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• Ronald Paytan Huamani

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Teor´ıa b´ asica

1er orden

Matem´atica III Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Rosa Luz Medina Aguilar UNTECS

2014-0

Teor´ıa b´ asica

Contenido

1

Definiciones y Notaciones Definici´on de una ecuaci´ on diferencial Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales Soluci´on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria Problema de valor inicial

2

Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables separables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones lineales Cambios de variables

1er orden

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Contenido

1

Definiciones y Notaciones Definici´on de una ecuaci´ on diferencial Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales Soluci´on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria Problema de valor inicial

2

Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables separables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones lineales Cambios de variables

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Definici´ on de una ecuaci´ on diferencial

Definici´on de una ecuaci´on diferencial

Definici´on Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´ on que relaciona las derivadas de una o m´as variables dependientes con respecto de una o m´as variables independientes

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Definici´ on de una ecuaci´ on diferencial

Definici´on de una ecuaci´on diferencial

Definici´on Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´ on que relaciona las derivadas de una o m´as variables dependientes con respecto de una o m´as variables independientes Ejemplos d 2x dx +a + kx = 0 2 dt dt ∂u ∂u + = x − 2y ∂x ∂y y 00 + y 0 − 2x = 0

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Definici´ on de una ecuaci´ on diferencial

Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales

A) Clasificaci´ on por tipo Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grupos Las ecuaciones diferenciales ordinarias Son aqu´ellas en las que la funci´ on o funciones inc´ognitas dependen de una sola variable independiente Las ecuaciones en derivadas parciales Son aqu´ellas en las que las funci´ one inc´ ognitas dependen de varias variables; por tanto, relacionan la funci´on, sus variables y las derivadas parciales de dicha funci´ on.

Teor´ıa b´ asica Clasificaci´ on de las ecuaciones diferenciales

Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales

B) Clasificaci´ on por orden Se llama orden de una ecuaci´ on diferencial al orden de la mayor derivada que aparece en la ecuaci´ on.

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Clasificaci´ on de las ecuaciones diferenciales

Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales

B) Clasificaci´ on por orden Se llama orden de una ecuaci´ on diferencial al orden de la mayor derivada que aparece en la ecuaci´ on. C) Clasificaci´ on por linealidad Una ecuaci´on diferencial es lineal si se puede expresar de la forma: an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g (x) donde a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g (x) dependen s´ olo de la variable x. En caso contrario se dice que la ecuaci´ on diferencial es no lineal.

Teor´ıa b´ asica Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria

Resolver una EDO, F (x, y , y 0 , y 00 , . . .) = 0, es hallar una expresi´on para la funci´on y (x) que satisfaga la relaci´ on de igualdad.

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Teor´ıa b´ asica Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria

Resolver una EDO, F (x, y , y 0 , y 00 , . . .) = 0, es hallar una expresi´on para la funci´on y (x) que satisfaga la relaci´ on de igualdad. Definici´on Se llama soluci´on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria en un intervalo I a una funci´ on φ(x) definida en I que, sustituida en la ecuaci´on junto con sus derivadas, la verifica en dicho intervalo, es decir: F (x, φ(x), φ0 (x), φ00 (x), . . .) = 0 ∀x ∈ I

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Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria

Las soluciones pueden ser Expl´ıcitas: La variable dependiente ”y ” se expresa tan s´olo en t´erminos de la variable independiente x y constantes. Impl´ıcitas: Se trata de una relaci´ on G (x, y ) = 0 en la que no se puede despejar “y ” mediante funciones elementales. Son soluciones todas las y (x) que cumplen G (x, y ) = 0.

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Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria

Familia de Soluciones Al resolver una ecuaci´ on diferencial de primer orden, F (x, y , y 0 ) = 0, por lo general se obtiene una soluci´on con una constante arbitraria, o par´ametro c. Una soluci´on con una constante arbitraria representa un conjunto G (x, y , c) = 0 de soluciones y se llama familia uniparam´etrica de soluciones. Al resolver una ecuaci´ on diferencial de orden n, se busca una familia n-param´etrica de soluciones y = (x, c1 , . . . , cn ) o G (x, y , c1 , . . . , cn ) = 0.

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Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria

Soluci´ on particular es una soluci´ on de la ecuaci´on diferencial que no contiene constantes arbitrarias y que se obtiene dando valores num´ericos a las constantes de la familia n-param´etrica de soluciones. Soluci´ on singular es una soluci´ on de la ecuaci´on diferencial que no contiene constantes arbitrarias y no est´a contenida en la familia n-param´etrica. Soluci´ on general de una ecuaci´ on diferencial ordinaria de orden n es la que contiene todas las soluciones de la ecuaci´on. Est´a formada por la familia n-param´etrica de soluciones m´as las posibles soluciones singulares que tenga la ecuaci´on

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Problema de valor inicial

Problema de valor inicial Un problema problema de valor inicial o problema de Cauchy para una ecuaci´on de primer orden es un problema de la forma dy = f (x, y ), dx

y (x0 ) = y0

La condici´on adicional y (x0 ) = y0 recibe el nombre de condici´on inicial.

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Problema de valor inicial

Problema de valor inicial Un problema problema de valor inicial o problema de Cauchy para una ecuaci´on de primer orden es un problema de la forma dy = f (x, y ), dx

y (x0 ) = y0

La condici´on adicional y (x0 ) = y0 recibe el nombre de condici´on inicial. Un problema problema de valor inicial de una ecuaci´on de orden n, F (x, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0 consiste en encontrar una soluci´on en el intervalo I de R tal que para cada xo ∈ I satisfaga la condici´on inicial y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . y n (x0 ) = y0 donde y0 , y1 , . . . , yn son constantes dadas.

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Definiciones y Notaciones Definici´on de una ecuaci´ on diferencial Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales Soluci´on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria Problema de valor inicial

2

Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables separables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones lineales Cambios de variables

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Ecuaciones diferenciales de primer orden Dada una ecuaci´on diferencial, tendremos que distinguir de qu´e tipo de ecuaci´on se trata y saber cu´al es el m´etodo que nos va a permitir resolverla. Una ecuaci´on diferencial de primer orden se puede escribir en cualquiera de las formas. Forma general: F (x, y , y 0 ) = 0 Forma normal o est´andar: dy = f (x, y ) dx Forma diferencial: M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0

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Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones separables dy = f (x, y ) es una ecuaci´ on dx separable o de variables separables si f (x, y ) se puede expresar como el producto de una funci´ on de x por una funci´on de y , Una ecuaci´on diferencial de la forma

dy = p(x)q(y ) dx

(S1 )

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Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones separables dy = f (x, y ) es una ecuaci´ on dx separable o de variables separables si f (x, y ) se puede expresar como el producto de una funci´ on de x por una funci´on de y , Una ecuaci´on diferencial de la forma

dy = p(x)q(y ) dx

(S1 )

Una ecuaci´on diferencial de la forma M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 es una ecuaci´ on separable o de variables separables si se puede escribir de la forma f (x)g (y )dx + h(x)k(y )dy = 0

(S2 )

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Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones separables - M´etodo de Resuluci´on Si la EDO presenta la forma (S1 ), separamos las variables x e y . Para ello, hemos de suponer que q(y ) 6= 0, en ese caso: 1 dy = p(x)dx q(y ) Integrando ambas partes Z

1 dy = q(y )

Z p(x)dx

obtenemos la soluci´on impl´ıcita formada por una familia 1-param´etrica de soluciones: F (y ) = G (x) + C

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Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones separables - M´etodo de Resuluci´on Si la EDO presenta la forma (S2 ), dividimos la ecuaci´on por g (y )h(x), obteniendo: f (x) k(y ) dx + dy = 0 h(x) g (y ) y por tanto, la ecuaci´on queda de la forma: n(x)dx + m(y )dy = 0 A continuaci´on separamos las variables: m(y )dy = −n(x)dx e integramos ambos lados de la igualdad: Z Z m(y )dy = −n(x)dx obteniendo la soluci´on impl´ıcita F (y ) = G (x) + C

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Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones separables

Ejemplos Resolver dy 1 = x 2 + x 2y 2 dx 2 x 3 dx + (y + 1)2 dy = 0

5

x 2 (y + 1)dx + y 2 (x − 1)dy = 0 √ dx = (1 + y 2 )tanx con y (0) = 3 dy 4xdy − ydx = x 2 dy

6

(1 + x 3 )dy − x 2 ydx = 0 con y (1) = 2

3

4

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas Dada una familia de curvas F (x, y ) = C , se puede generar una EDO de primer orden hallando la diferencial total de F : dF (x, y ) = 0 es decir:

∂F ∂F dx + dy = 0. ∂x ∂y

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas Dada una familia de curvas F (x, y ) = C , se puede generar una EDO de primer orden hallando la diferencial total de F : dF (x, y ) = 0 es decir:

∂F ∂F dx + dy = 0. ∂x ∂y

El m´etodo en que se basa la resoluci´ on de las ecuaciones exactas es el proceso inverso. Es decir, dada una ecuaci´on diferencial en la forma: M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 intentamos ver si corresponde a la diferencial total de alguna funci´on de dos variables.

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

Definici´ on Una ecuaci´on diferencial de primer orden M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 es exacta en un rect´angulo R si M(x, y )dx + N(x, y )dy es una diferencial exacta, es decir, si existe una funci´ on F (x, y ) tal que: ∂F (x, y ) = M(x, y ) ∂x

y

∂F (x, y ) = N(x, y ), ∂y

∀(x, y ) ∈ R.

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

Teorema Sean M(x, y ) y N(x, y ) funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas en un rect´angulo R. Entonces, la ecuaci´on M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 es exacta si y s´olo si se verifica: ∂M ∂N (x, y ) = (x, y ) ∂y ∂x

∀(x, y ) ∈ R

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

Ejemplos Resolver 2xydx + (x 2 − 1)dy = 0 (ye xy + 2x)dx + (xe xy − 2y )dy = 0 (x 2 + y 2 + 2x)dx + (2xy + 3y 2 )dy = 0 dy xy 2 − cosxsenx = , y (0) = 2 dx y (1 − x 2 2e y + 3xseny )dx + (xe y + x 2 cosy )dy = 0

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Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante Dada una ecuaci´on diferencial de la forma M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 que no es exacta, a veces es posible encontrar la funci´on µ(x, y ) tal que al multiplicarla por la ecuaci´ on diferencial, ´esta se convierte en exacta. Es decir µ(x, y )M(x, y )dx + µ(x, y )N(x, y )dy = 0 es una ecuaci´on diferencial exacta. Ejemplo Sea la ecuaci´ on (2y − 6x)dx + (3x − 4x 2 y −1 )dy = 0

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Ecuaciones diferenciales exactas

C´alculo del Factor Integrante Si la ecuaci´on µ(x, y )M(x, y )dx + µ(x, y )N(x, y )dy = 0 es exacta, se verifica   ∂µ ∂N ∂M ∂µ −N = − µ M ∂y ∂x ∂x ∂y

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Ecuaciones diferenciales exactas

C´alculo del Factor Integrante Si la ecuaci´on µ(x, y )M(x, y )dx + µ(x, y )N(x, y )dy = 0 es exacta, se verifica   ∂µ ∂N ∂M ∂µ −N = − µ M ∂y ∂x ∂x ∂y Cuando depende solo de x Z

∂M ∂y

µ(y ) = e

∂N ∂x

!

N

µ(x) = e Cuando depende solo de y Z

−

∂N ∂x

− M

∂M ∂y

dx (∗)

! dy (∗∗)

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Ecuaciones diferenciales exactas

C´alculo del Factor Integrante M´etodo de resoluci´on Dada la ecuaci´on ∂M ∂y

∂N ∂x

Si 6= integrante. ∂M

M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 la ecuaci´ on no es exacta y buscamos el factor

− ∂N

Si ∂y N ∂x depende s´ olo de x entonces se calcula el factor integrante seg´ un (*). ∂N

− ∂M

Si ∂x M ∂y depende s´ olo de y entonces se calcula el factor integrante seg´ un (**). Si encontramos el factor integrante se resuelve. Se observa si al multiplicar por el factor integrante se pierde o se ganan soluciones.

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Ecuaciones diferenciales exactas

C´alculo del Factor Integrante

Ejemplos Resolver (2x 2 + y )dx + (x 2 y − x)dy = 0 y (x + y + 1)dx + x(x + 3y + 2)dy = 0

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Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales Definici´on Una ecuaci´on lineal de primer orden es aquella que tiene la forma a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x) donde a1 (x), a0 (x) y b(x) depende solo de xo es constante.

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Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales Definici´on Una ecuaci´on lineal de primer orden es aquella que tiene la forma a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x) donde a1 (x), a0 (x) y b(x) depende solo de xo es constante. Supongamos que a1 (x), a0 (x) y b(x) son funciones continuas en un intervalo y que a1 (x) 6= 0. Dividiendo por a1 (x) tenemos y 0 + P(x)y = Q(x) donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en dicho intervalo. Se puede expresar en forma diferencial [yP(x) − Q(x)]dx + dy = 0

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Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

M´ etodo de Resoluci´ on Si P(x) ≡ 0 la ecuaci´ on es exacta y tambi´en separable En caso contrario Rla ecuaci´ on admite un factor integrante de la forma µ(x) = e P(x)dx Una vez obtenido el factor integrante tenemos dos caminos Multiplicar la ecuaci´ on por µ(x) y resolver la ecuaci´on exacta obtenida Hallar la soluci´ on de un modo diferente

Ejemplo Resolver

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Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

Teorema Si P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo < a, b > que contiene al punto x0 para cualquier valor inicial y0 existe una u ´nica soluci´on y (x) en < a, b > del P. V. I. y 0 + P(x)y = Q(x) Ejemplo Resolver

y (x0 ) = y0

Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

La ecuaci´on de Bernoulli

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Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

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Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

Ecuaciones homog´eneas

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Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

1er orden

Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

Ecuaciones con coeficientes constantes

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Teor´ıa b´ asica Cambios de variables

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