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• Jefferson Quiguantar

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TALLER 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Programas: Matemáticas y Lic. en Matemáticas Docente: Edwin Chamorro 1. Veri…car que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: p sin x a. (x) = ; xy 0 + y = cos x b. (x) = x 1 x2 ; yy 0 = x 2x3 xZ x 2 2 x = tet et dt + cex ; y 0 = y + ex+x d. ; (1 + xy) y 0 + y 2 = 0 c. (x) = ex y =e t 0 a. Veri…que que (x) = x resueve la ecuación x2 y 00 = 2y si la constante satisface la ecuación 2 2 = 0: Así conseguimos las dos soluciones x2 y x 1 : Note que la primera es válida en todo R mientras que la segunda solamente en R f0g : Este comportamiento es típico para una amplia clase de ecuaciones lineales homogeneas conocidas como ecuaciones tipo Euler. Para esta clase, la sustitución y = x ; siempre conlleva a una ecuación algebraica para . b. La ecuación x2 y 000 = 2y 00 admite una solución ¿Cuáles son los posibles valores de ?. 2.

a. Determina si la relación y

(x) = x , donde

es una constante diferente de cero.

3 ln(y + 4) = x2 + C, es solución implícita de la ecuación diferencial, dy 2x(y + 4) = : dx y+1

b. Comprueba que y =

4 es solución de dicha ecuación diferencial e indica de qué tipo es.

c. Determina el valor de C para que y(1) =

3:

3. Sea f (x) =

x= jxj si x 6= 0; k si x = 0;

donde k es una constante. Muestre que no importa la forma de selección de la constante k, la ecuación diferencial y 0 = f (x) no tiene solución en un intervalo que contenga el origen. 4. Suponga que una función y = f (x) satisface la ecuación diferencial dy = 4y sin(2x)dx y la condición inicial y( ) = e. El propósito de este ejercicio es de encontrar y( =6). a. Separe variables e integre para obtener ln y = C C = 3, y luego calcule y( =6).

2 cos(2x), y > 0: Usando la condición inicial muestre que

b. La condición inicial y( ) = e signi…ca que x = corresponde a y = e: De otra manera, x = =6 corresponde a y = a, donde a = y ( =6). Integrando entre los correspondientes limites da Z

e

a

dy = y

Z

=6

4 sin(2x)dx:

Evalúe la integral de…nida y resuelva la ecuación para a: c. Si xdy + 3ydx = 0 y y (

) = e usted no puede encontrar y ( ) :¿Por qué no?.

5. Dada la ecuación diferencial 3(y 00 )4 +y 2 = 0, ¿existe alguna família 2-paramétrica de soluciones de dicha ecuación? ¿Tiene alguna solución?. 6. Hallar, para las familias de curvas que se dan, las líneas que satisfagan a las condiciones iniciales que se indican: a. y = C1 sin(x C2 ) y( ) = 1; y 0 ( ) = 0

b. y = C1 e x + C2 ex + C3 e2x y(0) = 0; y 0 (0) = 1; y 00 (0) =

2:

7. Determina si se veri…ca el teorema de existencia y unicidad en los siguientes casos (indique el intervalo donde se veri…ca): p 1=2 a. y 0 = x y; y(1) = 1 b. y = (x y) ; y(2) = 2

1

8. Demuestra que en el intervalo 0 valor inicial

x

, las funciones y1 (x) = 2 e y2 (x) = 2 cos x satisfacen el problema de y0 + 4

y2

1=2

= 0;

y(0) = 2:

(Sugerencia: comprobar que no se veri…can las hipótesis del teorema de existencia y unicidad). 9. Integrar las ecuaciones: y a. y 0 =x x 0 d. xy + y ex = 0; y(a) = b a. y = Cx + x2 : C x = y ln y + : y Sol.

b. x ln x y 0

y = x3 (3 ln x y e. y 0 = 2y ln y + y x

c. y 0

1)

2

b. y = C ln x + x3 :

c: y = x2 + C ex ; y = 1:

2

2xy = 2xex

d. y =

ex ab ea + : x x

e.

10. Ecuación de Bernoulli. Una ecuación diferencial se dice de Bernoulli si puede escribirse en la forma y 0 +f (x)y = q(x)y ; 6= 0 o 1:Toda ecuación de Bernoulli puede escribirse como una ecuación lineal haciendo un cambio de variable en la variable dependiente v = y 1 : Utilizando este hecho, resolver las siguientes ecuaciones: 1 p a. xy 0 + y = y 2 ln x b. 8xy 0 y = c. 1 + x2 y 0 = xy + x2 y 2 3 y x+1 p 1 1 xp 1 Sol. c. = p C 1 + x2 + ln 1 + x2 + x : y 2 2 1 + x2 11. Ecuación de Ricatti. La ecuación diferencial no lineal dy = p(x) + q(x)y + r(x)y 2 dx se conoce como ecuación de Ricatti. Si se conoce una solución particular yp (x) de dicha ecuación, entonces la ecuación de Ricatti se reduce a una ecuación lineal mediante el cambio de variable y = yp +

1 : u

Resuelva la ecuación x2 y 0 + xy + x2 y 2 = 4; sabiendo que una solución particular de ella es yp = Sol. a. y =

2 : x

2 4 : + x Cx5 x

12. Ecuación d’Alembert-Lagrange. Una ecuación de la forma y = xf (p) + g(p);

donde p = y 0

(1)

es conocida como ecuación de d’Alembert-Lagrange. Suponga que f; g : R ! R son funciones derivables. a. Demuestre que, si p0 = f (p0 ) para algún p0 2 R entonces y = xp0 + g (p0 ) es solución de la ecuación.

b. Si f (p) 6= p, para todo p, derive la ecuación respecto a x y obtenga una ecuación lineal f 0 (p) g 0 (p) x= ; p f (p) p f (p)

dx dp

(2)

Una solución de (1) se expresa en forma paramétrica (x (p) ; y (p)), donde x(p) es una solución de (2) y y(p) se obtiene de (1). c. Use el método anterior para resolver las ecuaciones: 2

y = (y 0 )

0

ey + 1

1;

2

y = x (y 0 ) + 1:

d. La ecuación (1) con f (p) = p se denomina ecuación de Clariaut. Muestre que además de la solución y = cx + g(c), con c constante, tiene otra solución dada paramétricamente por x = g 0 (p) ; y = g(p) pg 0 (p) : Esta curva es la envolvente de la família de rectas y = cx + g(c): 2

13. Integrar las ecuaciones. b. tan x sin2 ydx + cos2 x cot ydy = 0 d. (1 + ex ) yy 0 = ey ; y(0) = 0 p p b. cot2 y = tan2 x + C: c: 1 x2 + 1 y 2 = 1;

a. 1p+ y 2 dx + 1p + x2 dy = 0 c. x 1 y 2 dx + y 1 x2 dy = 0; y(0) = 1

Sol.

a. x + y = C(1 xy): 1 + ex (1 + y) e y = ln + 1 x: 2

14. Una función f (x; y) se dice homogénea de grado siguientes funciones son homogéneas. 2

a. f (x; y) = x + y

2

xy

b. f (x; y) =

p

y = 1:

d.

si se cumple que f (tx; ty) = t f (x; y). Probar que las

c. f (x; y) =

x+y

y+

p x2 + y 2 x

f (x; y) donde g(x; y) f (x; y) y g(x; y) son funciones homogéneas del mismo grado. Toda ecuación homogénea puede reducirse a una y ecuación en variables separables introduciendo la nueva variable dependiente v = . Utilizando este hecho, resolver x las siguientes ecuaciones homogéneas: p a. 4x 3y + (2y 3x) y 0 = 0 b. 2xy 0 x2 + y 2 = y y 2 + 2x2 c. xy 0 = y + x2 y 2 + y

15. Ecuaciones homogéneas. Una ecuación diferencial se dice homogénea si es de la forma y0 =

Sol. a. y 2

x2

3xy + 2x2 = C: b. y 2 = Cxe y2 :

16. Muestre que utilizando un cambio de coordenadas convenientes, podemos transformar ecuaciones de tipo x0 = f

a1 x + b1 t + c1 a2 x + b2 t + c2

en ecuaciones homogéneas o de variables separables. (Sugerencia: Cuando a1 b2 Resuelva

a2 b1 6= 0 use x = u + x0 =

y t = s + , en caso contrario, basta u = a1 x + b1 t:)

2x + t 1 ; x + 2t + 1

x (0) = 1:

17. Hallar, para la ecuación x2 + y 2 dx 2xydy = 0, la família de curvas integrales y escoger aquellas curvas que pasan respectivamente por los puntos (4; 0) y (1; 1). Sol. (x

C)2

y2 = C 2 ;

(x

2)2

y 2 = 4;

y=

x:

18. Hallar las integrales generales de las ecuaciones: a. (x + y) dx + (x + 2y) dy = 0 x c. x + ex=y dx + ex=y 1 dy = 0; y(0) = 2 y Sol. a.

b. x2 + y 2 + 2x dx + 2xydy = 0

x2 x3 x2 + xy + y 2 = C: b. + xy 2 + x2 = C: c: + yex=y = 2: 2 3 2

19. Resolver las siguientes ecuaciones que admiten el factor integrante de las formas y a. x + y 2 dx 2xydy = 0 b. dx + y 3 ln x dy = 0: x y2 1 y2 Sol. a. ln jxj = C: b. ln x + = C: x y 2 20. Halla el valor de para que la ecuación diferencial 6xy 3 + cos y dx + resuélvala en dicho caso. Sol. = 9; 3x2 y 3 + x cos y = C:

3

x2 y 2

= (x) o

= (y):

x sin y dy = 0 sea exacta y