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I Vectores en el espacio Contenido

1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. 1.2 Álgebra vectorial y su geometría 1.3 Producto escalar y vectorial. 1.4 Ecuación de la recta 1.5 Ecuación del plano.

Descripción de la Unidad

Determina ecuaciones de rectas y planos del entorno para desarrollar la capacidad de modelado matemático.

Objetivo de la Unidad

Conoce y desarrolla las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de ingeniería.

Bibliografía

1. Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson, 2. Marsden J. E., Tromba A. J. (2004). Cálculo vectorial. 5ª. ed. Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana 3. Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009. 4. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007

I

Adición: Operación de sumar. Ángulo: Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto, llamado vértice. La distancia angular es medida en grados minutos y segundos de arco. Los ángulos se miden en grados (º).      

Ángulo agudo: Aquellos que miden menos de 90º Ángulo obtuso: Son los que miden más de 90º. Ángulo cóncavo: Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo. Ángulo convexo: Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo. Ángulo llano: Aquel que mide 180º. Ángulo recto: El ángulo que forman las rectas perpendiculares mide 90º Se denomina ángulo recto.

Cociente: Resultado que se obtiene al dividir una cantidad por otra, y que expresa Curva: conjunto de puntos que cambian continuamente de dirección. Derivada: La derivada se representa como una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida de su entrada (valor de la variable independiente) cambia. Divisor: Cantidad por la cual ha de dividirse otra. II. Un número natural es divisor de otro número cuando el resultado de dividir entre es cero; en otras palabras, cuando la división de entre es exacta. Diferencial: Es el campo de la matemática posee varios significados en el campo de la matemática llamada calculo, el diferencial presenta un cambio en una función. Siendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial 𝑑𝑦 queda definido por la expresión𝑑𝑥 Figura: en geometría, se llama figura a todo conjunto de puntos. es el espacio cerrado por líneas o superficies: figura plana; figura del espacio Función: Regla de correspondencia que asocia un valor de la variable independiente con un único valor de la variable dependiente. Función cuadrática: Es una relación entre dos variables: la independiente y la dependiente, donde la variable independiente tienen un exponente cuadrático.

I

Función primitiva: Es aquella que después de haber sido derivada pasando su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original. Geometría: La geometría es una rama de la matemática que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio. Intersección: Conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos dados. Punto donde se cruzan dos líneas. Multiplicación: El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes.  (factor 1) (factor 2) (factor 3) = producto También, cuando solamente son dos términos, se les denomina multiplicando y multiplicador multiplicando x multiplicador = producto. Plano: Es una superficie que tiene longitud y ancho, pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones. La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo. Perpendicular: es un término geométrico que puede ser usado como nombre o adjetivo. el significado del término hace referencia a la posición relativa de dos líneas rectas cuando forman un ángulo de noventa grados, un ángulo recto. Polinomio: La raíz de esta palabra es griega: poli = muchos; nomio = término. II. Es un monomio, o bien, la suma de varios monomios. Producto: Se utiliza como sinónimo de multiplicación, porque es el resultado de la multiplicación de dos o más números. Punto: El punto es el elemento de representación más simple. Recta: la recta es la línea más corta que une dos puntos. conjunto continúo de puntos, alineados en una dirección constante. Segmento: Es la parte de la recta que está delimitada por dos puntos que son los extremos del segmento, por tanto, se puede medir su longitud. Suma: A cada uno de sus elementos se les llama “sumandos” y al resultado, “suma”. Sumando + sumando = suma (o total). Sustraendo: El número que se resta. Variable dependiente: Representa a todos los valores que se obtienen como resultado de sustituir algún valor en la variable independiente. Variable independiente: Representa a todos los valores que se pueden sustituir en la función.

I

1 Ejemplo: Distancia entre dos puntos en el espacio La distancia entre los puntos (2, −1, 3) y (1, 0, − 2) es 𝑑 = √(1 − 2)2 + (0 + 1)2 + (−2 − 3)2 = √1 + 1 + 25 = √27 = 3√3 Ejemplo: Ecuación de una esfera Hallar la ecuación canónica de la esfera que tiene al segmento que une (5, −2, 3) y (0, 4, − 3) como uno de sus diámetros. Solución: Por la regla del punto medio, el centro de esa esfera es (

5 + 0 −2 + 4 3 − 3 5 , , ) = ( , 1, 0) 2 2 2 2

De la fórmula de la distancia se deduce que su radio es 5 2 97 √97 √ 𝑟 = (0 − ) + (4 − 1)2 + (−3 − 0)2 = √ = 2 4 2 Por lo tanto, la ecuación canónica de la esfera es: 5 2 97 (𝑥 − ) + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 0)2 = 2 4

Ejemplo: Vectores paralelos El vector w tiene punto inicial (2, −1, 3) y punto final (−4, 7, 5) ¿cuál de estos vectores es paralelo a w? a) 𝒖 = 〈3, −4, −1〉 b) 𝒗 = 〈12, −16, 4〉

I

1 Solución: En forma de componentes, el vector w se escribe

𝒘 = 〈−4 − 2, 7 − (−1), 5 − 3〉 = 〈−6, 8, 2〉

a) Como 1 1 𝐮 = ⟨3, −4, −1⟩ = − ⟨−6,8,2⟩ = − 𝐰 2 2 Podemos concluir que u es paralelo a w. b) En este caso necesitaríamos un escalar c tal que ⟨12, −16,4⟩ = 𝑐⟨−6,8,2⟩ 12 = −6𝑐 → 𝑐 = −2 −16 = 8𝑐 → 𝑐 = −2 4 = 2𝑐 → 𝑐 = 2 Como ningún c satisface las tres condiciones exigidas, los vectores no son paralelos

I

1 Después haber leído el material de apoyo de la unidad 1 resolver los siguientes ejercicios:

1.

Se dan el punto inicial (1, 2) y final (5, 5) de un vector v. a)

Dibujar el segmento dirigido asociado a v

b)

Expresar v en componentes

c)

Dibujar el vector con su punto inicial en el origen.

2.

Hallar el vector v, siendo 𝒖 = 〈2, −1〉 y 𝒘 = 〈1, 2〉. Ilustrar las operaciones

gráficamente. a) 𝑣 = 3⁄2 𝒖 b) 𝒗 = 𝒖 + 2𝒘 c) 𝒗 = 𝒖 + 𝒘

I

UNIDAD I

1.1

1.1. Definición de un vector en el plano y en el espacio y

su interpretación geométrica Un vector es un segmento orientado. Así pues, en el plano, un vector no es más que un segmento de recta, en el que se diferencia claramente su origen y su extremo.

Definición componentes de un vector.

Son dos valores que vienen dados en forma de par de números, los cuáles indican las unidades que

tenemos que desplazarnos horizontalmente y verticalmente respectivamente, para llegar desde el origen del vector al extremo de éste.

Características de un vector: Módulo, Dirección y Sentido

Módulo: Es el tamaño que tiene el segmento orientado.

Dirección: Es la inclinación que tiene el vector respecto al eje de abscisas (eje x). Esta inclinación se mide a través del ángulo menor que forma el vector con el eje X o un eje paralelo a éste.

Sentido: Es la orientación que adopta el vector. Podemos diferenciar entre Norte, Sur, Este, Oeste, Noroeste, Noreste, Sureste, Suroeste.

Ejemplo 1. Representación de vectores por segmentos dirigidos.

Sea 𝐯 el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y 𝐮 el representado por segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Probar que 𝐯 = 𝐮.

Figura 1.1.1. Los vectores v y u, son iguales.

Solución

En la figura 1.1.1 se han denotado por 𝑃(0, 0) y 𝑄(3, 2), los puntos inicial y final de 𝐯, y por 𝑅(1, 2) y 𝑆(4, 4) los de 𝐮. La fórmula de la distancia nos permite verificar que 𝑃𝑄 y 𝑅𝑆 tienen la misma longitud, que:

𝑃𝑄 = 𝑅𝑆 =

(3 − 0)2 +(2 − 0)2 = 13 Longitud de 𝑃𝑄 (4 − 1)2 +(4 − 2)2 = 13 Longitud de 𝑅𝑆

Además, ambos segmentos tienen la misma dirección, porque apuntan hacia la derecha y hacia arriba sobre restas de igual pendiente: 2−0 2 Pendiente de 𝑃𝑄 = = 3−0 3 4−2 2 Pendiente de 𝑅𝑆 = = 4−1 3

Como 𝑃𝑄 y 𝑅𝑆 tienen la misma longitud y la misma dirección, concluimos que los dos vectores son iguales, es decir, 𝐯 = 𝐮

El segmento dirigido con punto inicial en el origen suele resultar el representante más conveniente de un conjunto de segmentos dirigidos equivalentes como el de la figura 1.1.1. Este representante de 𝐯 se dice que está en posición canónica

Ejemplo 2. Componentes y longitud de un vector

Hallar la expresión en componentes y calcular la longitud del vector v con punto inicial 3, −7 y punto final −2,5 .

Solución: Denotemos 𝑃 3, −7 = (𝑝1 , 𝑝2 ) y 𝑄 −2, 5 = 𝑞1 , 𝑞2 . Entonces, las componentes de 𝐯 = 𝑣1 , 𝑣2 son:

𝑣1 = 𝑞1 − 𝑝1 = −2 − 3 = −5 𝑣2 = 𝑞2 − 𝑝2 = 5 − −7 = 12

Así pues, como se muestra en la figura 1.1.2, 𝐯 = −5, 12 , y la longitud de v es 𝐯 =

(−5)2 +122

= 169 = 13

Figura 1.1.2. Expresión en componentes de 𝐯: 𝐯 = −5, 12

Ejemplo 5. Expresión en componentes de un vector en el espacio

Hallar la expresión en componentes y la longitud de un vector v con punto inicial (−2,3,1) y punto final (0, −4,4). Hallar un vector unitario en la dirección de v.

Solución: La expresión de v en componentes viene dada por

𝐯 = 𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞2 − 𝑝2 , 𝑞3 − 𝑝3 = 0 − −2 , −4 − 3,4 − 1 = 2, −7,3

Así que su longitud es 𝐯 =

2

2

+ (−7)2 +(3)2 = 62

El vector unitario en la dirección de v es

𝐮=

𝐯 𝐯

=

1 62

(2, −7, 3)

I 1.1. Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica Muchas magnitudes geométricas o físicas, como área, volumen, temperatura, masa y tiempo, se pueden caracterizar mediante números reales en una escala adecuada de medida. Se les denomina magnitudes escalares, y el número real asociado con cada una de ellas se llama un escalar. Otras magnitudes, como fuerza, velocidad y aceleración, involucran un valor numérico y una dirección, de modo que no se pueden representar completamente por un número real. Como se muestra en la Figura 1.1.1, para representar tales magnitudes se utiliza un segmento (recto) dirigido.

Figura 1.1.1. Un segmento dirigido ⃑⃑⃑⃑⃑ , con punto inicial 𝑃 y punto final 𝑄, se denota La longitud del segmento dirigido 𝑃𝑄 ⃑⃑⃑⃑⃑ ||. Segmentos como los de la Figura 1.1.2 de igual longitud y dirección, se dice que por ||𝑃𝑄 son equivalentes.

Figura 1.1.2. Segmentos dirigidos equivalentes

I El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido dado por ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 , es un vector en el plano y se denota por 𝐯 = ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄. En los libros suelen utilizarse letras en negrita, 𝐮, 𝐯, 𝐰, … para denotar los vectores. Sin embargo, cuando se escribe a mano suelen denotarse colocando sobre la letra una flecha, digamos 𝑢 ⃑ , 𝑣, y 𝑤 ⃑⃑ . Es importante tener presente que un vector en plano admite representación mediante muchos segmentos dirigidos distintos, concretamente todos los que tienen su misma longitud y apuntan en su misma dirección. Un segmento dirigido cuyo inicial es el origen puede caracterizarse dado sólo las coordenadas de su punto final 𝑄(𝑣1 , 𝑣2 ), como se indica en la figura 1.1.3.

Figura 1.1.3. Posición canónica de un vector.

Definición de las componentes de un vector en el plano Si v es un vector en el plano con punto inicial en el origen y punto final (𝑣1 , 𝑣2 ), la expresión en componentes de v viene dada por 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 〉 Las coordenadas 𝑣1 y 𝑣2 se llaman las componentes v. Si tanto el punto inicial como el final son el origen, v se llama el vector cero (o vector nulo) y se denota por 𝟎 = 〈0,0〉.

I Esta definición implica que dos vectores 𝐮 = 〈𝑢1 , 𝑢2 〉 y 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 〉 son iguales si y sólo si 𝑢1 = 𝑣1 y 𝑢2 = 𝑣2 . Para pasar de segmentos dirigidos a componentes, o viceversa, deben seguirse estos procedimientos: 1. Si 𝑃(𝑝1 , 𝑝2 ) y 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 ) son los puntos inicial y final de un segmento dirigido, la expresión

en

componentes

del

vector

v,

representado

por

⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄

es

〈𝑣1 , 𝑣2 〉 = 〈𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞2 − 𝑝2 〉. Además, la longitud de v es ||𝐯|| = √(𝑞1 − 𝑝1 )2 + (𝑞2 − 𝑝2 )2 = √𝑣12 + 𝑣22 2. Si 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 〉, v puede ser representado por el segmento dirigido, en posición canónica, que va de 𝑃(0,0) a 𝑄(𝑣1 , 𝑣2 ). La longitud de v se llama también norma de v. Si ||𝐯|| = 1, se dice que v es un vector unitario. Por otra parte, ||𝐯|| = 0 si y sólo si v es el vector cero 0.

Vectores en el espacio Coordenadas en el espacio Hasta ahora hemos manejado casi exclusivamente sistemas de coordenadas en dos dimensiones. Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, introducimos un sistema de coordenadas tridimensional, colocando un eje z perpendicular en el origen a los ejes x e y. La figura 1.1.4 muestra los tres semiejes positivos. Tomados por parejas, los ejes coordenados determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz, el plano yz.

I

Figura 1.1.4. Sistema de coordenadas en tres dimensiones Estos tres planos dividen el espacio en ocho octantes. El primer octante es aquel en el cual las tres coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P del espacio viene determinado por un trío ordenado (𝑥, 𝑦, 𝑧), donde 𝑥 = distancia dirigida de 𝑃 al plano yz 𝑦 = distancia dirigida de 𝑃 al plano xz 𝑧 = distancia dirigida de 𝑃 al plano xy

La figura 1.1.5 muestras varios puntos localizados en el espacio. Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientación levógiro o dextrógiro. Para determinar la orientación de un sistema, imagine que está de pie con los brazos señalando las direcciones de los semiejes positivos x e y, y con el eje z hacia arriba. Muchas de las fórmulas válidas en el sistema de coordenadas bidimensional se pueden generalizar a tres dimensiones.

I

Figura 1.1.5. En un sistema de coordenadas tridimensional los puntos se representan por tríos ordenados. Por ejemplo, para calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, basta aplicar dos veces el teorema de Pitágoras, como muestra la figura 1.1.6. Con ello se obtiene la fórmula para la distancia entre los puntos (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ).

Figura 1.1.6. Distancia entre dos puntos en el espacio. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2

Fórmula de la distancia

I Una esfera con centro en (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y radio r se define como el conjunto de puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) cuya distancia a (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) es r. Usando la fórmula de la distancia podemos hallar la ecuación canónica de una esfera de radio r centrada en (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ). Si (𝑥, 𝑦, 𝑧) es un punto arbitrario de la esfera, la ecuación de la esfera es: (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟 2 Ecuación de la esfera Como se muestra en la figura 1.1.7. Además, el punto medio del segmento recto que une los puntos (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) tiene por coordenadas.

Figura 1.1.7 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2 ( , , ) 2 2 2

Regla del punto medio

Vectores en el espacio En el espacio los vectores se denotan por tríos ordenados 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉. El vector cero se denota por 𝟎 = 〈0,0,0〉. Usando los vectores unitarios 𝐢 = 〈1,0,0〉, 𝐣 = 〈0,1,0〉 y 𝐤 = 〈0,0,1〉 en dirección positiva del eje z, la notación canónica en términos de vectores unitarios para v es: 𝐯 = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤

I Esto se puede observar en la figura 1.1.8.

Figura 1.1.8. Los vectores unitarios canónicos en el espacio Si v se representa mediante un segmento recto orientado que va de 𝑃(𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 ) a 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ), como en la figura 1.1.9, su expresión en componentes se obtiene prestando las coordenadas del punto inicial de las del punto final:

Figura 1.1.9 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉 = 〈𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞2 − 𝑝2 , 𝑞3 − 𝑝3 〉

I Vectores en el espacio Sean 𝐮 = 〈𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 〉 y 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉 vectores en el espacio, y 𝑐 un escalar. 1. Igualdad de vectores: 𝐮 = 𝐯 si y sólo si 𝑢1 = 𝑣1 , 𝑢2 = 𝑣2 y 𝑢3 = 𝑣3 . 2. Expresión en componentes: Si v viene representado por el segmento orientado que va de 𝑃(𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 ) a 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ), entonces 𝐯 = 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉 = 〈𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞2 − 𝑝2 , 𝑞3 − 𝑝3 〉 3. Longitud: ||𝐯|| = √𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32 4. Vector unitario en la dirección de v: 𝐯 ||𝐯||

=(

1

) 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉, 𝐯 ≠ 𝟎 ||𝐯||

5. Suma de vectores: 𝐯 + 𝐮 = 〈𝑣1 + 𝑢1 , 𝑣2 + 𝑢2 𝑣3 + 𝑢3 〉 6. Multiplicación por un escalar: 𝑐𝐯 = 〈𝑐𝑣1 , 𝑐𝑣2 , 𝑐𝑣3 〉

UNIDAD I

1.2

Álgebra vectorial y su geometría

Definición de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar. Sean 𝒖 = 〈𝒖𝟏, 𝒖𝟐〉

y 𝒗 = 〈𝒗𝟏, 𝒗𝟐〉 vectores en el plano y k un escalar. 1. La suma vectorial de u y v es el vector 𝒖 + 𝒗 = 〈𝒖𝟏 + 𝒗𝟏, 𝒖𝟐 + 𝒗𝟐〉

2. El múltiplo escalar de 𝑘 y 𝒖 es el vector 𝑘𝒖 = 〈𝒌𝒖𝟏, 𝒌𝒖𝟐〉 3. El negativo de v es el vector −𝒗 = (−1)𝒗 = 〈−𝒗1, −𝒗2〉 4. La diferencia de u y v es el vector 𝒖 − 𝒗 = 𝒖 + (−𝒗) = 〈𝑢𝟏 − 𝑣𝟏, 𝑢𝟐 − 𝑣𝟐〉

Ejemplo 1. Operaciones con vectores

Dados 𝒗 = 〈−2, 5〉 y 𝒘 = 〈3, 4〉, calcular los vectores

1 𝑎) 𝐯 2

b) 𝐰 − 𝐯

c) 𝐯 + 𝟐𝐰

Solución:

a)

1 1 1 5 𝐯= −2 , (5) = −1, 2 2 2 2

b) 𝐰 − 𝐯 = 𝑤1 − 𝑣1 , 𝑤2 − 𝑣2 = 3 − −2 , 4 − 5 = 5, −1

c) Al ser 2𝐰 = 6,8 , se obtiene

𝐯 + 2𝐰 = −2,5 + 6,8 = −2 + 6,5 + 8 = 4,13

Ejemplo 2. Construcción de un vector unitario

Hallar un vector unitario en la dirección de 𝒗 = 〈−2, 5〉 y comprobar que tiene longitud 1. Solución: De acuerdo con el teorema 3, el vector unitario en la dirección de v es

𝐯 𝐯

=

−2,5 (−2)2 +(5)2

=

1 29

−2,5 =

−2 29

,

5 29

Este vector tiene, en efecto, longitud 1, ya que

−2 29

2

+

5 29

2

=

4 25 + = 29 29

29 =1 29

Ejemplo 3. Expresión de un vector como combinación lineal de vectores unitarios

Sea u el vector con punto inicial (2, −5) y punto final (−1,3), y sea 𝐯 = 2𝐢 − 𝐣.

Escribir los siguientes vectores como combinación lineal de i y j.

a) u

b) 𝐰 − 2𝐮 − 3𝐯

Solución:

a)

𝐮 = 𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞3 − 𝑝2 = −1 − 2, 3 − −5 = −3,8 = −3𝐢 + 8𝐣

b)

𝐰 = 2𝐮 − 3𝐯 = 2 −3𝐢 + 8𝐣 − 3(2𝐢 − 𝐣) = −6𝐢 + 16𝐣 − 6𝐢 + 3𝐣 = −12𝐢 + 19𝐣

I 1.2. Álgebra vectorial y su geometría Hay dos operaciones básicas con vectores: a) Suma de vectores Considere los vectores A y B que se ilustran en la figura 1.2.1 a). Las suma o resultantes de A y b es el vector C que se forma cuando se coloca el punto inicial de B en el punto terminal de A, para luego unir el punto inicial de A con el punto terminal de B, como se ilustra en la figura 1.2.1 b). La suma C se escribe 𝐶 = 𝐴 + 𝐵. Esta definición es equivalente a la ley del paralelogramo para la suma de vectores, como se observa en la figura 1.2.1 c).

Figura 1.2.1 La extensión a sumas de más de dos vectores es inmediata. Por ejemplo, considere los vectores A, B, C y D de la figura 1.2.2 a). En la figura 1.2.2 b) se ilustra la forma de obtener la suma o resultante E de los vectores A, B, C y D, es decir, al conectar el final de cada vector con el principio del siguiente.

Figura 1.2.2

I La diferencia de los vectores A y B se denota con 𝐴 − 𝐵, es aquel vector 𝐶 que al ser sumado a B da como resultado el vector A. De manera equivalente, 𝐴 − 𝐵 puede definirse como 𝐴 + (−𝐵). Si 𝐴 = 𝐵, entonces 𝐴 − 𝐵 se define como el vector nulo o cero y se representa con el símbolo 0 o 0. Tiene magnitud igual a cero y su dirección no está definida. Un vector que no sea nulo es un vector propio. Supondremos que todos los vectores son propios a menos que se especifique otro caso.

b) Multiplicación por un escalar La multiplicación de un vector v por un escalar 𝑘 produce un vector 𝑘𝐴 con magnitud |𝑘| veces la magnitud de v y la dirección de 𝑘v está en la misma de v o es opuesta a ella, según sea 𝑘 positivo o negativo. Si 𝑘 = 0, entonces 𝑘v = 0, que es el vector nulo. Gráficamente, el producto de un vector v por un escalar k es un vector que tienen longitud igual a k veces la de v figura 1.2.3. Si k es positivo kv apunta en la misma dirección que v. Si k es negativo, kv apunta en la dirección opuesta a la de v.

Figura 1.2.3 La multiplicación escalar de v

La suma de vectores y el producto por un escalar comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria, como de manifiesto el teorema.

I Teorema 1. Propiedades de las operaciones con vectores Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en el plano, y sean 𝑐, 𝑑 escalares.

1. 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 Propiedad conmutativa 2. (𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) Propiedad asociativa 3. 𝒖 + 𝟎 = 𝒖

Identidad aditiva

4. 𝒖 + (−𝒖) = 𝟎 Inversa aditiva 5. 𝑐(𝑑𝒖) = (𝑐𝑑)𝒖 6. (𝑐 + 𝑑)𝒖 = 𝑐𝒖 + 𝑑𝒖 Propiedad distributiva 7. 𝑐(𝒖 + 𝒗) = 𝑐𝒖 + 𝑐𝒗 Propiedad distributiva 8. 1(𝒖) = 𝒖, 0(𝒖) = 𝟎

Teorema 2. Longitud de un múltiplo escalar

Para todo vector v y todo escalar 𝑐 se cumple que ||𝑐𝒗|| = |𝑐| ||𝒗|| |𝑐| es el valor absoluto de c.

Teorema 3. Vector unitario en la dirección de v.

Si v es un vector no nulo en el plano, el vector tiene longitud 1 y la misma dirección que v. 𝐮=

𝐯 ||𝐯||

=

1 ||𝐯||

Tiene longitud 1 y la misma dirección que v.

𝐯

I El vector u del teorema 3, se dice que es un vector unitario en la dirección. El proceso de multiplicar v por 1⁄||𝒗|| para obtener un vector unitario se llama normalización de v.

Vectores unitarios canónicos

Los vectores unitarios 〈1, 0〉 y 〈0, 1〉 se llaman vectores unitarios canónicos del plano y se denotan por

𝒊 = 〈1, 0〉 y 𝒋〈0, 1〉 vectores unitarios canónicos En términos de estos vectores que se muestran en la figura 1.2.4, se puede expresar cualquier vector del plano como: 𝒗 = 〈𝑣1, 𝑣2〉 = 〈𝑣1, 0〉 + 〈0 + 𝑣2〉 = 𝑣1〈1, 0〉 + 𝑣2〈0,1〉 = 𝑣1𝒊 + 𝑣2𝒋

Figura 1.2.4 Vectores unitarios canónicos i, j

El vector 𝒗 = 𝑣1𝒊 + 𝑣2𝒋 se llama una combinación lineal de i y j. Los escalares 𝑣1 y 𝑣2 se llaman, respectivamente componente horizontal y componente vertical de v.

I Si u es un vector unitario y 𝜃 el ángulo, en sentido antihorario, desde el semieje 𝑥 positivo hasta u, el punto final de u está en el círculo unidad (figura 1.2.5) y se tiene

Figura 1.2.5. El ángulo 𝜃 desde el semieje x positivo hasta el vector u. 𝒖 = 〈cos 𝜃, sin 𝜃〉 = cos 𝜃 𝒊 + sin 𝜃 𝒋 vector unitario Además, cualquier otro vector no nulo v que forme el semieje x positivo un ángulo 𝜃 tiene la misma dirección que u, de manera que 𝒗 = ||𝒗||〈cos 𝜃, sin 𝜃〉 = ||𝒗|| cos 𝜃 𝒊 + ||𝒗|| sin 𝜃 𝒋

UNIDAD I

1.3

Producto escalar y vectorial Ejemplo 1. Cálculo de productos escalares

Dados 𝐮 = 2, −2 , 𝐯 = 5,8 , 𝐰 = −4,3 , calcular

a) 𝐮 ∗ 𝐯

b)

𝐮∗𝐯 𝐰

c) 𝐮 ∗ (2𝐯)

d)

𝒘

𝟐

Solución

a) 𝐮 ∗ 𝐯 = 2, −2 ∗ 5,8 = 2 5 + −2 8 = −6

b) 𝒖 ∗ 𝒗 𝒘 = −6 −4,3 = 24, −18

c) 𝒖 ∗ (2𝒗)) = 2(𝒖 ∗ 𝒗) = 2(−6) = −12

d) 𝒘

𝟐

= 𝒘 ∗ 𝒘 = −4,3 ∗ −4,3 = −4 −4 + 3 3 = 25

Ejemplo 2. Utilización del producto vectorial

Hallar un vector unitario ortogonal a

𝒖 = 𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝒌

𝑦

𝒗 = 2𝒊 + 3𝒋

Solución: El producto vectorial 𝒖 x 𝐯, es ortogonal.

𝒊 𝒋 𝒖 x 𝒗 = 1 −4 2 3

𝒌 1 = −3𝒊 + 2𝒋 + 11𝒌 0

Como 𝒖 x 𝒗 =

(−3)2 +(2)2 +(11)2 = 134, un vector unitario ortogonal a u y v es

𝐮x𝐯 𝒖x𝐯

=−

3 134

𝒊+

2 134

𝒋+

11 134

𝒌

Ejemplo 3. Cálculo de un volumen mediante producto mixto

Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a 𝒖 = 3𝒊 − 5𝒋 + 𝒌, 𝒗 = 2𝒋 − 2𝒌 y 𝒘 = 3𝒊 + 𝒋 + 𝒌, como aristas adyacentes, como se observa en la figura.

Solución: Del teorema.

Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a 𝒖 = 3𝒊 − 5𝒋 + 𝒌, 𝒗 = 2𝒋 − 2𝒌 y 𝒘 = 3𝒊 + 𝒋 + 𝒌,

como aristas adyacentes, como se observa en la figura.

Solución: El producto vectorial 𝒖 x 𝐯, es ortogonal.

𝑽= 𝐮∗ 𝐯x𝐰 3 −5 1 0 −2 0 2 2 −2 = 0 2 −2 = 3 − −5 + 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 = 3 34 + 5 6 = 1 −6 = 36

I 1.3. Producto escalar y vectorial Hasta ahora hemos estudiado dos operaciones con vectores, la suma y la multiplicación por un escalar, que producen como resultado un vector. En esta sección introducimos una tercera operación, el producto escalar, cuyo resultado no es un vector, si no un escalar, es decir un número.

Definición del producto escalar El producto escalar de 𝒖 = 〈𝑢1, 𝑢2〉 y 𝒗 = 〈𝑣1, 𝑣2〉 es 𝒖 ∗ 𝒗 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 El producto escalar de 𝒖 = 〈𝑢1, 𝑢2, 𝑢3〉 y 𝒗 = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉 es 𝒖 ∗ 𝒗 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio, y c un escalar. 1. 𝐮 ∗ 𝐯 = 𝐯 ∗ 𝐮 Propiedad conmutativa 2. 𝐮 ∗ (𝐯 + 𝐰) = 𝐮 ∗ 𝐯 + 𝐮 ∗ 𝐰 Propiedad distributiva 3. 𝑐(𝐮 ∗ 𝐯) = c𝐮 ∗ 𝐯 = 𝐮 ∗ c𝐯 4. 𝟎 ∗ 𝐯 = 0 5. 𝐯 ∗ 𝐯 = ||𝐯||

𝟐

Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores es el ángulo 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 entre sus respectivos vectores en posición canónica (figura 1.3.1). El próximo teorema enseña cómo calcularlo mediante el producto escalar. Téngase en cuenta que no está definido el ángulo entre el vector cero y otro vector.

I

Figura 1.3.1 Ángulo entre dos vectores Teorema 1. Ángulo entre dos vectores El ángulo 𝜃 entre los vectores u y v, ambos no nulos, viene dado por: cos 𝜃 =

𝐮∗𝐯 ||𝐮|| ||𝐯||

Si se conoce el ángulo entre dos vectores, reescribiendo el teorema 1 como 𝐮 ∗ 𝐯 = ||𝐮|| ||𝐯|| cos 𝜃

Forma alternativa del producto escalar

Se dispone de un nuevo método para calcular el producto escalar, es fácil darse cuenta de que, al ser ||𝐮|| y ||𝐯|| siempre positivos, 𝐮 ∗ 𝐯 y cos 𝜃 tendrán siempre el mismo signo. La figura 1.3.2 muestra las posibles orientaciones de dos vectores.

Figura 1.3.2

I Definición de vectores ortogonales Los vectores u y v son ortogonales si 𝐮 ∗ 𝐯 = 0 De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que 𝟎 ∗ 𝐮 = 0. Además, para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, vemos que cos 𝜃 = 0 si y sólo si 𝜃 = 𝜋⁄2. Por tanto, el teorema 1 nos lleva a la conclusión de que dos vectores no nulos son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es 𝜋⁄2. Cosenos directores Para un vector en el plano hemos visto que es conveniente medir la dirección en términos del ángulo, medido en sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, desde el semieje x positivo hasta el vector. En el espacio es conveniente medirla en términos de los ángulos entre el vector v (no nulo) y los tres vectores unitarios i, j, y k, como muestra la figura 1.3.3. Los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾, son los ángulos de dirección (o ángulos directores) de v, y cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾, son cosenos directores de v. De 𝐯 ∗ 𝐢 = ||𝐯|| ||𝐢|| cos 𝛼 = ||𝐯|| cos 𝛼 Y 𝐯 ∗ 𝐢 = 〈𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 〉 ∗ 〈1,0,0〉 = 𝑣1 Se sigue que cos 𝛼 =

𝑣1 ⁄||𝐯||. Por un argumento similar con los vectores j y k se

obtiene cos 𝛼 =

cos 𝛽 =

cos 𝛾 =

𝑣1 ||𝐯|| 𝑣2 ||𝐯|| 𝑣3 ||𝐯||

𝛼 es el ángulo entre 𝐯 e 𝐢

𝛽 es el ángulo entre 𝐯 y 𝐣

𝛾 es el ángulo entre 𝐯 y 𝐤

Por consiguiente, cualquier vector v nulo en el espacio, tiene la forma normalizada

I 𝐯 ||𝐯||

=

𝑣1 ||𝐯||

𝐢+

𝑣2 ||𝐯||

𝐣+

𝑣3 ||𝐯||

𝐤 = cos 𝛼𝒊 + cos 𝛽𝒋 + cos 𝛾𝐤

Y como 𝐯⁄ es un vector unitario, resulta ||𝐯|| cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos 2 𝛾 = 1 Proyecciones y vectores componentes Ya hemos tenido la ocasión de sumar vectores para producir un nuevo vector. Muchas aplicaciones a la Física o a la ingeniería plantean el problema inverso: descomponer un vector como suma de vectores componentes. Consideremos la lancha sobre una rampa inclinada de la Figura 1.3.3. La fuerza de gravedad F empuja la lancha hacia abajo y contra la rampa. Estas dos fueras, 𝑤1 𝑦 𝑤2 , son ortogonales y se llaman los vectores componentes de F. 𝐅 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐

vectores componentes de 𝐅

Las fueras 𝑤1 𝑦 𝑤2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejemplo, 𝑤1 indica la fuerza necesaria para evitar que la lancha descienda por la rampa y 𝑤2 lo que deben soportar los neumáticos.

Figura 1.3.3 La fuerza de la gravedad empuja la lancha Definición de proyección y de los vectores componentes Sean u y v vectores no nulos. Sea, además 𝐮 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 , donde 𝒘𝟏 es paralelo a v y 𝒘𝟐 es ortogonal a v (Figura 1.3.4).

I 1. 𝒘𝟏 se llama la proyección de u sobre v o el vector componente de u en la dirección de v, y se denota por 𝒘𝟏 = proyv 𝐮 2. 𝒘𝟐 = 𝐮 − 𝒘𝟏 se llama el vector componente de u ortogonal a v.

Figura 1.3.4. Teorema 2. La proyección mediante producto escalar Si u y v son vectores no nulos, la proyección de u sobre v viene dada por 𝐮∗𝐯 proy𝐯 𝐮 = ( 2) 𝐯 ||𝐯|| La proyección de u sobre v se puede escribir como un múltiplo escalar de un vector unitario en la dirección de v: 𝐮∗𝐯 𝐮∗𝐯 𝐯 𝐯 𝐮∗𝐯 ( = (𝑘) ⟹ 𝑘= = ||𝐮|| cos 𝜃 ) 2) 𝐯 = ( ||𝐯|| ||𝐯|| ||𝐯|| ||𝐯|| ||𝐯|| El número k se llama la componente de u en la dirección de v. Los vectores u y v son ortogonales si 𝐮 ∗ 𝐯 = 0

El producto vectorial de dos vectores en el espacio

Sean 𝒖 = 𝑢1𝒊 + 𝑢𝟐𝒋 + 𝑢3𝒌 y 𝒗 = 𝑣1𝒊 + 𝑣𝟐𝒋 + 𝑣3𝒌 vectores en el espacio. El producto vectorial de u y v es el vector 𝒖 x 𝒗 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2)𝒊 − (𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1)𝒋 + (𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1)𝒌

I Una manera conveniente de calcular u x v consiste en usar determinantes, como se puede observar en la figura 1.3.5

Figura 1.3.5 Teorema 1. Propiedades algebraicas del producto vectorial Sean u, v, w vectores en el espacio, y c un escalar 1. 𝒖 x 𝒗 = −(𝒗 x 𝒖) 2. 𝒖 x (𝒗 + 𝒘) = (𝒗 x 𝒖) + 𝒖 x 𝒘 3. 𝑐(𝒖 x 𝒗) = (𝑐𝒖) x 𝒗 = 𝒖 x c(𝒗) 4. 𝒖 x 𝟎 = 𝟎 x 𝒖 = 𝟎 5. 𝒖 x 𝒖 = 𝟎 6. 𝒖 ∗ (𝒗 x 𝒘) = (𝒖 x 𝒗) ∗ 𝒘 La propiedad 1 del teorema 1 nos indica que el producto vectorial no es conmutativo. En particular, esta propiedad indica que los vectores 𝒖 x 𝒗 y 𝒗 x 𝒖 tiene igual longitud, pero direcciones opuestas. El próximo teorema recoge otras propiedades geométricas del producto vectorial.

I Teorema 2. Propiedades geométricas del producto vectorial Sean u, v dos vectores no nulos en el espacio, y sean 𝜃 el ángulo entre u y v 1. 𝒖 x 𝒗 es ortogonal a ambos, u y v. 2. ||𝒖 x 𝒗|| = ||𝒖||||𝒗|| sin 𝜃. 3. 𝒖 x 𝒗 = 𝟎 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro. 4. ||𝒖 x 𝒗|| = área del paralelogramo que tiene a u y a v como lados adyacentes.

El producto mixto (o producto escalar triple) Dado tres vectores u, v, w en el espacio, el producto escalar u y v x w 𝒖 ∗ (𝒗 x 𝒘) Se llama el producto mixto (o producto escalar triple) de u, v, w. Teorema 3. Producto mixto El producto mixto de 𝒖 = 𝑢1𝒊 + 𝑢2𝒋 + 𝑢3𝒌, 𝒗 = 𝑣1𝒊 + 𝑣2𝒋 + 𝑣3𝒌 y 𝒘 = 𝑤1𝒊 + 𝑤2𝒋 + 𝑤3𝒌 viene dado por 𝑢1 𝐮 ∗ (𝐯 x 𝐰) = | 𝑣1 𝑤1

𝑢2 𝑣2 𝑤2

𝑢3 𝑣3 | 𝑤3

Teorema 4. Interpretación geométrica del producto mixto El volumen de un paralelepípedo con lados adyacentes u, v y w, viene dado por 𝑉 = |𝐮 ∗ (𝐯 x 𝐰)|

UNIDAD I

1.4

Ecuación de la recta Ejemplo 1. Ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta Hallar ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas parala recta L que pasas por el punto (1, −2,4) paralela a 𝐯 = 2,4, −4 .

Solución: Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas una recta usamos las coordenadas 𝑥1 = 1, 𝑦1 = −2, 𝑧1 = 4 y los números de dirección 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 y 𝑐 = −4

Ecuaciones paramétricas 𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = −2 + 4𝑡, 𝑧 = 4 − 4𝑡 Como 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son todos no nulos, un conjunto de ecuaciones simétricas es: 𝑥−1 𝑦+2 𝑧−4 = = 2 4 −4

Ni las ecuaciones paramétricas ni las simétricas de una recta son únicas. En este ejemplo, tomando 𝑡 = 1 en las ecuaciones paramétricas se obtendría el punto (3, 2, 0). Usando este punto y los números de dirección 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑐 = −4 se llega a unas ecuaciones paramétricas diferentes: 𝑥 = 3 + 2𝑡, 𝑦 = 2 + 4𝑡, 𝑧 = −4𝑡

Ejemplo 2. Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dos puntos Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (−2,1,0) y (1,3,5).

Solución: Con los puntos 𝑃(−2,1,0) y 𝑄(1,3,5) construimos un vector director de la recta, a saber

𝐯 = 𝑃𝑄 = 1 − −2 , 3 − 1,5 − 0 = 3,2,5 = 𝑎, 𝑏, 𝑐

Usando los números de dirección 𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = 5 y el punto 𝑃 −2,1,0 , obtenemos las

ecuaciones paramétricas. 𝑥 = −2 + 3𝑡,

𝑦 = 1 + 2𝑡,

𝑧 = 5𝑡

I 1.4. Ecuación de la recta Rectas en el espacio En el plano, se usaba la pendiente para expresar la ecuación de la recta. En el espacio es más conveniente utilizar vectores para ello. En la figura 1.4.1 consideremos que la recta 𝐿 que pasa por el punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y es paralela al vector 𝑣 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉. El vector v es el vector de dirección (o vector director) de la recta 𝐿 y 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números de dirección (o números directores).

Figura 1.4.1. La recta L y su director v ⃑⃑⃑⃑⃑ es La recta 𝐿 contiene precisamente los puntos 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) par los que el vector 𝑃𝑄 paralelo a v. Eso significa que ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 es un múltiplo escalar de v, de modo que ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 = 𝑡𝐯, donde 𝑡 es un escalar. ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 = 〈𝑥 − 𝑥1 , 𝑦 − 𝑦1 , 𝑧 − 𝑧1 〉 = 〈𝑎𝑡, 𝑏𝑡, 𝑐𝑡〉 = 𝑡𝐯 Igualando las componentes correspondientes, se obtiene las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

I Teorema 1. Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio Una recta L paralela al vector 𝐯 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 y que pasa por el punto 𝑃〈𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 〉 queda caracterizada por las ecuaciones paramétricas. 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡,

𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡

y

𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡

Si los números directores, 𝑎, 𝑏, 𝑐 son todos distintos de cero, se puede eliminar el parámetro 𝑡, con lo que se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta: 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 = = 𝑎 𝑏 𝑐

Ecuaciones simétricas

UNIDAD I

1.5

Ecuación del plano

Ejemplo: Ecuación de un plano en el espacio Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2,1,1), (0,4,1) y (−2, 1, 4) Solución: Para aplicar el teorema 2 necesitamos un punto del plano y un vector normal al plano. Hay tres opciones para elegir el punto, pero el vector normal no nos ha sido dado. Con el fin de construir

un vector normal, recurrimos al producto vectorial de los vectores que van del punto (2, 1, 1) a los puntos (0, 4, 1) y (−2, 1, 4).

Las expresiones de u y v en componentes son: u = 〈0 − 2, 4 − 1, 1 − 1〉 = 〈−2, 3, 0〉

v = 〈−2 − 2, 1 − 1, 4 − 1〉 = 〈−4, 0, 3〉 Así que

𝐧=𝐮x𝐯 𝐢 𝐣 𝐤 = −2 3 0 = 9𝐢 + 6𝐣 + 12𝐤 −4 0 3 = 𝑎, 𝑏, 𝑐

Es normal al plano dado. Usando los números de dirección de n y el punto (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) = (2, 1, 1), llegamos a la ecuación del plano

𝑎 𝑥 − 𝑥1 + 𝑏 𝑦 − 𝑦1 + 𝑐 𝑧 − 𝑧1 = 0 9 𝑥 − 2 + 6 𝑦 − 1 + 12 𝑧 − 1 = 0

Forma canónica

9𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 − 36 = 0 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 12 = 0

Forma general

Ejemplo 2: Recta intersección de dos planos

Hallar el ángulo entre los planos

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 Ecuación del plano 1 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0

Ecuación del plano 2

Y ecuaciones paramétricas de su recta intersección

Solución: Los vectores normales a los planos son 𝐧1 = 1, −2,1 y 𝐧2 = 2,3, −2 . Por consiguiente , el ángulo entre los planos viene dado por:

cos 𝜃 =

𝐧1 ∗ 𝐧2

𝐧1

∗

Coseno del ángulo entre𝐧1 y 𝐧2

n2

−6

cos 𝜃 =

=

≈ 0.59409

6 17 6 102

𝜃 ≈ arccos 0.59409

Esto implica que el ángulo entre los dos plano es de 𝜃 ≈ 53.55° . Podemos encontrar la recta intersección resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales de los planos. Una manera de hacer esto consiste en multiplicar la primera ecuación por −2 y sumar el resultado a la segunda ecuación.

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0

− 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0 7𝑦 − 4𝑧 = 0

𝑦=

4𝑧 7

Sustituyendo 𝑦 = 4𝑧/7 en una de las ecuaciones originales, se ve que 𝑥 = 𝑧/7. Finalmente, haciendo

𝑡 = 𝑧/7, se obtienen las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡,

𝑦 = 4𝑡,

𝑧 = 7𝑡

Recta de intersección

De manera que 1, 4, 7 son números directores para la recta intersección. Hagamos notar que los números directores en el ejemplo se pueden obtener del producto vectorial de los dos vectores normales 𝐢 𝐣 𝐤 −2 1 1 1 1 𝐧1 x 𝐧2 = 1 −2 1 = 𝐢+ 𝐣+ 3 −2 2 2 −2 2 3 −2 = 𝐢 + 4𝐣 + 7𝐤

−2 𝐤 3

Eso quiere decir que la recta intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores

I 1.5. Ecuación del plano Planos en el espacio Hemos visto que una ecuación para una recta en el espacio se puede obtener a partir de un punto y de un vector paralelo a ella. Ahora veremos que una ecuación para un plano en el espacio se puede deducir a partir de un punto y un vector normal es decir perpendicular a él. Consideremos el plano que contiene el punto 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y con un vector normal no nulo 𝐧 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 como se muestra en la figura 1.5, este plano consta de todos los puntos ⃑⃑⃑⃑⃑ es perpendicular a n. 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧), para los que el vector 𝑃𝑄

⃑⃑⃑⃑⃑ plano. Figura 1.5. El vector normal n es ortogonal a todos los vectores del 𝑃𝑄 Usando el producto escalar, podemos escribir: 𝐧 ∗ ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 = 0 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ∗ 〈𝑥 − 𝑥1 , 𝑦 − 𝑦1 , 𝑧 − 𝑧1 〉 = 0 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 La tercera ecuación del plano se dice que está en forma canónica.

I Teorema 2. Ecuación de un plano en el espacio. El plano que contiene el punto (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y tiene un vector normal 𝐧 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 puede representarse en forma canónica por la ecuación. 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 Reagrupando términos, se obtiene la formula general de la ecuación de un plano en el espacio: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Ecuación general de un plano en el espacio

Dada la ecuación general de un plano es fácil hallar un vector normal a él. Basta usar los coeficientes de 𝑥, 𝑦, 𝑧 y escribir 𝐧 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉. Dos planos distintos en el espacio o son paralelos o se cortan en una recta. Si se cortan, el ángulo entre ellos lo da el ángulo que forman sus vectores normales. Figura 1.5.1.

Figura 1.5.1 El ángulo 𝜃 entres dos planos Así pues, si los vectores 𝐧1 y 𝐧2 son normales a dos planos que se cortan, el ángulo 𝜃 entre los vectores normales es igual al ángulo entre los dos planos y viene dado por cos 𝜃 =

|𝐧𝟏 ∗ 𝐧𝟐 | ||𝐧1 || ||𝐧2 ||

Ángulo entre dos planos

En consecuencia, dos planos con vectores normales 𝐧1 y 𝐧2 son 1. Perpendiculares sí 𝐧𝟏 ∗ 𝐧𝟐 = 0 2. Paralelos sí 𝐧𝟏 es un múltiplo escalar de 𝐧𝟐

I Trazado de planos en el espacio Si un plano corta a uno de los planos coordenados, la recta de intersección se llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes de coordenadas y sus trazas en los planos de coordenadas. A título de ejemplo, consideremos el plano 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 12

Ecuación del plano

Haciendo 𝑧 = 0 hallamos su traza en el plano 𝑥𝑦, que resulta ser 3𝑥 + 2𝑦 = 12

Traza xy

Esta recta corta al eje 𝑥 en (4,0,0) y al eje 𝑦 en (0,6,0). En la figura 1.5.2, continuamos este proceso hallando las trazas 𝑦𝑧 y 𝑥𝑧, y sombreando la región triangular del primer octante.

Figura 1.5.2. Trazas del plano 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 12 Si en la ecuación de un plano está ausente alguna de las variables, como en 2𝑥 + 𝑧 = 1, el plano es paralelo al eje de la variable ausente, en la Figura 1.5.3.

I Si faltan dos variables en la ecuación de un plano, éste es paralelo al plano coordenado de las dos variables ausentes 1.5.4

Distancias entre puntos, rectas y planos 1. Calcular la distancia de un punto a un plano 2. Calcular la distancia de un punto a una recta Sus soluciones ilustran la versatilidad y la utilidad de los vectores en geometría analítica: el primer problema se resuelve mediante el producto escalar y el segundo mediante el producto vectorial. La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento más corto que une Q con el plano como se observa en la siguiente figura.

I Si P es un punto arbitrario del plano, podemos hallar esa distancia proyectando el vector ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 sobre el vector normal n. La longitud de esta proyección es la distancia buscada. Teorema 3. Distancia de un punto a un plano La distancia a un plano de un punto Q (no perteneciente al plano) es 𝐷 = ||proyn ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃𝑄 || =

⃑⃑⃑⃑⃑ ∗ 𝐧| |𝑃𝑄 ||𝐧||

Donde P es un punto cualquiera del plano y n es normal al plano. Para determinar un punto en el plano de ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (𝑎 ≠ 0), hacemos 𝑦 = 0 y 𝑧 = 0. De la ecuación resultante, 𝑎𝑥 + 𝑑 = 0, concluimos que (𝑑/𝑎, 0,0), está en ese plano. La fórmula de la distancia de un punto a una recta en el espacio recuerda la de la distancia de un punto a un plano, salvo que el producto escalar queda reemplazado por el producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección de la recta. Teorema 4. Distancia de un punto a una recta en el espacio. La distancia de un punto Q a una recta en el espacio viene dada por

𝐷=

⃑⃑⃑⃑⃑ x 𝐮|| ||𝑃𝑄 ||𝐧||

Donde u es un vector de dirección de la recta y P un punto de la recta.