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• Aileen Yuley Murrugarra Pérez

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TRODUCCION Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada.

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADA A LA INGENIERIA CIVIL Un ingeniero civil debe conocer y aplicar conceptos numéricos para la realización de proyectos de infraestructuras públicas o administración de obras civiles, pues debe interpretar los fenómenos de la naturaleza por medio de expresiones o modelos matemáticos.



Importancia de las Ecuaciones Diferenciales dentro de la Ingeniería.

Aquí las ecuaciones diferenciales son importantes ya que intervienen en el tratamiento de aguas residuales, para sistemas de recolección y tratamiento de residuos, para hacer estudios de contaminación, diagnósticos, evaluación entre muchas otras aplicaciones.

¿PARA QUE SIRVE UNA ECUACION DIFERENCIAL? Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, valida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.

APLICACIÓN 

Vigas Horizontales

El problema consiste en determinar la flexión de una viga rectangular sometida a una carga. Inicialmente la viga es recta y su eje central coincide con el eje X, como se muestra en la figura 1-a. Posteriormente, dicho eje se ha desplazado debido a la acción de la carga (figura 2-a). Lo que se desea es obtener la ecuación de la curva punteada, llamada curva elástica, que no da la deformación de la viga.

Figura 1-a.- Viga Horizontal

Figura 2-a.- Aplicación de una carga a una viga

Consideramos la curva elástica y un punto P(x,y) sobre ella. De los cursos de física se sabe que el momento M en el punto P es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento de la curva. Aquí supondremos que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y las fuerzas hacia abajo dan momentos negativos. El momento está dado por 𝑀 = 𝐸𝐼

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

Donde E es el módulo de elasticidad de la viga e i es el momento de inercia. Luego, si queremos conocer la ecuación de la curva elástica debemos resolver la ecuación diferencia L 𝑑2 𝑦

𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = 𝑀 (1.b)

EJEMPLO Una viga de 8 m de longitud está apoyada en dos columnas verticales. Si la viga tiene una carga uniforme de 500 kg, ¿Cuál es la curva elástica de la viga? Solución En la figura 3-a, se explican las fuerzas que actúan sobre la viga y sus dimensiones

Figura 3-a.- Bosquejo Viga Horizontal 1. Una fuerza aplicada en O a x metros de P, dirigida hacia arriba e igual a la carga total, es decir

𝟏 𝟐

(𝟓𝟎𝟎 + 𝟖(𝟓𝟎𝟎)).

2. Una fuerza de 500x dirigida hacia abajo que se supone concentrada en el medio de OP.

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Así el momento flexionante (flector) en P es.

𝑴 = 𝑭𝟏 𝒅𝟏 − 𝑭𝟐𝒅𝟐 𝟏

𝒙

𝑴 = 𝟐 (𝟓𝟎𝟎 + 𝟖(𝟓𝟎𝟎))𝒙 − 𝟓𝟎𝟎𝒙(𝟐) 𝑴 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝟎𝒙𝟐



Utilizamos la ecuación diferencial 1.b, que tiene la siguiente forma: 𝑬𝑰



𝒅𝟐 𝒚 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝟎𝒙𝟐 𝒅𝒙𝟐

Integramos 𝒅𝒚

𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟓𝒙𝟐 −



𝟐𝟓𝟎 𝟑

𝒙𝟑 + 𝒄𝟏

Volvemos a integrar y obtenemos

𝑬𝑰𝒚 =

𝟐𝟐𝟐𝟓 𝟑

𝒙𝟑 −

𝟏𝟐𝟓 𝟔

𝒙𝟑𝟒 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐

En O,𝒙 = 𝒚 = 𝟎 de modo que 𝒄𝟐 = 𝟎. En Q, −𝟑𝟔𝟖𝟎𝟎. Por lo tanto:

𝑬𝑰𝒚 = Es la curva elástica de la viga.

𝟏 𝑬𝑰

(

𝟐𝟐𝟐𝟓 𝟑

𝒙 = 𝟖,

𝒙𝟑 −

𝟏𝟐𝟓 𝟔

𝒚 = 𝟎, por lo cual 𝒄𝟏 =

𝒙𝟑𝟒 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 ),

CONCLUSION Esto proporciona una herramienta esencial para modelar muchos problemas de ingeniería, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. Es posible usar este ejemplo como ingeniero civil para poder ver cómo actúan las fuerzas sobre una viga y sus dimensiones; el cual nos ayudara a determinar si existe una curva elástica en ella o no.