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• Christian Guzman Trillo

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Lic. Nelly Soliz Carrasco

VECTORES EN EL ESPACIO 1. SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL Un sistema tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z) . Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Perpendiculares entre si. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes , en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P=( p1 , p 2 , p3 ) ; Q=( q1 , q2 , q3 )

Dados los puntos

la distancia del punto P al punto Q está definida

por:

√

2

2

2

d ( PQ)= ( q1 −p1 ) + ( q2− p2 ) + ( q 3− p3 )

1.3. SEGMENTO Sean los puntos

P=( p1 , p 2 , p3 ) ; Q=( q1 , q2 , q3 )

la longitud del segmento es la distancia del punto P

al punto Q está definida por:

√

2 2 2 ´ l( PQ)= ( q1− p1 ) + ( q 2− p2 ) +( q 3− p3 )

1.4. PUNTO MEDIO Dados los puntos

P=( p1 , p 2 , p3 ) ; Q=( q1 , q2 , q3 )

el punto medio del segmento PQesta definido por:

2

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(

PM =

p1+ q1 p2+ q2 p3 +q3 , , 2 2 2

)

2. VECTORES EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

2.1. COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL ESPACIO Sean los puntos

A=( x1 , y 1 , z 1 ) y B=( x 2 , y 2 , z 2)

⃗ entonces Las coordenadas del vector AB

coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. ⃗ AB =( x 2−x 1 , y 2 − y 1 , z 2−z 1)

2.2. OPERACIONES CON VECTORES 2.2.1. Suma Dados dos vectores

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A= y

´ ( b 1 , b2 , b3 ) B= la suma está definida por:

´ ( a1 +b1 , a2 +b2 , a3 +b3 ) A´ + B= 2.2.2. Resta Dados dos vectores

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A= y

´ ( b 1 , b2 , b3 ) B= la resta está definida por:

son las

3

Lic. Nelly Soliz Carrasco ´ B= ´ ( a1 −b1 , a2−b 2 , a3 −b3 ) A−

2.2.3. Multiplicación de un escalar por un vector Dados el vector

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A=

r ∈R ,r≠ 0

y

definida por:

la multiplicación de un escalar por un vector está

´ ( r a 1 , ra2 , ra3 ) rA=

2.2.4. Producto escalar Dados dos vectores

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A= y

´ ( b 1 , b2 , b3 ) B= el producto escalar está definido por:

´ A´ . B=a 1 .b 1 + a2 .b 2+ a3 .b 3 Ejemplo: Sean los vectores

´ (2,−3,1 ) A= y

´ ( 1,4,−1 ) B=

hallar:

´ ; A− ´ B ´ A´ + B

´ ; 3A y

A´ . B´

´ ( 2+1 ,−3+4,1−1 )=(3,1,0) A´ + B= ´ B= ´ ( 2−1 ,−3−4,1+1 ) =(1,−7,2) A−

3´A=( 3 ( 2 ) , 3 (−3 ) , 3(1) )=(6,−9,3) ´ ( 2 )( 1 ) + (−3 ) ( 4 )+ (1 )(−1 )=2−12−1=−11 A´ . B= El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. ⃗ A .⃗ B =‖⃗ A‖‖⃗ B‖cos θ

2.3. COMPONENTES RECTANGULARES El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector V en tres dimensiones se representa con su punto inicial en el origen V , V ,V O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean ( x y y ) las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector V

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2.4. NORMA DE UN VECTOR Dado el vector

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A= la norma del vector A esta definida por:

‖⃗A‖=√ a12 +a 22 +a 32 Ejemplo: Hallar la norma de

´ (−2,1,4 ) A=

‖⃗A‖=√ (−2)2+(1)2+(4 )2 =√ 4+1+16=√ 21 2.4.1. VECTOR UNITARIO Un vector unitario tiene de norma la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

⃗ A u⃗ ⃗A = ⃗ ‖A‖ En el sistema cartesiano tridimensional tenemos tres vectores unitarios que son la base del sistema: ´i=( 1,0,0 )

´j= ( 0,1,0 )

k´ =( 0,0,1 )

Luego todo vector del sistema se puede descomponer como la combinación lineal de estos tres vectores Por ejemplo: ´ (2,4,3 )=( 2,0,0 ) + ( 0,4,0 ) + ( 0,0,3 )=2 ( 1,0.0 )+ 4 ( 0,1,0 )+3 ( 0,0,1 ) =2i+ 4 j+3 k A=

2.5. ANGULO ENTRE DOS VECTORES El ángulo entre dos vectores se determina por la relación:

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Lic. Nelly Soliz Carrasco ⃗ A.⃗ B cos θ= ‖⃗ A‖‖⃗ B‖

Por ejemplo: hallar el ángulo que forman los vectores cos θ=

( 1,3,4 )( 0,4,3 ) ( √26 ) ( 5 )

cos θ=

24 25 √ 26

θ=arccos

´ (1,3,4 ) A= y

´ ( 0,4,3 ) B=

( 2524√26 )

θ=70 ° 8 ' 53 ' '

2.6. COSENOS DIRECTORES ⃗ Se llaman cosenos directores del vector X =( x , y , z) , ⃗ vector X con los vectores de la base. x y cos α = cos β= ⃗ ⃗ ‖ X‖ ‖ X‖

Ejemplo: hallar los cosenos directores de:

‖⃗A‖=√ 22 +32 +4 2=√ 29 cos α =

2 √ 29

cos β=

3 √ 29

cos γ=

4 √ 29

⃗ A = (2,3,4 )

a los cosenos de los ángulos que forma el

cos γ=

z ⃗ ‖ X‖

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Lic. Nelly Soliz Carrasco 2.7. VECTORES PARALELOS Dados dos vectores ⃗ A ∥⃗ B⟺

´ ( a1 , a2 ) A= y

´ A=r B´

; r∈R,

´ ( b 1 , b2 ) B= se dice que son paralelos r ≠0

Verificar si los vectores son paralelos

´ (2,−3,1 ) A= y

´ (−4,6,−2 ) B=

(−4,6,−2 ) =r (2,−3,1 ) → (−4,6−2 )=( 2 r ,−3 r , r ) −2=r

; ∴

−2=r

;

−2=r

⃗ A ∥⃗ B

2.8. VECTORES PERPENDICULARES Dados dos vectores

´ ( a1 , a2 ,a 3 ) A= y

´ ( b 1 , b2 , b3 ) B= se dice que son perpendiculares ⃗ A ⊥⃗ B⟺⃗ A .⃗ B=0

2.9. PROYECCIÓN ORTOGONAL

Dados los vectores

⃗ A y⃗ B

, ⃗ la proyección ortogonal de B

sobre

⃗ A

está definida por: ⃗ A .⃗ B⃗ Proy ⃗A ⃗ B= B 2 ‖⃗ B‖

3. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

‖⃗ uxv‖=‖u⃗‖‖⃗v‖ sen ∝

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El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

| |

i j k ⃗u x ⃗v = u1 u2 u 3 v1 v 2 v 3

Ejemplo: Calcular el producto vectorial de los vectores

|

||

= (1, 2, 3) y

i j k 2 3 1 3 1 2 ⃗u x ⃗v = 1 2 3 = i− j+ k =i−5 j+3 k 1 2 −1 2 −1 1 −1 1 2

||

|| |

3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. Anti conmutativa: ⃗u x ⃗v =−⃗v x u⃗ 2. Homogénea:

⃗ λu x ⃗v =⃗u x ⃗ λv

v ¿ w 3. Distributiva: + ⃗¿ ¿ ⃗u x ¿⃗ 4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo: 5. El producto vectorial es perpendicular a ⃗u y a ⃗v Nota: El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo ⃗ ⃗ ⃗ Tres puntos A,B,C son colineales si AB x AC =0

3.2. ÁREA DEL PARALELOGRAMO

= (−1, 1, 2).

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Lic. Nelly Soliz Carrasco Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. A=b .h=‖u⃗‖‖⃗v‖sen ∝=‖⃗ uxv‖ La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo. Ejemplo: Determinar el área del triángulo de vértices los puntos A (1, 1,3), B(2,−1, 5) y C(−3, 3,1).

⃗ AB =( 1,−2,2 ) ; ⃗ AC=(−4,2,−2 )

|

|

i j k ⃗ AB x ⃗ AC= 1 2 3 = ( 0,−6,−6 ) −1 1 2

‖⃗ AB x ⃗ AC ‖=6 √ 2 Area=3 √ 2 4. PRODUCTO MIXTO El producto mixto de los vectores:

⃗u , ⃗v y ⃗ w

es igual al producto escalar del primer vector por el

v ¿ w producto vectorial de los otros dos. : ¿ ⃗u . ¿⃗ w] El producto mixto se representa por [ ⃗u , ⃗v , ⃗ El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base orto normal.

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⃗ ⃗ ⃗ Calcular el producto mixto de los vectores: A = (2,−1,3 ) , B =( 0,2,−5 ) , C =( 1,−1,−2 )

|

|

2 −1 3 ⃗ ⃗ ⃗ [ A , B , C ]= 0 2 −5 =−19 1 −1 −2

4.1. VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

4.2. VOLUMEN DE UN TETRAEDRO El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo: Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos: A=(3, 2,1), B=(1, 2, 4) ,C=(4, 0, 3) y D=(1,1, 7). ⃗ AB =(−2,0,3 ) ⃗ AC =( 1,−2,2 ) ⃗ AD=(−2,−1,6 )

|

|

−2 0 3 ⃗ ⃗ ⃗ [ AB , AC , AD ] = 1 −2 2 =5 −2 −1 6

1 5 V = |5|= 6 6 EJERCICIOS 1. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. 2. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2). 3. Hallar un vector perpendicular a 4. Dados los vectores ,

,

,

, y que sea unitario.

y

hallar:

,

5. , Dados los vectores a) Los módulos de

y

y y

b) El producto vectorial de

y

c) Un vector unitario ortogonal a

y

, hallar:

d) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores 6. Hallar el ángulo que forman los vectores

y

7. Hallar los cosenos directores del vector 8. Dados los vectores que este vector es ortogonal a 9. Dados

los

vectores

, hallar el producto . Hallar el vector

,

.

.

y ya

y

y

y comprobar

y compararlo con

.

,

el producto

hallar

mixto . ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados? 10. 3Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Calcular el área del triángulo.