en caso de serlo, añadirla para obtener la solución general. Ejemplo 3. Resolver las ecuaciones a) p1 ` yqdx ` p1 ´ x2 qdy “ 0

j) p1 ` 3y 2 qdy ´ 4tdt “ 0

b) dx ´ py ` 1qdy “ 0; yp0q “ 1

k) tdy ´ p2y ` 1qdt “ 0

c) xdx ´ d) dx ´

1 dy y 2 `1

1 dy y3

“ 0; yp0q “ 1

“ 0; yp0q “ 1

l) yet dt ´ p1 ` y 2 qdy “ 0 m) tdt ´ pt2 y ` yqdy “ 0 n) pt2 v ´ 2 ´ 2v ` t2 qdt ´ dv “ 0 a ñ) xy 1 “ 1 ´ y 2

2

e) ptyq dt ´ dy “ 0 f ) pty 2 ` 3y 2 qdt ´ dy “ 0 ? g) t 3 xdt ´ dx “ 0

o)

a p1 ` y 2 q dx “ py ´ 1 ` y 2 qdy p1 ` x2 q3{2

h) pty ` t ` y ` 1qdy ´ dt “ 0

p)

dy dx

“ x2 ` x2 y 3

i) yp1 ´ yqdt ´ dy “ 0

q)

dy dx

“

2x`xy y 2 `1

Resolver las ecuaciones de valor inicial: yp0q “ 3

8.

dy dx

“

y 2 `5 , y

yp0q “ ´2

9.

dy dx

“

x2 y´y , y`1

10.

dy dx

“

3x2 ´6x2 y 2 , y´x3 y

1.

dy dx

“ 2y ` 1,

2.

dy dx

“

3.

dy dx

“ py 2 ` 1qx,

yp0q “ 1

4.

dy dx

“ xy 2 ` 2y 3 ,

yp0q “ 1

5.

dy dx

2

t2 , x`xt3

2 2

“ 2xy ` 3t y ,

6.

dy dx

“

7.

dy dx

“

y 2 `5 y

yp1q “ ´1

x , y´x2 y

yp0q “ ´2 yp0q “ 4

yp3q “ 1 yp3q “ 1

11. p4x ` xy 2 qdx ` py ` x2 yqdy “ 0 dy dx

x , 1´y

yp0q “ 1

xy 2 ` x 13. “ y1, 2 y`x y

yp1q “ 2

12. ,

yp0q “ ´2

“

x y

´

Ejemplo 4. Considerando el siguiente modelo de medidas de los niveles de colesterol basado sobre los niveles que son generados por un cuerpo, sobre las paredes celulares y que es absorbido de los alimentos que contienen colesterol. Sea Cptq la cantidad de colesterol en el cuerpo de una persona particular ( en mg{dcm) a un tiempo t Dada la ecuación como dC “ k1 pC0 ´ Cq ` k2 E dt Donde: C0 “ Nivel de colesterol de un apersona k1 “ Parámetro de producción E “ razón de colesterol que se adquiere en una ingesta k2 “ Parámetro de absorción supongamos que C0 “ 200, k1 “ 0,1, k2 “ 0,1, E “ 400 y Cp0q “ 150 Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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a) ¿Cuál será los niveles de colesterol después de 2 días de dieta? b) ¿Cuál será el resultado si se considera las mismas condiciones del ejemplo anterior, pero para el caso de 5 días? c) ¿Qué niveles de colesterol tendrá una persona después de un largo periodo de tiempo? d) Altos niveles de colesterol son considerados alto factor de riesgo para el corazón. Supongamos que después de un gran periodo de tiempo, dada una dieta considerando los valores mencionados en el primer inciso, pero con una disminución de los valores de E a E “ 100. (El nivel de colesterol inicial para el inicio de esta dieta es el resultado de la parte (c))¿Cuál será el nivel de colesterol después de un día con la nueva dieta, después 5 días, y después de un periodo de tiempo largo para la nueva dieta? e) Supongamos que una persona inicia la dieta con altos niveles de colesterol, pero toma medicamentos que bloquean algunos elementos de colesterol de los alimentos de la ingesta, además k2 cambia a k2 “ 0,075. Con los niveles de colesterol del inciso c), ¿Cuáles serán los niveles de colesterol en una persona después de un día, después de 5 días y después de un periodo de tiempo largo?

2.3.

Ecuaciones diferenciales Ordinarias reducibles a variable separable

Las ecuaciones diferenciales de la forma y 1 “ f pax ` by ` cq donde a, b, y c son constantes, no son de variable separable. Para resolver estas ecuaciones se hace el cambio de variable ypxq por zpxq dado por z “ ax ` by ` c del cual z 1 “ a ` by 1 de z1 ´ a y se reemplaza en la ecuación diferencial y se obtiene una ecuación donde y 1 “ b diferencial de variable separable es decir

y 1 “ f pax ` by ` cq

ñ

z 1 “ a ` bf pzq

ñ

z1 ´ a “ f pzq b dz “ dx a ` f pzq

Ejemplo 5. Resolver las ecuaciones diferenciales 1. y 1 “ senpx ´ y ` 1q ? 2. y 1 “ a ` y ´ 4x ` 8

5. y 1 “ 1 ` 6.

dy 2x ` y “ dx 2x ` y ` 3

7.

dy 1 “ dx 2x ` y ` 3

3. y 1 “ tan2 py ´ xq 4. px ` y ` 4q4 ,

yp1q “ 1

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? x ` y,

yp0q “ 4

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Ecuaciones diferenciales de la forma y1 “

a1 x ` b 1 y ` c 1 a2 x ` b 2 y ` c 2

ó

y1 “ f p

a1 x ` b 1 y ` c 1 q a2 x ` b 2 y ` c 2

para resolver este tipo de ecuaciones hacemos una traslación como sigue determinamos el punto de intersección de las rectas, al resolver el sistema " a1 x ` b1 y ` c1 “ 0 a2 x ` b2 y ` c2 “ 0 " x “ u ` x0 se tiene la solución px.yq “ px0 , y0 q luego hacemos y “ v ` y0 Nota 2. El caso: a1 b2 ´b1 a2 “ 0 Se cumple que ambas rectas son paralelas, se cumplirá que Dk P R{a1 x ` b1 y “ kpa2 x ` b2 y Resolver las ecuaciones ex`y ´ x ´ y dy “ dx x`y a y 2 ` x x2 ` y 2 dy 2. “ dx xy

3.

1.

2.4.

dy “ 4x2 ` 4xy ` y 2 dx

x ` yln2 xy dy 4. “ dx xln2 p xy q

Existencia y unidad de soluciones

Teorema 2.4.1. Dada la ecuación diferencial y 1 “ f px, yq, donde la función f px, yq está definida en la región D Ă R2 que contiene el punto px0 , y0 q. Si la función f px, yq satisface las condiciones : f px, yq es una función continua en la región D. f px, yq admite derivada parcial

Bf px,yq By

continua en la región D .

Entonces existe una y solo una solución y “ ϕpxq de la ecuación diferencial dada que satisface la condición ypx0 q “ y0 (llamada condición inicial) Así el teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de unicidad de soluciones pero no son necesarias. es decir pueden existir una solución única de la ecuación diferencial y 1 “ f px, yq que satisface la condición inicial ypx0 q “ y0 , a pesar de que en el punto px0 , y0 q no se cumpla la condición o condiciones del teorema. Ejemplo 6. Dada la ecuación diferencial y 1 “ ejeX pasa una y solo una solución. Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

1 , y2

verificar que por cada punto del

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Bf px, yq 2 “ ´ 3 , vemos en los puntos px0 , 0q no se By y cumplen ninguna de las condiciones del teorema. Pero a podemos observar que por cada punto del eje X pasa una sola curva integral y “ 3 3px ´ x0 q

Solución. Veamos f px, yq “

1 y2

ñ

Ejemplo 7. Dada la ecuación diferencial y 1 “ xy ` e´y , determinar la región en la cual tiene solución única. Bf px, yq Solución. Veamos f px, yq “ xy ` e´y es continua en todo R2 , “ x ´ e´y ,es By continua en todo R2 ,en virtud al teorema de existencia y unicidad el problema tiene solución única en todo R2 .

2.5.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas

Definición. Se dice que una función f px, yq es homogénea de grado k en la variables x, y si y solo si, cumple con la condición siguiente f ptx, tyq “ tk f px, yq Definición. Se dice que una educación diferencial M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 es homogénea si las funciones M px, yq, N px, yq son homogéneas del mismo grado. Consideremos la ecuación diferencial homogénea M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 donde: M pλx, λyq “ λk M px, yq N pλx, λyq “ λk N px, yq en la ecuación (2.1) hacemos λ “ M p1, xy q “ N p1, xy q “

(2.1)

1 x

1 M px, yq ñ M px, yq “ xk M p1, xy q xk 1 N px, yq ñ N px, yq “ xk N p1, xy q xk

(2.2)

si hacemos y “ ux en la ecuación (2.3) M px, yq “ xk M p1, uq ñ M px, yq “ xk ϕpuq N px, yq “ xk N p1, uq ñ N px, yq “ xk ψpuq

(2.3)

Además como y “ ux se tiene dy “ udx ` xdu reemplazando en la ecuación diferencial se tiene xk ϕpuqdx ` xk ψpuqpudx ` xduq “ 0 que simplificando pϕpuq ` uψpuqqdx ` xψpuqdu “ 0 dx ψpuq ` du “ 0 x ϕpuq ` uψpuq esta es una ecuación diferencial de variables separables. Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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2.6.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones diferenciales exactas

Dada una familia de curvas F px, yq “ C, se puede generar una ecuación diferencial de primer orden hallando la diferencial total de F : dF px, yq “ 0 , es decir: BF BF dx ` dy “ 0 Bx By . El método en que se basa la resolución de las ecuaciones exactas es el proceso inverso. Es decir, dada una ecuación diferencial en la forma: M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 intentamos ver si corresponde a la diferencial total de alguna función de dos variables. Definición. Una Una ecuación diferencial de primer orden M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 es exacta en una región Ω si M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 es una diferencial exacta, es decir, si existe una función F px, yq tal que: BF px, yq “ M px, yq y Bx

BF px, yqdy “ N px, yq, By

@px, yq P Ω

El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para conocer cu´ando una ecuación es exacta y su demostración nos proporciona un método para obtener la solución general F px, yq “ C. Teorema 2.6.1. Sean M px, yq y N px, yq funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas en una región Ω. Entonces, la ecuación M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 es exacta si y sólo si se verifica BM BN px, yq “ px, yqdy, By Bx

@px, yq P Ω

(2.4)

Demostración. Veamos el caso (ñ) Supongamos que la ecuación M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 es exacta. Entonces, existe una función F px, yq tal que: BF px, yq “ M px, yq y Bx

BF px, yqdy “ N px, yq, By

@px, yq P Ω

por tanto:

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

B2F BM px, yq px, yq “ ByBx By

y

B2F BN px, yq px, yq “ BxBy Bx

Puesto que las primeras derivadas parciales de M y N son continuas en Ω, también lo son las derivadas parciales segundas cruzadas de F ; por tanto, éstas son iguales y se tiene que BN px, yq BM px, yq “ @px, yq P Ω By Bx (ð) Dada la ecuación M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0, vamos a demostrar que si se verifica (2.4), existe una función F que verifica las condiciones de la definición de ecuación exacta. Si BF px, yq “ M px, yq entonces Bx ż F px, yq “ M px, yqdx “ Gpx, yq ` ϕpyq (2.5) donde Gpx, yq es la primitiva de M px, yq respecto de x. Ahora, derivamos parcialmente respecto de y la expresión obtenida para F y la igualamos a N px, yq: BG BF px, yq “ px, yq ` ϕ1 pyq “ N px, yq By By de donde despejamos ϕ1 pyq: ϕ1 pyq “ N px, yq ´

BG px, yq By

(2.6)

Si esta expresión sólo depende de y, podremos integrar y obtener ϕpyq que, sustituida en (2.5) nos dará la expresión de F px, yq. Queda por demostrar que (2.6) sólo depende de y. Para ello, comprobamos que su derivada parcial respecto de x es cero:

B BG BN B BG BN B BG BN BM pN px, yq ´ px, yqq “ ´ “ ´ “ ´ “0 Bx By Bx Bx By Bx By Bx Bx By

Ejemplo 8. Resolver las siguientes ecuaciones: 1. x2 ` y 2 ` 2xqdx ` p2xy ` 3y 2 qdy “ 0 2. pcosxsinx ´ xy 2 ` ex qdx ` yp1 ´ x2 qdy “ 0,

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yp0q “ 2

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2.6.1.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Factores integrantes

Dada una ecuación diferencial de la forma M px, yqdx ` N px, yqdy “ 0 que no es exacta, a veces es posible encontrar una función µpx, yq tal que al multiplicarla por la ecuación diferencial, ésta se convierta en exacta. Es decir, µpx, yqM px, yqdx ` µpx, yqN px, yqdy “ 0 es una ecuación diferencial exacta. Nota 3. Ala función µpx, yq se le llama factor integrante Ambas ecuaciones tienen esencialmente las mismas soluciones, pero al multiplicar por el factor integrante µpx, yq es posible ganar o perder soluciones. En el siguiente ejemplo vemos cómo determinar si hemos ganado o perdido alguna solución en el proceso Ejemplo 9. Verificar que µpx, yq “ xy 2 es factor integrante de la ecuación diferencial p2y ´ 6xqdx ` p3x ´ 4x2 y ´1 qdy “ 0

(2.7)

Solución. En efecto al multiplicar la ecuación diferencial p2y´6xqdx`p3x´4x2 y ´1 dy “ 0 por µpx, yq “ xy 2 se obtiene p2xy 3 ´ 6x2 y 2 qdx ` p3x2 y 2 ´ 4x3 yqdy “ 0

(2.8)

resolvemos esta ecuación ż BF 3 2 2 px, yq “ 2xy ´ 6x y ñ Bx ż BF 2 2 3 px, yq “ 3x y ´ 4x y ñ By

ż BF px, yqdx “ p2xy 3 ´ 6x2 y 2 qdx ` ϕpyq Bx ż BF px, yqdy “ p3x2 y 2 ´ 4x3 yqdy ` φpxq Bx

se obtiene que F px, yq “ x2 y 3 ´ 2x3 y 2 ` ϕpyq F px, yq “ x2 y 3 ´ 2x3 y 2 ` φpxq al comparar las ecuaciones se determinan que ϕpyq “ 0 y φpxq “ 0 Por lo tanto F px, yq “ x2 y 3 ´ 2x3 y 2 y la solución general de la ecuación diferencial (2.8) es: x2 y 3 ´ 2x3 y 2 “ c Como se ha comentado, al multiplicar la ecuación (2.7) por el factor integrante µpx, yq es posible ganar o perder soluciones. En este caso, al multiplicar la ecuación (2.7) por xy 2 , se ha obtenido y ” 0 como solución de de la ecuación (2.8) pero no lo es de (2.7) Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Calculo del factor integrante Para determinar el factor integrante Bpµpx, yqN px, yqq Bpµpx, yqM px, yqq “ By Bx al derivar se obtiene M

Bµ BM Bµ BN `µ “N `µ By By Bx Bx

pM

Bµ Bµ BN BM ´ N q “ µp ´ q By Bx Bx By

es decir (2.9)

Obtener µ de esta ecuación no es sencillo puesto que a veces llegamos a una ecuación en derivadas parciales cuya resolución es más complicada que la ecuación inicial. Sin embargo, esta ecuación se simplifica si buscamos un factor de la forma µpxq, es decir µ sólo depende de la variable x, o de la forma µpyq, es decir que sólo depende de y. Factor integrante de la forma µpxq: Supongamos que queremos hallar un factor integrante que sólo dependa de x. es decir factor integrante µ “ µpxq . De la ecuación (2.9) queda: ´N

BM By

1 Bµpxq “ µ Bx

´

BN BM Bµpxq “ µpxqp ´ q Bx Bx By

BN Bx

N

ż ñ

1 Bµpxq p qdx “ µ Bx

ż lnµpxq “

donde: f pxq “

BM By

´

ş

f pxqdx

ñ

µpxq “ e

(2.10)

ż

BM By

´

BN Bx

N

dx

f pxqdx

BN Bx

N

Factor integrante de la forma µpyq: Supongamos que queremos hallar un factor integrante que sólo dependa de y. es decir factor integrante µ “ µpyq . De la ecuación (2.9) queda: M

1 Bµpyq “´ µ By

BM By

´

Bµpyq BN BM “ µpyqp ´ q By Bx By

BN Bx

M

ż ñ

ż lnµpxq “

1 Bµpyq p qdy “ ´ µ By ş

gpyqdy

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ñ

µpyq “ e

(2.11)

ż

BM By

´ M

BN Bx

dy

gpyqdy

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donde: gpyq “ ´

BM By

´

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

BN Bx

M

Factor integrante de la forma µpx, yq “ f pxqgpyq: Supongamos que queremos hallar un factor integrante µpx, yq “ f pxqgpyq . determinamos Bµpx, yq “ f 1 pxqgpyq Bx

Bµpx, yq “ f pxqg 1 pyq By

reemplazando en la ecuación (2.9) queda: M f pxqg 1 pyq ´ N f 1 pxqgpyq “ f pxqgpyqp

BN BM ´ q Bx By

al dividir entre f pxqgpyq y ordenando se obtiene BM BN ´ Bx By

g 1 pyq f 1 pxq “ M ´N gpyq f pxq

En esta ecuación M px, yq y N px, yq son conocidos y por inspección podemos determinar f pxq y gpyq Factor integrante de la forma µpx, yq “ xn y m : Supongamos que queremos hallar un factor integrante de la forma µpx, yq “ xn y m Esto es un caso particular del caso anterior donde f pxq “ xn y gpyq “ y m Ejemplo 10. Resolver la ecuación diferencial 1. p2x2 ` yqdx ` px2 y ´ xqdy “ 0 2. ypx ` y ` 1qdx ` xpx ` 3y ` 2qdy “ 0 3. x2 y 2 dx ` px3 y ` y ` 3qdy “ 0 4. x2 dx ´ px3 y 2 ` y 2 qdy “ 0 5. ex px ` 1qdx ` pey y ´ xex qdy 6. yp1 ` xyqdx ´ xdy “ 0 7. 2ypx ` y ` 2qdx ` py 2 ´ x2 ´ 4x ´ 1qdy “ 0 Ejercicio 1. Resolver las ecuaciones diferenciales 1. pxy ` x2 y ` y 3 qdx ` px2 ` 2y 2 qdy “ 0 2. 2ydx ´ px ` xy 3 qdy “ 0 Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

(sug. buscar µpx, yq “ f pxqgpyq) (sug. buscar µpx, yq “ xn y m ) 18

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3. p3y 2 ´ xqdx ` p2y 3 ´ 6xyqdy “ 0

(sug. buscar µpx, yq “ ϕpx ` y 2 q)

4. p3xy ` y 2 qdx ` xyp2x ` yqdy “ 0

(sug. considerar µpx, yq “ rxyp2x ` yqs´1 )

5. pxy ´ x2 qdx ` pxy ´ y 2 qdy “ 0 2

6. p3x ` y6 qdx ` p xy `

3y qdy x

(sug. buscar µpx, yq “ ϕpy ´ xq)

“0

(sug. buscar µpx, yq “ ϕpx ´ yq)

7. Demostrar que pypy 2 ´x2 ´1qdx´pxpy 2 ´x2 `1qdy “ 0 puede resolverse efectuando una transformación a coordenadas polares r y θ donde x “ rcoxθ, y “ rsenθ y hallar su solución. 8. Demostrar que la ecuación diferencial xpq pαydx ` βxdyq ` xr y s pγydx ` δxdyq “ 0 , donde p, q, r, s, α, β, γ, δ son constantes conocidas, tienen un factor integrante µpx, yq “ xa y b , donde a y b son constantes adecuadas

2.7.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Definición. Una ecuación lineal de primer orden es aquélla que tiene la forma: a1 pxqy 1 ` a0 pxqy “ bpxq , donde a1 pxq, a0 pxq y bpxq dependen sólo de x. Supongamos que a1 pxq, a0 pxq y bpxq son funciones continuas en un intervalo I y que a1 pxq ‰“ en este intervalo. Dividiendo por a1 pxq se puede reescribir esta ecuación en forma canónica y 1 ` ppxqy “ qpxq

(2.12)

donde: ppxq, qpxq son funciones continuas en dicho intervalo. Si expresamos la ecuación (2.12) en forma diferencial, se tiene: pppxqy ´ qpxqqdx ` dy “ 0

(2.13)

Si ppxq ” 0 la ecuación diferencial es sexacta y también es de variable separable. En caso contrario, la ecuación (2.13) admite un factor integrante de la forma µpxq. Como se ha visto en anteriormente, se deduce que dicho factor es ş

µpxq “ e

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ppxqdx

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Multiplicando la ecuación (2.13) por el factor integrante:

ş

e

ppxqdx

ş

pppxqy ´ qpxqqdx ` e ppxqdx dy “ 0 ş ş ş e ppxqdx yppxqdx ` e ppxqdx dy “ e ppxqdx qpxqdx ş ş dpe ppxqdx yq “ e ppxqdx qpxqdx ż ş ş ppxqdx e y “ e ppxqdx qpxqdx "ż ş * ş ´ ppxqdx ppxqdx y “ e e qpxqdx ` c

Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales 1. y 1 “

1 ey ´ x

2. y 1 ´ 2xy “ cosx ´ 2xsenx donde y es una función acotada cuando x Ñ 8 3. y 1 ` 2y “ x2 ` x 4. y 1 ´ ex y “ 5. y 1 “

1 sen x1 x2

´ ex cos x1

2y ` p2x ´ 1qex 2x ` 1

6. px ` 1qy 1 ´ 2y ´ px ` 1q4 “ 0

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Problema de valor inicial de una ecuación diferencial de orden n Problema de valor inicial La ecuación diferencial sujeta a condiciones iniciales (prescritas), impuestas a ypxq o a sus derivadas. en un intervalo I que contenga a x0 , Resolver: Sujeto a:

dn y “ f px, y, y 1 , ..., y pn´1q q n dx ypx0 q “ y0 , y 1 px0 q “ y1 , ..., y pn´1q px0 q “ yn´1

Teorema 2.7.1 (Existencia de una solución única ). Sea R una región del plano XY, Bf definida por a ď x ď b, c ď y ď d, que contiene al punto px0 , y0 q . Si f px, yq y By son continuas enR, entonces existe un intervalo I, centrado en x0 , y una función ypxq definida en I. que satisface el problema de valor inicial expresado por las ecuaciones

2.7.1.

Métodos de de las Isoclinas

La isoclina, es el lugar geométrico de los puntos en los que las rectas tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. Se trata de uno de los métodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales de manera gráfica mediante la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones; consideremos la ecuación diferencial de la forma: y 1 “ f px, yq Cuya solución es una función y “ gpxq. Geométricamente, en la ecuación se afirma dy que, en cualquier punto px, yq la pendiente dx de la solución en ese punto está dada por f px, yq . Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto px, yq con la pendiente f px, yq. La colección de todos esos segmentos rectilíneos se llama campo direccional de la ecuación diferencial. El campo direccional puede observarse si se trazan pequeños segmentos rectilíneos en algún conjunto representativo de puntos en el plano xy. Si se traza el campo direccional de la ecuación diferencial y 1 “ f px, yq, se debe observar que la pendiente y 1 de la solución tiene valor constante en todos los puntos de la curva f px, yq “ c. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas o elementos lineales. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo pendiente o campo de elementos lineales de dy , el campo de direcciones recuerda las “líneas de flujo” de la la ecuación diferencial dx familia de curvas de solución de la ecuación diferencial. Representar graficamente el campo de direcciones de la ecuación diferencial y 1 “ x ´ y para los puntos pi, jq con i “ 0, ..., 3, j “ 0, ..., 3 Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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(x, y) (0,0) (0,1) (0, 2) (0,3)

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y1 0 ´1 ´2 ´3

Resolución, para esto elaboramos la siguiente tabla Usar el criterio de isoclinas para obtener aproximadamente la solución de la ecuación diferencial: a) y1 “ x

b) y 1 “ ´ xy

c) y 1 “ y 2 ´ x

Determinar una solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

dy dx

e) y 1 “ p6x ´ 3y ` 2q2

“ cospx ` y ´ 2q,

f) p6x ` 3y ´ 5qdx ´ p2x ` yqdy “ 0

b) y 1 “ sen2 px ´ y ´ 1q

g) px2 y 2 ` 1qdx ` 2x2 dy “ 0q

c) y 1 “ sen2 py ´ x ` 1q

h) px6 ´ 2x5 ` 2x4 ´ y 3 ` 4x2 yqdx ` pxy 2 ´ 4x3 qdy “ 0

d) y 1 “ senpx ´ y ` 1q

Mediante sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial. ppxn y m qydx ` Qpxn y m qxdy “ 0 ? ? 1. p2 ` 4x2 yqydx ` x3 ydy “ 0 2. ypxy ` 1qdx ` xp1 ` xy ` x2 y 2 qdy “ 0 ? ? 3. x ` y ` 1y 1 “ x ` y ´ 1 4. p1 ´ xy ` y 2 x2 9dx ` px3 y ´ x2 qdy “ 0 5. p1 ´ x2 yqdx ` x2 py ´ xqdy “ 0 Otras 1. x2 y 1 cos y ` 1 “ 0 2. tan y‘ “ 0 Homogeneas 1. xsenp xy qy 1 “ ysenp xy q ` x Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2. x2 y 1 ´ y 2 ` xy “ x2 y

y

3. px ` px ´ yqe x qdx ` xe x dy “ 0 4. 2pxy 2 ` 1qdy ` y 3 dx “ 0 5. y 1 “

y2 ´ x 2xy

Algunas sugerencias 1. xdy ` ydx “ dpxyq 1 2. xdx ˘ ydy “ dpx2 ˘ y 2 q 2

6.

xdy ´ ydx x`y qq “ 12 dplnp 2 2 x ´y x´y

7.

xdy ´ ydx y a “ dparcsenp qq x x x2 ´ y 2

3.

xdy ´ ydx y “ dp q 2 x x

4.

xdy ´ ydx x “ dp´ q 2 y y

8.

xdy ´ ydx y “ dparctanp qq 2 2 x `y x

5.

xdy ´ ydx y “ dplnp qq xy x

9.

xdy ` ydx 1 “ dp´ qq 2 2 xy xy

Mediante sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial. 1. y 1 sec2 y ´

2x tan y ´ x2 “ 0 x2 ` 1

2. 3ydx ` 2xdy ` 4xy 2 dx ` 3x2 ydy “ 0

5. ex pcos ydx ´ senydyq “ 0 6. p3xy ` y 2 qdx ` xyp2x ` yqdy “ 0 7. yp3 ´ x4 yqdx ´ 2xdy “ 0

3. py 4 ` x3 qdx ` 8xy 3 dy “ 0

8. 2ydx ´ px ` xy 3 qdy “ 0

4. x2 dx ´ px3 y 2 ` y 2 qdy “ 0

9. dx ` px tan y ´ 2 sec yqdy “ 0

10. Demostrar que si la ecuación paxy ´ bqydx ` pcxy ´ dqxdy “ 0 es dividida entre xdy ` ydx xdy ´ ydx xyrpaxy ´ bq ´ pcxy ´ dqs entonces es exacta. a ` “0 x2 x2 ` y 2 Ejemplo Determinar una solución de: 1. x2 ` 16x “ 0, xp π2 q “ ´2, x1 p π2 q “ 1, 1

2. y 1 “ xy 2 , , yp0q “ 0 3. y 1 “ ´y ` senx Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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2.8.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Aplicaciones

Crecimiento 1. Tasa de crecimiento (Thomas Malthus, economista inglés en 1798). La tasa de crecimiento de la población de un pais crece en forma proporcional a la población total P ptq en cualquier momento t.,k ą 0 dP ptq 8P ptq dt

P ptq “ kP ptq dt

o sea

2. Modelo del fenómeno de desintegración radiactiva . La tasa de desintegración de los núcleos de una sustancia es proporcional a la cantidad de núcleos Aptq, de la sustancia que queda cuando el tiempo es t (o en el momento t), k ă 0 dAptq 8Aptq dt

dAptq “ kAptq dt

o sea

3. Modelo de capitalización continua . Supongamos que Sptq es la cantidad de dinero acumulado en una cuenta de ahorro al cabo de t años, y que r es la tasa de interés anual, compuesto continuamente.entonces dSptq “ rSptq dt 4. Determinación de la vida media o periodo de vida de una medicina . Es decir el tiempo que tarda el organismo en eliminar 50 % de ella, sea por excreción o metabolización, k ă 0 dV tq “ kV ptq dt 5. Modelo de mezcla. Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla: Sea Aptq la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t . En este caso, la rapidez con que cambia Aptq es la tasa neta ˆ ˙ ˆ ˙ dAptq tasa de entrada tasa de salida “ ´ “ R1 ´ R2 de la sustancia de la sustancia dt donde: R1 :la razón con que entra la sal al tanque, R2 la razón con que sale la sal que sale del tanque 6. segunda ley de Newton del movimiento . La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo ř es proporcional a su aceleración k “ ma, donde m es la masa del cuerpo. a) Caída libre:. m

d2 sptq “ ´mg, dt2

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sp0q “ s0 ,

s1 p0q “ v0

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b) Caída de cuerpos y resistencia del aire: dvptq m “ mg ´ kv, sp0q “ s0 , s1 p0q “ v0 dt Ejemplos 1. Determinar una ecuación diferencial que describa la población, P ptq, de un pais, cuando se permite una inmigración de tasa constante r. 2. En otro modelo de población variable en una comunidad se supone que la tasa de cambio de la población es una tasa neta; o sea, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad. Formule una ecuación diferencial que describa la población P ptq, si las tasas de natalidad y mortalidad son proporcionales a la población presente en cualquier momento t. 3. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r gr{seg. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad xttq presente en cualquier momento. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad xptq. 4. Suponga que la población de la comunidad del problema 1 es de 10000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial? ¿Cuál será en 10 años 5. Un tanque contiene 40 litros de salmuera con 0,8 kg de sal disuelto, luego se añade salmuera con 0,15 kg de sal por litro a una razón de 12 litros por minuto y la mezcla bien agitada sale del tanque a una razón de 16 litros por minuto a) Determinar la cantidad de sal contenida en el tanque en cualquier instante b) Hallar la concentración de sal al cabo de 10 minutos.. 6. Se tiene un recipiente que contiene 500 litros de agua pura y se vierte salmuera con 0.3 kg por litro a un flujo de 5 lt/minu, la mezcla uniforme y sale de el a un mismo flujo de el, calcules a) Determinar la cantidad de sal contenida en el tanque en cualquier instante b) Hallar la concentración de sal al cabo de 10 minutos

2.8.1.

aplicaciones geométricas

Definición. (Trayectorias ortogonales) a) Dada una familia de curvas ϕpx, y, cq “ 0, existe otra familia ψpx, y, cq “ 0 que corta a la familia ϕ bajo un mismo ángulo γ. A la familia ψ se le llama la familia de trayectorias isogonales de ϕ y ψpx, y, cq “ 0 es solución de la E.D tan γ “ tanpα ´ βq “

ϕ1 pxq ´ ψ 1 pxq ϕ1 pxq ´ y 1 tan α ´ tan β “ “ 1 ` tanα tan β 1 ` ϕ1 pxqψ 1 pxq 1 ` ϕ1 pxqy 1

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b) En particular, cuando γ “ 90o , a ψ se le llama la familia de trayectorias ortogonales de ϕ y en este caso ψ es solución de la ED: tan α tan β “ ϕ1 pxqψ 1 pxq “ ´1 “ ϕ1 pxqy 1 Ejemplo 11. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia ypx ´ cq “ 2 Ejemplo 12. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia y 2 “ cx3 Ejemplo 13. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia xy “ c Ejemplo 14. Determinar la curva que pasa por p 21 , 32 y corta a cada miembro de la familia x2 ` y 2 “ c2 formando un ángulo de 60o Ejemplo 15. Determinar la curva que pasa por p 21 , 32 y corta a cada miembro de la familia x2 ` y 2 “ c2 formando un ángulo de 90o Ejemplo 16. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia y “ cx2 Ejemplo 17. Determinar la curva que pasa por p0, 5q y corta a cada miembro de la familia y “ ce´x formando un ángulo de 90o Ejemplo 18. Determinar la curva que pasa por p0, 5q y corta a cada miembro de la familia x ` y “ cey formando un ángulo de 90o Ejemplo 19. Un esquiador acuático P localizado en el punto pa, 0q es remolcado por un bote de motor Q localizado en el origen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige en todo momento hacia el bote. Ejemplo 20. Suponga que un halcón P situado en pa, 0q descubre una paloma Q en el origen, la cual vuela a lo largo del eje Y a una velocidad v el halcón emprende vuelo inmediatamente hacia la paloma con velocidad w. ¿Cual es el camino seguido por el halcón en su vuelo persecutorio? Ejemplo 21. Un destructor está en medio de una niebla muy densa que se levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo en la superficie a cuatro kilómetros de distancia. Suponga: i que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda máquina en una dirección desconocida ii que el destructor viaja tres kilómetros en línea recta hacia el submarino. Qué trayectoria debería seguir el destructor para estar seguro que pasará directamente sobre el submarino, si su velocidad v es tres veces la del submarino? Ejemplo 22. " Hallar la solución de la ecuación diferencial continua x ,0 ď x ă 1 donde f pxq “ , yp0q “ 2 0 , x ě 1q

dy x d

` 2xy “ f pxq

Ejemplo 23. La velocidad de propagación de una enfermedad es proporcional a la probabilidad de que un individuo infecte a otro multiplicado por el número de individuos infectados N La probabilidad (P ) de que un individuo infecte a otro es proporcional a la relación entre individuos sanos pN o ´ N q y la cantidad total de individuos P “ pN o ´ N q{N o Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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pN o ´ N q dN “N¨ Solución: Sea N el número de individuos infectados entonces dt No dN ´ N “ N1o ¨ N 2 así dt Ejemplo 24. Ejemplo 25. Ejemplo 26.

2.9.

Ecuación diferenciales de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli tiene la forma y 1 ` ppxqy “ qpxqy n ;

‰1

(2.14)

No es una ecuación diferencial lineal, para resolver estas ecuaciones se sugiere multiplicar la ecuación (2.14) por p1 ´ nqy ´n para obtener p1 ´ nqy ´n y 1 ` p1 ´ nqppxqy 1´n “ p1 ´ nqqpxq

(2.15)

y hacer el cambio de variable v “ y 1´n derivando v 1 “ p1 ´ nqy ´n y 1 y reemplazando en la ecuación (2.15) se obtiene una ecuación diferencial lineal v 1 ` p1 ´ nqppxqv “ p1 ´ nqqpxq Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales: a) 2xy 1 ` 2y “ xy 3 b) y 1 `

y x`1

“ ´ 21 px ` 1q3 y 3

g) 2cosy ´ pxseny ´ x3 qy 1 “ 0 h) pxy 2 q1 “ pxyq3 px2 ` 1q

c) y 1 ` y “ 2xy 2 ex 2

d) y 1 “ e) y 1 `

x3

3x `y`1

1 y x´2

f) y‘ “ ´

? “ 5px ´ 2q y

y3 e2x ` y 2

i) y 1 “

4sen2 y x5 ` xtany

j) 1 ` xctanyy 1 “

xsenycosy 1 y x2 sen2 y ` 1

k) 1 ` y2 xy 1 “ 2x2 y 2 y 1

La población P ptq de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por dP “ P p10´1 ´ 10´7 P q, P p0q “ 5000 en donde t se mide en meses. ¿Cuál es el dt valor límite de la población? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?

Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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2.10.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati tiene la forma y 1 ` ppxqy “ qpxqy 2 ` rpxq

(2.16)

No es una ecuación diferencial lineal, para resolver estas ecuaciones es necesario conocer una solución particular por ejemplo y “ φpxq luego buscar la solución general haciendo y “ φpxq ` z (donde z es una función de x) derivando se tiene y 1 “ φ1 ` z 1 y reemplazar en la ecuación (2.16) luego de reducir y simplificar se obtiene (teniendo presente que φ es solución de la ecuación diferencial): φ1 ` z 1 ` ppφ ` zq “ qpφ ` zq2 ` r φ1 ` z 1 ` pφ ` pq “ qφ2 ` 2qφz ` qz 2 ` r se obtiene una ecuación diferencial de Bernoulli z 1 ` pp ´ 2qφqz “ qz 2 Si se conoce otra solución más, y2 , de la ecuación diferencial del Riccati, entonces: z1 “

1 y2 ´ y1

Es una solución particular de la ecuación lineal para la variable z, lo cual nos permite simplificar su integración. Si para la ecuación diferencial de Riccati se conocen tres soluciones particulares y1 , y2 e y3 , entonces su integral general es: y ´ y2 y ´ y1 y3 ´ y2 “ c y3 ´ y1 Resultado que se puede enunciar diciendo que la razón doble de cuatro integrales particulares de la ecuación diferencial de Riccati es constante. Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales: a) y 1 ´ x “ p x1 ´ x2 qy ` y 2 , b) y 1 ´ x1 y “

1 2 y x2

φpxq “ x2

´ 1 φpxq “ x

c) y 1 ´ x “ p1 ´ 2xqy ´ p1 ´ xqy 2 , d) y 1 ´ y 2 senx “ ´ e) y 1 `

2senx , cos2 x

φpxq “

φpxq “ 1 1 cos

1 y “ sen2 xy 2 ´ cos2 x, senxcosx

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φx “ x ´ 1 28

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

f) y‘ ` y 2 “ p1 ´ 2ex qy ´ e2 x, g) y 1 ` y 2 “ xy ` 1,

φpxq “ ex

φpxq “ x

h) y 1 ` yex “ e2x ` e´x y 2 , φpxq “ ex i) y 1 “

2cos2 x ´ sen2 x ` y 2 , 2cosx

j) y 1 ´ 2x2 ´

y x

“ ´2y 2 ,

φpxq “ senx

φpxq “ x

k) y 1 ´ y 2 “ ´2xy ` 1 ` x2 , φpxq “ x l) y 1 “ y 2 ` 2y ´ 15,

φpxq “ 3

m) y 1 ´ y 2 ´ 6xy “ 9x2 ´ 3, n) y 1 ´ y 2 ` 5xy “ 5, ñ) y 1 ´ y 2 ´ x2 y “

2 , x2

φpxq “ ´3x

φpxq “ 5x φpxq “ ´ x2

a) y 1 ` xy 2 ´ p2x2 ` 1qy ` x3 ` x ´ 1 “ 0,

y“x

b) y 1 “ y 2 ´ x1 y ´ x12 , Encontrar una solución de la forma y “ xm con m real, encontrar la solución particular y “ ypxq que verifica yp1q “ 2 c) Demostrar que si y “ y1 es una solución particular de la ecuación de Riccati y 1 ´ py “ py 2 ` r, entonces la sustitución y “ y1 ` v1 la transforma en una ecuación diferencial lineal. d) Hallar una solución de la ecuación diferencial px2 y 2 ` 1qdx ` 2x2 dy “ 0, de la forma y “ xa Resolver las ecuaciones diferenciales a) y 1 “ ´ x42 ´

y x

` y2,

y“

2 x

2cos2 x ´ sen2 x ` y 2 b) y “ , yp0q “ ´1, 2cosx 1

c) y 1 “ csc2 x ` yctanx ` y 2 ,

2.11.

y “ senx

y “ ´cotx

Ecuación diferenciales de Lagrange y Clairouts

a) La ecuación de Lagrange tiene la forma y “ xf py 1 q ` gpy 1 q Para resolver esta forma de ecuaciones se hace y 1 “ p así dy “ pdx además y “ xf ppq ` gppq diferenciando esta ecuación dy “ f ppqdx ` xf 1 ppqdp ` g 1 ppqdp

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

reemplazando dy tenemos pdx “ f ppqdx ` xf 1 ppqdp ` g 1 ppqdp ordenando y simplificando se tiene la ecuación diferencial lineal dx f 1 ppq g 1 ppq ´ x“ dp p ´ f ppq p ´ f ppq y al resolver para x se tiene x “ ϕpp, cq donde p es un parámetro y la solución en " x “ ϕpp, cq forma paramétrica de la ecuación diferencial es de la forma y “ xf ppq ` gppq b) La ecuación de Clairouts tiene la forma: y “ xy 1 ` gpy 1 q Estas ecuaciones se resuelven siguiendo el mismo proceso que para las ecuaciones de Lagrange. Ejemplo 27. Resolver las siguientes ecuaciones : 1. y “ xy 1 ` y 12

7. 2y “ xy 1 ` y 1 lny 1

2. y “ xy 1 ´ y 13 a 3. y “ xy 1 ` 1 ´ y 12

8. y 1 “ 2xy 1 ` seny 1 9. y “ xy 1 `

a y 12

4. y 13 ´ xy 1 ` 2y “ 0

10. y ` xy 1 “ y 12

5. y “ py 1 ´ 1qx ` ay 1 ` b

11. yy 12 ` p2x ´ 1qy 1 “ y

1 6. y “ xy ` ? 1 y ´1

12. y “ xy 1 ` a

1

2.12.

ay 1 1 ` y 12

Ecuaciones diferenciales no resueltas con respecto a la primera derivada

Caso 1. Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado n con respecto a y 1 son de la forma: py 1 qn ` P1 px, yppy 1 qpn´1q ` P2 px, yppy 1 qpn´2q ` ¨ ¨ ¨ ` Pn px, yq “ 0 Para determinar la solución de estas ecuaciones diferenciales, se resuelve la ecuación para y 1 (forma de un polinomio de grado n) es decir y 1 “ f1 px, yq, y 1 “ f2 px, yq, . . . y 1 “ fk px, yq

pk ď nq

son las raíces de la ecuación, y las soluciones de estas ecuaciones forman el conjunto solución de la ecuación diferencial: ϕ1 px, y, c1 q “ 0, ϕ2 px, y, c2 q “ 0, . . . ϕk px, y, ck q “ 0, Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Caso 2. Ecuaciones diferenciales de la forma f py, y 1 q “ 0 a) Si de las ecuaciones diferencial se puede despejar y para obtener y “ ϕpy 1 q; para resolver esta ecuación seguimos el siguiente procedimiento: hacemos y 1 “ p así tenemos la ecuación y “ ϕppq, luego derivamos esta ecuación respecto de x para ob1 dy dp dp tener dx “ ϕ1 ppq dx entonces p “ ϕ1 ppq dx luego escribimos dx “ ϕ pppq dp e integramos ş 1 x “ ϕ pppq dp ` C. Así obtenemos el sistema de ecuaciones # ş ϕ1 ppq dp ` C x“ p y “ ϕppq es la solución en forma paramétrica de la ecuación diferencial (parámetro p) b) Si en la ecuación diferencial no se puede despejar ni y ni y 1 , pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t. y “ ϕptq; y 1 “ ψptq; dy con pp “ dx q como y 1 “

dy dx

“ ψptq ñ dy “ ψptqdx

además y “ ϕptq ñ dy “ ϕ1 ptqdt igualando las dos expresiones se tiene ϕ1 ptqdt ψptqdx “ ϕ1 ptqdt ñ dx “ ψt de donde ż 1 ϕ ptqdt x“ ψt y la solución paramétrica es dado como # ş ϕ1 ptq x“ dt ` C ψptq y “ ϕptq 1

Ejemplo 28. Determinar la solución de la ecuación: y “ y 12 ey . Solución. Es una ecuación diferencial de la forma y “ f px, y 1 q hacemos y 1 “ p ñ y “ dp dp ` p2 ep dx como y 1 “ p se tiene p2 ep derivando y 1 “ 2pep dx p “ 2pep

dp dp ` p2 ep dx dx

reduciendo

dp dp , ñ ppp2 ` pqep ´ 1q “ 0 dx dx dp entonces p “ 0 _ p2 ` pqep dx “ 1 veamos caso por caso a) si p “ 0 tenemos que 2 0 la ecuación y “ 0 e “ 0 podemos visualizar que es una solución de la ecuación didp ferencial. b) el caso p2 ` pqep dx “ 1 se tiene p2 ` pqep dp “ dx integrando tenemos ş ş p p2 ` pqe dp “ dx ´ C así x “ pp ` 1qep ` C, finalmente la solución en su forma paramétrica será de la forma " x “ pp ` 1qep ` C y “ p2 e p p “ pp2 ` pqep

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ejemplo 29. Determinar la solución de la ecuación: y “ arcsin y 1 ` lnp1 ` y 12 q Caso 3. Si en las ecuaciones anteriores se puede despejar x para obtener x “ ϕpy 1 q; para resolver esta ecuación seguimos el siguiente procedimiento: hacemos y 1 “ p así dy “ p ñ dy “ pdx; tenemos la ecuación x “ ϕppq ñ dx “ ϕ1 ppqdp, además dx dy “ pdϕppq “ pϕ1 ppqdp ş , integramos y “ pϕ1 ppqdp ` C. Así obtenemos el sistema de ecuaciones " x “ ϕppq ş y “ pϕ1 ppqdp ` C es la solución en forma paramétrica de la ecuación diferencial (parámetro p) Ejemplo 30. Determinar la solución de la ecuación: x “ y 12 ` sin y 1 ´ cos y 1 . Solución. tiene la forma de la ecuación planteada en el caso visto entonces hacemos dy “ p entonces y 1 “ p así tenemos la ecuación x “ p2 ` sin p ´ cos p además dx dy “ pdx; dy “ pdpp2 ` sin p ´ cos pq “ pp2p ` cos p ` sin pqdp integrando tenemos y “ “ “

ş

pp2p ` cos p ` sin pqdp ` C ` p sin p ´ cos p ´ p cos p ` sin p ` C ` pp ` 1qpsin p ´ cos pq ` C

2 3 p 3 2 3 p 3

Así obtenemos el sistema de ecuaciones " x “ p2 ` sin p ´ cos p y “ 32 p3 ` pp ` 1qpsin p ´ cos pq ` C es la solución en forma paramétrica de la ecuación diferencial (parámetro p) Ejemplo 31. Determinar la solución de la ecuación: xy 1´1 “ y 1 ` y 1 sin y 1

2.13.

Ecuaciones Diferenciales y soluciones singulares

Consideremos la ecuación diferencial de la forma F px, y, y 1 q “ 0

(2.17)

Llamaremos solución singular de la ecuación (2.17) a la función y “ φpxq si en cada punto se infringe la propiedad de unicidad. A la gráfica de una solución singular se le denomina integral singular de la ecuación diferencial.

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BF Si F px, y, y 1 q “ 0 y sus derivadas parciales BF y By 1 , son continuas con respecto a By 1 todos sus argumentos x, y, y . Entonces cualquier solución singular de (2.17) también satisface la ecuación BF px, y, y 1 q “0 (2.18) By 1

La solución singular de (2.17), se obtiene eliminar y 1 de las ecuaciones (2.17) y (2.18), y a la expresión resultante se le llama P ´ discriminante y lo denotaremos como ψpx, yq “ 0 y a su gráfica se le llama curva P ´ discriminante Ejemplos Determinar la solución general y las solución singular de: 1. x6 py 1 q3 ´ 3xy 1 ´ 3y “ 0

S.G: 3xy “ xk 3 ´ 3k S.S: 9x3 y 2 “ 4

2. xpy 1 q4 ´ 2ypy 1 q3 ` 12x3 “ 0

S.G: 3k 3 y “ x2 k 4 ` 12 S.S: 3y 2 “ ˘8x3

En una ecuación diferencial pueden existir soluciones que no puedan obtenerse a partir de la solución general para un valor concreto de la constante arbitraria, en ese caso reciben el nombre de soluciones singulares Se llama solución singular a y “ φpxq de la e.d.o si en cada punto infringe la propiedad de unicidad. Ejemplo La ecuación diferencial py 1 ´ yqpy ´ x3 q “ 0 tiene como solución general y “ cex , pero además admite la solución singular y “ x3 , que no puede ser obtenida de la solución general, s decir no hay ningún valor para c para obtener esta solución. Se llama Envolvente de una familia φpx, y, cq a la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia. Si φpx, y, cq es la integral general de la ecuación (2.17) la envolvente de esta familia en caso exista, será una curva integral singular de esta ecuación. La envolvente es una curva integral singular, además se conoce que la envolvente forma parte de la curva c-discriminante (C.C.D) determinada por el sistema de ecuaciones: $ &φpx.y.cq “ 0 % Bφpx, y, cq “ 0 Bc Ejemplos Consideremos la ecuación 1. x2 ` y 2 ` y 12 ´ 1 “ 0 en la que la función F px, y, pq “ x2 ` y 2 ` p2 ´ 1 “ 0. Las ecuaciones # x2 ` y 2 ` p 2 ´ 1 “ 0 2p “ 0 Matemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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la curva p-discriminante es x2 `?y 2 “ 1. En ella se puede distinguir las ramas ? 2 explícitas y “ 1 ´ x y y “ ´ 1 ´ x2 . Sin embargo, por derivación directa es fácil ver que ninguna de ellas satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto en este caso no hay, solución singular. 2. y 2 ` y 12 ´ 1 “ 0 tiene soluciones singulares, pues Las ecuaciones # y 2 ` p2 ´ 1 “ 0 2p “ 0 se tiene que y 2 ´ 1 “ 0 es la curva p-discriminante pr lo tanto y “ 1 como y “ ´1 son soluciones. La ecuación diferencial asociada a la familia y “ cospx ` cq 3. La solución general de y “ xy 1 ` 2y 12 es la familia de rectas y “ cx ` c2 y la solución singular es x2 ` 8y “ 0

Figura 2.1: Ejemplo 2

Figura 2.2: Ejemplo 3

4. Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias px ´ cq2 ` y 2 “ 1 5. Determinar la solución general y singular de la ecuación diferencial xy 12 ´ 2yy 1 ` 4x “ 0, y graficarlas

Figura 2.3: Ejemplo 4

Figura 2.4: Ejemplo 5

a 1. Muestre que la solución singular de la ecuación diferencial y “ xy 1 ` 1 ` y 12 es una circunferencia de radio 1. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particularesMatemática 3 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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2. Determine la solución singular de la ecuación diferencial y 1 “ y 2 ´ 1 . Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. 3. Ejercicios: Determinar la solución general y la solución singular de las ecuaciones diferenciales: 1. y 2 py 1 q2 ` 3xy 1 ´ y “ 0

S.G. y 3 ` 3kx ´ k 2 “ 0 S.S. 9x2 ` 4y 3 “ 0 S.G. k 2 x2 ´ ky ` 1 “ 0

2. xy 12 ´ 2yy 1 ` 4x “ 0

S.S. y 2 ´ 4x2 “ 0 S.G. 2x2 ` 2kpx ´ yq ` k 2 “ 0

3. xy 12 ´ 2yy 1 ` x ` 2y “ 0

S.S. x2 ` 2xy ´ y 2 “ 0 4. y “ x6 y 13 ´ xy 1

S.G. kxy “ kpk 2 x ´ 1q S.S. 27x3 y 2 “ 4

5. 3x4 y 12 ´ xy‘ ´ y “ 0

S.G. xy “ kp3kx ´ 1q S.S. 9x2 ` 4y 3 “ 0

6. 2xy 13 ´ 6yy 12 ` x4 “ 0

S.G. 2k 3 x3 “ 1 ´ 6k 2 p S.S. 2y “ x2

2.14.

Ecuaciones Diferenciales y de orden superior

De las ecuaciones diferenciales de orden superior podemos las siguientes formas 1. Ecuaciones diferenciales de la forma dn y “ f pxq dxn cuya solución será: ż ż ż y“

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ż r...

f pxq ` c1 .....sdx ` cn 35

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2. Ecuaciones diferenciales de la forma d2 y “ gpyq dx2 Hacemos el cambio y 1 “ p donde p “ ppyq entonces y2 “

dp dp dy dp dy 1 “ “ y1 “p dx dy dx dy dy

ñ

p

dp “ gpyq dy

entonces “ş ‰ pdp “ gpyqdy ñ p2 “ 2 gpyqdy ` c1 b “ş b “ş ‰ ‰ 1 y “ 2 gpyqdy ` c1 ñ dy “ 2 gpyqdy ` c1 dx 1 b “ş ‰ dy “ dx 2 gpyqdy ` c1 ż ż 1 b “ş ‰ dy “ dx ` c2 2 gpyqdy ` c1 De manera similar podemos resolver d3 y “ gpyq dx3 por un proceso similar podemos obtener « ˆ 1 ˙2 ff 2 1 d3 y d y dy “ y1 y1 2 ` 3 dx dy dy 3. Las ecuaciones diferenciales de la forma F px, y pkq , . . . y pnq q “ 0 que no contienen la variable dependiente y, se puede rebajar el orden de la ecuación diferencial haciendo el cambio de variable y pkq “ z quedando ahora la nueva ecuación como F px, z, . . . z pn´kq q “ 0 Ejemplos Resolver las ecuaciones diferenciales 1.

d3 y “ xex dx3

3. 1 ` y 12 “ yy 2 4. 1 ` y 12 “ yy 2

2

2.

dy “ ´ay dx2

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5. a2 y 22 “ 1 ` y 12 36

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6. 2yy 2 ´ 3y 12 “ 4y 2

8. y 2 p2y ` 3q ´ 2y 12

7. xyy 2 ` xy 12 “ 2yy 1 9. yy 2 ´ y 12 “ 0, 10. y 2 ´

y1 x´1

yp0q “ 1, y 1 p0q “ 2

“ xpx ´ 1q,

yp2q “ 1, y 1 p2q “ ´1 ş

11. xy 1 pyy 2 ´ y 12 q ´ yy 12 “ x4 y 3 12. xy 2 “ y 1 ln

sug. y “ e

y1 x

zpxqdx

sug. y 1 “ z, luego z “ ux

13. xy 2 ´ xy 1 ?2 ´ yy 1 “ 0

sug. y 1 “ yz

ejerccicio Si la ecuación de riccati está dada por y 1 “ ppxqy 2 ` qpxqy ` rpxq. a) Muestre que si una ecuación de esta ecuación es y1 pxq, es conocida entonces la solución general se puede encontrar usando la transformación y “ y1 ` u1 , donde u es una variable dependiente. b) Muestre que si se conocen dos soluciones, y1 pxq y y2 pxq, la solución general es ş y ´ y1 “ ce ppxqpy1 ´y2 qdx y ´ y2

c) Muestre que si se conocen tres ecuaciones y1 pxq, y2 pxq y y3 pxq entonces la solución general es py ´ y1 qpy3 ´ y2 q “c py ´ y2 qpy3 ´ y1 q

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