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Vectores en el espacio

1 T eoría 1. Vectores en el espacio 2. Operaciones con vectores 3. Dependencia e independencia lineal. Base 4. Producto escalar 5. Producto vectorial 6. Producto mixto

Otros bloques del tema: 2 Ejercicios de vectores en el espacio 2.1 Ejercicios de vectores 2.2 Ejercicios del producto escalar y vectorial 2.3 Ejercicios del producto vectorial y mixto

1.- Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

2.- Operaciones con vectores Ve ctor en el espacio Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio Si las coordenadas de A y B son: A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) Las coordenadas o componentes del vector

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. C álculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo: Dados los vectores

y

, hallar los módulos de

y

·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Ve ctor unitario Un vector unitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

S uma de ve ctor e s Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos

1. Dados

= (2, 1, 3),

= (1, −1, 0),

= (1, 2, 3), hallar el vector

= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

= 2u + 3v − w.

misma

2. Dados los vectores

y

, hallar el módulo del vector

.

Propiedades de la suma de vectores

1. Asociativa +(

+

)=(

+

)+

2. Conmutativa +

=

+

3. Elemento neutro +

=

4.Elemento opuesto + (−

)=

Producto de un número real por un vector El producto de un número real k De igual dirección que el vector

por un vector

es otro vector:

.

Del mismo sentido que el vector

si k es positivo.

De sentido contrario del vector

si k es negativo.

De módulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

P ropiedades del producto de un número por un vector

1. Asociativa k · (k' ·

) = (k · k') ·

2. Distributiva respecto a la suma de vectores k·(

+

)=k·

+k·

3. Distributiva respecto a los escalares (k + k') ·

=k·

+ k' ·

4. Elemento neutro 1·

=

Ejemplo: Dado

= (6, 2, 0) determinar

de modo que sea 3

=

.

3.- Dependencia e independencia lineal. Base Combi naci ón l i ne al Una

combinación

lineal

de

dos

o

más

vectores

es

el

vector

que

se

al sumar esos vectores multiplicados por sendosescalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

obtiene

Ve ctores linealmente dependientes Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades 1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3. Dos vectores libres del plano componentes son proporcionales.

= (u1 , u2 ) y

= (v1 , v2 ) son linealmente dependientes si sus

Ejemplo: Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores ,

y

. escribir

como combinación lineal de

y

, siendo k el valor

calculado. Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0 Los vectores linealmente son proporcionales.

independientes

tienen distinta

dirección y sus componentes

no

Ejemplo: Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores: = (2, 3, 1),

= (1, 0, 1),

= (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado. El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner comocombinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí. Base ortonormal Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

Esta base formada por los vectores

,

y

se denomina base canónica.

Ejemplo: ¿Para qué valores de a los vectores

,

y

forman unabase?

Para a ≠ 1, los vectores forman una base.

4.- Producto escalar El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo: Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). (1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5 Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo: Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas

= (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo: Determinar el ángulo que forman los vectores

= (1, 2, −3) y

= (−2, 4, 1).

Ve ctores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Ejemplo: Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Distributiva

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Interpretación geométrica del producto escalar El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección del vector

sobre v, que lo denotamos como:

Ejercicio: Dados los vectores 1 Los módulos de

y y

2 El producto escalar de

·

y

·

hallar:

.

3 El ángulo que forman.

4 La proyección del vector

sobre

.

5 La proyección del vector

sobre

.

6 El valor de m para que los vectores

y

sean ortogonales.

Cosenos directores En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector que forma el vector

con los vectores de la base.

= (x, y, z), a los cosenos de los ángulos

5.- Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyadirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante undeterminante :

Ejemplos: Calcular el producto vectorial de los vectores

Dados los vectores

= (1, 2, 3) y

y

Comprobar que el vector hallado es ortogonal a

= (−1, 1, 2).

, hallar el producto vectorial de dichos vectores. y

.

El producto vectorial de

es ortogonal a los vectores

y

.

Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores vectores

y

y

, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los

·

Área de un triángulo La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

Ejemplo Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Propiedades del producto vectorial 1. Anticonmutativa =−

x

x

2. Homogénea λ(

x

) = (λ

)x

=

x (λ )

3. Distributiva x(

+

)=

x

+

x

·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo. x 5. El producto vectorial

= x

es perpendicular a

ya

.

6.- Producto mixto El producto mixto de los vectores

,

y

es igual al producto escalar del primer vector por el

producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por [ ,

,

].

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos: Calcular el producto mixto de los vectores:

Volumen del paralelepípedo El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice. Ejemplo Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Volumen de un tetraedro El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

P ropiedades del producto mixto

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0. Página en internet http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.html

Puntos, rectas y planos

1 Teoría 1. Ecuaciones recta 2. Ecuaciones del plano 3. Puntos en el espacio 2 Ejercicios de la ecuación de la recta y del plano 2.1 Ejercicios de puntos 2.2 Problemas de rectas 2.3 Problemas del plano

1. Ecuaciones recta Ecuación vectorial de la recta Sea P(x1 , y1 ) es un punto de la recta r y es igual a

su vector director, el vector

multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

tiene igual dirección que

, luego

Ecuaciones implícitas de la recta Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas. Ejemplos 1

Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A =

(1, 2, 1) y cuyo vector director es

2

.

Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1,

0, 1) y B(0, 1, 1).

3

Sea r la recta de ecuación:

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

4

Dada la recta r:

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

2. Ecuaciones del plano Ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectorescon distinta dirección. Para que el punto P pertenezca al plano π el vector

tiene que ser coplanario con

Ecuaciones paramétricas del plano Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

y

.

Ecuación general o implícita del plano Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal El vector

es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x0 , y0 , z0 ) es un punto del plano, el vector , y por tanto el producto escalar es cero.

es perpendicular al vector

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal. Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Ejercicios 1

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como

vectores directores a

2

.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4)

y contiene al vector

3

y

.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1)

y C(4, −3, 2).

4

Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

5

Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

6

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

, será el vector director

7

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector

.

3. Puntos en el espacio Coordenadas del punto medio de un segmento Sean A (x1 , y1 , z1 ) y B (x2 , y2 , z2 ) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:

Ejemplo Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

Coordenadas del baricentro de un triángulo Sean A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 ) y C (x3 , y3 , z3 ) los vértices de un triángulo, las coordenadas del baricentro son:

Ejemplo Sean A = (1, −1, 3), B = (3, 2, -2) y C = (−1, 4, 1) los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro.

Puntos alineados Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1. Ejemplo Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) estánalineados.

Los puntos no están alineados. Puntos coplanarios Dos

o

más

vectores

son

coplanarios

si

son

linealmente

dependientes,

y

por

sus componentes son proporcionales y su rango es2. Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

tanto

Ejemplo Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) soncoplanarios. Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

Posiciones relativas

1 Teoría 1. Posiciones relativas de dos rectas 2. Posiciones relativas de un plano y una recta 3. Posiciones relativas de dos planos 4. Posiciones relativas de tres planos 5. Haz de planos 2 Ejercicios de posiciones relativas 2.1 Problemas de posiciones relativas I 2.2 Problemas de posiciones relativas II

1. Posiciones relativas de dos rectas Re ctas de fi ni das por sus e cuaci one s i mpl i ci tas

Si: r = rango de la matriz de los coeficientes. r'= rango de la matriz ampliada. Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición

r

r'

Cruzadas

3

4

Secantes

3

3

Paralelos

2

3

Coincidentes

2

2

Re ctas definidas por un punto y un vector Si

la

recta

r

por de

Si

viene

determinada

y .

hay dos posibilidades:

por

y

y

la

recta

s

, la posición relativa de r y s viene dada por la posición

1. Rectas coincidentes si

.

2. Rectas paralelas si

Si

.

hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes si

.

4. Rectas que se cruzan si

.

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas r y s.

1

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos

Las dos rectas se cruzan.

2

Las dos rectas son secantes.

2. Posiciones relativas de un plano y una recta Caso 1: L a r e cta vi e ne de fi ni da por dos pl anos se cante s Sea la recta:

Y el plano

.

Para estudiar la posición relativa de la recta y el planodiscutimos el sistema:

Si: r = rango de la matriz de los coeficientes. r'= rango de la matriz ampliada. Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

Posición

r

r'

Recta contenida en el plano

2

2

Recta y plano paralelos

2

3

Recta y plano secantes

3

3

Caso 2: La recta viene definida por un punto y un vector Sea una recta definida por el punto A y el vector relativas de la recta y el plano son:

Posición

. y un plano cuyo rector normal es

A

Recta contenida en el plano

=0

π

Recta y plano paralelos

=0

π

Recta y plano secantes

≠0

Recta contenida en el plano

Recta y plano paralelos

. Las posiciones

Recta y plano secantes Ejemplos

Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos

La recta y el plano se cortan en un punto.

2.

La recta está contenida en el plano.

3. Posiciones relativas de dos planos Dados los planos:

Y sean: r = rango de la matriz de los coeficientes. r'= rango de la matriz ampliada. Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posición

Secantes

r

r'

2

2

Paralelos

1

2

Coincidentes

1

1

Ejemplos 1

Estudiar la posición de los siguientes planos:

Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes , es decir, se cortan en la recta:

2

Estudiar la posición de los siguientes planos:

Los dos planos son paralelos. 3

Estudiar la posición de los siguientes planos:

Los dos planos son coincidentes.

4. Posiciones relativas de tres planos Dados los planos:

Y sean: r = rango de la matriz de los coeficientes. r'= rango de la matriz ampliada. Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

r

r'

Posición

3

3

1. Planos secantes en un punto

2.1 Planos secantes dos a dos.

2

3

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.

3.1 Planos secantes y distintos.

2

2

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.

1

2

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.

1

1

C aso 1: Planos secantes en un punto

r=3, r'=3

5. Planos coincidentes.

C aso 2.1: Planos secantes dos a dos

r = 2, r' = 3 Los tres planos forman una superficie prismática.

C aso 2.2: Dos planos paralelos y el tercero secante

r = 2, r' = 3 Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

C aso 3.1: Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2

C aso 3.2: Dos planos coincidentes y uno secante

r = 2, r' = 2 Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

C aso 4.1: Planos paralelos y distintos dos a dos

r = 1, r' = 2

C aso 4.2: Planos paralelos y dos coincidentes

r = 1, r' = 2 Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

C aso 5: Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

Ejemplos

Hallar la posición relativa de los planos:

1

Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática.

2

Los tres planos se cortan en un punto.

3

El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos , por tanto los tres planos se cortan en una recta.

4

El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.

5. Haz de planos Dos planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son proporcionales; pero no lo son sus términos independientes. Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuación de la forma:

Ejemplo Hallar el plano que pasa por el punto (3, −1, 2) y es paralelo a

.

Haz de planos de eje r

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

Si dividimos por λ y hacemos

, la ecuación del haz resulta:

Ejemplo Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, −3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta:

Problemas métricos 1Teoría 1Ángulo entre rectas y planos 2Distancia entre rectas y planos 3Áreas y volúmenes Otros bloques del tema: 2 Ejercicios: 2.1Problemas métricos

1.- Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores sonortogonales.

Ejemplos: Hallar el ángulo que forman las rectas: 1

2

3

Ángulo entre dos planos El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.

Dos planos son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.

Ejemplo: Hallar el ángulo que forman los planos:

Ángulo entre recta y plano El ángulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y elvector normal del plano.

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la rectay el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Ejemplos: 1 Determinar el ángulo que forman la recta

y el plano

.

2 Hallar el ángulo que forman la recta

3 Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes:

y el plano

.

2.- Distancia entre rectas y planos D istancia

entre un punto y una recta

La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Ejemplos:

1 Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta

.

2 Hallar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta

.

Distancia entre rectas paralelas La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas que se cruzan La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común.

Sean

y

las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Los vectores

determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

El volumen de un paralelepípedo es

.

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

Ejemplo: Hallar la mínima distancia entre las rectas:

Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

Ejemplo: 1 Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos

y

.

2 Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano .

Distancia entre planos paralelos Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. También se puede calcular de esta otra forma:

Ejemplo: Calcular la distancia entre los planos

y

.

Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

3.- Áreas y volúmenes Área de un triángulo

Ejemplo: Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores vectores

y

·

y

, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los

Volumen de un tetraedro El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo: Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Volumen del paralelepípedo Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice. Ejemplo: Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Distancia entre planos paralelos Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. También se puede calcular de esta otra forma:

Ejemplo: Calcular la distancia entre los planos

y

.

Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

TEMA 7. PROBLEMAS MÉTRICOS. Direcciones de rectas y planos. Medidas de ángulos entre rectas y planos. Distancia entre puntos, rectas y planos. Medidas de áreas y volúmenes. Lugares geométricos en el espacio. 7.1. DIRECCIONES DE RECTAS Y PLANOS. Los problemas “afines” tratan de incidencias (comprobar si un punto está contenido en una recta o en un plano y comprobar si una recta está contenida en un plano). La perpendicular es un problema “métrico”. En el tema anterior utilizamos el vector normal a un plano, o los productos escalares y vectoriales para hallar vectores perpendiculares a otros (utilizamos procedimientos métricos para resolver problemas afines). Repasemos estos procedimientos. Dirección de una recta dada en paramétricas o continua.

Si la recta viene dada mediante ecuaciones paramétricas (son los coeficientes de t:

).

Si la recta viene dada en forma continua

su vector director es evidente (son los

denominadores de las fracciones:

Por ejemplo: en las rectas rectas es

el vector director es evidente

).

y

el vector director de ambas

.

Dirección de un plano dado en forma implícita. La dirección de un plano está determinada por un vector normal (perpendicular) a él. Si el plano viene dado por su ecuación implícita π : ax+by+cz+d=0, el vector cuyas coordenadas son los coeficientes de x, y, z,

, es un vector normal al plano π.

Para hallar la ecuación de un plano π del que conocemos un punto P(x0,y0,z 0) y un vector normal

, procedemos así: π : a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z 0)=0. Por ejemplo, el plano que pasa por el

punto P(5,-2,3) y es perpendicular al vector 3)=0→ 7x+y-4z-21=0.

tiene de ecuación: π : 7(x-5)+1(y-(-2))+(-4)(z-

Plano paralelo a dos rectas. Si el plano π es paralelo a las rectas r y r', cuyos vectores directores son a π es

, entonces un vector normal

.

Por ejemplo: el plano π que pasa por P(3,-7,4) y es paralelo a las rectas

y

se obtiene siguiendo el procedimientosiguiente: vector normal a π es

, por tanto, la ecuación de π es 1(x-3)-11(y+7)-8(z-4)=0 → x-11y8z-48=0. Recta definida por dos planos. Si la ecuación de la recta viene en forma implícita (como intersección de dos planos):

los vectores normales de los dos planos, y

, son perpendiculares a r, por lo que el vector director de r viene dado como el producto

vectorial de los vectores normales de los planos:

.

Por ejemplo: si queremos hallar las ecuaciones paramétricas de la recta los vectores normales de los planos y calculamos su producto

vectorial:

, tomamos

es paralelo a ambos planos y, por tanto, paralelo a la

recta. El punto P(2,0,3) está en los dos planos y, por tanto, también está en la recta. Las ecuaciones

paramétricas de la recta son:

.

Ejercicios propuestos: 1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que: a. Pasa por el punto P(1,0,7) y es perpendicular al plano π : 5x-3z+4=0.

b. Pasa por el punto P(0,-1,-3) y es paralela a 2. Halla la ecuación implícita del plano que:

.

a. Pasa por el punto P(1,-3,5) y es perpendicular a la recta b. Es paralelo a 5x-y+4=0 y pasa por el punto P(1,0,-3).

c. Pasa por P(5,-7,-2) y es perpendicular a

d. Contiene a

.

.

y es paralelo a

7.2. MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. Para el estudio de ángulos entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta ese papel lo cumple su vector director; en el plano, su vector normal.

Para la medida de ángulos utilizaremos la fórmula: forman los vectores

que nos da el coseno del menor ángulo que

.

Ángulo entre dos rectas. El ángulo entre las rectas r y r', cuyos vectores directores son

por

.

, respectivamente, viene dado

Ángulo entre dos planos. El ángulo que forman dos planos π y π' cuyos vectores normales son, respectivamente,

ángulo que forman los vectores normales a ellos:

, es igual al

.

Ángulo entre una recta y un plano. El ángulo entre una recta y un plano π es igual al complementario del ángulo que forma el vector director de la

recta,

, con el vector normal al plano,

:

.

Ejercicios resueltos:

1. Calcula el ángulo que forman las rectas siguientes:

y

. El vector director de r tenemos que calcularlo como el producto vectorial de los vectores normales de los planos que determinan la

recta: . Por

. El vector director de r' es

tanto, con ayuda de la calculadora determinamos el ángulo α = 41º59'35''. 2. Halla el ángulo formado por los planos π: x-2y+4z=0 y π': 2x-y+3=0. Los vectores normales son

y

, por tanto, el ángulo se calcula así:

con ayuda de la calculadora determinamos el ángulo α = 67º1'23''.

3. Calcula el ángulo que forma la recta vector director de r es

con el plano π: 2x-5y+7z=11. El y el vector normal del plano es

, aplicamos la

fórmula:

y obtenemos

de la calculadora determinamos el ángulo 90º-α = 55º, luego α = 90º - 55º = 35º.

con ayuda

Ejercicios propuestos:

1. Halla el ángulo que forman las rectas y 2. Calcula el ángulo que forman los planos: π: x-2y+4z=0 y π': x+3y-z+1=0.

3. Halla el ángulo que forman la recta y el plano π: x+3y-z+1=0. 4. Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(3,0,-1) y es perpendicular al plano π: 2x-3yz=-1.

7.3. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS. Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A(x1,x2,x3) y B(y1,y2,y3) es el módulo del vector de origen A y cuyo extremo es B. Es decir, Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(5,-1,7) y B(4,5,-11) es:

Distancia entre un punto y una recta. Se llama distancia de un punto P a una recta r a la longitud del segmento perpendicular del punto P a la recta, es decir, ladistancia de P a su proyección, P', sobre la recta r. Es decir, la siendo P' la proyección de P sobre r. Veremos dos métodos para hallar la distancia de P a r: 



PRIMER MÉTODO. o Hallamos el plano, π, perpendicular a r que pasa por P. o La intersección de π y r nos da el punto P'. o Ahora calculamos la distancia entre P y P'. SEGUNDO MÉTODO (basado en el producto vectorial). Nos permite calcular directamente la distancia entre P y r sin calcular previamente el punto P'. o

De la recta r conocemos un punto A y su vector director

.

o

Con el punto A, el segmento

y el punto P formamos un paralelogramo cuya área es el módulo

del producto vectorial de los vectores

dividimos por su base, punto de r y

y

,

. Si el área del paralelogramo lo

, obtenemos su altura:

, donde A es un

es su vector director.

Si además de la distancia entre P y r, queremos calcular la recta perpendicular a r que pasa por P, este método no es recomendable, pues con él no se obtiene la recta que nos piden, que debemos calcular por el primer método, calculando P' y después la recta que pasa por P y P'.

Ejercicio resuelto: Calcula la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta a) PRIMER MÉTODO (calculando previamente el punto P').  



Hallamos el plano, π, perpendicular a r que pasa por P. El vector director de r es perpendicular a π, luego -2(x-5)-1(y+1)+1(z-6)=0, operando: -2x-y+z+3=0. La intersección de π y r nos da el punto P'. Sustituimos las “coordenadas” de un punto genérico de r en el plano: -2(1-2t)-(-t)+(5+t)+3=0 → -2+4t+t+5+t+3=0 → 6t+6=0 → t=-1, sustituimos en r: x=1-2(-1)=3; y=-(1)=1; z= 5+(-1)=4, luego el punto P' tiene de coordenadas (3,1,4) Ahora calculamos la distancia entre P y P'.

b) SEGUNDO MÉTODO (a partir del producto vectorial). El punto A(1,0,5) de la recta, el punto P(5,-1,6) dado, luego el vector

y

.

Calculamos

Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto P a un plano π es la distancia entre P y P', siendo P' la proyección de P sobre el plano π. La obtención del punto P' se puede realizar de forma similar al caso anterior:  

Hallamos la recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π. P' es el punto de intersección de π y r.

Otro método: Dado el plano π:ax+by+cz+d=0 y el punto P(x0,y0,z 0) tomamos un punto Q(x1,y1,z 1) del plano π. Calculamos el módulo de

mediante la siguiente igualdad:

=proyección de

sobre

=

=

=

=

pues el punto Q(x1,y1,z 1) está en el plano y, por tanto, cumple su ecuación. Luego la distancia de un punto P a un plano π puede calcularse aplicando la siguiente fórmula:

, siendo P(x0,y0,z 0) y π:ax+by+cz+d=0. Ejercicio resuelto: Calcula la distancia del punto P(3,1,7) y el plano π:x-3y+5z=1.

 

Aplicamos la fórmula anterior: Aplicamos el procedimiento “largo”: o recta r perpendicular a π:x-3y+5z=1 y que pasa por P: r(3+t,1-3t,7+5t) o P' es el punto de intersección de la recta r y el plano π. Para calcularlo, sustituimos las coordenadas del punto genérico de la recta r en el plano π: (3+t)-3(1-3t)+5(7+5t)=1→ 3+t3+9t+35+25t=1→ 35t=-34, el punto P' lo obtenemos al sustituir t en r: P'(3-34/35, 1+102/35, 7170/35)

o

obtenemos

=

Distancia entre dos rectas.   

Si las dos rectas, r y r', coinciden o se cortan en un punto la distancia entre las dos rectas es 0. Si las rectas, r y r', son paralelas, tomamos un punto P de la recta r y calculamos la distancia del punto P a la otra recta r'. Si las dos rectas, r y r', se cruzan, o PRIMER MÉTODO: hallamos el plano π paralelo a r' que contiene a r y aplicamos la fórmula: dist(r,r') = dist(r',π) = dist(Q,π), donde π es un plano paralelo a r' que contiene a r y Q es un punto de r'. o SEGUNDO MÉTODO: tomamos un punto P genérico de r y un punto Q genérico de r'; buscamos el vector

; calculamos P y Q con la condición de que el vector

sea perpendicular al

o

vector director de r y al vector director de r'; por último, calculamos la distancia entre P y Q. Este método es útil cuando, además de la distancia entre las dos rectas, nos piden la ecuación de la recta perpendicular a dos rectas r y r' que se cruzan. TERCER MÉTODO: dist(r,r') = dist(Q,π) = altura del paralelepípedo definido por los vectores directores de las rectas r y s y el vector de origen P (un punto cualquiera de r) y cuyo extremo es Q (un punto cualquiera de r') = volumen del paralelepípedo dividido entre el área de la

base: , donde son los vectores directores de las rectas r y s, P es un punto de la recta r y Q es un punto de la recta r'.

Ejercicios resueltos: Calcula la distancia entre los dos pares de rectas siguientes:

a)

y

.

PRIMER MÉTODO: Calculamos el plano π, que contiene a r y es paralelo a r' → el vector

es

perpendicular al plano π, , tomamos un punto P(5,-1,8) de la recta r (contenida en π) y, por tanto, de π. La ecuación del plano π es 2(x-5)+2(y+1)-1(z-8)=0 → π: 2x+2y-z=0, ahora podemos calcular la distancia entre las dos rectas: dist(r,r') =

dist(r',π)= dist[(4,3,5),π]= SEGUNDO MÉTODO: a) Punto genérico de r: P(5+t,-1,8+2t) y punto genérico de r': Q(4+3s,3-s,5+4s); b) calculamos el vector a

=(-1+3s-t,4-s,-3+4s-2t); c)obligamos a que el vector

vector director de r:

perpendicular a

sea perpendicular

→1·(-1+3s-t)+0·(4-s)+2·(-3+4s-2t)=0 → -7-5t+11s=0; y

vector director de r':

→3·(-1+3s-t)-1·(4-s)+4·(-3+4s-2t)=0 → -

19-11t+26s=0; d) Resolvemos el sistema: cuya solución es t=3, s=2; e) sustituimos t=3 en r y obtenemos P(8,-1,14); sustituimos ahora s=2 en r' y obtenemos Q(10,1,13); f)

TERCER MÉTODO: hallamos el vector

tomamos P(5,-1,8) un punto de r, y Q(4,3,5) un punto de la recta r';

, y

, luego la dist(r,r')= 9/3 = 3.

Distancia de una recta a un plano.  

Si la recta y el plano se cortan, la distancia de la recta al plano es 0. Si la recta no corta al plano, es porque la recta es paralela al plano o porque la recta está en el plano, y en estos dos casos la distancia buscada es la distancia de cualquiera de los puntos de r al plano.

Ejercicio resuelto:

Calcula la distancia de la recta recta r es

y el plano π: x-3y-z=-6. El vector director de la

y el vector normal al plano π es

, comprobamos el producto

escalar de ambos vectores: perpendiculares. Por tanto, la recta r es paralela al plano.

, luego ambos vectores son

Hallamos la distancia de un punto cualquiera de la recta r al plano; P(3,1,-2):

Distancia entre dos planos.  

Si los dos planos se cortan, la distancia entre ellos es 0. Si no se cortan es porque son paralelos y, por tanto, la distancia entre los dos planos es la distancia entre un punto de uno de los planos al otro plano.

Ejercicio resuelto: Calcula la distancia del plano π: x-5y+2z=19 al plano π': 2x-10y+4z=0. Los dos planos son paralelos pues sus vectores normales y son proporcionales. Por tanto, la distancia entre los dos planos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano: el punto P(2,-1,6) es un punto de π, por tanto:

. Ejercicios propuestos. 1) Halla la distancia del punto P(5,6,6) a la recta r:(5t,2-t,t), usando los dos métodos aprendidos. 2) Calcula la distancia del punto P(3,1,7) al plano π: x-3y+5z=1. 3) Calcula la distancia entre los pares de rectas siguientes, mediante cada uno de los métodos que has aprendido:

a)

y

; b)

y

4) Calcula la distancia entre la recta r:(1-3t,2+t,1-t)y el plano π: x+3y=0. 5) Calcula la distancia entre los planos π: y-5z+4=0 y π': 2y-10z=0.

7.4. MEDIDAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Recordemos que el área del paralelogramo determinado por dos vectores,

, es el módulo de su producto vectorial: Área del paralelogramo =

.

El área de un triángulo del que conocemos tres vértices, A, B y C, es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores

, es decir:

Área del triángulo ABC = Ejercicio resuelto: Halla el área del triángulo de vértices A(-5,2,1), B(1,7,5) y C(-1,0,4). Para ello escribimos las coordenadas de los vectores

y

,calculamos el producto

vectorial:

Área del triángulo ABC =

=

Ejercicio propuesto: Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en estos puntos: A(1,3,5), B(2,5,8) y C(5,1,-11). Relación entre el volumen de un tetraedro de un paralelepípedo. Recordemos que el volumen del paralelepípedo formado por tres vectores, vectores: Volumen del paralelepípedo =

, es el valor absoluto del producto mixto de esos tres

El volumen del tetraedro formado por los tres vectores = tetraedros iguales.

, pues el paralelepípedo contiene 6

Volumen de un tetraedro de un tetraedro del que se conocen cuatro vértices. El volumen de un tetraedro de vértices A(x1,y1,z 1), B(x2,y2,z 2), C(x3,y3,z 3) y D(x4,y4,z 4), se calcula como el volumen del tetraedro formado por los vectores

Vol ABCD=

=

=

= = nos hemos basado en las propiedades de los determinantes. La última expresión, muy fácil de recordar, nos permite calcular el volumen de un tetraedro en función de las coordenadas de sus cuatro vértices. Ejercicio resuelto: Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son A(3,5,7), B(1,0,-1), C(7,-1,4) y D(11,4,-6). Para ello, calculamos las coordenadas de los vectores = (4,-6,-3),

=(-2,-5,-8),

=(8,-1,-13).

El volumen del tetraedro =

= 642/6 = =107 u³.

Ejercicio propuesto: Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son A(2,1,4), B(1,0,2), C(4,3,2) y D(1,5,6). 7.5. LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO. Plano mediador. Se llama plano mediador de un segmento al plano perpendicular al segmento en su punto medio. También se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento: dist(X,A) = dist.(X,B), siendo X(x,y,z) un punto cualquiera del espacio, A y B los puntos del segmento. Plano bisector. Se llama plano bisector al plano que divide a un ángulo diedro (ángulo formado por dos planos) en dos ángulos diedros iguales. También se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los semiplanos que forman el ángulo diedro: dist(X,π) = dist(X,π'). Ejercicios resueltos:

1) Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(1,-3,4) y B(5,1,-2). Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, siendo X(x,y,z), dist(X,A) = dist(X,b), obtenemos:

, igualamos ambos resultados: , elevamos al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas: , desarrollamos cada miembro, desarrollando los paréntesis:

despejando, obtenemos:

o bien, simplificando por 4,

. Podemos comprobar fácilmente

que este plano, cuyo vector normal es =(2,2,-3) es proporcional al vector =(5-1,1-(-3),-2-4)=(4,4,-6), por tanto el plano obtenido es perpendicular al segmento AB. El plano contiene al punto medio del segmento AB, M(3,-1,1), pues 2·3+2·(-1)-3·1-1=6-2-3-1=0. Es, por tanto, el plano mediador del segmento AB. 2) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del los planos π: x+y-1=0 y π': y-z-1=0. Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, planteamos que

primer miembro:

. Resolvemos:

;

segundo miembro

igualamos los resultados obtenidos: doble signo +,-:

, al suprimir los valores absolutos, aparece el

x+y-1=y-z-1 → x+z=0 plano ơ x+y-1=-(y-z-1) → x+2y-z-2=0 plano ơ' El lugar geométrico que nos piden está formado por dos planos (perpendiculares entre sí, pues el producto escalar de los vectores normales es 0), que se cortan en una recta r que es la misma que la determinada por los planos π y π'.

Ejercicios propuestos: 1) Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(4,-1,7) y B(-2,5,1). 2) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del los planos: a) π: x+y+z-2=0 y π': x-y+z2=0; b) π: x-3y+2z-8=0 y π': x-3y+2z=0; Esfera. La superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro, Q(x0,y0,z 0), es constante (r=radio). La similitud con la circunferencia es muy grande. La ecuación de la superficie esférica es la siguiente: (x-x0)²+ (y-y0)²+ (z-x0 )²=r², desarrollamos y obtenemos: x²+y²+z²+Ax+By+Cz+D=0 Recíprocamente, si tenemos una ecuación del tipo x²+y²+z²+Ax+By+Cz+D=0, se corresponde a una superficie esférica de centro (-A/2,-B/2,-C/2) y cuyo radio es

, siempre que el radicando sea positivo.

Ejercicios resueltos: 1) Averigua si la ecuación x²+y²+z²-4x+6z-12=0 corresponde a una esfera y, en caso afirmativo, dar su centro y su radio. Para comprobar que la ecuación dada corresponde a una esfera debemos probar que el radicando de la expresión siguiente es positivo, en cuyo caso, la raíz nos dará el radio de la

esfera: = esfera de radio 5. Su centro es Q(2,0,-3)

por tanto la ecuación dada corresponde a una

2) La esfera (x-3)²+(y+2)²+(z-1)² – 25 = 0 y el plano π: 2x-2y+z-2 = 0 se cortan en una circunferencia. Calcula su radio r. La esfera tiene su centro en el punto Q(3,-2,1) y su radio es R=5. La distancia del centro de la esfera al

plano π es:

, por tanto, el radio de la circunferencia r =

Ejercicios propuestos: 1) Averigua si x²+y²+z²+2x-10y+25=0 corresponde a la ecuación de una esfera y halla su centro y su radio. 2) Halla el radio de la circunferencia en la que el plano π: 4x-3z-33 = 0, corta a la esfera (x-2)²+(y+5)²+z² = 169. 3) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a O(0,0,0) y a Q(10,0,0) es 68. Comprueba que resulta una esfera de centro (5,0,0) y radio 3.

Elipsoides, hiperboloides y paraboloides. En el espacio, el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F', es constante, se llama elipsoide. Un balón de rugby es un ejemplo de elipsoide. En el espacio, el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F', es constante, se llama hiperboloide. Un diábolo es un ejemplo de hiperboloide. El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, F, y un plano fijo π, se llama paraboloide. Una antena parabólica es un ejemplo deparaboloide. Ejercicios resueltos: 1) Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a F(3,0,0) y F'(-3,0,0) es 10. Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, que debe cumplir que dist(X,F) + dist(X,F') = 10, es decir: despejamos una raíz: elevamos al cuadrado: , desarrollamos: o bien: elevamos al cuadrado: ;

256x²+400y²+400z² = 6.400; simplificando por 16, obtenemos 16x²+25y²+25z² = 400 y dividiendo entre 400, obtenemos una ecuación muy parecida a la de la elipse:

2) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del plano π:z+1=0 y el punto F(0,0,1). Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, que debe cumplir que dist(X,F) = dist(X,π), es decir: elevando al cuadrado, obtenemos: x² + y² + z² – 2z +1 = z² + 2z + 1; simplificando nos queda: x² + y² – 2z – 2z = 0, despejando la

z:

ecuación muy similar a la de una parábola.

Ejercicios propuestos: 1) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a los puntos F(0,0,5) y F'(0,0,-5) es 26.

2) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya diferencia de distancias a los puntos F(0,0,5) y F'(0,0,-5) es 6. 3) Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del plano π:4x+1=0 y el punto F(1/4,0,0).

EJERCICIOS PROPUESTOS. A) APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS. 1. Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A(-4,0-2) y B(0,3,-1) y es perpendicular al plano π: x+3z-5=0. 2. Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano π: x-y+z-1=0.

3. Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto de la recta . 4. Halla los puntos simétricos de P(1,2,3): a) respecto del plano π: x-3y-2z+4=0; b)respecto de la

recta

.

B) ECUACIONES DE LA RECTA Y POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS.

1. Halla el punto de la recta cuya distancia al punto P(1,0,2) sea . 2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,2) y es perpendicular a las

rectas

y

3. Halla la distancia entre las rectas y . 4. Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la

recta

5. Comprueba que las rectas ecuación de la perpendicular común a ambas.

y

se cruzan y halla la

6. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y halla el ángulo que forman:

y

7. Halla el ángulo que forma la

recta y el plano:

y π: x-2y-z+1=0.

a.

y π: 2x-y+z=0.

b.

y π: x+z=17.

c.

8. Halla la perpendicular común a las rectas

y

9. a) Halla p para que las rectas y sean perpendiculares. b) Calcula su punto de intersección y la ecuación del plano que las contiene.

10. Determina, razonadamente, si las rectas y cortan o se cruzan. Halla también el coseno del ángulo que forman sus direcciones.

se

11. Determina la ecuación continua de la recta r que es perpendicular y corta a las rectas

y

.

12. Estudia la posición relativa de las rectas que forman.

y

y calcula el ángulo

13. Dadas las rectas y determina la posición relativa de ambas rectas y el área de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sobre las r y s.

14. Dadas las rectas y y determina la ecuación de la perpendicular común a r y s.

halla los puntos que dan la mínima distancia

C) ECUACIONES DEL PLANO Y POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y PLANOS Y RECTAS. 1. Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es P(1,2,3). 2. Calcula el ángulo que forman los planos π: z=3 y π': x-y+2z+4=0.

3. Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta y es ortogonal al plano π': 2x-y+3z+1=0. Obtén también las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π y π'.

4. Dados la recta y el plano π: x+3y–3z+4=0, halla el plano que contiene a r y es perpendicular a π. 5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,1) y corta perpendicularmente a la

recta . 6. Los vértices del triángulo ABC son los puntos de corte del plano π:2x+y–3z=6 con los ejes coordenados. Halla la ecuación de la altura que parte del vértice B que está en el eje OY.

7. Sea , determina el valor de “a” para que: a. los dos planos que forman la recta r sean paralelos. b. los dos planos que forman la recta r seanperpendiculares. c. la recta r corte al plano OXY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas sea

.

8. Halla la ecuación del plano que contiene a la recta de ecuaciones paramétricas y es perpendicular al plano π: 2x+y–3z+4=0. Determina también el ángulo formado por la recta y el plano dados. 9. Determina las condiciones que deben cunmplir “a” y “b” para que estos tres planos π: ax+z-1=0; π': x+bz+2=0; π'': x+3y+2z-3=0, se corten en un punto. Haciendo a=2 y b=1, obtén las ecuaciones de la recta determinada por los dos primeros, así como el ángulo que ésta forma con el tercero. 10. Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. a) Escribe la ecuación de π. b) Calcula el área del triángulo ABC. 11. Determina la ecuación del plano π paralelo al plano π': x-2y+3z+6=0 y que dista 12 unidades del origen.

12. Halla la ecuación del plano determinado por los puntos A(1,1,1), B(-2,0,-1) y C(1,-2,0) y calcula el volumen del tetraedro que limita con los planos cartesianos. 13. Sean los puntos P(5,1,3) y Q(3,7,-1). Por el punto medio del segmento PQ trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. a) Escribe la ecuación del plano π. b) Calcula el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C. D) DISTANCIAS. 1. Calcula la distancia del punto dado a la recta, en los siguientes casos:

a. P(0,7,0) y

; c) P(1,2,3) y

b. P(1,0,0) y 2. Halla la distancia entre las rectas, estudiando antes su posición relativa:

a.

y

b.

y

c.

;

y

y dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base. e. Sea r la recta que pasa por los puntos A(2,4,0) y B(6,2,0) y s la recta que pasa por los puntos C(0,0,7) y D(3,2,0), calcula la distancia entre r y s. d.

3. Dados la recta y el plano π: x+2y+3z-1=0, halla la ecuación de una recta situada en el plano π, que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r.

4. Halla el punto P de la recta

y

.

que equidiste de los planos π: x+y+z=-3

5. a) Determina los puntos de la recta que disten 1/3 del plano π:2x-y+2z+1=0. b) Obtén los puntos de π que distan 1/3 de los puntos hallados en el apartado anterior.

6. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta

y otro lado sobre la

recta . a) Calcula el área del cuadrado. b) Encuentra cuatro puntos (dos en r y otros dos en s)que puedan ser los vértices de un cuadrado, si uno de ellos es (0,0,0).

7. Calcula la distancia entre las rectas

y

.

E) MEDIDAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES. 1. Halla el área de cada uno de los triángulos: a. A(2,7,3), B(1,-5,4) y C(7,0,11). b. A(3,-7,4), B(-1,2,5) y C(-5,11,6). 2. Dados los puntos A(1,5,-2), B(4,0,1) y C(-3,2,0). a) Prueba que son los vértices de un triángulo. b) Halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre el segmento AC. 3. Calcula, en cada caso, el volumen del tetraedro con vértices: a. A(2,1,4), B(1,0,2), C(4,3,2) y D(1,5,6). b. A(4,1,2), B(2,0,1), C(2,3,4) y D(6,5,1). c. A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7) y D(-5,-4,8). Halla su área total. 4. Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y el plano π: 6x-5y+3z-1=0 (V=área de la base x altura / 3, la tres aristas son perpendiculares entre sí; utiliza también el producto mixto para obtener el mismo resultado).

5. Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto P(1,1,0), y calcula el volumen de la figura limitada por el plano anterior y los tres planos coordenados. 6. Un tetraedro tiene por vértices A(2,1,0), B(3,4,0) y C(5,1,0). El cuarto vértice, D, está sobre la

recta cúbicas.

. Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades

7. a) Calcula el punto R de la recta que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1). b) Calcula el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R.

8. Sean la recta y el plano π: 2x-3y+z+1=0. Calcula: a) el seno del ángulo que forman r y π; b) la ecuación de la proyección ortogonal de r sobre π.

9. Calcula el volumen de un cubo que tiene aristas sobre cada una de las rectas

y . 10. Se consideran los puntos P(2,1,-1), Q(1,4,1) y R(1,3,1). a) Comprueba que no están alineados y halla el área del triángulo que determinan. b) Desde el punto V(1,1,-1) se trazan rectas a cada uno de los vértices P, Q y R, se obtiene una pirámide. Halla la altura de dicha pirámide y su volumen. 11. Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, conociendo los vértices A(1,0,0), B(2,3,0), C(4,0,5) y E(7,6,3). Halla las coordenadas de los restantes vértices del paralelepípedo. F) ESFERA. 1. Di cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a esferas y di su centro y su radio: a. x²+y² – 2x+4y –8=0; 2x² – 2y² +2z²+4x–16=0; b. 2x² + 2y² + 2z² + 4x–16=0; x² + 3y² + z² – 2xz–4=0; c. 3x² + 3y² + 3z² +6x – 12z–3=0; 3x² + 3y² + 3z² +6x – 12z–30=0. 2. Halla la ecuación de las siguientes esferas: a. Centro (1,0,-5) y radio 1. b. Los extremos de un diámetro A(4,-2,3) y B(5,2,0). c. Centro C(4,-2,3) y tangente al plano π: x-z=0. d. Centro C(3,-1,2) y tangente al plano YZ. 3. Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto P(2,-1,4) es igual a 7. 12. a) Halla la ecuación de esfera que pasa por los puntos A(1,-3,4), B(1,-5,2), C(1,-3,0) y tiene su centro en el plano π: x+y+z=0. b) ¿Cuál es la ecuación del plano tangente a dicha esfera en el punto A? 13. Halla la posición relativa de las siguientes esferas: C 1: x²+y²+z²-4x+6y-10z+13=0 y C2: x²+y²+z²+2x-8y12z+44=0 14. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a A(-2,3,4) sea doble que la distancia a B(3,-1,2). 15. Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto P(0,0,3) y del plano π: z+3=0. 16. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos A(2,3,4) y B(2,3,-4) es igual a 8.

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios Supongamos que tenemos dos vectores diferentes, A y B, y que estos vectores parten del mismo punto, ya que podemos trasladar vectores sin problema alguno, lo hacemos para obtener un paralelogramo, cuyos lados son A y B y sabemos que es un paralelogramo porque el vector A siempre conserva su dirección, hacemos lo mismo con B.

Una diagonal, es una linea (o también un vector) que va de un punto a otro en una figura, estos puntos tienen que ser vértices de la figura y no tienen que ser consecutivos o adyacentes. En un paralelogramo de 4 lados, tenemos 2 vértices, trazándolos en el paralelogramo podemos observar que las diagonales son la suma de los vectores.

En la imagen anterior se puede observar que estoy desplazando el vector B, para sumarlo con A, después, el vector que representa la suma es A+B, a ésta diagonal la llamaré F.

Para la otra diagonal, necesito sumar a A con -B, a ésta la llamaré G.

De las ecuaciónes 1 y 2, despejaré al vector B para obtener las ecuaciones 3 y 4 respectivamente, nota que en 4, tenemos -B, si multiplicamos por -1 toda la ecuación, podemos reescribirla sin afectarla.

En las ecuaciones 3 y 4 tenemos a B despejado, y como B=B, podemos igualar las ecuaciones 3 y 4, o dicho de otra manera, sustituimos el valor de cualquier B en la otra ecuación, que queda expresado en la ecuación 5.

La ecuación 5.3 nos dice que A es la suma de las mitades de los vectores F y G, que son precisamente, nuestras diagonales y ya está, hemos resuelto el problema.

Si no lo entendiste aún, te continúo explicando: A la mitad del vector F le llamaré Cy a la mitad de G, le llamaré D.

Sustituyendo (o cambiando simplemente los nombres), tenemos que A=C+ D.

C es la mitad de F y D es la mitad de G, el punto donde se cruzan las diagonales es el punto donde se cruzan F y G, ese punto lo podemos notar como el punto donde termina C y empieza D, ese punto M es donde se intersectan las diagonales y el álgebra lo dice, se cortan en us puntos medios o se bisecan.

Otra forma de entender el problema es pensar en el punto M, M es el punto que existe en F y en G, F corta a G en el punto M y viceversa, el punto M se obtiene en la ecuación 5.3, es donde se tocan o cruzan los vectores y es en el punto medio de cada diagonal.

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios Supongamos que tenemos dos vectores diferentes, A y B, y que estos vectores parten del mismo punto, ya que podemos trasladar vectores sin problema alguno, lo hacemos para obtener un paralelogramo, cuyos lados son A y B y sabemos que es un paralelogramo porque el vector A siempre conserva su dirección, hacemos lo mismo con B.

Triángulo Un tr i á n g u l o e s un p o l í g o n o d e tr e s l a d o s .

Un tr i á n g u l o e s tá d e te r m ina d o p o r tr e s s e g m e n to s d e r e c ta q ue s e d e no m ina n l a d o s , o p o r tr e s p u n to s no a line a d o s lla m a d o s v é r ti c e s .

Lo s

v é r ti c e s

le tr a s m a y ú s c u l a s .

de

un

tr i á n g u l o

se

e s c r ib e n

con

Lo s l a d o s d e un tr i á n g u l o s e e s c r ib e n e n m i n ú s c u l a , c o n la s m is m a s le tr a s d e lo s v é r tic e s o p ue s to s .

Lo s

á ngulos

de

un

tr i á n g u l o

se

e s c r ib e n

ig ua l

q ue

lo s v é r ti c e s .

Propiedades del triángulo 1 Un l a d o d e un tr i á n g u l o e s m e n o r q ue la s u m a d e lo s o tr o s d o s y m a y o r q ue s u d i f e r e n c i a .

a < b + c

a > b - c

2 La s u m a d e lo s á n g u l o s i n te r i o r e s d e un tr i á n g u l o e s ig ua l a 1 8 0 °.

A + B + C =1 8 0 º

3 El v a lo r d e un á n g u l o e x te r i o r d e un tr i á n g u l o e s ig ua l a la s u m a d e lo s d o s i n te r i o r e s n o a d y a c e n te s .

α = A + B

α = 180º - C

4 En un tr i á n g u l o a m a y o r l a d o s e o p o ne m a y o r á ngulo .

5

Si

un

tr iá ng ulo

tie ne

dos

la dos

s us á n g u l o s o p u e s to s ta m b ié n s o n i g u a l e s .

Tipos de triángulos según sus lados T r i á n g u l o e q u i l á te r o

T r e s la d o s ig ua le s .

Tr iá ngulo isósc e le s

D o s la d o s ig ua le s .

igua le s ,

Tr iá ngulo e sc a le no

T r e s la d o s d e s ig ua le s .

Tipos de triángulos según sus ángulos T r i á n g u l o a c u tá n g u l o

T r e s á ng ulo s a g ud o s

T r i á n g u l o r e c tá n g u l o

Un El

á ng ulo la d o

Lo s la d o s m e no r e s s o n lo s c a te to s .

mayor

r e c to es

la

hip o te nus a .

T r i á n g u l o o b tu s á n g u l o

Un á ng ulo o b tus o .

Triángulos iguales 1 D o s tr i á n g u l o s s o n i g u a l e s c ua nd o tie ne n i g u a l e s u n l a d o y s u s d o s á n g u l o s a d y a c e n te s . 2 D o s tr i á n g u l o s s o n i g u a l e s c ua nd o tie ne n d o s l a d o s i g u a l e s y e l á n g u l o c o m p r e n d i d o . 3 D o s tr i á n g u l o s s o n i g u a l e s c ua nd o tie ne n lo s tr e s l a d o s i g u a l e s .

Perímetro del triangulo El p e r í m e tr o d e l tr i a n g u l o e s ig ua l a la s u m a d e la s l o n g i tu d e s d e s us tr e s l a d o s .

Pe r í m e tr o d e l tr i a n g u l o e q u i l á te r o

Pe r í m e tr o d e l tr i a n g u l o i s ó s c e l e s

Pe r í m e tr o d e l tr i a n g u l o e s c a l e n o

Área de un triángulo El á r e a d e u n tr i á n g u l o e s ig ua l a b a s e p o r a l tu r a p a r ti d o p o r 2 .

La a l tu r a

es

la r e c ta

pe r pe ndic ula r

tr a z a d a

p r o lo ng a c ió n).

Área de un triángulo equilátero

d e s d e un

v é r ti c e

a l la do

o p u e s to

(o

su

Área de un triángulo rectángulo El á r e a d e un tr i á n g u l o r e c tá n g u l o e s ig ua l a l p r o d u c to d e l o s c a te to s p a r ti d o p o r 2 .

Semiperímetro El s e m i p e r í m e tr o d e u n tr i á n g u l o e s ig ua l a la s u m a d e s u s l a d o s p a r ti d o p o r 2 .

S e no m b r a c o n la le tr a p .

Fórmula de Herón La f ó r m u l a d e He r ó n s e utiliz a p a r a ha lla r e l á r e a d e u n tr i á n g u l o c o no c ie nd o s us tr e s l a d o s .