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EN EL ESPACIO Sea OP un vector tal que P (x, y, z), se puede demostrar que: 1) OPX  xiˆ  yˆj  zkˆ 2) La expresión del módulo de OP en función de sus componentes es: OP   x 2  y 2  z 2 SUMA DE VECTORES Si OP1 = ( x1, y1, z 1) y OP2 = (x2, y2, z2 ) entonces: OP1 + OP2 = ( x1 + x2, y1+ y2 , z1 + z2 ) RESTA DE VECTORES Si OP1 = ( x1, y1, z 1) y OP2 = (x2, y2, z2 ) entonces: OP1 - OP2 = ( x1 - x2, y1- y2 , z1 - z2 ) MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Si OP = ( x, y, z) entonces:  OP = (x, y, z )

COMPONENTES DE UN VECTOR DE EXTREMOS ARBITRARIOS CONOCIDOS Sea u = P1 P2 tal que P1 (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2 , z2 ) entonces P1 P2 =



x1  x 2 2   y1  y 2 2  z1  z 2 2 como indica la figura siguiente: PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORES

Definición: Dados dos vectores u y v , llamaremos producto escalar de u por v , al número real dado por:

u . v = u . v .cos  siendo  = med (u ˆ, v ) , 0     PRODUCTO ESCALAR EN FUNCIÓN DE LAS COMPONENTES Si u = (u1, u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3) entonces u . v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3

MÓDULO DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR Por definición, el producto escalar de un vector por sí mismo es: 2

u . u = u . u .cos 0º = u . u . 1 = u

, luego u =  u . u

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES NO NULOS Si u y v son vectores no nulos, el producto escalar entre ambos es:   u.v u.v u . v = u . v .cos  , entonces cos   , por lo tanto   arccos  u . v  u . v 

    

ORTOGONALIDAD DE VECTORES Definición: Dos vectores u y v son ortogonales o perpendiculares sii el ángulo comprendido entre ellos es 90º.

u  v sii  = 90º

El vector nulo es ortogonal a cualquier vector y es el único vector que cumple con esta propiedad. CARACTERIZACIÓN DE VECTORES ORTOGONALES Si dos vectores u y v no nulos son ortogonales o perpendiculares entonces el producto escalar entre ellos es.

u . v = u . v .cos 90º = u . v . 0 = 0

u  v sii u . v = 0 PRODUCTO VECTORIAL Definición: Dados dos vectores u y v , llamaremos producto vectorial de u por v (en ese orden), al vector u x v que verifica: 1) u x v = u . v .sen  siendo  = med (u ˆ, v ) , 0     COMPONENTES DEL PRODUCTO VECTORIAL Por lo tanto:

u x v = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 )

REGLA PRÁCTICA El producto vectorial u x v se puede expresar, simbólicamente a través del siguiente determinante: ˆj kˆ iˆ

u x v  u1

u2

u3

v1

v2

v3

PRODUCTO MIXTO Definición: Dados tres vectores u , v y w del espacio, llamaremos producto mixto entre u , v y w (en ese orden), al número real: ( u x v ) . w PRODUCTO MIXTO EN FUNCIÓN DE LAS COMPONENTES Si u = (u1, u2 , u3), v = (v1 , v2 , v3) y w = (w1 , w2 , w3) sabemos que:

u x v = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 ) entonces: ( u x v ) . w = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 ) . (w1 , w2 , w3) = ( u1 . v2 . w3 + u2 . v3 . w1 + u3 . v1 . w2 ) – ( u1 . v3 . w2 + u2 . v1 . w3 + u3 . v2 . w1 ) REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL PRODUCTO MIXTO El producto mixto se puede obtener a través de los determinantes:

u1 u x v . w  v1 w1

 

u2 v2 w2

u3 u1 v3  u2 w3 u 3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

1. Dos vectores a y b, vienen expresados por: a = 3.i + 4.j + k y b = 4.i – 5.j + 3.k. a. Calcule los módulos y los cosenos directores de ambos vectores. b. Señale si son perpendiculares 2. Dados los vectores a (3, -2, 0) y b (5, 1, -2), deduzca sus módulos, su producto escalar, el ángulo que forman y su diferencia. 3. Conocidos los vectores a (4, a, -2) y b (-a, 2a, 8), averigüe el valor de “a”, si dichos vectores son perpendiculares. 4. Determine la suma de los vectores a (4, 8, -6) y b (-5, 0, 6) y el ángulo que forma la resultante con cada vector. 5. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3.i - 6.j +2. k, y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, infiera su producto escalar. 6. Suponiendo dos vectores cuyos módulos son 7 y 8, y el ángulo que forman es de 30°, compute el módulo de su producto vectorial e indique el ángulo que formará con ambos vectores. 7. Los vectores a (3, 2, -5), b (6, -4, 0) y c (0, 7, 4) están sometidos a la siguiente operación: v = 2.a + b +c. Especifique: a. El módulo de v. b. El producto escalar de a y v. 8. Dados los vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c (0, -2, 1), indague: a. b. c. d. e.

(a + b) . c. (a - b) x c. (a x b) . c (a . b) . c (a x b) x c

9. El origen de un vector es el punto A (3, -1, 2) y su extremo B (3, 2, 4). Indique su momento respecto al punto C (1, 1, 2).

10. El vector v (1, -2, 3) está aplicado en el punto P (2, 1, 2). ¿Cuál es su momento respecto al origen de coordenadas? ¿Cuánto valdrá su módulo?

11. Los vectores a (-3, 2, 1), b (2, -4, 0) y c (4, 1, -8), son concurrentes en el punto P (3, 1, 2). Determine el momento de cada vector respecto al origen de coordenadas, el momento del vector resultante respecto al origen de coordenadas y compruebe que se cumple el teorema de Varignon.

12. Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores a (-2, 2, 1), b (3, -1, 0).

VECTORES EN EL ESPACIO

           1, 1, 3: Dados los vectores a 1 , 2 , 3 , b 1 , 1 , 1 , c 1 , 0 , 5 y d 1)

a) ¿Forman una base de R3?

    b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación linealde a, b y c.

Solución: a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes. b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: Es decir: ( 1, 1, 3) = x(1, 2, 3) ( 1, 1, 3) = (x

y

+ y(1, 1, 1) z, 2x

    d  x a  y b  zc

+ z(1, 0, 5)

y, 3x

y

5z)

x  y  z  1  2x  y  1  Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer : 3 x  y  5z  3  

x

1 1 1 1 1 0 3 1 5 6

Por tanto: x = 2)



1 1 1 2 1 0 3 3 5

 12 2; 6

y

2, y =

3, z = 0

6



18  3 ; 6

z

1 1 1 A  2 1 0  6 3 1 5 1 1 1 2 1 1 3 1 3 6



0 0 6

    Y así: d  2a  3b  0c

    a) Se sabe que u, v y w son linealmente dependientes. ¿Podemos asegurar que u es   combinación linealde v y w? Justifica tu respuesta.  b) Halla las coordenadas del vector a 4, 3, 7 respecto de la base

B  (2, 1, 0), (1, 0, 2), (0, 0, 3). Solución:    a) No. Por ejemplo, si tomamos u 1, 0, 0, v 0, 1, 0, y w 0, 2, 0:    Son linealment e dependient es, pues w  2v.     Sin embargo, u no es combinación lineal de v y w.

   b) Llamamos b 2, 1, 0, c 1, 0,  2, d 0, 0, 3 a los vectores de la base B. Tenemos que     encontrar tres números, x, y, z, tales que: a  x b  y c  z d

Es decir:

(4, 3, 7)  x (2, 1, 0)  y (1, 0, 2)  z (0, 0, 3)

(4, 3, 7)  (2x  y, x, 2y  3z) 2 x  y  4  x 3  x  3  y  4  2 x  2   3z  7  2y  z  7  2y  1  2y  3z  7  3

 Las coordenada s de a respecto de la base B son 3,  2, 1, es decir :

3)

    a  3b  2c  d

  Dados los vectores u 2,  1, 0 y v 3, 2,  1:

a) ¿Son linealmente independientes? b) ¿Forman una base de R3?    1 c) Halla un vector, w, tal que 2u  3w  v. 2

Solución: a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos: x (2, 1, 0)  y (3, 2, 1)  (0, 0, 0), es decir: 2 x  3 y  0   x  2y  0  y  0

xy0

este sistema solo tiene la solución trivial:

b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente independientes).   1  1   1 2 c) 2u  3w  v  3w  v  2u  w  v  u 2 2 6 3

Por tanto:  1 2  1 5 w  3, 2,  1  2,  1, 0    , 1,  6 3 6   6

4)

      a) Halla los valores de x , y , z tales que xu  yv  zw  0, siendo u 2, 0,  3, v 1,  2, 0  y w 3, 2,  6.

b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución: a) x (2, 0, 3)  y (1, 2, 0) z (3, 2, 6)  (0, 0, 0) (2x  y  3z, 2y  2z, 3x  6z)  (0, 0, 0) 2 x  y  3z  0   2y  2z  0  3x  6z  0 

2 A  0 3

1 2 0

3 2 0 6

0 3

2  6  0 0

Para resolver el sistema, podemos prescindir de la 1a ecuación y pasar la z al 2o miembro:  2y  2z  y  z    Solucione s : x  2, y  , z    3 x  6z  x  2z 

b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base. 5)

   Consideramos la base de R 3 formada por los vectores a 2,  1, 3, b 0, 2,  1 y c 3, 0, 1.  a) Halla las coordenadas de u 4,  7, 14  respecto de la base anterior.     b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación linealde a, b y u.

Solución: 







a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u  x a  y b  z c , es decir : (4, 7, 14)  x (2, 1, 3)  y (0, 2, 1)  z (3, 0, 1) (4, 7, 14)  (2x  3z, x  2y, 3x  y  z) 2x  3z  4    x  2y  7 Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer : 3 x  y  z  14  

x

z

4 7 14

0 3 2 0 1 1  11

2 0 4 1 2  7 3  1 14  11



 55  5; y   11



2 4 1  7 3 14  11

22  2. Solución :  11

3 0 1



2 0 3 A   1 2 0  11 3 1 1

11  1;  11

x  5, y  1, z  2

 Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son 5,  1,  2, es decir :

    u  5a  b  2c

b) De la igualdad obtenida en a), tenemos que:         5 1 1  u  5a  b  2c  2c  5a  b  u  c  a  b  u 2 2 2

6)

   Dados los vetores u 2,  1, 3, v 4, 2,  2 y w1, 2, x :     a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v.   b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 o .

Solución:  2 a) u  2 2   1  3 2  14  3,74

 2 v  4 2  2 2   2  24  4,90

  Si llamamos  al ángulo que forman u y v, tenemos que:

    u·v 826 o cos         0  u y v son perpendicu lares, es decir,   90 . u · v u · v

b) Ha de cumplirse que:   u·w cos 60 o    , es decir : u · w

1 2  2  3x  2 14 · 5  x 2



1 3x  2 70  14 x 2

70  14 x 2  6x  70  14 x 2  36 x 2  70  22x 2  35 x   11 70 35  x2    22 11  35 x  11 

7)

  (no vale, pues u · v  3 x  0 )

  Dados los vectores u 1, 0, 0 y v 1, 1, 0:     a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángulo que forman u y v.   b) Encuentra un vector x, y, z   0, 0, 0, que sea combinación linealde u y v, y que sea perpendicular a (1, 0, 0).

Solución:

    u·v 1 2 a) Proyección de u sobre v     2 v 2

  Si llamamos  al ángulo que forman u y v, tenemos que:   u·v 1 1 2 cos        2 u · v 1· 2 2

   45 o

    b) Un vector que sea combinació n lineal de u y v es de la forma au  bv, es decir :

  au  bv  a1, 0, 0  b1, 1, 0  a  b, b, 0

Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero: (a  b, b, 0) · (1, 0, 0)  0



ab0

Por tanto, cualquier vector de la forma: exigidas. 8)



b  a

(0, b, 0), con b  0 cumple las condiciones

  Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen el mismo módulo,   u  v  2.     a) ¿Cuál es el módulo de u  v? ¿Y el de u  v?     b) Demuestra que u  v y u  v son perpendiculares.

Solución:   a) u  v

2

              u  v  · u  v   u · u  u · v  v · u  v · v  u

2

   2 ·u · v  v

2



    2  4  2 · u · v · cos u, v   4  4  8 · 4 84 2  2    u  v  8  4 2  3,70   uv

2

      u  v  · u  v   u

2

    2u · v  v

2

   4  2 · u · v · cos 45 o  4  8  4 2

  u  v  8  4 2  1,53

             b) u  v  · u  v   u · u  u · v  v · u  v · v  u

9)

2

  v

2

 44 0

u  v   u  v 

     Dados los vectores a 1,  1, 0, b 0, 1,  1 y c  ma  b:   a) Halla el valor de m para que a y c sean perpendiculares.   b) Para m  2, halla el ángulo que forman b y c.

Solución:

   a) c  ma  b  m1,  1, 0  0, 1,  1  m,  m  1, 1     1 a  c  a · c  1,  1, 0  · m,  m  1, 1  m  m  1  2m  1  0  m   2

   b) Para m  2, queda c2,  3, 1. Si llamamos  al ángulo que forman b y c,

tenemos que:

  b · c cos      b · c

10)

4 2 · 14



4

 0,76    139 o 27' 51' '

28

          Dados los vectores a  2 i  j ; b  i  2 j  k ; halla x e y de forma que c  x i  y j sea   perpendicular a b y tenga el mismo módulo que a.

Solución:    a 2,  1, 0 b 1, 2,  1 c x, y, 0      x  2y c  b  c · b  0  x  2y  0     2 2 2 2 2 2 c  a  x  y  5  x  y  5  4y  y  5 y  1  x  2 5y 2  5  y 2  1    y  1  x  2

Hay dos soluciones:   x  2, y  1, que correspond e a c 2,  1, 0.   x  2, y  1, que correspond e a c  2, 1, 0.

11)

  Dados los vectores u 1, 3, 0 y v 2, 1, 1:    a) Halla un vector, w, de módulo 1, que sea perpendicular a u y a v.

  b) ¿Cuál es el área del paralelogramo determinado por u y v?

Solución:   a) Un vector perpendicu lar a u y a v es:

  u  v  1, 3, 0 2, 1, 1  3,  1,  5

Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1:     3 u v 1 5 w      , , u v 35 35  35

   

 3 1 5 Hay dos soluciones :  , , 35 35  35

  3  y  ,     35

1

,

35

5    35 

  b) Área  u  v  35  5,92 u 2

12)

  a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquiera, se tiene que:

u  v  u  v   2u  v 

  b) Halla un vector perpendicular a u 2,  1, 1 y a v 3, 0,  1.

Solución:             (*)         a) u  v  u  v   u  u  u  v  v  u  v  v  0  u  v  u  v  0  2 u  v 

       (*) Tenemos en cuenta que u  u  0 y que u  v  v  u. b) u  v  2,  1, 1  3, 0,  1  1, 5, 3 

13)

 Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por u 2, 0, 1  y v 0, m, 1 sea 2.

Solución:      El área del paralelogr amo determinad o por u y v es igual a u  v .    Calculamos u  v y hallamos su módulo:

  u  v  2, 0, 1 0, m, 1   m,  2, 2m   u v 

 m2   22  2m2

 m 2  4  4m 2  5m 2  4

Igualamos a 2: Área  5m 2  4  2  5m 2  4  4  5m 2  0  m  0

14) a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, 1, 1) y a (1, 2, 0).       b) ¿Es cierto que u  v w  u  v  w ? Pon un ejemplo.

Solución:

a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, 1, 1)  (1, 2, 0)  (2, 1, 5) Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:  2  ,   30

1

,

30

5    30 

También cumple las condiciones su opuesto:   2 1 5    , ,   30 30   30

b) En general, no es cierto. Por ejemplo:

   u  1, 0, 0 v  1, 0, 0 w  0, 1, 0    u  v  w  0  w  0       u  v  w   u  0, 0, 1  1, 0, 0  0, 0, 1  0,  1, 0 

      Por tanto, u  v   w  u  v  w .

15)

    Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores u  v y u  w, siendo:    u 2,  1, 1, v 0, 1,  1 y w 1, 0, 1

Solución:      Calculamos u  v y u  w:

   b  u  w   1,  1, 1

   a  u  v  0, 2, 2

   El área del paralelogr amo determinad o por a y b es igual al módulo de su producto

vectorial:   a  b  0, 2, 2  1,  1, 1  4,  2, 2 Área  4 2   2  2 2  16  4  4  24  4,90 u 2 2

16)

 a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u 2,  1, 1,   v 3, 0,  2 y w 2,  3, 0.

b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:

2u , v, w ; u , v, u  v 

Solución:    a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto

de su producto mixto:

u , v, w  

2 3 2

1 1 0  2  17  Volumen  17 u 3 3 0

b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:

2u, v, w   2u, v, w   2   17  34

u, v, u  v   0 17)

(el tercer vector depende linealment e de los dos primeros).

   a) Halla los valores de m para que los vectores u 0, 1, 1, v  2, 0, 1 y w m, m  1, 1

sean linealmente independientes.

   b) Estudia si el vector 2, 1, 0 depende linealmente de u, v y w para el caso m  3.

Solución: a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero:

u , v, w  

0 2 m

1 1 0 1  4m 0  m  4 m 1 1

Ha de ser m  4.

   b) Para m  3, los vectores u, v y w son linealment e independie ntes, y forman una

base de R3. Por tanto, cualquier vector de R3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos. 18)

   Dados los vectores u 1, 2, 3, v 1, 1, 1 y w 1, , 5; halla el valor de  para que:

a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes. Solución:    a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto

de su producto mixto: 1 2 3    u, v, w   1 1 1  2  6 1  5 2  6  10  2  16    8 Volumen  2  6  10  2  6  10  2  4    2

Hay dos soluciones : 1  8,  2  2

b) Su producto mixto ha de ser cero:

u, v, w   2  6  0

 3

19)

   Dados los vectores u 1, 0,  1, v 0, 2,  1 y w 2,  2, 1, se pide:

a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.

 b) Halla, si existe, el valor de  para que el vector a , ,  6 se pueda expresar como   combinación linealde u y v.

Solución: a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: 1 0    u, v, w   0 2 2 2

1  1  4  Volumen  4 u 3 1

     b) Los vectores u, v y a han de ser linealment e dependient es (u y v son linealment e

independientes); por tanto, su producto mixto ha de ser cero: 1    u, v, a  0 

0 2 

1  1  3  12  0    4 6

20)

   a) Demuestra que los vectores u k ,  3, 2, v k, 3, 2 y w 1, 0, 0 son linealmente

independientes, cualquiera que sea el valor de k.

   b) ¿Cuál es el volumendel paralelepípedo determinado por u, v y w?

Solución: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k.

u , v, w  

k k 1

3 2 3 2  12  0 para todo k. 0 0

b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen  12 u3