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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 1: FUNCIONES Y SUCESIONES.

CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 1: TAREA 1 - FUNCIONES Y SUCESIONES

PRESENTADO POR: Danna Marcela Viveros Lopez CODIGO: 1094923102

TUTOR: LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 1: FUNCIONES Y SUCESIONES.

𝑓(𝑥) =

a.

3𝑥−4 𝑥−3

a. 𝑓(𝑥) =

8𝑥−5 3𝑥−2

Dominio:

Dominio: 𝑥−3=0 →

𝑥= 3

𝑓(𝑥) =

3(3)−4 = (3)−3

0

3𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 1/3

2

𝑓(𝑥) =

3

2 3

8( )−5 3𝑥−2

=

0

Estudiante 1

𝐷→𝑋 ≠3

𝐷→𝑋≠

Df: 𝑅 − {3} → {(−∞, 𝟑) ∪ (𝟑, +∞)}

Rango : 𝑦 =

3𝑥−4 𝑥−3

𝑦 (𝑥 − 3) = 3𝑥 − 4

𝑥𝑦 − 3𝑥 = −4 + 3𝑦 −4+3𝑦 𝑦−3

→

𝑦−3≠0 →𝑦 ≠3 𝑅𝑓 = 𝑅 − {3}

→

{(−∞, 𝟑) ∪ (𝟑, +∞)}

Puntos de intersección en el 𝑦 4 (0, ) 3

3

2 𝟐 𝟐 𝐷𝑓 = 𝑅 − { } → {(−∞, ) ∪ ( , +∞)} 3 𝟑 𝟑 Rango:

𝑦=

8𝑥−5 3𝑥−2

→ 𝑦 (3𝑥 − 2) = 8𝑥 − 5

3𝑥𝑦 − 2𝑦 = 8𝑥 − 5 3𝑥𝑦 − 8𝑥 = −5 + 2𝑦 → 𝑥(3𝑦 − 8) = −5 + 2𝑦

𝑥𝑦 − 3𝑦 = 3𝑥 − 4

𝑥 (𝑦 − 3) = −4 + 3𝑦 → 𝑥 =

2

𝑥=

−5+2𝑦 3𝑦−8

→

8 𝑅𝑓 = 𝑅 − { } 3

𝑦≠ →

8 3

8 8 {(−∞, ) ∪ ( , +∞)} 3 3

Puntos de intersección en el eje 𝑦 5 (0, ) 8

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Ejemplo: En una empresa de producción de bolígrafos, El coste de fabricación de un bolígrafo es de 500$ por unidad y se venden por 1800$ pesos. Calcular: a. Identificar variable dependiente e independiente. b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida.

Variable dependiente: y

variable independiente: x

Costo bolígrafo unidad $500

precio venta bolígrafo unidad $ 1.800

𝑋 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 500𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 1800𝑥 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑦 = 1800𝑥 − 500 𝑦 = 1300𝑥 x

y 1

1300

2

2600

10000

3 4

3900 5200

8000

5 6

6500 7800

y= 1.300x

6000 y

4000 2000 0 0

2

4

6

8

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Estudiante 1

A = (10,2)

B = (-4,-6)

C = (-2,4)

Recta 1: A (10,2) B (-4,-6) hallamos la ecuación Fórmula para hallar al pendiente 𝒎 = 𝒎=

𝒚𝟐− 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 −𝒙𝟏

−𝟔 − 𝟐 𝟖 𝟒 𝒎= 𝒎= −𝟒 − 𝟏𝟎 𝟏𝟒 𝟕

Formula punto pendiente (𝒚 − 𝒚𝟏 ) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ) C = (-2,4) (𝒚 − 𝟐) = 𝒚−𝟐 = 𝒚= 𝟒

𝒚 = 𝟕𝒙 −

𝟐𝟔 𝟕

𝟒 (𝒙 − 𝟏𝟎) 𝟕 𝟒 𝟒𝟎 𝒙− 𝟕 𝟕

𝟒 𝟒𝟎 𝒙− +𝟐 𝟕 𝟕

Ecuación punto pendiente

Hallamos la ecuación de la recta 2: C (-2,4)

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La pendiente de una recta perpendicular es la inversa de la recta 1 𝟕

𝒎 = − 𝟒 Remplazamos (𝒚 − 𝒚𝟏 ) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ) 𝟕 𝒚 − 𝟒 = − (𝒙 − (−𝟐)) 𝟒 𝟕 𝟏𝟒 𝒚−𝟒 = − 𝒙+ 𝟒 𝟒 𝟖 𝟏𝟔 𝒚=− 𝒙− +𝟒 𝟑 𝟑 𝟕 𝟐 𝒚=− 𝒙+ 𝟒 𝟒

Dadas las siguientes progresiones (𝑎𝑛 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.

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b. Progresión aritmética 𝑎𝑛 = {6, 1, −4, −9, −14. . . 𝑢𝑛 }

Estudiante 1

c. Progresión geométrica 6 18 54

𝑎𝑛 = {2, 5, 25, 125.... 𝑢𝑛 }

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑 𝑎𝑛 = 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛 = {6, 1, − 4, − 9, − 14 . . . 𝑢𝑛 } 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑

→

𝑎10 = 6 + (10 − 1). −5

𝑎10 = 6 + (9). −5 𝑎10 = 6 + (−45) 𝐚𝟏𝟎 = −𝟑𝟗 Suma de Términos Progresión Aritmética 𝑎𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛 2

𝑎10 =

(6+(−39)).10 2

𝑎10 =

(−33).10 2

=

−330 2

𝑎10 = −165

TERMINO N-ESIMO PROGRESION GEOMETRICA 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 𝑛−1

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𝑎𝑛 = 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑎𝑛 = {2,

6

18 54

5

25 125

,

,

.... 𝑢𝑛 }

Encontramos la Razón común

𝑟=

𝑎2 𝑎1

→

𝑟=

6 5

2

=

𝟑 𝟓

Suma de términos

𝑆𝑛 =

𝑎1 . (𝑟 𝑛 − 1) 𝑟−1

Remplazamos 310 − 1) 5 3 −1 5

2. ( 𝑆10 =

𝑆10 = 4,9697

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Gráficas. 2. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene. Función asignada. Estudiante 1

𝑓(𝑥) = {

5𝑥 − 2, 2

−2𝑥 + 5𝑥 + 6,

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = [−5,8]

𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 < −2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 8

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [7, −76]

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Bibliografía García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Dominio y Rango de una función. Pág. 30-34. Tipos de Funciones. Pág 35-41. Funciones Invertibles. 49-50. Paridad y Periocidad. Pág. 61 México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&sit e=eds-live

Rivera, F. A. (2014). Cálculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas históricas. Pág 157-164. Suseciones Monótonas, acotadas y límite de una sucesión. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db =edselb&AN=edselb.3227460&lang=es&site=eds-live