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• Wilson Quinatoa

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VECTORES EN EL ESPACIO Vector fijo Un vector fijo en el espacio es un segmento orientado que viene determinado por un par de puntos, el origen y el extremo .

1 Los elementos de un vector son los siguientes: -

La magnitud o módulo del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ es la longitud del segmento AB. El módulo de un vector será un número positivo, a excepción del vector nulo, que tendrá módulo cero.

-

La dirección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ es la recta que pasa por A y B. Dos vectores tendrán la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

-

El sentido del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ es el que se define sobre la recta cuando nos trasladamos de A a B.

Equipolencia de vectores Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido.

Dos puntos y determinarán dos vectores fijos ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ , con el mismo módulo, la misma dirección y sentido opuesto.

Vectores libres Se denomina vector libre al conjunto de vectores fijos equivalentes a uno dado

Vector en

⃗ = (x, y, z) donde x, y, z son las COORDENADAS Un vector v en 𝕽𝟑 queda definido por 𝒗 CARTESIANAS. Los ángulos α, 𝛽 y 𝛾 se llaman ANGULOS DIRECTORES y son los que forma el ⃗ con los ejes X, Y y Z respectivamente; considerando el sentido positivo desde la parte vector 𝒗 positiva del eje hacia el vector. (Figura a)

2

En la representación geométrica de se consideran tres rectas X, Y y Z perpendiculares entre sí, llamadas EJES COORDENADOS (figura b). Los puntos de sobre el eje Y y

que estén sobre los ejes tienen coordenadas de la forma: sobre el eje Z.

sobre el eje X;

Cada par de ejes define un plano, por lo tanto, se tiene 3 PLANOS COORDENADOS; XY, XZ y YZ según el par de rectas que lo definen. Los puntos de que estén sobre estos planos tienen coordenadas de la forma: en el plano XZ y en el plano YZ.

en el plano XY;

Los tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en 8 regiones llamadas OCTANTES Ejemplos:

1. Hacer la representación gráfica de cada uno de los siguientes vectores: ⃗ = (2, 0, 0) ; ⃗ = (0, -2, 0) ; ⃗ = (0, 0, 3) (sobre los ejes coordenados) ⃗⃗ = (2, 2, 0) ; ⃗ = (-2, 0, 3) ; ⃗ = (0, 3, -1) ⃗⃗ = (2, 4, 4) ; ⃗ = (1, 2, -2) (sobre los planos coordenados)

Representación gráfica de los vectores.

3 Para representar un vector sobre alguno de los planos coordenados, se dibuja un paralelogramo en el correspondiente plano, de acuerdo a las coordenadas del vector (Figura a). Para representar un vector con sus tres componentes diferentes de cero, primero se completa el paralelogramo que corresponda sobre el plano XY y se desplaza el punto paralelamente al eje Z, en el sentido que determine la tercera componente según sea positiva o negativa (Figura b).

Distancia entre dos puntos en Sean ( , está dada por

,

)y

( ,

̅̅̅̅ 𝑃𝑄

) dos puntos en el espacio. Entonces la distancia ̅̅̅̅ entre P y Q

,

√ 𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

𝑧

Ejemplo Calcule la distancia entre los puntos Solución ̅̅̅̅ =√[

]

√

Magnitud de un vector en Si

, entonces

𝑣 Ejemplo

Sea = (1, 3, -2). Encuentre | |. |⃗ |

√

√

√𝑥

𝑦

𝑧

𝑧

Vector unitario Un vector unitario ⃗ es un vector con magnitud 1. Cálculo de un vector unitario en Si ⃗ es un vector diferente de cero, entonces ⃗ es un vector unitario que tiene la misma dirección que ⃗

⃗ 𝒗 ⃗ 𝒗

⃗ 𝒖 4 Ejemplo

Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que ⃗ Como

√

√

se tiene ⃗

( √

√

)

√

Dirección en

se define como el vector unitario ⃗

La dirección de un vector ⃗⃗⃗ en

⃗ ⃗

Operaciones con vectores en SUMA Es una operación definida entre 2 vectores y el resultado es un vector. Si ⃗ y ⃗

, ⃗

y

⃗

⃗ 𝒖

Si A y B son dos puntos en ⃗⃗⃗⃗⃗ como:

se define

⃗ 𝒗

𝑥

𝑥

𝑦

de coordenadas

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

𝐴

⃗ 𝐵

𝑦

𝑧

𝑧

)y

𝑏

𝑎

𝑏

respectivamente, se define el vector

𝑎

𝑏

𝑎

5 MULTIPLICACIÓN ESCALAR Es una operación definida entre un real (escalar) y un vector y el resultado es un vector.

y ⃗

Dados

, se define ⃗ 𝑟𝒗

𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟 𝑧

𝑤 ⃗⃗

Se dice que ⃗⃗⃗ es MÚLTIPLO ESCALAR de ⃗ , es decir, existe un real r, tal que ⃗⃗⃗

r⃗ .

También se dice que ⃗ y ⃗⃗⃗ son vectores LINEALMENTE DEPENDIENTES o PARALELOS, es decir, que se encuentran sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

Dados 𝒊 𝒋 y ⃗𝒌 , los 3 vectores unitarios en sobre los ⃗ ejes coordenados X, Y y Z respectivamente, todo vector 𝒗 se puede expresar en forma única, como COMBINACIÓN LINEAL de los vectores 𝒊, 𝒋 y ⃗𝒌 , es decir, ⃗ si 𝒗

𝑣 𝑣 𝑣

⃗ entonces 𝒗

𝑣 𝒊

𝑣 𝒋

𝑣 ⃗𝒌.

y ⃗ son LINEALMENTE INDEPENDIENTES, porque ninguno de ellos es combinación lineal de los otros dos, por tanto, { , , ⃗ } es la BASE CANÓNICA o NATURAL de . Los 3 vectores ,

Nota: Al igual que en ⃗

todo vector ⃗ queda definido de dos formas: por sus coordenadas

, en

,o, como combinación lineal de los vectores de la base canónica ⃗ =

Ejemplos: 1. Dados los vectores ⃗

y ⃗

a) Expresar ⃗ y ⃗ en términos de la base canónica y hallar ⃗ + ⃗ : Solución: ⃗ ⃗

(-1) 2

0 4

2⃗ =

3⃗ =2

2⃗ . 4

3⃗ .

⃗.

⃗

⃗

[

]

[

]

]⃗

[

b) Hallar las coordenadas de un vector ⃗ tal que 2 ⃗ Solución:

2⃗

⃗

⃗ ⇒⃗

⃗ –

4 ⃗

5⃗ .

⃗ .

⃗.

⃗

[

]

⃗ ⃗

6 c) Graficar los vectores

Z

2. Hallar un vector ⃗ de longitud 2, que sea paralelo al vector ⃗⃗⃗ Solución: Como ⃗ I I⃗⃗⃗ , entonces existe una constante c tal que ⃗ Si ⃗

⃗⃗

⇒ ⇒

Como ⃗ = 2, entonces: √

⇒ ⇒

√ √

⇒

Por tanto, el vector ⃗ tiene coordenadas

√

√

√

√

.

Producto escalar

Dados ⃗⃗ y ⃗ denotado por ⃗

, si ⃗

y ⃗

. Entonces el producto escalar de ⃗

, está dado por:

⃗ Ejemplo Dado los vectores: ⃗

7

. Calcular ⃗

⃗

Cosenos directores Se llaman cosenos directores del vector ⃗ a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:

De los cosenos directores se deducen los ÁNGULOS DIRECTORES: ( ) ángulo que forma el vector con el eje X. ( ) ángulo que forma el vector con el eje Y. ( ) ángulo que forma el vector con el eje Z.

Cálculo de los cosenos directores de un vector en 𝛼

𝑥 ⃗ 𝒗

𝛽

𝑦 ⃗ 𝒗

𝛾

𝑧 ⃗ 𝒗

La suma de los cuadrados de los cosenos directores es 1. 𝐶𝑂𝑆 𝛼

𝐶𝑂𝑆 𝛽

𝐶𝑂𝑆 𝛾

(

𝑥 ) ⃗ 𝒗

(

𝑦 ) ⃗ 𝒗

𝑧 ) ⃗ 𝒗

(

Ejemplo Encuentre los cosenos directores del vector

8

⃗

La dirección de

⃗

⃗

(

√

√

√

= (4, -1, 6)

√

√

). Entonces

y

√

√

Cálculo del coseno del ángulo entre dos vectores en Si

denota el ángulo positivo más pequeño entre dos vectores ⃗

𝜑

𝑢 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑣 𝑢

𝑢 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑢

y

diferentes de cero, se tiene

𝑣 𝑣

Ejemplo Calcule el coseno del ángulo entre ⃗ ⃗⃗⃗ .

= 7, ⃗⃗⃗

√

√

⃗

y

, por lo que

√

√

Vectores paralelos y ortogonales Dos vectores ⃗⃗⃗ y

diferentes de cero son:

Paralelos Si el ángulo entre ellos es Si

⃗ para algún escalar

Ortogonales o .

Si el ángulo entre ellos es . . Si ⃗

.

Proyección de ⃗⃗⃗ sobre ⃗ Sean ⃗⃗⃗ y ⃗ dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de ⃗⃗⃗ sobre ⃗ , denotada por está definida por

⃗⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢



9

⃗ 𝑣 ⃗ 𝑣

⃗ 𝑣

⃗⃗⃗ es un vector que tiene la misma dirección que ⃗ si ⃗

La de

⃗⃗⃗ 𝑢

si ⃗

⃗⃗⃗ ,

y la dirección opuesta a la

.

Ejemplo ⃗

Sean ⃗⃗⃗ En este caso,

⃗⃗⃗

⃗ . Encuentre

⃗

⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗

⃗

la componente de ⃗⃗⃗ en la dirección de

es

⃗⃗⃗

⃗ ⃗

√

Producto vectorial o producto cruz de dos vectores Es una operación definida entre 2 vectores de y el resultado es un vector de . Si se tienen dos vectores ⃗ y en que sean linealmente independientes, éstos generan un plano. Con el producto vectorial se pretende obtener un vector que sea perpendicular a dicho plano, es decir, que sea ortogonal a ⃗ y simultáneamente.

𝒊 |𝑎 𝑎

⃗⃗⃗ 𝑥 𝑣 𝑢

𝒋 𝑏 𝑏

⃗ 𝒌 𝑐 | 𝑐

Demostración ⃗ |

|

|

|

|

|

|

|⃗ ⃗

Interpretación geométrica Dos vectores ⃗⃗ y ⃗ en linealmente independientes, generan un plano. El producto cruz entre ellos es un vector ortogonal o normal a dicho plano.

⃗⃗⃗ = ⃗ x ⃗ tiene sentido positivo porque el ángulo entre ⃗⃗ y ⃗ es positivo. -⃗⃗⃗ = ⃗ x ⃗⃗ tiene sentido negativo porque el ángulo entre ⃗ y ⃗ es -

10

⃗⃗⃗ Es ortogonal tanto a ⃗ como a ⃗ .

Ejemplo Calcule ⃗⃗⃗ x , donde ⃗⃗⃗ = 2 + 4 - 5 ⃗ y

= -3 - 2 + ⃗ .

⃗ ⃗⃗⃗

|

El producto cruz ⃗

|

es ortogonal tanto a ⃗ como a

Área de un paralelogramo El área del paralelogramo que tiene lados adyacentes ⃗⃗⃗ y es igual a: A

𝑢 ⃗ 𝑣 in 𝜑

𝑢 ⃗ 𝑥𝑣

⃗

⃗

Ejemplo Encuentre el área del paralelogramo con vértices consecutivos en (1, 3, -2), (2, 1, 4) y (-3, 1, 6)

Área = |⃗⃗⃗⃗⃗ X ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |( - 2 + 6⃗ ) x (-5 + 2⃗ )|

11

⃗ =|

|

|

⃗|

√

unidades cuadradas.

Producto mixto Llamamos producto mixto de tres vectores ⃗

⃗⃗ de 𝑢 ⃗

al número real definido de la forma:

𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑤 ⃗⃗

Ejemplo Las componentes de ⃗

⃗⃗ son ⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗

|

|

|

. Calcular ⃗

|

|

|

Volumen del paralelepípedo El volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores ⃗

𝑉

𝑢 ⃗

𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑤 ⃗⃗

⃗⃗ es igual a:

⃗⃗ .

Ejemplo Hallar el volumen del paralelepípedo sabiendo que las coordenadas de los vértices A, B, D y E son:

⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

(

)

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

12

El volumen del cuerpo está dado por: ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

|

|

|

|

⌈

⌉

Resumen de fórmulas Distancia entre dos puntos en

̅̅̅̅

√

Magnitud de un vector en Cálculo de un vector unitario en 13 Producto escalar

√

⃗ ⃗

Cosenos directores de un vector en

⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

Coseno del ángulo entre dos vectores en

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Proyección de ⃗⃗⃗ sobre ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗ Producto cruz de dos vectores

⃗⃗⃗

⃗

|

Área de un paralelogramo

⃗⃗ ⃗

Volumen del paralelepípedo

⃗⃗

|

⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗