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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA

UNIDAD 1: Vectores Magnitud Física: es todo aquello que siendo capaz de aumento o disminución es susceptible de medición. Las magnitudes físicas son de dos tipos: escalares y vectoriales Magnitudes físicas escalares: son aquellas que quedan bien definidas únicamente mencionando su módulo y unidad de medida, ejemplos: Longitud, masa, tiempo, área, volumen, temperatura, potencia, energía, entre otras. Magnitudes físicas vectoriales: son aquellas que para quedar bien definidas requieren a más de su módulo y unidad de medida, indicar la dirección, sentido y en algunos casos sus punto de aplicación ejemplos: Fuerza, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de movimiento lineal, torque, entre otras. Representación de las magnitudes físicas vectoriales: A los vectores se los puede representar gráficamente mediante un segmento dirigido trazado a escala en un sistema de referencia, en el que el módulo del vector esa expresado por el tamaño del segmento trazado a cierta escala, su dirección estará dada por el ángulo que forme el segmento con los ejes del sistema de referencia, el sentido viene representado por la saeta del segmento dirigido. Sistema unidimensional

Sistema bidimensional

Sistema tridimensional

𝑌

𝑌

0

𝐴Ԧ

𝑋

ሬԦ 𝐵

0

𝜃

0 𝐴: módulo o tamaño Dirección: horizontal Sentido: derecha

ሬԦ 𝒄

𝛽 𝛼 𝛾

𝑋

𝐵: módulo o tamaño Dirección: θ, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟑𝟔𝟎° Sentido: saeta

𝑍 𝐶: módulo o tamaño Dirección: α, 𝟎 ≤ 𝜶 ≤ 𝟏𝟖𝟎° β, 𝟎 ≤ 𝜷 ≤ 𝟏𝟖𝟎° γ, 𝟎 ≤ 𝜸 ≤ 𝟏𝟖𝟎° Sentido: saeta

𝑋

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Expresión de un vector en distintos tipos de coordenadas: 1. Coordenadas escalares rectangulares

ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑃ሺ𝑥; 𝑦; 𝑧ሻ 𝑥: Es la componente sobre el eje horizontal

𝑦 𝑃ሬԦሺ𝑥; 𝑦; 𝑧ሻ

y: Es la componente sobre el eje vertical z: Es la componente sobre el eje z r:es el tamaño o módulo del vector OP

𝑟

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝑦

𝑥

𝑂 𝑧 𝑥

𝑧 2. Coordenadas polares

ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑃ሺ𝑃; 𝛼; 𝛽: 𝛾ሻ 𝑃: Es el módulo del vector

𝑦

𝑃ሬԦ ሺ𝑃; 𝛼; 𝛽; 𝛾ሻ

α: es el menor ángulo que forma el vector con el eje x β: es el menor ángulo que forma el vector con el eje y γ: es el menor ángulo que forma el vector con el eje z 𝛽

α, β, γ: se denominan ángulos directores

𝒓 𝛼

𝑂 𝛾 𝑧

3. Coordenadas geográficas

ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑃ሺ𝑟; 𝑅; 𝛿ሻ 𝑟: Es el módulo del vector R: Es el rumbo o ángulo agudo en el plano geográfico que forma la proyección (0𝑷´ = 𝒓´) del vector con el eje norte –sur. δ: Es el ángulo agudo formado entre el plano geográfico xz y el radio vector, sobre el plano es ángulo de elevación (+) y bajo el plano es ángulo de depresión (-) 𝑦

𝑃 ሺ𝑟; 𝑅; 𝛿ሻ

𝑁

𝑟

𝜹

𝑂 𝒓´

𝑆

∅

𝑷´

𝐸

𝑥

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 4. Coordenadas cilíndricas

ሬሬሬሬሬԦሺ𝑟; ∅; 𝑦ሻ 𝑂𝑃 𝑟: Es el módulo del vector

∅: Es el ángulo que forma la proyección del radio vector sobre el plano xz, con el eje positivo z y: Es la distancia, con signo, desde el punto P al plano 𝑥𝑧 𝑦 𝑃 𝑟

y 𝑋

𝑂

∅ 𝑍

5.

Coordenadas esféricas

ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑃ሺ𝑟; ∅; 𝛾ሻ 𝑟: Es el módulo del vector ∅: Es el ángulo que forma la proyección del radio vector sobre el plano 𝑥𝑦, con el eje positivo 𝑥 𝛾: Es el menor ángulo que forma el vector con el eje z

Y .

P ´ y

𝜽

r x 𝜸

z

P X

Z Tipos de vectores 1. Vectores iguales: dos o más vectores son iguales cuando tiene igual tamaño o módulo, dirección y sentido:

ሬԦ 𝑨

ሬሬԦ = 𝑩 ሬሬԦ 𝑨

ሬ𝑩 ሬԦ ሬԦ = ൬𝟑, −𝟓 , 𝑪 ሬԦ = 𝑩 ሬሬԦ 𝑪

𝟕 ൰ 𝟓𝟔

ሬሬԦ = ሺ 𝟑ξ𝟐𝟕; 𝟑ξ−𝟏𝟐𝟓; 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 ሻ 𝑩

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 2. Vector opuesto: el opuesto de un vector es otro vector de igual tamaño y dirección pero de sentido contrario: ሬሬԦ 𝑫

ሬሬԦ 𝑬

𝟏 ሬԦ = ൬𝟑𝟐, −𝟏 , ൰ 𝑭 𝟐 ሬሬԦ ሬԦ = − 𝑮 𝑭

𝒐

ሬሬԦ = −𝑬 ሬሬԦ, 𝑫

ሬሬԦ = 𝑬 ሬԦ, o −𝑫

ሬሬԦ = ሺ−𝟐𝟓 ; 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎; 𝒔𝒆𝒏ሺ−𝟑𝟎°ሻ ሻ 𝑮

ሬሬԦ ሬԦ = 𝑮 −𝑭

ሬԦ): es aquel vector que no tiene tamaño, dirección ni sentido, su 3. Vector nulo (𝟎 punto de origen coincide con su punto extremo, el vector nulo es un punto. ሬԦ𝑽 ): es aquel vector que tiene un tamaño igual a la unidad, 4. Vector unitario (𝒖 carece de unidad de medida y conserva la dirección del vector original: Sea 𝐴Ԧ un vector, su unitario está dado por: 𝟏

ሬ𝑨Ԧ

ሬԦ = , ሬԦ𝑨 = ሬ𝑨 𝒖 𝑨 𝑨

ሬԦ𝑨 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: ሬ𝑨Ԧ = 𝑨. 𝒖

5. Vector unitario base: las proyecciones rectangulares de un vector tiene la dirección de los ejes coordenados y el sentido viene dado por su signo, por tanto constituyen otro vector sobre los ejes coordenados: Y ሬԦ𝒚 𝒓 ሬԦ 𝒓 ሬԦ𝒙 𝒓 X ሬԦ𝒛 𝒓 Z Los unitarios de los vectores coordenados rectangulares son los vectores unitarios base: ሬԦ𝒙 𝟏 𝒓 ሬԦ𝒓𝒙 = 𝒓 ሬԦ𝒙 = 𝒖 = 𝒊Ԧ, 𝒓𝒙 𝒓𝒙 ሬԦ𝒚 𝒓 𝟏 ሬԦ𝒓𝒚 = 𝒓 ሬԦ𝒚 = 𝒖 = 𝒋Ԧ, 𝒓𝒚 𝒓𝒚

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA ሬԦ𝒛 𝟏 𝒓 ሬԦ, ሬԦ𝒛 = 𝒓 =𝒌 𝒓𝒛 𝒓𝒛 ሬԦ se puede expresar con sus componentes vectoriales rectangulares de la El vector 𝒓 siguiente manera: ሬԦ ሬԦ = 𝒓𝒙 𝒊Ԧ + 𝒓𝒚 𝒋Ԧ + 𝒓𝒛 𝒌 𝒓 ሬԦ𝒓𝒛 = 𝒖

Ejercicios. 1. Un avión vuela en dirección 𝑆 37°𝐸, si la distancia a la que se encuentra el avión con respecto a la torre de control es de 5 𝑘𝑚 y el ángulo de elevación es de 45°. Calcular las coordenadas rectangulares, polares y cilíndricas de la posición del avión. 2. Dado el punto 𝑃ሺ −8 ; 6 ; −5 ሻ𝑚 a) b) c) d) e) f) g) h)

ሬሬሬሬሬԦ Dibujar el vector 𝑂𝑃 Expresar el vector en función de sus componentes escalares rectangulares Expresar el vector en función de sus vectores unitarios Calcule el módulo del vector Determine los cosenos directores y ángulos directores Calcular el vector unitario Exprese el vector en coordenadas cilíndricas Exprese el vector en coordenadas geográficas

3. Dados los puntos 𝐴ሺ4 , −5 , 3 ሻ 𝑚 y 𝐵ሺ−6 ,8 , 4 ሻ 𝑚 a) b) c) d) e)

Dibujar el vector ሬሬሬሬሬԦ 𝐴𝐵 Expresar el vector en función de sus componentes rectangulares y de sus unitarios Hallar el módulo del vector Calcular los cosenos directores ሬሬሬሬሬԦ Determinar el vector unitario en la dirección de 𝐴𝐵

4. Una fuerza de 200𝑁 pasa por los puntos 𝐴 = ሺ−4 ; 5 ; −3ሻ 𝑦 𝐵 = ሺ6 ; −4 ; 3ሻ a) b) c) d) e) f) g) h)

Dibujar el vector fuerza Expresar el vector fuerza en función de su módulo y unitario Expresar en función de sus componentes rectangulares Calcular los ángulos directores. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes polares Expresar el vector fuerza en función de sus componentes geográficas Expresar el vector fuerza en función de sus componentes esféricas Expresar el vector fuerza en función de sus componentes cilíndricas

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA VECTOR EN TRES DIMENSIONES (EXPERIMENTAL) TEMA: Vectores en el espacio. Objetivos 1. Analizar experimentalmente un vector en el espacio. 2. Medir el módulo, los ángulos directores y las componentes de un vector. 3. Expresar un vector en distintos tipos de coordenadas.

Equipo de Experimentación

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Armadura de soporte Cuerda Portamasas Masas calibradas Regla A =0,001m Plomada Cartulinas Escuadras geométricas Graduador

1

2

3 4

7 5 6 Figura 1. Vector tensión en tres dimensiones

Procedimiento 1. Armar el equipo de acuerdo a la Figura 1. 2. En el extremo de la cuerda coloque el portamasas y una masa adicional de 0,10 kg; el peso del conjunto representa el módulo de la tensión. 3. Identificar el sistema de ejes coordenados y medir los ángulos directores (α, β, γ) con la ayuda de la cartulina; registrar los valores en la Tabla 1. 4. Marcar un punto sobre la cuerda a una longitud aproximada de 𝒓 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒎 Desde el origen de coordenadas, este valor representará el tamaño del vector posición. 5. Con la ayuda de la plomada y desde el punto previamente marcado en la cuerda, señalar su proyección sobre la cartulina colocada en la mesa. Utilizando las escuadras medir las componentes escalares 𝒓𝒙 , 𝒓𝒚 , 𝒓𝒛 , del ሬԦ. vector posición 𝒓 6. Repetir el procedimiento para una segunda disposición.

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Registro de Datos Tabla 1: Módulo y ángulos directores del vector tensión ሬԦ | = 𝒎𝒈 |𝑻

.α

β

𝜸

(N)

(°)

(°)

(°)

Tabla 2: Módulo y componentes escalares rectangulares del vector posición |𝒓 ሬԦ|

𝒓𝒙

𝒓𝒚

𝒓𝒛

(m)

(m)

(m)

(m)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cuestionario De acuerdo a las mediciones obtenidas expresar el vector tensión en coordenadas polares. Expresar el vector tensión en función de su módulo y unitario ሬԦ . Compruebe que 𝑢 ሬԦ 𝑇 = 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑖Ԧ + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗Ԧ + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑘 Expresar el vector tensión en coordenadas geográficas. Expresar el vector posición en función de sus vectores base. Calcule los ángulos directores del vector posición y exprese en coordenadas polares. Compare los ángulos directores del vector tensión y del vector posición. Comprueba que el modulo del vector posición es igual a: 𝑟 = √𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 + 𝑟𝑧2

Operaciones vectoriales: 1. Adición de vectores: para sumar dos o más vectores existen dos métodos: - gráfico - analítico Método analítico: ሬԦ ∈ 𝑽, ⟹ ሺ𝐴Ԧ + 𝐵 ሬԦ ሻ ∈ 𝑽 Sean 𝐴Ԧ 𝑦 𝐵 ሬԦ ሻ y 𝐵 ሬԦ ሻ. ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 ሬԦ ሬԦ ) = ሺ𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 ሻ𝑖Ԧ + ሺ𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 ሻ𝑗Ԧ + ሺ𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 ሻ𝑘 (𝐴Ԧ + 𝐵 ሬԦ ሻ, se define: La diferencia ሺ𝐴Ԧ − 𝐵

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA ሬԦ − ሬ𝑩 ሬԦ) = ሬ𝑨 ሬԦ + ሺ− ሬ𝑩 ሬԦሻ (𝑨 ሬԦ ሻ y 𝐵 ሬԦ ሻ. ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 ሬԦ ሬԦ ) = ሺ𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 ሻ𝑖Ԧ + ሺ𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 ሻ𝑗Ԧ + ሺ𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 ሻ𝑘 (𝐴Ԧ − 𝐵 2. Productos 2.1 Producto por escalar: Sean 𝐴Ԧ ∈ 𝑽, 𝑦 𝑝 ∈ 𝑹 ⟹ 𝑝. 𝐴Ԧ ∈ 𝑽 ሬԦ ሻ y 𝑝 ∈ 𝑹. Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ Dónde: ⟹ 𝑝. 𝐴Ԧ = ሺ𝑝𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝑝𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝑝𝐴𝑧 𝑘 Si 𝑝 > 0, el nuevo vector tiene p veces el tamaño del vector 𝐴Ԧ en la misma dirección y sentido Si 𝑝 = 0, se obtiene el vector nulo Si 𝑝 < 0, el nuevo vector tiene p veces el tamaño del vector 𝐴Ԧ en la misma dirección y sentido contrario. 2.2 Producto escalar: ሬԦ ∈ 𝑽, ⟹ ሺ𝐴Ԧ⨀ 𝐵 ሬԦ ሻ ∈ 𝑹 Sean 𝐴Ԧ 𝑦 𝐵 ሬԦ se define como 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ = 𝐴. 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵 , donde 𝜃𝐴𝐵 es el menor El producto escalar 𝐴Ԧ⨀𝐵 ángulo comprendido entre los dos vectores. ሬԦ ሻ y 𝐵 ሬԦ ሻ, el producto escalar 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ , se Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 define: ሬԦ ሻ ⊙ ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ ሬԦ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ + 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗Ԧ ⊙ 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑗Ԧ ⊙ 𝑗Ԧ + 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝑗Ԧ ⊙ 𝑘 ሬԦ ሬԦ = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖Ԧ ⊙ 𝑖Ԧ+𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝑖Ԧ ⊙ 𝑗Ԧ + 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑖Ԧ ⊙ 𝑘 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ ⊙ 𝑖Ԧ+𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑘 ሬԦ ⊙ 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ ⊙ 𝑘 ሬԦ + 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘 ሬሬԦ⨀𝑩 ሬሬԦ = 𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 +𝑨𝒛 𝑩𝒛 Porque el producto de vectores unitarios iguales es: 𝑨 ሬԦ ⊙ 𝑘 ሬԦ y el producto entre vectores unitarios base 𝑖Ԧ ⊙ 𝑖Ԧ = 1.1. 𝑐𝑜𝑠0° = 1 = 𝑗Ԧ ⊙ 𝑗Ԧ = 𝑘 diferentes es: ሬԦ = 𝑘 ሬԦ ⊙ 𝑖Ԧ = 𝑗Ԧ ⊙ 𝑘 ሬԦ = 𝑘 ሬԦ ⊙ 𝑗Ԧ 𝑖Ԧ ⊙ 𝑗Ԧ = 1.1. 𝑐𝑜𝑠90° = 0 = 𝑗Ԧ ⊙ 𝑖Ԧ = 𝑖Ԧ ⊙ 𝑘 2.3 Producto vectorial: ሬԦ ∈ 𝑽, ⟹ ሺ𝐴Ԧ × 𝐵 ሬԦ ሻ ∈ 𝑽 Sean 𝐴Ԧ 𝑦 𝐵 ሬԦ = 𝐶Ԧ ; donde: El producto vectorial 𝐴Ԧ × 𝐵

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El módulo o tamaño de 𝐶Ԧ se define: |𝐶Ԧ| = 𝐴. 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝐵 , donde 𝜃𝐴𝐵 es el menor ángulo comprendido entre los dos vectores. ሬԦ La dirección de 𝐶Ԧ es perpendicular al plano formado por los vectores 𝐴Ԧ 𝑦 𝐵 El sentido viene dado por la regla de la mano derecha, que consiste en: colocar la mano derecha sobre el primer vector factor, simular girar el menor ángulo hasta colocarle sobre el segundo vector y el pulgar extendido da el sentido del vector 𝐶Ԧ

ሬԦ ሻ y 𝐵 ሬԦ ሻ, el producto escalar 𝐴Ԧ × 𝐵 ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ, se Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 define: ሬԦ ሻ × ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ ሬԦ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ × 𝐵 ሬԦ 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘 Ԧ ሬԦ 𝐴 × 𝐵 = |𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 | 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

2.4 Producto triple escalar: ሬԦ 𝑦 𝐶Ԧ ∈ 𝑽, ⟹ 𝐴Ԧ ⊙ ሺ𝐵 ሬԦ × 𝐶Ԧ ሻ ∈ 𝑹 Sean 𝐴Ԧ , 𝐵 ሬԦ ሻ, 𝐵 ሬԦ ሻ y 𝐶Ԧ = ሺ𝐶𝑥 𝑖Ԧ+𝐶𝑦 𝑗Ԧ + 𝐶𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ, el producto ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 ሬԦ × 𝐶Ԧ ሻ se define: triple escalar 𝐴Ԧ ⊙ ሺ𝐵 ሬԦ ሻ ⊙ (ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ × ሺ𝐶𝑥 𝑖Ԧ+𝐶𝑦 𝑗Ԧ + 𝐶𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ) ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ⨀ሺ𝐵 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = | 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 | 𝐴Ԧ⨀ሺ𝐵 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 2.5 Producto triple vectorial ሬԦ 𝑦 𝐶Ԧ ∈ 𝑽, ⟹ 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 ሬԦ × 𝐶Ԧ ሻ ∈ 𝑽 Sean 𝐴Ԧ , 𝐵 ሬԦ ሻ, 𝐵 ሬԦ ሻ y 𝐶Ԧ = ሺ𝐶𝑥 𝑖Ԧ+𝐶𝑦 𝑗Ԧ + 𝐶𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ, el producto ሬԦ = ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 Si 𝐴Ԧ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 ሬԦ × 𝐶Ԧ ሻ, se define: triple vectorial 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 ሬԦ ሻ × (ሺ𝐵𝑥 𝑖Ԧ+𝐵𝑦 𝑗Ԧ + 𝐵𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ × ሺ𝐶𝑥 𝑖Ԧ+𝐶𝑦 𝑗Ԧ + 𝐶𝑧 𝑘 ሬԦ ሻ) ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 ሬԦ 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘 ሬԦ ሻ × (|𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 |) ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 𝐵 𝐵𝑧 𝐵𝑥 𝐵 𝐵𝑧 ሬԦ ሻ × ൬𝑖Ԧ | 𝑦 ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = ሺ𝐴𝑥 𝑖Ԧ+𝐴𝑦 𝑗Ԧ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 |−𝑗| 𝑥 |+𝑘| 𝐶𝑦 𝐶𝑧 𝐶𝑥 𝐶𝑧 𝐶𝑥

𝐵𝑦 |൰ 𝐶𝑦

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝒊Ԧ 𝐴𝑥

ሬԦ × 𝐶Ԧሻ = || 𝐴Ԧ × ሺ𝐵 𝐵𝑦 | 𝐶𝑦

ሬ𝒌Ԧ 𝐴𝑧

𝒋Ԧ 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝐵 | | 𝑥 𝐶𝑧 𝐶𝑥

𝐵𝑥 𝐵𝑧 | | 𝐶𝑧 𝐶𝑥

| 𝐵𝑦 | | 𝐶𝑦

Aplicaciones de las operaciones entre vectores: Operación Aplicación Adición Primer principio de Newton: ∑ ሬ𝑭Ԧ = ሬ𝟎Ԧ Segundo principio de Newton: ሬԦ ሬԦ ≠ 𝟎 ∑𝑭 Diferencia

Vector desplazamiento: ሬԦ = 𝒓 ሬԦ𝒇 − 𝒓 ሬԦ𝟎 ∆𝒓 Posición relativa: ሬԦ𝑨⁄ = 𝒓 ሬԦ𝑨 − 𝒓 ሬԦ𝑩 𝒓 𝑩

Velocidad relativa:

ሬԦ𝑨⁄ = 𝒗 ሬԦ𝑨 − 𝒗 ሬԦ𝑩 𝒗 𝑩

Aceleración relativa: ሬԦ𝑨⁄ = 𝒂 ሬԦ𝑨 − 𝒂 ሬԦ𝑩 𝒂 𝑩

Producto por escalar

Velocidad tangencial: Aceleración tangencial

Producto escalar

ሬԦ𝑻 = 𝒓. 𝝎 ሬሬሬԦ 𝒗 ሬԦ𝑻 = 𝒓. 𝜶 ሬሬԦ 𝒂 ሬ𝒂Ԧ𝑻 = 𝒈. ሬ𝒖Ԧ𝒗

Trabajo mecánico: 𝑊 = 𝐹Ԧ ⨀∆𝑟Ԧ = 𝐹. ∆𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝐹𝑟 Potencia mecánica: 𝑃 = 𝐹Ԧ ⨀𝑣Ԧ = 𝐹. 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃𝐹𝑣 Angulo entre vectores: ሬԦ = 𝐴. 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵 , 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵 = 𝐴Ԧ⨀𝐵

ሬԦ 𝐴Ԧ⨀𝐵 𝐴. 𝐵

Paralelismo y perpendicularidad: ሬԦ , 𝑠𝑖 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ = ±𝐴. 𝐵 𝐴Ԧ ∥ 𝐵 ሬԦ , 𝑠𝑖 𝐴Ԧ⨀𝐵 ሬԦ = 0 𝐴Ԧ ⊥ 𝐵 Proyección de un vector: ሬԦ ⨀𝑢 𝐴𝐵 = 𝐴Ԧ⨀𝑢 ሬԦ𝐵 𝑦 𝐵𝐴 = 𝐵 ሬԦ𝐴

Producto vectorial

Vector proyección: ሬԦ𝐴 = (𝐵 ሬԦ ⨀𝑢 𝐴Ԧ𝐵 = ሺ𝐴Ԧ⨀𝑢 ሬԦ𝐵 ሻ 𝑢 ሬԦ𝐵 𝑦 𝐵 ሬԦ𝐴 )𝑢 ሬԦ𝐴 Torque, momento de fuerza o girógeno: 𝜏Ԧ0 = 𝑟Ԧ × 𝐹Ԧ Área del paralelogramo: ሬԦ × 𝐶Ԧ|, 𝐴Ԧ = 𝐵 ሬԦ × 𝐶Ԧ, 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 á𝑟𝑒𝑎 𝐴 = |𝐵

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Área del triángulo: 𝐴⊿ =

Producto triple escalar

1 ሬԦ | |𝐴Ԧ × 𝐵 2

Distancia de un punto a un vector: ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ 0𝐴 × ሬሬሬሬሬԦ 0𝐵 0𝐴 × ሬሬሬሬሬԦ 0𝐵 𝑑𝐵0𝐴 = | |, 𝑑 = | | ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ 𝐴0𝐵 0𝐴 0𝐵 Volumen del paralelepípedo: ሬԦ × 𝐶Ԧ) 𝑉𝑃 = 𝐴Ԧ⨀(𝐵 Volumen del tetraedro: 𝑉𝑇 =

1 ሬԦ × 𝐶Ԧ)] [𝐴Ԧ⨀(𝐵 6

Ejercicios propuestos: 1. Expresar el vector ሬ𝑨Ԧ cuyas componentes escalares rectangulares son: ሺ𝟔; −𝟑; −𝟐ሻ 𝒎 en: a) Coordenadas polares b) Coordenadas geográficas c) Coordenadas cilíndricas d) En función de su módulo y unitario ሬԦ (𝟏𝟎 𝒎 ; 𝑺 𝟑𝟎° 𝑶; ∡𝒆 = 𝟔𝟎°) expresar el vector en: 2. Dado el vector ሬ𝑩 𝒔 a) Coordenadas escalares rectangulares b) Coordenadas polares c) Coordenadas cilíndricas d) En función de sus vectores base e) En función de su módulo y unitario 3. Conociendo que la fuerza en el cable 𝑨𝑩 es de 𝟒𝟐𝟓 𝒍𝒃 y 𝟓𝟏𝟎 𝒍𝒃 en el cable 𝑨𝑪, determine la magnitud y la dirección de la resultante ejercidas por los dos cables en 𝑨

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 4. Determine a) las componentes 𝒙, 𝒚 𝒚 𝒛 de la fuerza de 𝟗𝟎𝟎𝑵 y los ángulos 𝜽𝒙 ; 𝜽𝒚 𝒚 𝜽𝒛 que forma la fuerza con los ejes coordenados, b) las componentes 𝒙, 𝒚 𝒚 𝒛 de la fuerza de 𝟕𝟓𝟎𝑵 y los ángulos 𝜽𝒙 ; 𝜽𝒚 𝒚 𝜽𝒛 que forma la fuerza con los ejes coordenados

5. Un marco 𝑨𝑩𝑪 se sostiene en parte mediante el cable 𝑫𝑩𝑬, que pasa a través de un anillo sin fricción en 𝑩. Si se sabe que la tensión en el cable es de 𝟑𝟖𝟓 𝑵, determine a) las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en 𝑫, b) sobre el soporte en 𝑬

ሬԦ 𝒚 ሬሬԦ 6. Si se sabe que 𝑷 = 𝟔𝟎𝟎 𝑵 y 𝑸 = 𝟒𝟓𝟎 𝑵, exprese los vectores ሬ𝑷 𝑸 en: a) Coordenadas escalares rectangulares b) Coordenadas polares c) Coordenadas geográficas d) Coordenadas cilíndricas e) En función de su módulo y unitario

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 7. El extremo del cable coaxial 𝑨𝑬 se une al poste 𝑨𝑩, el cual está sostenido por los tirantes de alambre 𝑨𝑪 y 𝑨𝑫. Si se sabe que la tensión en el alambre 𝑨𝑫 es de 𝟖𝟓 𝒍𝒃, determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por este alambre sobre el poste b) Los ángulos 𝜽𝒙 ; 𝜽𝒚 𝒚 𝜽𝒛 que forma la fuerza con los ejes coordenados

8. Determinar la distancia entre los puntos P (4, 3, -5) y B (-4, 3, 7) 9. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por ሬԦ y ሬሬԦ = 𝟐𝒊Ԧ – 𝟔𝒋Ԧ − 𝟑𝒌 𝑨 ሬԦ ሬሬԦ = 𝟒𝒊ሬԦ + 𝟑𝒋ሬԦ– 𝒌 𝑩 10. De la figura, escribir; ሬԦ, ሬሬሬԦ ሬԦ (a) 𝒂 𝒃, 𝒄 ሬԦ| (b) |𝒂 ሬԦ𝒃 (c) 𝒖 ሬԦ (d) Los cosenos directores de 𝒄 ሬ Ԧ ሬԦ + 𝒃 + 𝒄 ሬԦ (e) 𝒂 ሬԦ − 𝒄 ሬԦ| (f) |𝒂 (g) Los cosenos directores del inciso (e), ሬሬሬԦ + ሬሬԦሻ (h) ሺ𝒃 𝒄 𝟐

11. Hallar la longitud y los cosenos directores de la suma de los vectores ሬሬሬሬሬԦ, ሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬԦ, 𝑨𝑪 𝑨𝑩 𝑨𝑫 donde: A (-1,2,-1), B(-3,6,6), C(4,3,1), D(0,0,2) ሬԦ, ሬሬሬሬሬԦ ሬԦ = 𝒊Ԧ − ሬ𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ, ሬ𝒗Ԧ = 𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ + 𝟐𝒌 12. Dados los vectores 𝒖 𝒘 = 𝟑𝒊Ԧ − ሬ𝒌Ԧ, calcular ሬԦ + 𝒗 ሬԦ + 𝒘 ሬԦ – 𝒗 ሬԦ ሬԦ⨀𝒗 ሬԦ d) ሬ𝒖Ԧ⨀𝒘 a) 𝒖 ሬሬሬԦ b) 𝟐𝒖 c) 𝒖 ሬሬሬԦ e) coseno del ángulo comprendido ሬԦ, 𝒘 entre 𝒗 ሬሬሬԦ ሬԦ⨀𝒗 ሬԦ ሬԦ⨀.𝒘 𝒖 𝒗 ሬሬሬԦ ሬԦ⨀𝒖 ሬԦ g) 𝒖 ሬԦ × 𝒗 ሬԦ h) 𝒖 ሬԦ⨀ሺ𝒗 ሬԦ × 𝒖 ሬԦ) i) ሬԦ + 𝒘 ሬԦ – ሺ𝒖 ሬԦ⨀𝒗 ሬԦሻ 𝒘 f) 𝒖 j) k) ሺ𝒗 ሬሬሬԦሻ − 𝒖 ሬሬሬԦ |𝒗 ሬԦ|

|𝒘 ሬሬሬԦ|

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA ሬԦ en la dirección del origen al punto 13. Hallar la componente de 𝟐𝒊Ԧ + 𝒋ሬԦ + 𝟐𝒌 (1,-2, 3) 14. ¿Qué fuerza se necesita aplicar en la dirección 𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ para producir una ሬԦሻ? componente de 𝟐𝟎𝒌𝒈𝒇 en la dirección ሺ𝒊Ԧ + 𝟖𝒋Ԧ − 𝟒𝒌 15. Dados A (1, 1, -1), B (3, 3, 2), y C (3, -1, -2), hallar un vector N perpendicular al plano de ABC. Proyectando, sobre N, un vector del origen a A, hallar la distancia del origen al plano. 16. Una fuerza tiene componentes de 𝟐𝒌𝒈 en la dirección 𝒙 y en la dirección 𝒚. Hallar el trabajo realizado por esta fuerza sobre un objeto que se mueve sobre una recta desde 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏 hasta 𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝟐, las coordenadas están dadas en metros. 17. Dados los puntos A (1, 2, 2), B (0, 1, 0) y C (2,-l, 1), hallar (a) las componentes rectangulares de ሬሬሬሬሬሬԦ 𝑨𝑩, ሬሬሬሬሬሬԦ (b) tamaño de 𝑨𝑩 (c) ሬሬሬሬሬሬԦ 𝑨𝑩 × ሬሬሬሬሬԦ 𝑨𝑪 (d) El ángulo 𝑩𝑨𝑪 (e) El área del triángulo 𝑨𝑩𝑪 18. Con relación a la figura del problema 3, hallar ሬԦ (a) el ángulo entre ሬ𝒃Ԧ 𝒚 𝒄 ሬ Ԧ ሬԦ (b) la componente de 𝒃 en la dirección de 𝒂 ሬԦ y el origen, (c) el área del triángulo formado por los extremos de 𝒂 ሬԦ (d) el momento de ሬ𝒃Ԧ con respecto a 𝒄 ሬԦ = − 𝟐𝒊Ԧ + ሬ𝒌Ԧ, calcular las 19. Dados los vectores ሬሬሬԦ 𝒂 = 𝟐𝒊Ԧ − ሬ𝒋Ԧ, ሬ𝒃Ԧ = 𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ 𝒚 𝒄 expresiones ሬԦ × 𝒄 ሬԦ ሬԦ × ሬ𝒃Ԧ ሬԦ × ሬ𝒃Ԧ (c) 𝒂 ሬԦ × ሺ𝒃 ሬԦሻ (d) (𝒂 ሬԦ × ሬ𝒃Ԧ) × 𝒄 ሬԦ ሬԦ × 𝒄 ሬԦሻ⨀𝒃 (a) 𝒂 (b) 𝒄 (e) ሺ𝒂 ሬԦሻ ሺ𝒂 ሬԦ × ሺ 𝒄 ሬԦ × ሬ𝒃Ԧሻ (g) 𝒂 ሬԦ × ሺ𝒂 ሬԦ × ሬሬሬԦ ሬԦ × ሺ𝒂 ሬԦ × ሬ𝒃Ԧሻ ሬԦ⨀𝒃 ሬԦ × ሬ𝒃Ԧሻ (f) 𝒂 𝒃ሻ (h)𝒂 (i) ሺ𝒂 20. Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores ሬԦ ሬԦ = 𝒊Ԧ + 𝟑𝒋Ԧ − 𝟐𝒌 𝒂 ሬ𝒃Ԧ = 𝟐𝒊Ԧ – 𝒋Ԧ − ሬ𝒌Ԧ ሬԦ ሬԦ = − 𝒊Ԧ + 𝟐𝒋Ԧ + 𝟑𝒌 𝒄 21. Usando el producto escalar, deducir una fórmula para la distancia más corta entre un punto y una recta. El punto está dado por a y se conocen dos puntos de la recta dados por b y c. Posteriormente, hallar la distancia del punto ሺ𝟏, 𝟐, 𝟐ሻ a la recta que pasa por ሺ𝟐, 𝟐, 𝟑ሻ y ሺ𝟐, −𝟏, 𝟎ሻ 22. Dados los vértices de un tetraedro 𝑨 ሺ𝟕, 𝟓, 𝟑ሻ, 𝑩 ሺ𝟐, 𝟐, 𝟐ሻ, 𝑪 ሺ𝟓, 𝟑, 𝟖ሻ 𝒚 𝑫ሺ−𝟒, 𝟔, −𝟑ሻ (a) hallar el volumen, (b) Hallar las coordenadas de 𝑬 que es el punto en que la altura trazada desde 𝑫 corta a la base 𝑨𝑩𝑪

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA ሬԦ = 𝑨𝑪, y 23. Dado un tetraedro con vértices 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝒚 𝑫, sean ሬ𝒃Ԧ = 𝑨𝑩, 𝒄 ሬԦ = 𝑨𝑫. Expresar las siguientes cantidades en términos de 𝒃 ሬԦ, 𝒄 ሬԦ: ሬԦ 𝒚 𝒅 𝒅 (a) el volumen del tetraedro, (b) el área del triángulo 𝑨𝑪𝑫 (c) Obtener los valores numéricos cuando: 𝑨 (1, 2, 2), 𝑩 (-1, 0, 0), 𝑪 (l, 0, 1) y 𝑫 (-2, 3, 0). ሬԦ 𝒚 ሬ𝑩 ሬԦ = 𝟒𝒊Ԧ – 𝟑𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ 24. Hallar el ángulo formado por (a) ሬ𝑨Ԧ = 𝟑𝒊ሬԦ + 𝟐𝒋Ԧ − 𝟔𝒌 ሬԦ 𝒚 ሬ𝑫 ሬሬሬԦ ሬԦ = 𝟑𝒊Ԧ – 𝟔𝒋Ԧ – 𝟐𝒌 (b) ሬ𝑪Ԧ = 𝟒𝒊Ԧ – 𝟐𝒋Ԧ + 𝟒𝒌 ሬԦ ሬԦ = 𝒎𝒊Ԧ − 𝟐𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ 𝒚 ሬ𝑩 ሬԦ = 𝟐𝒎𝒊Ԧ + 𝒎𝒋Ԧ − 𝟒𝒌 25. ¿Para qué valores de 𝒎 son ሬ𝑨 perpendiculares? 26. Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos ሺ𝟏, −𝟑, 𝟐ሻ 𝒚 ሺ𝟑, −𝟓, 𝟏) con los ejes coordenados ሬԦ 𝒚 ሬ𝑩 ሬԦ, hallar: ሬԦ = 𝒊Ԧ + 𝟑𝒋Ԧ — 𝟐𝒌 ሬԦ = 𝟒𝒊ሬԦ— 𝟐𝒋Ԧ + 𝟒𝒌 27. Si ሬ𝑨 ሬԦ, (b) |𝑨 ሬሬԦ|, (c)|𝑩 ሬሬԦ|, (d) |𝟑𝑨 ሬԦ + 𝟐𝑩 ሬሬԦ| (a) ሬ𝑨Ԧ − ሬ𝑩 ሬሬԦ + 𝑩 ሬሬԦሻ × ሺ𝑨 ሬԦ — 𝟐𝑩 ሬሬԦሻ (e) ሺ𝟐𝑨 28. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos ሺ𝟑, 𝟐, − 𝟒ሻ 𝒚 ሺ𝟏, 𝟐ሻ 29. Dos lados de un triángulo son los vectores ሬԦ, 𝒚 ሬ𝑩 ሬԦ. Hallar los ángulos del triángulo. ሬ𝑨 ሬԦ = 𝟑𝒊Ԧ + 𝟔𝒋Ԧ − 𝟐𝒌 ሬԦ = 𝟒𝒊Ԧ − 𝒋Ԧ + 𝟑𝒌 30. Las diagonales de un paralelogramo son ሬԦ. Demostrar que dicho paralelogramo es un ሬ𝑨 ሬԦ = 𝟒𝒊Ԧ − 𝟒𝒋Ԧ − ሬ𝒌Ԧ 𝒚 ሬ𝑩 ሬԦ = 𝟐𝒊Ԧ + 𝟑𝒋Ԧ − 𝟒𝒌 rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados. ሬԦ sobre el vector 𝒊Ԧ + 𝟐𝒋Ԧ + 𝟐𝒌 ሬԦ 31. Hallar la proyección del vector 𝟐𝒊Ԧ − 𝟑𝒋Ԧ + 𝟔𝒌 ሬԦ sobre la recta que pasa por los puntos 32. Hallar la proyección del vector 𝟒𝒊Ԧ − 𝟑𝒋Ԧ + 𝒌 ሺ𝟐, 𝟑, −𝟏ሻ 𝒚 ሺ− 𝟐, − 𝟒, 𝟑ሻ ሬԦ 𝒚 ሬሬሬԦ ሬԦ, ሬԦ = 𝟒𝒊Ԧ − 𝒋Ԧ + 𝟑𝒌 33. Si ሬ𝑨 𝑩 = −𝟐𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ − 𝟐𝒌 ሬԦ perpendicular a los vectores ሬ𝑨Ԧ y ሬ𝑩 ሬԦ

ሺ𝟐𝒊Ԧ − 𝟐𝒋Ԧ + 𝒌ሻ ሬԦ = 34. Demostrar que ሬ𝑨Ԧ = , ሬ𝑩 𝟑 unitarios mutuamente perpendiculares.

ሬԦሻ ሺ𝒊ሬԦ+ 𝟐𝒋Ԧ + 𝟐𝒌 𝟑

hallar

y ሬ𝑪Ԧ =

el

vector

ሬԦሻ ሺ𝟐𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ — 𝟐𝒌 𝟑

unitario

son vectores

35. Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por ሬԦ ሺ𝟑, 𝟐, −𝟏ሻ 𝒚 ሺ𝟐, −𝟏, 𝟒). Si la fuerza aplicada es ሬሬሬԦ 𝑭 = 𝟒𝒊Ԧ — 𝟑𝒋Ԧ + 𝟐𝒌

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 36. Calcular el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores ሬԦ ሬሬԦ = 𝟑𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ — 𝟐𝒌 𝑨 ሬԦ ሬሬԦ = 𝒊Ԧ — 𝟑𝒋Ԧ + 𝟒𝒌 𝒚𝑩 37. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y es igual a la mitad de la longitud de dicho tercer lado. ሬሬሬԦy ሬ𝒃Ԧ son vectores con un origen común 𝑶 y extremos 𝑨 𝒚 𝑩, en términos de 𝒂 y 38. Si 𝒂 𝒃 hallar el vector ሬሬሬሬሬሬԦ 𝑶𝑪, donde 𝑪 es el punto medio de 𝑨𝑩. 39. Se dibujan vectores desde el centro de un pentágono regular a sus vértices. Demostrar que su suma es cero. 40. Hallar el ángulo agudo formado por dos diagonales de un cubo. 41. Hallar el vector unitario paralelo al plano 𝑿𝒀 y perpendicular al vector 𝟒𝒊Ԧ — 𝟑𝒋Ԧ + ሬ𝒌Ԧ 41.- El ángulo entre el resorte 𝑨𝑩 y el poste 𝑫𝑨 es de 30°. Si la tensión en el resorte es de 𝟐𝟐𝟎𝑵, determínese a) las componentes 𝒙; 𝒚 y 𝒛 de la fuerza ejercida por este resorte sobre la placa circular en 𝑩 b) los ángulos que definen la dirección de la fuerza en 𝑩.

42. Un marco 𝑨𝑩𝑪 se sostiene en parte mediante el cable 𝑫𝑩𝑬, que pasa a través de un anillo sin fricción en 𝑩. Si se sabe que la tensión en el cable es de 𝟑𝟖𝟓 𝑵, determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en 𝑫.

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43. El cable 𝑨𝑩 mide 𝟔𝟓 𝒑𝒊𝒆𝒔 de largo, y la tensión en dicho alambre es de 𝟑 𝟗𝟎𝟎 𝒍𝒃. Determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el anclaje 𝑩 b) Los ángulos directores de esa fuerza

44. El cable AC mide 70 pies de largo y la tensión en dicho cable es de 5 250 lb. Determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el anclaje C b) Los ángulos 𝜽𝒙 ; 𝜽𝒚 𝒚 𝜽𝒛 que forma la fuerza con los ejes coordenados 45. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 1 425 N, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en B

46. Si se sabe que la tensión en el cable 𝑨𝑪 es de 𝟐 𝟏𝟑𝟎 𝑵, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en 𝑪. ሬԦሻ, es perpendicular al vector ሬԦ = ሺ𝟑𝒊Ԧ + 𝒎𝒋Ԧ + 𝟓𝒌 47. El vector ሬ𝑨 ሬԦሻ, si el módulo del vector 𝑨 es 𝟏𝟎 determine los valores de 𝒎 y ሬ𝑩 ሬԦ = ሺ−𝟐𝒊Ԧ + 𝟑𝒋Ԧ + 𝒏𝒌 𝒏. 48. Desde la base de un edificio 𝑬 se ubica la terraza de otro edificio 𝑭 a una distancia de 𝟏𝟐𝟎𝒎 en dirección 𝑵𝑶, con un ángulo de elevación de 37°, desde esta terraza 𝑭 se ubica

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA ሬԦ. Si la terraza de otro edificio 𝑮 a una distancia 𝟏𝟎𝟎m en dirección 𝟎, 𝟓𝒊Ԧ – 𝟎, 𝟐𝟒𝒋Ԧ + 𝒏𝒌 los tres edificios están construidos en el mismo plano 𝑿 − 𝒁, determinar: a) El número de pisos de cada edificio, si se conoce que cada piso tiene una altura de 𝟑𝒎, y que el edificio 𝑬 es 𝟔𝒎 más bajo que el edificio 𝑮. b) La mínima distancia que deberá recorrer una persona si desea ir de 𝑬 a 𝑭, luego a 𝑮 y regresar a 𝑬 ሬԦ en el plano 𝑿 − 𝒀, si los vectores estan expresados en sus 49. Sean los vectores ሬ𝑨Ԧ y ሬ𝑩 componentes rectangulares con los vectores unitarios base, demuestre que el módulo de ሬሬԦ + ሬሬሬԦ la suma ሺ𝑨 𝑩ሻ es : ሬԦ – 𝑩 ሬሬԦሻ es: √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝝓𝑨𝑩 √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝝓𝑨𝑩 , y que el módulo de ሺ𝑨