Vectores en El Espacio Tridimensional
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA PROCESOS QUÍMICOS
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VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todos los temas ordenados de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3 . Cada tema ordenada ( x, y, z ) se denomina punto del espacio numérico tridimensional. Con el fin de representar R 3 en un espacio geométrico tridimensional, se consideran las distancias dirigidas de un punto a tres planos mutuamente perpendiculares. Los tres planos se forman al tomar tres rectas perpendiculares entre sí, las cuales se intersectan en
om
un punto llamado origen y denotado por O . Estas rectas, denominadas ejes de
a1
.c
coordenadas, se designan como el eje x , eje y y eje z . Por lo común los ejes x y y se
ic
consideran en un plano horizontal, y el eje z vertical. El sentido positivo, elegido en cada
at
eje como se muestra en la figura 1, proporciona un sistema coordenado derecho. Este
em
nombre se deriva del hecho de que si se coloca la mano derecha de modo que el dedo
M at
índice apunte en la dirección positiva del eje x , y el dedo medio apunte hacia el sentido positivo del eje y , entonces el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z . Observe
w.
la figura 2. Los tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy que contiene a
ww
los ejes x y y , el plano xz que contiene a los ejes x y z , y el plano yz que contiene a los ejes y y z , como se muestra en la figura 3.
Una tema ordenada ( x, y, z ) se asocia con cada punto P del espacio geométrico tridimensional. La distancia dirigida de P al plano yz es la coordenada x , su distancia 1 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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dirigida al plano xz es la coordenada y , y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy . Estas tres coordenadas se denominan coordenadas cartesianas rectangulares de P , y existe una correspondencia uno a uno, denominada sistema coordenado cartesiano rectangular, entre las temas ordenadas de números reales y los puntos del espacio geométrico tridimensional. En consecuencia, se identifica R 3 con el espacio geométrico tridimensional. En la figura 4 se muestran los puntos ( 2,3, 4 ) y ( 4, −2, −5 ) . Los
ic
a1
.c
om
tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes denominadas octantes. El primer octante es aquel en el que las tres coordenadas son positivas. Una recta es paralela a un plano si y sólo si la distancia desde cualquier punto de la recta al plano es constante.
em
at
Ejemplo Una recta paralela al plano yz , otra paralela al plano xz , y otra más paralela al plano xy ,
ww
w.
M at
se muestran en las figuras 5,6 y 7, respectivamente.
Nota: 1) Una recta es paralela al plano yz si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x . 2) Una recta es paralela al plano xz si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y .
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3) Una recta es paralela al plano xy si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada z . 4) En el espacio tridimensional, si una recta es paralela a cada uno de dos planos que se intersectan, entonces la recta es paralela a la recta de intersección de los dos planos. 5) Si una recta dada es paralela a una segunda recta, entonces la recta dada es paralela a cualquier plano que contenga a la segunda recta. 6) Una recta es paralela al eje x si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y y la misma coordenada z . 7) Una recta es paralela al eje y si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada z . 8) Una recta es paralela al eje z si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y .
a1
.c
om
Ejemplo Una recta paralela al eje x , otra paralela al eje y , y otra más paralela al eje z , se
ww
w.
M at
em
at
ic
presentan en las figuras 8, 9 y 10, respectivamente.
DISTANCIA DE UN PUNTO A OTRO DE UNA RECTA PARALELA A UNO DE LOS EJES COORDENADOS 1) Si A ( x1 , y, z ) y B ( x2 , y, z ) son dos puntos de una recta paralela al eje x , entonces la distancia dirigida de A a B , denotada por AB , está dada por AB = x2 − x1 . 2) Si C ( x, y1 , z ) y D ( x, y2 , z ) son dos puntos de una recta paralela al eje y , entonces la distancia dirigida de C a D , denotada por CD , está dada por CD = y2 − y1 . 3) Si E ( x, y, z1 ) y F ( x, y, z2 ) son dos puntos de una recta paralela al eje z , entonces la distancia dirigida de E a F , denotada por EF , está dada por EF = z2 − z1 . 3 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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Ejemplo: La distancia dirigida PQ del punto P ( 2, −5, −4 ) al punto Q ( 2, −3, −4 ) está dada por el
PQ = ( −3) − ( −5 ) = 2 DISTANCIA NO DIRIGIDA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL. La distancia no dirigida entre los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z2 ) está dada por P1 P2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2
2
2
Ejemplo
2
2
= 35
.c
2
a1
( 2 + 3) + ( 5 − 4 ) + ( −4 + 1)
Solución: PQ =
om
Calcule la distancia no dirigida entre los puntos P ( −3, 4, −1) y Q ( 2,5, −4 ) .
ic
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
x1 + x2 2
y=
y1 + y2 2
z1 + z2 2
w.
z=
M at
x=
em
y P2 ( x2 , y2 , z2 ) están dadas por
at
Las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1 , y1 , z1 )
ww
DEFINICIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN EN R3 La gráfica de una ecuación en R 3 es el conjunto de puntos ( x, y, z ) cuyas coordenadas son números que satisfacen la ecuación. Una superficie es la gráfica de una ecuación en
R 3 . DEFINICIÓN DE ESFERA Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de la esfera y la medida de la distancia constante se llama radio. La ecuación de la esfera de radio r y centro en ( h, k , l ) es
( x − h) + ( y − k ) + ( z − l ) 2
2
2
= r 2
Nota: La gráfica de cualquier ecuación de segundo grado en x , y y z , de la forma
x 2 + y 2 + z 2 + Gx + H y + I z + J = 0 es una esfera, un punto o el conjunto vacío. 4 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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Ejemplo Determine la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y + 2 z = 2 Solución: Si se reagrupan los términos y se completan los cuadrados se tiene x2 + 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = 2 + 9 + 4 + 1 2 2 2 ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16
a1
.c
om
La gráfica es una esfera que tiene su centro en ( 3, 2, −1) y radio 4.
at
ic
Ejemplo
em
Obtenga una ecuación de la esfera que tiene los puntos A ( −5, 6, −2 ) y B ( 9, −4, 0 ) como
M at
los extremos de uno de sus diámetros. Solución
El centro de la esfera es el punto medio del segmento de recta AB . Sea este punto 9−5 −4 + 6 0−2 =2 y= =1 z= = −1 C x, y, z se tiene x = 2 2 2
w.
)
ww
(
De modo que C es el punto ( 2,1, −1) . El radio de la esfera es CB . En consecuencia,
r=
( 9 − 2 ) + ( −4 − 1) + ( 0 + 1) 2
2
2
= 75
Por tanto, una ecuación de la esfera es
( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) 2
2
2
= 75
x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z − 69 = 0
5 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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DEFINICIÓN DE VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Un vector en el espacio tridimensional es un tema ordenada de números reales x, y, z . Los números x , y y z se denominan componentes del vector x, y, z . Se dice que los vectores a1 , a2 , a3 y b1 , b2 , b3 son iguales si y sólo si a1 = b1 , a2 = b2 y
a3 = b3 . El conjunto de todas las temas ordenadas x, y, z , donde x , y y z son números reales, se denota por V3 . Un vector de V3 puede representarse mediante un segmento dirigido. G Si A = a1 , a2 , a3 , entonces el segmento dirigido que tiene su punto inicial en el origen y
om
su punto terminal en el punto ( a1 , a2 , a3 ) recibe el nombre de representación de posición G de A . Un segmento dirigido que tiene su punto inicial en ( x, y, z ) y su punto terminal en
a1
.c
el punto ( x + a1 , y + a2 , z + a3 ) es también una representación del vector A . El vector cero es el vector 0, 0, 0 y se denota por 0 . Cualquier punto es una
at
ic
representación del vector cero. El módulo de un vector es la longitud de alguna de sus representaciones. Si el vector
em
A = a1 , a2 , a3 , el módulo de A se denota por A , y A = a12 + a2 2 + a32
M at
La dirección de un vector diferente del vector cero de V3 está determinada por tres
ww
w.
ángulos llamados ángulos directores del vector. DEFINICIÓN DE ÁNGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR Los ángulos directores de un vector diferente del vector cero son los tres ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa α , β y γ medidos a partir de los ejes x , y y z , respectivamente, hasta la representación de posición del vector.
La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a π . G Los ángulos directores del vector A = a1 , a2 , a3 , cuyas medidas en radianes son α , β y G γ las componentes de A son números positivos, y los ángulos directores de este vector tiene medidas en radianes positivas menores que
π 2
. En la figura se observa que el
triángulo POR es un triángulo rectángulo y a cos α = G1 A 6 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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Puede demostrarse que la misma fórmula se cumple si
1 π ≤ α ≤ π . De igual manera 2
pueden deducirse fórmulas para cos β y cos γ
a cos γ = G3 A
a cos β = G2 A
om
a cos α = G1 A
a1
.c
G Los tres números cos α , cos β y cos γ se denominan cosenos directores del vector A .
ic
Ejemplo
( 3) + ( 2 ) + ( −6 ) 2
2
2
=7
M at
A =
em
at
G Se determinaran el módulo y los cosenos directores del vector A = 3, 2, −6 .
3 2 6 cos β = cos γ = − 7 7 7 Si el módulo de un vector y sus cosenos directores se conocen, entonces el vector está determinado de manera única G G G a1 = A cos α a2 = A cos β a3 = A cos γ
ww
w.
cos α =
Nota: Los tres cosenos directores de un vector no son independientes entre sí Si cos α , cos β y cos γ son los cosenos directores de un vector, entonces
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Ejemplo. Se verificara para el vector del ejemplo anterior 2
2
2
9 4 36 ⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛ 6⎞ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = + + = 1 49 49 49 ⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎝ 7⎠
El vector A = a1 , a2 , a3 es un vector unitario si A = 1
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[Escriba texto] dR
Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación por un escalar en V3 A = a1 , a2 , a3 y B = b1 , b2 , b3 y c es un escalar, entonces 1) A + B = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 2) − A = − a1 , − a2 , − a3
3) A − B = A + ( − B ) = a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 4) cA = c a1 , a2 , a3 = ( ca1 , ca2 , ca3 )
Ejemplo Dados A = 5, −2, 6 y B = 8, −5, −4 , calcule A + B, A − B,3 A y −5B . Solución
3 A = 3 5, −2, 6 = 15, −6,18
.c
at
ic
−5 B = −5 8, −5, −4 = −40, 25, 20
a1
A − B = 5 − 8, −2 − ( −5 ) , 6 − ( −4 ) = −3,3,10
om
A + B = 5 + 8, −2 + ( −5 ) , 6 + ( −4 ) = 13, −7, 2
w.
M at
em
LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE DOS VECTORES DE V3 G JJJG G Si P es el punto ( x, y, z ) , A = a1 , a2 , a3 y PQ es una representación de A ; entonces Q JJJG G es el punto ( x + a1 , y + a2 , z + a3 ) Sean B = b1 , b2 , b3 y QR una representación de B , JJJG entonces ( x + ( a1 + b1 ) , y + ( a2 + b2 ) , z + ( a3 + b3 ) ) es el punto R . Por tanto, PR es una
ww
representación del vector A + B , y se cumple la ley del paralelogramo.
LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES DE V3
G G Se puede obtener una representación del vector A − B al elegir las representaciones de G G A y B de modo que tengan el mismo punto inicial. Entonces, una representación del
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[Escriba texto] dR
G G G vector A − B es el segmento dirigido del punto terminal de la representación de B al G punto terminal de la representación de A .
La figura 18 muestra los puntos P ( a1 , a2 , a3 ) y Q ( b1 , b2 , b3 ) , y los segmentos dirigidos JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG PQ, OP y OQ . Observe que V PQ = V OQ − V OP = b1 , b2 , b3 − a1 , a2 , a3
( ) ( )
M at
Ejemplo
em
( )
at
Por tanto, JJJG V PQ = b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3
ic
a1
.c
om
( )
ww
w.
JJJG La figura 19 muestra el segmento dirigido PQ , donde P es el punto (1,3,5 ) y Q es el JJJG punto ( 2, −1, 4 ) . Por tanto, V PQ = 2 − 1, −1 − 3, 4 − 5 = 1, −4, −1
( )
Suponga que A = a1 , a2 , a3 es diferente del vector cero y que tiene los cosenos directores cos α , cos β y cos γ y que c es cualquier escalar. Entonces cA = ( ca1 , ca2 , ca3 ) ; y si cos α1 , cos β1 y cos γ 1 son los cosenos directores de cA , entonces se tiene 9 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
cos α1 =
ca1 c a1 c ⇒ ⇒ cos α cA c A c
cos β1 =
ca2 c a2 c ⇒ ⇒ cos β cA c A c
cos γ 1 =
ca3 c a3 c ⇒ ⇒ cos γ cA c A c
Por tanto, si c es un escalar diferente de cero, entonces el vector cA es un vector cuyo módulo es c veces el módulo de A . Si c > 0, cA tiene la misma dirección que A . Si c < 0 el sentido de cA es el opuesto al de A j = 0,1, 0 Los tres vectores unitarios i = 1, 0, 0
k = 0, 0,1 forman una base para
.c
om
el espacio vectorial V3 debido a que cualquier vector a1 , a2 , a3 puede expresarse en
a1
términos de ellos como sigue: a1 , a2 , a3 = a1 1, 0, 0 + a2 0,1, 0 + a3 0, 0,1
at
ic
En consecuencia, si A = a1 , a2 , a3 , también se puede escribir G A = a1i + a2 j + a3k
M at
em
Ecuación que permite expresar cualquier vector diferente de cero en términos de su módulo y de sus cosenos directores.
A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k
w.
A = A ( cos α i + cos β j + cos γ k )
ww
Ejemplo Exprese el vector del ejemplo anterior en términos de su módulo y de sus cosenos directores. Solución 3 2 6 A = 7, cos α = , cos β = y cos γ = − . A = 3, 2, −6 y se obtuvo 7 7 7 6 ⎞ ⎛3 2 A = 7⎜ i + j − k ⎟ 7 ⎠ ⎝7 7 VECTOR UNITARIO Si A = a1i + a2 j + a3k es diferente del vector cero, entonces el vector unitario U que tiene G a a a la misma dirección que A está determinado por U = G1 i + G2 j + G3 k A A A 10 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
Ejemplo Dados los puntos R ( 2, −1,3) y S ( 3, 4,6 ) . Obtenga el vector unitario que tiene la misma JJJG dirección que V RS .
( )
Solución JJJG V RS = 3 − 2, 4 − ( −1) , 6 − 3 = i + 5 j + 3k JJJG 2 2 2 V RS = 1 + 5 + 3 = 35
( ) ( )
el vector unitario pedido es U =
1 5 3 i+ j+ k 35 35 35
om
EJERCICIOS RESUELTOS
A ( 0, 0, 0 ) ; B ( 7, 2,3)
at
1.
ic
a1
.c
En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (b) calcule la longitud de la diagonal AB.
em
a ) (7, 2, 0) ; (0, 0,3) ;(0, 2, 0) ; (0, 2,3) ; (7, 0,3) ; (7, 0, 0)
2.
M at
b) AB = 7 − 02 + 2 − 02 + 3 − 02 = 49 + 4 + 9 = 62 A (1,1,1) ; B ( 3, 4, 2 )
w.
a )(1,1, 2) ; (1, 4,1) ;(1, 4, 2) ; (3,1,1) ; (3,1, 2) ;( 3, 4,1)
ww
b) AB = 3 − 12 + 4 − 12 + 2 − 12 = 4 + 9 + 1 = 14 3.
A ( −1,1, 2 ) ; B ( 2,3,5 )
a ) (2,1, 2) ; (−1,3, 2) ;(−1,1,5) ;( 2,3, 2) ; (−1,3,5) ; (2,1,5) b) AB = 2 + 12 + 3 − 12 + 5 − 22 = 9 + 4 + 9 = 22 4.
A ( 2, −1, −3) ; B ( 4, 0,1)
a) Rectángulo ACDE Y FGBH son caras paralelas.
b) La línea BC es paralela al plano yz, entonces el punto B y C tiene igual coordenadas en y y z. Entonces c = (4, −1, −3)
De forma similar se determina las coordenadas de los demás vértices D = (4, 0,3); E = (2, 0, −3); F = (2, −1, −1); G = (4, −1, −1); H = (2, 0, −1)
b) AB = 4 − 22 + 0 + 12 + −1 + 32 = 3
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[Escriba texto] dR
5.
A (1, −1, 0 ) ; B ( 3,3,5 )
a ) (3, −1, 0) ; (3,3, 0) ;(1,3, 0) ; (1,3,5) ; (1, −1,5) ; (3, −1,5) b) AB = 3 − 12 + 3 + 12 + 5 − 02 = 4 + 16 + 25 = 3 5
ic
d = 182 + 152 + 122 = 3 62 + 52 + 42 = 3 77
a1
.c
om
6) El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie por arriba del primer rincón determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos
em
at
En los ejercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B.
AB = (3 − 1) 2 + (4 − 6) 2 + (2 − 3)2 = 4 + 4 + 1 = 9 = 3 3 +1 4+6 2+3 5 = 2; y = = 5; z = = ⇒ Pm(2,5, 52 ) 2 2 2 2
ww
b) x =
w.
a)
M at
7) A ( 3, 4, 2 ) ; B (1, 6,3)
8) A ( 4, −3, 2 ) ; B ( −2,3, −5 ) a)
AB = (−2 − 4) 2 + (3 + 3) 2 + (−5 − 2) 2 = 62 + 62 + 7 2 = 11
b) x =
4−2 −3 + 3 2−5 3 = 1; y = = 0; z = = − ⇒ Pm(1, 0, 32 ) 2 2 2 2
9) A ( 2, −4,1) ; B ( 12 , 2,3) 2
a)
1⎞ 9 13 ⎛ AB = ⎜ 2 − ⎟ + (−4 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = + 36 + 4 = 2⎠ 4 2 ⎝
b) x =
2 + 12 5 −4 + 2 1+ 3 ⎛5 ⎞ = ;y = = −1; z = = 2 ⇒ Pm = ⎜ , −1, 2 ⎟ 2 4 2 2 ⎝4 ⎠
12 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR 10) A ( −2, − 12 ,5 ) ; B ( 5,1, −4 ) 2
a)
9 1 23 ⎛ 1⎞ AB = (5 + 2) + ⎜ 1 + ⎟ + (−4 − 5) 2 = 49 + + 81 = 529 = 4 2 2 ⎝ 2⎠ 2
b) x =
− 1 +1 1 −2 + 5 3 5−4 1 ⎛3 1 1⎞ = ;y = 2 = ;z = = ⇒ Pm = ⎜ , , ⎟ 2 2 2 4 2 2 ⎝2 4 2⎠
11) A ( −5, 2,1) ; B ( 3, 7, −2 ) a)
AB = (−5 − 3) 2 + (2 − 7) 2 + (1 + 2)2 = 64 + 25 + 9 = 98 = 7 2 −5 + 3 2+7 9 1− 2 1 9 1⎞ ⎛ = −1; y = = ;z = = − ⇒ Pm = ⎜ −1, , − ⎟ 2 2 2 2 2 2 2⎠ ⎝
om
b) x =
a1
.c
12) Demuestre que los tres puntos (1, −1,3) ; ( 2,1, 7 ) y ( 4, 2, 6 ) son los vértices de un triángulo
ic
rectángulo, y calcule su área.
at
AB = 2 − 12 + 1 + 12 + 7 − 32 = 21; BC = 4 − 22 + 2 − 12 + 6 − 7 2 = 6
AB + BC = 21 + 6 = 27 = AC 2
2
M at
2
em
AC = 4 − 12 + 2 + 12 + 6 − 32 = 27
ww
w.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC. Para calcular el área se toma en cuanta base AB y altura BC
Área =
bh ⇒ 2
21 6 3 14 = 2 2
13) Se dibuja una recta que pasa por el punto ( 6, 4, 2 ) y que es perpendicular al plano yz . Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que están a una distancia de 10 unidades del punto ( 0, 4, 0 ) . Como la recta es perpendicular al plano YZ, esta es paralela eje x, entonces el punto difiere de la variable x y tiene la forma ( x, 4, 2) entonces la distancia desde ese punto hasta (0, 4, 0) en 10 unidades se determina:
( x − 0) 2 + (4 − 4) 2 + (2 − 0) 2 = 10 x 2 + 4 = 100 ⇒ x 2 = 96
x = ±4 6 ⇒ (4 6, 4, 2); (−4 6, 4, 2) 13 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
14) Resuelva el ejercicio 13 si la recta se dibuja perpendicularmente al plano xy . El punto 6, 4, z es 10 unidades de 0, 4, 0 (6 − 0) 2 + (4 − 4) 2 + ( z − 0) 2 = 102 ⇒ 36 + z 2 = 100 z 2 = 64 ⇒ z = ±8 ⇒ (6, 4,8) ∧ (6, 4, −8)
15) Demuestre que los tres puntos ( −3, 2, 4);(6,1, 2); (−12,3, 6) son colineales empleando la fórmula de la distancia. A(−3, 2, 4) ; B(6,1, 2) ; C (−12,3, 6)
AB = (6 + 3)2 + (1 − 2) 2 + (2 − 4)2 = 81 + 1 + 4 = 86
AC = (−12 + 3) 2 + (3 − 2) 2 + (6 − 4) 2 = 81 + 1 + 4 = 86
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
.c
a1
Si A; B y C son los vértices de un triángulo, entonces
om
BC = (−12 − 6) 2 + (3 − 1) 2 + (6 − 2) 2 = 324 + 4 + 16 = 344 = 2 86
JJJG
JJJG
at
ic
AB + AC > BC pero AB + AC = 2 86 = BC
em
Por lo tanto A, B y C no son los vértices de un triángulo, y son colineales.
y ( 0,3, 4 ) .
M at
16) Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en ( 3, 2,3) ; ( −1,1,5 )
ww
w.
Para encontrar los vértices de un triángulo, donde los puntos medios son: D (3, 2, 3) ; E ( −1,1, 5) ; F = (0, 3, 4) Sean A, B y C los puntos vértices del triángulo, con D el punto medio de BC, E el punto medio de AC y F el punto medio de AB, entonces DEAF es un paralelogramo, y utilizando los vectores posiciones tenemos:
JJJG JJJG FA = DE ⇒ a − f = e − d ⇒ a = − d + e + f = −3, 2,3 + 0,3, 4 + −1,1,5 = −4, 2, 6 JJJG JJJG FB = ED ⇒ b − f = d − e ⇒ b = d − e + f = 3, 2,3 − 0,3, 4 + −1,1,5 = 2, 0, 4 JJJG JJJG DC = FE ⇒ c − d = e − f ⇒ c = d + e − f = 3, 2,3 + 0,3, 4 − −1,1,5 = 4, 4, 2
A(−4, 2, 6) ; B(2, 0, 4) ; C (4, 4, 2) 17) Para el triángulo que tienen vértices A ( 2, −5,3) ; B ( −1, 7, 0 ) y C ( −4,9, 7 ) calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de cada lado.
AB = (2 + 1) 2 + (−5 − 7) 2 + (3 − 0) 2 = 9 + 144 + 9 = 162 = 9 2 14 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
AC = (2 + 4) 2 + (−5 − 9) 2 + (3 − 7)2 = 36 + 196 + 16 = 248 = 2 62
BC = (−1 + 4) 2 + (7 − 9) 2 + (0 − 7) 2 = 9 + 4 + 49 = 62 ⎛ 2 − 1 −5 + 7 3 + 0 ⎞ ⎛1 3⎞ Pm( AB ) ⎜ , , ⎟ ⇒ Pm( AB ) ⎜ ,1, ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝2 2⎠ ⎛ 2 − 4 −5 + 9 3 + 7 ⎞ Pm( AC ) ⎜ , , ⎟ ⇒ Pm( AC )(−1, 2,5) 2 2 ⎠ ⎝ 2
⎛ −1 − 4 7 + 9 0 + 7 ⎞ ⎛ 5 7⎞ Pm( BC ) ⎜ , , ⎟ ⇒ Pm( BC ) ⎜ − ,8, ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 2⎠ 18) Demuestre que cualquier ecuación de la forma x 2 + y 2 + z 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 puede expresarse en la forma ( x − h ) + ( y − k ) + ( z − l ) = k . 2
om
2
.c
2
2
2
ic
a1
1 2⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 2⎞ 1 2 ⎛ 2 2 2 ⎜ x + Gx + G ⎟ + ⎜ y + Hy + H ⎟ + ⎜ z + lz + l ⎟ = G + H + I − 4 j 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ 2
M at
Cuando
em
at
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎛ 2 2 ⎜ x + G ⎟ + ⎜ y + H ⎟ + ⎜ z + L ⎟ = G + H + I − 4J 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 2 2 2 x − h + y − k + z −1 = K
ww
w.
1 1 1 h=− G ;k =− H ; L=− 2 2 2 1 2 2 2 K = G + H + L − 4J 4
19) En los ejercicios 19 a 24, determine la gráfica de la ecuación.
19) x 2 + y 2 + z 2 − 8 y + 6 z − 25 = 0 x 2 + y 2 − 8 y + 16 + z 2 + 6 z + 9 = 25 + 16 + 9 ⇒ x 2 + ( y − 4) 2 + ( z + 3) 2 = 50
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[Escriba texto] dR 20) x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 4 y + 2 z − 4 = 0
x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = 4 + 16 + 4 + 1 ⇒ ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 25
2
2
.c
1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 2 9⎞ 1 1 9 ⎛ 2 ⎜ x − x + ⎟ + ⎜ y − y + ⎟ + ⎜ z − 3 z + ⎟ = −2 + + + 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4 4 4 ⎝
om
21) x 2 + y 2 + z 2 − x − y − 3z + 2 = 0
2
ww
w.
M at
em
at
ic
a1
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ 3 ⎛ ⎜x− ⎟ +⎜ y− ⎟ +⎜z − ⎟ = 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 ⎝
22) x 2 + y 2 + z 2 − 6 z + 9 = 0 x 2 + y 2 + ( z − 3)2 = 0 La gráfica es un punto (0,0,3)
23) x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 10 y − 4 z + 13 = 0 x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 10 y + 25 + z 2 − 4 z + 4 = −13 + 16 + 4 ⇒ ( x − 4) 2 + ( y + 5) 2 + ( z − 2) 2 = 32
16 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR 24) x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 z + 19 = 0
x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 − 4 z + 4 = −19 + 9 + 1 + 4 ⇒ ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2)2 = −5 En los ejercicios 25 a 27, obtenga una ecuación de la esfera que satisface las condiciones iniciales. 25) Uno de los diámetros es el segmento de la recta que tiene extremos en ( 6, 2, −5 ) y ( −4, 0, 7 ) . El diámetro tiene extremo
A( h1 , k1 , l1 ) y B (h2 , k2 , l2 )
a ) si P ( x, y, z ), está sobre la recta ⇒ APB es un triángulo rectángulo AP 2 + BP 2 = AB 2 , esto es ( x − h1 ) 2 + ( y − k1 ) 2 + ( z − l1 ) 2 + ( x − h2 ) 2 + ( y − k2 ) 2 + ( z − l2 ) 2 = (h2 − h1 ) 2 + (k2 − k1 ) 2 + (l2 − l12
om
2 ⎡⎣ x 2 − (h1 + h2 ) x + h1h2 ⎤⎦ + ⎡⎣ y 2 − (k1 + k2 ) y + k1k2 ⎤⎦ + ⎡⎣ z 2 − (l1 + l2 ) z + l1l2 ⎤⎦ = 0
a1
.c
b) Diámetro : (6, 2, −5) y ( − 4, 0, 7) ⇒ ( z − 6) ( z + 4) + ( y − 2)( y − 0) + ( z + 5) ( z − 7) = 0
ic
2 2 2 26) Es concéntrica con la esfera que tiene la ecuación x + y + z − 2 y + 8 z − 9 = 0 y tiene radio
at
3.
em
x 2 + ( y 2 − 2 y + 1) + ( z 2 + 8 z + 16) = 9 + 1 + 16 ⇒ x 2 + ( y − 1)2 + ( z + 4)2 = 26
M at
El centro de la esfera está dado por el punto (0, 1, ‐4) y la ecuación de esfera es
z 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 4) = 9
ww
w.
27) Contiene los puntos ( 0, 0, 4 ) ; ( 2,1,3) y ( 0, 2, 6 ) y su centro se encuentra en el plano yz . Dado que Gx + Hy + Lz + J = − x 2 + y 2 + z El centro es en el plano yz entonces G = 0 Se sustituye las coordenadas en los puntos dados
Hy + Lz + J = − x 2 + y 2 + z 2 (0, 0, 4) ⇒ 4 I + J = −16 (2,1,3) ⇒ H + 3I + J = −14 (0, 2, 6) ⇒ 2 H + 6 I + J = −40 Resolviendo el sistema
J = 12 I = −7 H = −5 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = −5 y − 7 z + 12 17 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
G
G
G
G
En los ejercicios 28 a 33, A = 1, 2,3 ; B = 4, −3, −1 ; C = −5, −3,5 y D = −2,1, 6 . 28) Calcule a.
G G A + 5B 1, 2, 3 + 5 4, −3, −1 = 1, 2, 3 + 20, −15, −5 = 21, −13, −2
G
G
b. 7C − 5D
7 −5, −3.5 − 5 −2,1, 6 = −35, −21, 35 + 10, −5, −30 = −25, −26, 5
G G 7C − 5D
c.
29) Calcule
.c
G G 2A − C 2 1, 2,3 − −5, −3,5 = 2, 4, 6 + 5,3, −5 = 7, 7,1 G G b. 2A − C
om
7 −5, −3,5 − 5 −2,1, 6 = 7 25 + 9 + 25 − 5 4 + 1 + 36 = 7 59 − 5 41
at
ic
a1
a.
em
2 12 + 22 + 32 − 52 + 32 + 52 2 14 − 59 G G G c. 4 B + 6C − 2 D
G G G 4 B + 6C − 2 D
ww
w.
d.
M at
4 4, −3, −1 + 6 −5, −3,5 − 2 −2,1,6 = 16, −12, −4 + −30 −18,30 + 4, −2, −12 = −10, −32,14
4 42 + 32 + 12 + 6 52 + 32 + 52 − 2 22 + 12 + 62 = 4 26 + 6 59 − 2 41 30) Calcule
G
G
G
a. C + 3D − 8 A
−5, −3,5 + 3 −2,1, 6 − 8 1, 2,3 = −5, −3,5 + −6,3,18 + −8, −16, −24 = −19, −16, −1 b.
G G G G A B C−D
(
)
( 1 + 4 + 9)( 16 + 9 + 1)(−3, −4, −1) = 14 26(−3, −4, −1) = 22 ( 7 )13(−3, −4, −1) = 2 91(−3, −4, −1) = −6 91, −8 91, −2 91
18 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR 31) Calcule
G
G
G
G
a. 3 A − 2 B + C − 12 D
3 1, 2,3 − 2 4, −3, −1 + −5, −3,5 − 12 −2,1, 6 = 3, 6,9 + −8, 6, 2 + −5, −3,5 + 24, −12, −72 = 14, −3, −56 G G G G b. A C − B D A = 12 + 22 + 32
B = 42 + ( −3) + ( −1) = 26 2
2
14 −5, −3,5 − 26 −2,1, 6 = −5 14 + 2 26, −3 14 − 26,5 14 − 6 26
32) Determine los escalares a y b tales que
G G G G a A+ B +b C + D = 0
) (
)
om
(
ic
a1
.c
a ⎡⎣ 1, 2,3 + 4, −3, −1 ⎤⎦ + b ⎡⎣ −5, −3,5 + −2,1, 6 ⎤⎦ = 0, 0, 0 a 5, −1, 2 + b −7, −2,11 = 0, 0, 0 Formando un sistema
em
at
5a − 7b = 0 −a − 2b = 0 Resolviendo el sistema se tienen a = 0 b = 0 2a + 11b = 0
M at
G
G
G
G
w.
33) Determine los escalares a, b y c tales que aA + bB + cC = D
Formando un sistema
a + 4b − 5c = −2 2a − 3b − 3c = 1
ww
a 1, 2,3 + b 4, −3, −1 + c −5, −3,5 = −2,1, 6
Resolviendo el sistema se tienen
3a − 3b + 5c = 6
a=
141 16 67 ,b = − ,c = 129 129 129
JJJJG
( )
En los ejercicios 34 a 37, determine los cosenos directores del vector V P1 P2 y verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1.
34) P1 ( 3, −1, −4 ) ; P2 ( 7, 2, 4 ) JJJJG JJJJG JJJJG V ( P1 P2 ) = 7 − 3, 2 + 1, 4 + 4 ⇒ V ( P1 P2 ) = 4,3,8 ⇒ V P1 P2 = 16 + 9 + 64 = 89 cos α =
4 3 8 16 9 64 , cos β = , cos γ = ⇒ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ⇒ + + =1 89 89 89 89 89 89
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[Escriba texto] dR
35) P1 ( −2, 6,5 ) ; P2 ( 2, 4,1) JJJJG JJJJG V ( P1 P2 ) = 2 + 2, 4 − 6,1 − 5 = 4, −2, −4 ⇒ V P1 P2 = 16 + 4 + 16 = 6
2 1 2 4 1 4 cos α = , cos β = − , cos γ = − ⇒ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ⇒ + + = 1 3 3 3 9 9 9
36) P1 ( 4, −3, −1) ; P2 ( −2, −4, −8 ) JJJJG JJJJG V ( P1 P2 ) = −2 − 4, −4 + 3, −8 + 1 = −6, −1, −7 ⇒ V P1 P2 = 36 + 1 + 49 = 86 6 1 7 , cos β = − , cos γ = − 86 86 86 36 1 49 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ⇒ + + =1 86 86 86
cos α = −
ic
1 2 1 2 32 2 2, cos β = − 2, cos γ = − 2⇒ + + =1 6 3 6 36 36 36
at
cos α =
a1
.c
om
37) P1 (1,3,5 ) ; P2 ( 2, −1, 4 ) JJJJG JJJJG V ( P1 P2 ) = 2 − 1, −1 − 3, 4 − 5 = 1, −4, −1 ⇒ V P1 P2 = 1 + 16 + 1 = 18 = 3 2
JJJJG
( )
JJJG
( )
em
38) Utilice los puntos del ejercicio 36 y obtenga el punto Q tal que V P1 P2 = 3V PQ . 1
w.
13 4 ; 3 y + 3 = 3 ⇒ y = 0; 3z + 2 = 8 ⇒ z = − 3 3
ww
3x − 9 = 4 ⇒ x =
M at
Sea P1 (3, −1, 4); P2 (7, 2, 4); dado Q( x, y, z ) ⇒ JJJJG JJJG V ( P1 P2 ) − 3V PQ 1 ⇒ 4,3,8 − 3 x − 3, y + 1, z + 4
4⎞ ⎛ 13 , 0, − ⎟ 3⎠ ⎝ 3
El punto es Q = ⎜
JJJG
( )
JJJG
( )
39) Utilice los puntos del ejercicio 37 y obtenga el punto R tal que V P1 R = −2V P2 R Dados P1 (1,3,5 ) ; P2 ( −5, 4, 2 ) Utilizando la definición de vectores de posición
r − P1 = −2 ( r − P2 ) = −2r + 2 P2 3r = P1 + 2 P2 = 1,3,5 + 2 2, −1, 4 = 5,1,13 5 1 13 ⎛ 5 1 13 ⎞ r =⎜ , , ⎟⇒ R= , , 3 3 3 ⎝3 3 3 ⎠
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[Escriba texto] dR
JJJJG
( )
(
JJJJG
)
40) Dados P1 ( 3, 2, −4 ) y P2 ( −5, 4, 2 ) , determine el punto P3 tal que 4V P1 P2 = −3V P2 P3 .
JJJJG JJJJG Sea P3 ( x, y, z ) ⇒ 4V P1 P2 = −3V P2 P3
( )
(
)
4 −5 − 3, 4 − 2, 2 + 4 = −3 x + 5, y − 4, z − 2 −32,8, 24 = −3x + 15, −3 y + 12, −3z + 6 Formando un sistema
−3 x − 15 = −32 −3 y + 12 = 8 −3 z + 6 = 24
Se tiene
x=
⎛ 17 4 ⎞ P3 = ⎜ , , −6 ⎟ ⎝ 3 3 ⎠
17 4 , y = , z = −6 3 3
om
JJJJG
( )
(
JJJJG
)
a1
.c
41) Dados P1 ( 7, 0, −2 ) y P2 ( 2, −3,5 ) , determine el punto P3 tal que V P1 P3 = 5V P2 P3
JJJJG JJJJG V P1 P3 = 5V P2 P3 ⇒ P3 − P1 = 5( P3 − P2 ) ⇒ 4 P3 = 5 P2 − P1
(
)
ic
( )
em
at
3, −15, 27 (5 P2 − P1 ) ⎛ 3 15 27 ⎞ P3 ⇒ P3 = ⇒ P3 ⎜ , − , ⎟ 4 4 ⎝4 4 4 ⎠
G 42) A = −6i + 2 j + 3k
M at
En los ejercicios 42 y 43, exprese el vector en términos de su módulo y de sus cosenos directores.
G
ww
w.
Sea α , β , γ la dirección del ángulo del vector. V = ai + bj + ck
G G a b c cos α = G ; cos β = G ; cos γ = G ⇒ V = V (cos α i + cos β j + cos γ k ) V V V A = 36 + 4 + 9 = 49 = 7
G 6 2 3 ⎛ 6 2 3 ⎞ cos α = − ; cos β = ; cos γ = ⇒ A = 7 ⎜ − i + j + k ⎟ 7 7 7 7 7 ⎠ ⎝ 7 G 43) A = −2i + j − 3k
G 1 3 ⎞ ⎛ 2 A = 4 + 1 + 9 = 14 ⇒ A = 14 ⎜ − i+ j− k ⎟ 14 14 ⎠ ⎝ 14 21 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
G 44) A = 3i + 4 j − 5k
⎛3 2 2 2 2 ⎞ A = 9 + 16 + 25 = 50 = 5 2 ⇒ A = 5 2 ⎜⎜ i+ j− k ⎟⎟ 10 5 2 ⎝ ⎠ JJJJG
( )
En los ejercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de V P1 P2
45) a ) P1 ( 4, −1, −6 ) ; P2 ( 5, 7, −2 ) JJJJG V P1 P2 = 5 − 4, 7 + 1, −2 + 6 = 1,8, 4
( ) JJJJG V (PP ) = 1 2
1 + 64 + 16 = 81 = 9 ⇒ U =
1 8 4 , , 9 9 9
om
b) P1 ( −2,5,3) ; P2 ( −4, 7,5 )
a1
ic
46) a) P1 ( 3, 0, −1) ; P2 ( −3,8, −1)
at
1 2
G 1 1 1 4 + 4 + 4 = 12 = 2 3 ⇒ U = − , , 3 3 3
em
( ) JJJJG V (PP ) =
.c
JJJJG V P1 P2 = −4 + 2, 7 − 5,5 − 3 = −2, 2, 2
ww
1 2
G 3 4 36 + 64 + 0 = 100 = 10 ⇒ U = − , , 0 5 5
w.
( ) JJJJG V (PP ) =
M at
JJJJG V P1 P2 = −3 − 3,8 − 0, −1 + 1 = −6,8, 0
b) P1 ( −8, −5, 2 ) ; P2 ( −3, −9, 4 ) JJJJG V P1 P2 = −3 + 8, −9 + 5, 4 − 2 = 5, −4, 2
( ) JJJJG V (PP ) = 1 2
G 25 + 16 + 4 = 45 = 3 5 ⇒ U =
−4 2 , 3 5 3 5 3 5 5
,
En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3 y c es cualquier escalar.
G G 47) A = a1 , a2 , a3 B = b1 , b2 , b3 G G G G G G G G a) A + B = B + A ⇒ A + B = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 = b1 + a1 , b2 + a2 , b3 + a3 = B + A G G G G G b) A + 0 = A ⇒ sea : 0 = 0,0,0 ⇒ A + 0 = a1 + 0, a2 + 0, a3 + 0 = a1 , a2 , a3 = A 22 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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[Escriba texto] dR
G G G G c ) A + − A = 0 ⇒ A + − A = a1 + − a1 , a2 + − a2 , a3 + − a3 = 0, 0, 0 = 0 G G G G d )c ( A + B ) = cA + cB G G c ( A + B ) = c a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 = c a1 + b1 , c a2 + b2 , c a3 + b3 G G = ca1 + cb1 , ca2 + cb2 , ca3 + cb3 = ca1 , ca2 , ca3 + cb1 , cb2 , cb3 = cA + cB
G G G 48) A = a1 , a2 , a3 B = b1 , b2 , b3 C = c1 , c2 , c3 G G G G G G a ) A + B + C = A + B + C Ley asociativa. G G G A + B + C = a1 , a2 , a3 + b1 , b2 , b3 + c1 , c2 , c3
(
) (
)
= a1 , a2 , a3 + b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3
= a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 , a3 + b3 + c3 G G G = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 + c1 , c2 , c3 = a1 , a2 , a3 + b1 , b2 , b3 + c1 , c2 , c3 = A + B + C
.c om
= a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 , a3 + b3 + c3
G G b) ( cd ) A = c dA Ley asociativa. G G (cd ) A = (cd ) a1, a2 , a3 = (cd ) a1,(cd ) a2 ,(cd ) a3 = c da1 , c da2 , c da3 = c da1, da2 , da3 = c (dA)
ic
a1
( )
at em
at
49) Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los puntos medios de PQ, Q R, R S y SP, respectivamente, demuestre mediante geometría analítica que A B C D es un paralelogramo.
M
si : P, Q, R, S son 4 puntos de R 3 ⇒ los puntos medios : A, B, C , D de
ww w.
PQ, QR, RS , SP forman un paralelogramo a = p + q ,b = q + r ,c = r + s , d = s + p
2
2 2 2 JJJG JJJG r− p por lo tanto : AB = b − a = = c − d = DC 2
50) Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud.
A ( 0, 0, 0 ) , B ( a, b, c ) , C ( a, b, 0 ) , H ( a, 0, 0 ) , G ( 0, b, c ) , E ( a, 0, c ) , F ( 0, b, 0 ) JJJG AB = a − 02 + b − 02 + c − 02 = a 2 + b 2 + c 2 JJJG CH = a − 02 + 0 − b 2 + 0 − c 2 = a 2 + b 2 + c 2 JJJG DG = a − 02 + b − 02 + 0 − c 2 = a 2 + b 2 + c 2 JJJG EF = 0 − a 2 + b − 02 + 0 − c 2 = a 2 + b 2 + c 2
DÁMASO ROJAS (MAYO 2011) 23 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS