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• Jona Tasinchana

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FÍSICA

VECTORES EN EL ESPACIO (3D) ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

Tema # 1

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Índice

Pág.

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales

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1.2. Sistemas de coordenadas

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1.3. Operaciones con vectores

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1.4. Ejercicios resueltos

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Recursos complementarios

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Bibliografía

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Actividades de aprendizaje

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Tema # 1

1.1. Magnitudes físicas La física es una ciencia que se fundamenta en principios y leyes que deben ser comprobados permanentemente para que sean admitidos como tales. Estas leyes se expresan en función de magnitudes físicas. Ejemplo de estas magnitudes son la velocidad, el tiempo, la densidad, la temperatura. De manera general, una magnitud física es todo aquello que puede ser medido. Las magnitudes fundamentales son magnitudes físicas que permiten expresar cualquier magnitud en función de ellas. En el sistema internacional de unidades (SI), existen 7 magnitudes fundamentales, las cuales se muestran en la siguiente tabla:

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO Longitud (L) metro m Masa (M) kilogramo kg Tiempo (T) segundo s Corriente eléctrica (I) amperio A Temperatura (θ) kelvin K Cantidad de sustancia (N) mol mol Intensidad luminosa (J) candela cd Tabla 1. Magnitudes fundamentales en el SI.

El metro es la unidad de longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 de segundo. El kilogramo, está definido por medio del prototipo internacional, un cilindro hecho de una aleación de platino (fracción de masa 0,90 o 90%) e iridio (fracción de masa, 0,10 o 10%). Este es guardado por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sevres, en las afueras de París y es la masa de 5,0188 x 1025 átomos de carbono 12. El segundo, es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo del Cesio 133. El amperio, es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección transversal circular despreciable y

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colocados a un metro de distancia uno del otro en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 . 10−7 Newtons por metro de longitud. El kelvin, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. El mol, es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. La candela, es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 .10 12 hertzios y donde la intensidad radiante en esa dirección es de 1/683 vatios por cada estereorradián. Al combinar 2 o más magnitudes fundamentales, se obtienen magnitudes derivadas. Ejemplos de estas son la velocidad, la fuerza, el trabajo.

Magnitudes escalares y vectoriales Ciertas cantidades de importancia en la Física pueden describirse completamente enunciando su magnitud. Este tipo de cantidades, por ejemplo: tiempo, masa, densidad, volumen, etc. se conocen como escalares. Otras cantidades importantes, de naturaleza más compleja, deben ser expresadas con una dirección y sentido además de su magnitud. Este tipo de cantidades, por ejemplo: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, se llaman vectores. Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella para la que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) se debe especificar su dirección y sentido. La elección de un escalar o un vector para representar una magnitud física depende de la naturaleza de esta; si estamos describiendo la temperatura de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, se deben emplear vectores. Un vector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres números que se denominan componentes o coordenadas del vector.

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Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es posible relacionarlas de una manera sistemática.

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1.2. Sistemas de coordenadas Consideremos el caso de un tren que se mueve sobre un riel. La rapidez de este tendrá un valor que dependerá de dónde esté situado el observador. Para un observador que está en tierra firme, el tren tendrá una rapidez diferente a la observada por alguien que está viajando en un automóvil y si el observador estuviese dentro del mismo tren, la rapidez seria cero. Esto quiere decir que una misma cantidad física puede tener diferentes valores dependiendo de la posición en la que se encuentre el observador. A esta posición se la conoce como sistema o marco de referencia. Cuando este marco de referencia es fijo o se mueve con una velocidad constante, el observador no está sujeto a una aceleración diferente a la del cuerpo en medición y esto permite que todas las mediciones del cuerpo sean las mismas con cualquier sistema de referencia de este tipo. A este sistema de referencia se lo conoce como Inercial o Newtoniano. Los observadores en los diferentes sistemas de referencia pueden obtener diferentes valores numéricos de una misma cantidad física, pero las relaciones entre las cantidades medidas, esto es, las leyes físicas, serán las mismas para todos los observadores, independientemente del marco de referencia escogido. Para ubicar un objeto es necesario utilizar un sistema de referencia. Este sistema de referencia se representa mediante diferentes tipos de coordenadas, que no son sino rectas orientadas representadas mediante una escala adecuada.

Coordenadas rectangulares Los vectores se pueden expresar en función de sus coordenadas rectangulares de la siguiente manera: 𝐴⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐) O de otra manera: ⃗⃗ 𝐴⃗ = 𝑎𝑖⃗ + 𝑏𝑗⃗ + 𝑐𝑘 Donde 𝒊, ⃗⃗ 𝒋⃗ 𝒚 ⃗𝒌⃗ son sus vectores unitarios, los cuales indican la dirección en los ejes 𝒙, 𝒚 𝒚 𝒛 respectivamente. La figura 1 muestra la representación de un vector en coordenadas rectangulares.

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El vector unitario tiene un módulo o magnitud igual a 1 y se calcula dividiendo el vector para su módulo: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑢 =

𝐴⃗ |𝐴 |

El módulo o magnitud del vector es igual a: |𝐴 | = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

Figura 1. Representación gráfica de un vector en coordenadas rectangulares. Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados. Su ecuación más importante es la siguiente: 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 donde: 𝛼 es el ángulo que forma el vector 𝐴⃗ con el eje X 𝛽 es el ángulo que forma el vector 𝐴⃗ con el eje Y 𝜃 es el ángulo que forma el vector 𝐴⃗ con el eje Z Aplicando trigonometría, los cosenos directores se pueden calcular de la siguiente manera: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐴

𝑎

→

𝑎 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝑏

𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝐴

→

𝑏 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛽

𝑐

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐴

→

𝑐 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃

donde 𝐴 es el módulo del vector.

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Coordenadas cilíndricas Los vectores se pueden expresar en función de sus coordenadas cilíndricas mediante dos distancias, r y z y un ángulo θ medido desde el eje X. La figura 2 muestra la representación de un vector en coordenadas cilíndricas.

Figura 2. Representación gráfica de un vector en coordenadas cilíndricas.

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1.3. Operaciones con vectores Así como en álgebra podemos relacionar diversas cantidades a través de una serie de operaciones, en Física también, pero para hacer esto, debemos tomar en cuenta que las cantidades físicas que vemos a relacionar tienen dirección y sentido. Por lo tanto, es necesario establecer algunas particularidades para las operaciones vectoriales.

Suma o adición Si se tiene dos vectores: ⃗⃗ 𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘 Entonces la suma será:

⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵𝑥𝑖⃗ + 𝐵𝑦𝑗⃗ + 𝐵𝑧𝑘 𝐵

y

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 + 𝐵 = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 )𝑖⃗ + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝑗⃗ + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧)𝑘 Las propiedades características de esta operación son: * Conmutativa. El orden en que se sumen los vectores no altera el resultado: →

→

→

→

𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 * Asociativa. Los vectores pueden asociarse de cualquier manera: →

→

→

→

→

→

→

→

→

𝑎 + (𝑏 + 𝑐 ) = (𝑎 + 𝑏 ) + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 →

→

→

El vector 𝑎 + 𝑎 se representa por 2𝑎 y es un vector que tiene la misma dirección y →

→

sentido que 𝑎 pero el doble de longitud. De manera general, ℎ𝑎 es un vector con la misma →

→

dirección que 𝑎 pero con ℎ veces su longitud . Si ℎ es un número positivo, el sentido de ℎ𝑎 →

→

es el mismo que el de 𝑎 ; si ℎ es un número negativo, ℎ𝑎 es de sentido contrario. El número ℎ es un escalar. La suma o adición de dos o más vectores se puede realizar de dos maneras: geométrica (gráfica) y analítica. Los métodos más comunes para realizar la suma geométrica o gráfica son el método del paralelogramo y el método del triángulo.

Método del paralelogramo

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Consiste en hacer coincidir los dos vectores en un origen común, manteniendo sus características originales, esto es, módulo, dirección y sentido. El módulo es representado a través de una escala adecuada y los ángulos positivos medidos a partir de una recta de referencia. Desde los extremos de cada vector se trazan paralelas al otro vector, las mismas que se cortan en un punto, formando de esta manera un paralelogramo. El vector resultante va desde el origen de los vectores hasta el punto de intersección de las paralelas trazadas. La representación gráfica de este método se muestra en la figura 3.

Figura 3. Suma de vectores con el método del paralelogramo.

Método del polígono Este método consiste en colocar un vector a continuación de otro, manteniendo cada uno de ellos sus características originales. El vector resultante surgirá de unir el origen del primer vector con el término del segundo. La representación gráfica de este método se muestra en la figura 4.

c

b a+b+c

a Figura 4. Suma de vectores con el método del polígono.

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Resta o diferencia Esta operación es un caso particular de la suma vectorial, en donde el signo negativo, lo único que hace es cambiar o invertir el sentido del vector al cual afecta. Es posible aplicar la propiedad asociativa pero no la conmutativa.

Multiplicación de un escalar por un vector ⃗⃗ y un escalar 𝐶, entonces la multiplicación de 𝐴⃗ y 𝐶 Si se tiene el vector 𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘 es: ⃗⃗ 𝐶 𝐴⃗ = 𝐶 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐶 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐶 𝐴𝑧𝑘 Esta operación cumple la propiedad distributiva vectorial, es decir, al multiplicar la suma de dos vectores por un escalar, el resultado será igual a la suma de los productos de dicho escalar por cada vector: →

→

→

→

𝐶 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶 𝐴 + 𝐶 𝐵

Producto punto o escalar El producto punto o producto escalar es una operación entre vectores y su resultado es un escalar (de ahí su nombre). Si se tiene dos vectores: ⃗⃗ 𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘

y

⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵𝑥𝑖⃗ + 𝐵𝑦𝑗⃗ + 𝐵𝑧𝑘 𝐵

⃗⃗ , de los dos vectores, es una magnitud escalar y se El producto escalar 𝐶 = 𝐴⃗ ∙ 𝐵 puede expresar de dos maneras: en función de sus módulos y el ángulo que forman (θ): ⃗⃗ = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝐴⃗ ∙ 𝐵 o en función de la multiplicación de sus componentes: ⃗⃗ = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 𝐴⃗ ∙ 𝐵 Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero, ya que 𝑐𝑜𝑠 90º = 0.

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Las propiedades características de esta operación son: * Conmutativa. El orden en que se multipliquen los vectores no altera el resultado: ⃗⃗ = 𝐵 ⃗⃗ ∙ 𝐴⃗ 𝐴⃗ ∙ 𝐵 * Distributiva. El producto punto de un vector por la suma de dos vectores es igual a la suma de los productos punto de dicho vector por cada vector: →

→

→

→

→

→

→

𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶 ) = (𝐴 ∙ 𝐵) + (𝐴 ∙ 𝐶 ) Una de las aplicaciones del producto punto es el cálculo de la proyección de un vector sobre otro.

Figura 5. Proyección de un vector sobre otro. En la figura 5 se puede ver que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 , pero por trigonometría, 𝐴𝐵 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃. Por lo tanto, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 . ⃗⃗ = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃, tenemos: Recordando que 𝐴⃗ ∙ 𝐵 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

⃗⃗ 𝐴⃗ ∙ 𝐵 𝐵

Entonces: ⃗⃗ 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 𝐵 ⃗⃗

𝐵 Pero el unitario de B es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 = 𝐵

Por lo que finalmente podemos decir que el vector proyección de A sobre B es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (𝐴⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵

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Producto cruz o vectorial El producto cruz o producto vectorial es una operación entre vectores y su resultado es un vector (de ahí su nombre). Si se tiene dos vectores: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵𝑥𝑖⃗ + 𝐵𝑦𝑗⃗ + 𝐵𝑧𝑘 𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘 y 𝐵 ⃗⃗ de los dos vectores, es otro vector 𝐶⃗ cuya dirección El producto vectorial 𝐶⃗ = 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗, según la regla de la es perpendicular al plano en el que se encuentran los vectores 𝐴⃗ y 𝐵 mano derecha. El vector resultante se calcula como el determinante de la matriz entre los dos vectores: ⃗⃗ 𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘 𝐶⃗ = |𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 | 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 ⃗⃗ 𝐶⃗ = (𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦)𝑖⃗ + (𝐴𝑧 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧)𝑗⃗ + (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥)𝑘 El módulo del vector C es el área del paralelogramo formado por los dos vectores y se calcula como: |𝐶 | = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ⃗⃗ = 0 ya que 𝑠𝑒𝑛 90° = 0. Si los dos vectores son paralelos, entonces 𝐴⃗ × 𝐵 La propiedad característica de esta operación es: Distributiva. El producto cruz de un vector por la suma de dos vectores es igual a la suma de los productos cruz de dicho vector por cada vector: →

→

→

→

→

→

→

𝐴 × (𝐵 + 𝐶 ) = (𝐴 × 𝐵) + (𝐴 × 𝐶 ) ⃗⃗ ≠ 𝐵 ⃗⃗ × 𝐴⃗. El producto vectorial no es conmutativo: 𝐴⃗ × 𝐵

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1.4. Ejercicios resueltos 1. Dados los vectores: 𝐴 = (3, −4, −5) y 𝐵 = (−2, −1, 2), determinar: a) b) c) d)

⃗⃗ 𝐴⃗ + 𝐵 3𝐴⃗ ⃗⃗ El vector unitario de 𝐵 Los productos escalar y vectorial entre los dos vectores

Solución: ⃗⃗: a) 𝐴⃗ + 𝐵 ⃗⃗ ) + (−2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘 ⃗⃗ ) = (3𝑖⃗ − 2𝑖⃗) + (−4𝑗⃗ − 𝑗⃗) + (−5𝑘 ⃗⃗ + 2𝑘 ⃗⃗ ) ⃗⃗ = (3𝑖⃗ − 4𝑗⃗ − 5𝑘 𝐴⃗ + 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑖⃗ − 5𝑗⃗ − 3𝑘 𝐴⃗ + 𝐵 b) 3𝐴⃗: ⃗⃗ ) 3𝐴⃗ = 3(3𝑖⃗ − 4𝑗⃗ − 5𝑘 ⃗⃗ 3𝐴⃗ = 9𝑖⃗ − 12𝑗⃗ − 15𝑘 ⃗⃗: c) El vector unitario de 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐵 =

⃗⃗ ⃗⃗ 𝐵 −2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘 = |𝐵| √(−2)2 + (−1)2 + (2)2 ⃗⃗ −2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘 √4 + 1 + 4

=

⃗⃗ −2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘 3

⃗⃗ 𝑈𝐵 = −0.66𝑖⃗ − 0.33𝑗⃗ + 0.66𝑘 d) Los productos escalar y vectorial entre los dos vectores: ⃗⃗ = (3𝑖 − 4𝑗 − 5𝑘 ). (−2𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 ) (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟): 𝐴⃗. 𝐵 ⃗⃗ = (3)(−2) + (−4)(−1) + (−5)(2) 𝐴⃗. 𝐵 ⃗⃗ = −6 + 4 − 10 𝐴⃗. 𝐵

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⃗⃗ = −12 𝐴⃗. 𝐵 𝑖⃗ ⃗⃗ = |𝐴𝑥 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙: 𝐴⃗ × 𝐵 𝐵𝑥

𝑗⃗ 𝐴𝑦 𝐵𝑦

⃗⃗ 𝑘 𝐴𝑧 | 𝐵𝑧

⃗⃗ 𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘 ⃗⃗ (−3 − 8) ⃗ ⃗⃗ 𝐴 × 𝐵 = | 3 −4 −5| = 𝑖⃗(−8 − 5) − 𝑗⃗(6 − 10) + 𝑘 −2 −1 2 ⃗⃗ ⃗⃗ = −13𝑖⃗ + 4𝑗⃗ − 11𝑘 𝐴⃗ × 𝐵

2. Dados el vector 𝐴⃗ = 205 𝑁 cuyos ángulos directores son 𝛼 = 72° , 𝛽 = 143° y el vector ⃗⃗ ) 𝑁, realizar la siguiente operación: 2𝐴⃗ − 3𝐵 ⃗⃗ = (15𝑖⃗ + 20𝑗⃗ − 10𝑘 ⃗⃗⃗⃗. 𝐵 Solución: Para conocer las 3 componentes del vector 𝐴⃗, es necesario conocer previamente el ángulo director 𝜃, entonces utilizamos la ecuación: cos 2 (𝛼) + cos 2 (𝛽) + cos 2 (𝜃 ) = 1 cos 2 (72°) + cos 2 (143°) + cos 2 (𝜃 ) = 1 cos 2 (72°) + cos 2 (143°) + cos 2 (𝜃 ) = 1 cos 2 (𝜃 ) = 0.267 𝑐𝑜𝑠(𝜃 ) = ± 0.516 Por lo tanto: 𝜃1 = 58.94° 𝜃2 = 121.064° Si 𝜃1 = 58.94°, entonces: ⃗⃗ ] 𝑁 𝐴⃗ = [205 𝑐𝑜𝑠(72°) 𝑖⃗ + 𝑐𝑜𝑠(143°) 𝑗⃗ + 𝑐𝑜𝑠(58.94°) 𝑘 ⃗⃗ ) 𝑁 𝐴⃗ = (63.35𝑖⃗ − 163.72𝑗⃗ + 105.77𝑘

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Además: ⃗⃗ ) 𝑁 ⃗⃗ = (15𝑖⃗ + 20𝑗⃗ − 10𝑘 𝐵 Por lo tanto: ⃗⃗ ) − 3(15𝑖⃗ + 20𝑗⃗ − 10𝑘 ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ = 2(63.35𝑖⃗ − 163.72𝑗⃗ + 105.77𝑘 2𝐴⃗ − 3𝐵 ⃗⃗ ) 𝑁 ⃗⃗⃗⃗ = (81.7𝑖⃗ − 387.44𝑗⃗ + 241.54𝑘 2𝐴⃗ − 3𝐵

Si 𝜃2 = 121.064°, entonces: ⃗⃗ ] 𝑁 𝐴⃗ = 205[𝑐𝑜𝑠(72°) 𝑖⃗ + 𝑐𝑜𝑠(143°) 𝑗⃗ + 𝑐𝑜𝑠(121.64°) 𝑘 ⃗⃗ ) 𝑁 𝐴⃗ = (63.35𝑖⃗ − 163.72𝑗⃗ − 105.77𝑘 Además: ⃗⃗ ) 𝑁 ⃗⃗ = (15𝑖⃗ + 20𝑗⃗ − 10𝑘 𝐵 Por lo tanto: ⃗⃗ ) − 3(15𝑖⃗ + 20𝑗⃗ − 10𝑘 ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ = 2(63.35𝑖⃗ − 163.72𝑗⃗ − 105.77𝑘 2𝐴⃗ − 3𝐵 ⃗⃗ ) 𝑁 ⃗⃗⃗⃗ = (81.7𝑖⃗ − 387.44𝑗⃗ − 181.54𝑘 2𝐴⃗ − 3𝐵

⃗⃗ y 𝐵 = 12𝑖⃗ + 4𝑗⃗ + 3𝑘 ⃗⃗ , determinar el ángulo comprendido 3. Dados los vectores: 𝐴 = 2𝑖⃗ + 3𝑗⃗ + 6𝑘 entre ellos. Solución: Para encontrar el ángulo entre dos vectores cuyas componentes son conocida, se utiliza la ecuación del producto punto: ⃗⃗ = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ 𝐴⃗ ∙ 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐴𝐵 Calculamos los módulos de los vectores: 𝐴 = √4 + 9 + 36 = 7 𝐵 = √144 + 16 + 9 = 13

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El producto punto entre los vectores es: ⃗⃗ ) ∙ (12𝑖⃗ + 4𝑗⃗ + 3𝑘 ⃗⃗ ) ⃗⃗ = (2𝑖⃗ + 3𝑗⃗ + 6𝑘 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ = (24 + 12 + 18) = 54 𝐴⃗ ∙ 𝐵 Por lo tanto: 54 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = (7)(13) 𝜃 = 53.6°

⃗⃗ y 𝐵 = −4𝑖⃗ + 8𝑗⃗ + 𝑚𝑘 ⃗⃗ , determinar el valor de m para que 4. Dados los vectores: 𝐴 = 3𝑖⃗ − 6𝑗⃗ + 6𝑘 los vectores sean perpendiculares entre sí. Solución: Para que los vectores sean perpendiculares entre sí, el ángulo que forman debe ser 90°. Por lo tanto, el producto punto de estos vectores debe ser igual a cero ⃗⃗ = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (90°) 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ = 0 𝐴⃗ ∙ 𝐵 Igualando a cero el producto punto entre los vectores tenemos: ⃗⃗ ) ∙ (−4𝑖⃗ + 8𝑗⃗ + 𝑚𝑘 ⃗⃗ ) ⃗⃗ = (3𝑖⃗ − 6𝑗⃗ + 6𝑘 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ = −12 − 48 + 2m 𝐴⃗ ∙ 𝐵 −12 − 48 + 2m = 0 𝑚 = 30

⃗⃗ = (2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 4𝑘̂ ), calcular la proyección de 𝐴⃗ sobre 𝐵 ⃗⃗. 5. Dados los vectores 𝐴⃗ = (3𝑖̂ + 𝑗̂ + 2𝑘̂ ) y 𝐵 Solución: La proyección del vector A sobre el vector B está definida por la fórmula: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝐵 ⃗⃗ son: Los módulos de 𝐴⃗ y 𝐵 𝐴 = √(3)2 + (1)2 + (2)2 = 3.74 𝐵 = √(2)2 + (−2)2 + (4)2 = 4.89 El ángulo 𝜃 entre los vectores se calcula de la siguiente manera:

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𝑐𝑜𝑠𝜃 =

(3)(2) + (1)(−2) + (2)(4) (3.74)(4.89)

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1(0.65) = 49° El vector unitario de B es: 𝑢𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ 2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 4𝑘̂ 𝐵 = 𝐵 4.89

𝑢𝐵 = 0.40𝑖̂ − 0.40𝑗̂ + 0.81𝑘̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗: Finalmente, la proyección de 𝐴⃗ sobre 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (3.74) cos(49) (0.40𝑖̂ − 0.40𝑗̂ + 0.81𝑘̂ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 0.98𝑖̂ − 0.98𝑗̂ + 1.98𝑘̂

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6. Los cables A, B y C ayudan a soportar un pilar que forma parte de una estructura. Las ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales: |𝐹 𝐴 | = |𝐹𝐵 | = |𝐹𝐶 |. La magnitud del vector suma de las tres fuerzas es 200 KN. Calcular la magnitud de las fuerzas.

Solución: Los ángulos que forman los cables con el eje vertical son: 𝜃𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

4𝑚 ) = 33.7° 6𝑚

𝜃𝐵 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝜃𝐶 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

8𝑚 ) = 53.1° 6𝑚

12 𝑚 ) = 63.4° 6𝑚

Una vez calculados los ángulos, podemos definir los vectores de las fuerzas de cada cable: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴 = 𝐹𝐴 (𝑠𝑒𝑛 33.7° 𝑖̂ − cos 33.7° 𝑗̂) = 0.55𝐹𝐴 𝑖̂ − 0.83𝐹𝐴 𝑗̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐵 = 𝐹𝐵 (𝑠𝑒𝑛 53.1° 𝑖̂ − cos 53.1° 𝑗̂) = 0.79𝐹𝐵 𝑖̂ − 0.60𝐹𝐵 𝑗̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐶 = 𝐹𝐶 (𝑠𝑒𝑛 63.4° 𝑖̂ − cos 63.4° 𝑗̂) = 0.89𝐹𝐶 𝑖̂ − 0.44𝐹𝐶 𝑗̂

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Sumamos los vectores y dejamos todo en función de F A: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐶 = 2.23𝐹𝐴 𝑖̂ − 1.87𝐹𝐴 𝑗̂ Sabemos la que la magnitud del vector suma es 200 KN, entonces: 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 𝐴 + 𝐹𝐵 + 𝐹𝐶 | = √(2.23𝐹𝐴 ) + (−1.87𝐹𝐴 ) = 2.91𝐹𝐴 = 200 𝐾𝑁

𝐹𝐴 = 68.72 𝐾𝑁 Al ser todas las fuerzas iguales, entonces: 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 = 𝐹𝐶 = 68.72 𝐾𝑁

7. Dados los puntos 𝐴(5; −2; 4), 𝐵(7; 114; 15) y 𝐶(−1; 6; 8), encontrar un vector perpendicular al plano formado por los tres puntos y cuyo módulo sea igual a la distancia 𝐴𝐵. Solución: Al unir los 3 puntos obtenemos un triángulo como se muestra en la figura.

C

A B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Podemos calcular los vectores 𝐴𝐶 𝐴𝐵 retando los puntos que tenemos, de manera que nos queda: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 2𝑖̂ + 13𝑗̂ + 9𝑘̂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = −6𝑖̂ + 8𝑗̂ + 4𝑘̂ El vector perpendicular al plano formado por los tres puntos se calcula con el producto cruz entre los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵: ⃗⃗ 𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = | 2 13 9| −6 8 4

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −20𝑖̂ − 62𝑗̂ + 94𝑘̂ 𝐴𝐵 El módulo de este vector es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−20)2 + (62)2 + (94)2 |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵 𝐴𝐶 | = 114.36 El unitario de este vector nos indica la dirección que va a tener el vector resultante: −20𝑖̂ − 62𝑗̂ + 94𝑘̂ 𝑢 ⃗⃗ = 114.36 𝑢 ⃗⃗ = −0.17𝑖̂ − 0.54𝑗̂ + 0.82𝑘̂ El módulo del vector resultante es igual a la distancia 𝐴𝐵, es decir, es igual al módulo del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵: 𝑑𝐴𝐵 = √22 + 132 +92 𝑑𝐴𝐵 = 15.93 Finalmente, el vector resultante se obtiene al multiplicar el vector perpendicular al plano formado por los puntos y la distancia 𝐴𝐵: 𝑅⃗⃗ = 15.93(−0.17𝑖̂ − 0.54𝑗̂ + 0.82𝑘̂ ) 𝑅⃗⃗ = −2.70𝑖̂ − 8.60𝑗̂ + 13.06𝑘̂

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Recursos complementarios / Videos •

Vectores y su representación: https://youtu.be/sF6NAi9IRl4

•

Suma y resta de vectores: https://youtu.be/wd6WwXh4f7k

•

Multiplicación de un escalar por un vector: https://youtu.be/hG_DUnQJtNo

•

Vectores en 3D: https://youtu.be/WCrukN5DqzM

•

Producto punto y proyección de vectores: https://youtu.be/-r84u5OQPME

•

Producto cruz entre vectores: https://youtu.be/Siroe8Z0kRs

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Tema # 1

Bibliografía 1. Guevara F. (2012). Física Básica. Ecuador: ESPE Educación. 2. Ayala G. (2011). Física. Ecuador: ESPE Educación.

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Tema # 1

Actividades de aprendizaje autónomo ⃗⃗ = (2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 4𝑘̂ )determinar: 1. Dados los vectores 𝐴⃗ = (3𝑖̂ + 𝑗̂ + 2𝑘̂ ) y 𝐵 ⃗⃗ a) 2𝐴⃗ + 3𝐵 ⃗⃗ b) El vector unitario de 3𝐵 c) Los productos escalar y vectorial entre los dos vectores ⃗⃗ = 2. Dados el vector 𝐴⃗ = 2000 𝑁 cuyos ángulos directores son 𝛽 = 45°, 𝜃 = 125° y el vector 𝐵 ⃗⃗ ) 𝑁, determinar: (1500𝑖⃗ + 1200𝑗⃗ − 1500𝑘 ⃗⃗ a) 𝐴⃗ + 𝐵 b) El vector unitario de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴+𝐵 c) Los productos escalar y vectorial entre los dos vectores d) El ángulo comprendido entre los dos vectores ⃗⃗ y 𝐵 = −4𝑖⃗ + 8𝑗⃗ + 𝑚𝑘 ⃗⃗ , determinar el valor de m para que 3. Dados los vectores: 𝐴 = 3𝑖⃗ − 6𝑗⃗ + 6𝑘 los vectores sean paralelos entre sí. ⃗⃗ = 4. Dados el vector 𝐴⃗ = 2000 𝑁 cuyos ángulos directores son 𝛽 = 45°, 𝜃 = 125° y el vector 𝐵 ⃗⃗. 1500 𝑁, cuyos ángulos directores son 𝛼 = 75° , 𝛽 = 135° calcular la proyección de 𝐴⃗ sobre 𝐵 5. Dados los puntos 𝐴(−5; −3; 2) , 𝐵(2; −11; 1) y 𝐶(10; −6; 4) , encontrar un vector perpendicular al plano formado por los tres puntos y cuyo módulo sea igual a dos veces la distancia 𝐵𝐶. ⃗⃗ ) 𝑁, y 6. Dados los vectores: 𝐴⃗ = 2000 𝑁 con 𝛽 = 45°, 𝜃 = 125°, 𝐵 = (800𝑖⃗ − 200𝑗⃗ + 1500𝑘 ⃗⃗ − 𝐶⃗ ) y 𝐶⃗ = 1500 𝑁 con 𝛽 = 135°, 𝜃 = 25°, encuentre un vector paralelo al vector (2𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ + 𝐶⃗ )/3. cuyo modulo sea igual a (𝐴⃗ + 𝐵 ⃗⃗ 7. Dados los puntos 𝐴(5; 0; 5), 𝐵(0; 10; 0), 𝐶(0; 0; 5), 𝐷(5; 0; 0) y 𝐸(5; 10; 0), encontrar un vector 𝑉 que sea perpendicular al plano DCB y que tenga un módulo igual a la distancia del punto E a la recta AB.

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Tema # 1

8. Dados los puntos 𝐴( 3, −2,5), 𝐵(7,0, −2) y 𝐶(−4,5,0) , encontrar un vector perpendicular al triangulo ABC, cuya magnitud sea igual al semiperimetro de dicho triangulo 9. Dados los puntos 𝐴(1, 2,1) y 𝐵(5, −1,1) y 𝐶(7,2,1). Encontrar: a) La proyección AB en la dirección AC b) Un vector perpendicular al triangulo ABC y cuyo modulo sea igual al área de dicho triángulo 10. Dados los puntos 𝐴(3, 4,2), 𝐵(1, −5,3) y 𝐶(6, 8,9), determinar: a) Un vector perpendicular al triángulo ABC de módulo 15 u b) La proyección de AB en la dirección AC c) El valor de 𝑚 para que el vector 𝑆⃗ = 5𝑖 + 3𝑗 − 𝑚𝑘 sea perpendicular al vector AC. 11. Dados los puntos 𝐴(1,2,3), 𝐵(4,7,2), 𝐶(5, −3,7) y 𝐷(2,1,5). Hallar la proyección del vector AD en la dirección perpendicular al triangulo BCA. 12. Un prisma se encuentra limitado por los siguientes puntos: 𝐴(10,2,5), 𝐵(10,0,2), 𝐶(−10,8,25), 𝐷(−10,10, ) y 𝐸(−10,0,25). Encontrar: a) La componente paralela del vector BD en la dirección de BE b) Un vector perpendicular al prisma y cuyo modulo sea igual a 10 u ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 13. Dados los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 + 𝐵 = 11𝑖 − 𝑗 + 5𝑘 y 𝐴 − 𝐵 = 5𝑖 + 11𝑗 + 9𝑘. Determinar: ⃗ ⃗⃗ a) Los vectores 𝐴 y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) El ángulo que forma el vector 𝐴⃗ y el vector 𝐴 −𝐵 c) El producto vectorial de 𝐴⃗ por el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴+𝐵 14. Dados los vectores 𝐴⃗ = 2𝑖 − 𝑗; 𝐵 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 y 𝐶⃗ = −2𝑖 + 𝑘. Calcular: ⃗⃗ a) 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ b) 𝐶⃗ × 𝐵 ⃗⃗ × 𝐶⃗ ) c) 𝐴⃗ × (𝐵 ⃗⃗) × 𝐶⃗ d) (𝐴⃗ × (𝐵

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