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• Daniel Urbina

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Nº 1

METODO EDO. Variables Separables. Son aquellas que mediante los procesos algebraicos se pueden separar las variables.

PASOS a)

EJEMPLOS Se escribe

dx  f (t ) g ( x) dt

b) Se separan las variables:

c)

dx  g ( x) 

Se integra:



dx  f (t )dt g ( x)

dx t3  6 dt x  1 Se

g ( x) 

f (t )dt

identifican

las

funciones:

Nota: Todo cero (toda raíz) x = a de g(x) da lugar a la solución constante x(t)  a

Sea F(y,t). Entonces, Su diferencial total es

1 x 1

F F dy  dt  0 y esto y t

Se integra:

Queda

 x

6



 1 dx   t 3dt

1 7 1 x  x  t4  C 7 4

integral

de

m

respecto

a

y,

entonces,

F ( y, t )   Mdy  (t ) 2.

función t se incluye la constante de integración. 1.

F  y 2   ' (t ) t

2.

Como N 

Al ser M una diferencial parcial, se ha de integrar solo respecta a y, por lo que t se trata como una constante.

igualan

Es una ecuación diferencial

3

2 2 2ytdy + y dt = 0. Aquí: M = 2yt, N = y . Entonces: F 1. Sea M  . Esto significa que F contendrá la y F ( y, t )   2 ytdy  (t )  y 2t  (t ) . En la

F F dF ( y, t )  dy  dt y t

Si se iguala a cero

3

t;

6

6

EDO. EXACTAS

=

Se separan las variables: (x + 1)dx = t dt

d) Se calculan las dos integrales

2

f(t)

F 2 , esto significa que N = y . Se t

entonces

(2)

y

(3)

y

queda

exacta porque su primer miembro es la diferencial de la función F(y,t).

3.

Para hallar t se usa N 

F t 3.

M 

Se

integra

F , y

Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer orden mediante la sustitución y=g(x,u), donde u se considera una función de la variable x. Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera.

queda

2

4.

El resultado de F(y,t) será y t + k

5.

La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queda 2

y (t )  Ct ED0. POR SUSTITUCIÓN

y

y t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces

F . N t

3

’t

(t )   ' (t )dt   0dt  k

En general, una ecuación diferencial Mdy + Ndt = 0 es exacta si y solo si existe F(y,t) tal que

y 2  y 2   ' (t ) y ’t = 0

Si una ecuación en la forma diferencial : M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 tiene la propiedad que M(tx, ty) = t nM(x, y) y N(tx, ty) = t nN(x, y), entonces decimos que es de coeficientes homogénea o que es una E.D. homogénea. Siempre que se tenga una E.D. homogénea podrá ser reducida por medio de una sustitución adecuada a una ecuación en variables separables. Método de solución: dada la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado; mediante la sustitución y = ux ´o x = yv (donde u ´o v son nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuación en variables separables.



1 2

, C es arbitraria.

4

EDO. DE BERNOULLI. Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

(1) Reconozca que la ecuación diferencial es una ecuación de Bernoulli. Entonces encuentre el parámetro n de la ecuación;

Tenemos una ecuacion de Bernoulli con n = 3; la nueva función ; (3) Con la diferenciación fácil, encuentre la nueva ecuación Considere (2) Substituya

satisfecha por la nueva variable v . Usted puede desear recordar la forma de la nueva ecuación:

La nueva ecuación satisfecha por v es

;

(4) Solucione la nueva ecuación lineal para encontrar v ;

Donde y son (5) Vaya de nuevo a la vieja función y a través de la Esto es una ecuacion lineal: funciones continuas en un sustitución intervalo el factor que integra es (6) Si n > 1, agrega la solución y = 0 a las usted obtuvo adentro (4).

(7) Si usted tiene un PVI, utilice la condición inicial para

tenemos la solución general se da cerca

encontrar la solución particular.

De nuevo a la función y : tenemos que Todas las soluciones están de la forma

, da

5

ED. LINEALES.

Como primer paso, resolveremos primero la ecuación homogénea Y ′ = a(x)y:

y′ = yx + x:

Resolvemos primero la ecuacion homogenea Las ecuaciones lineales de y′ = yx: primer orden son de la forma Esta ecuación es de variables separadas y nos dara una y′ = a(x)y + b(x) solución de la forma

y = K f(x): Para resolver la ecuación original, cogeremos una función de la forma y = K(x)f(x) y la sustituiremos en la ecuación original para determinar K(x).

Esta ecuacion es precisamente la que hemos resuelto en el Ejemplo 4 por lo que la solucion es de la forma y = Ce^x2/2: Consideremos una funcion de la forma y = C(x)e x2/2. Tendremos entonces que y′ = C′(x)e^x2/2 + 2xC(x)e^x2/2: Sustituyendo en la ecuacion que queremos resolver C′(x)ex2=2 + xC(x)e^x2/2 = y′ = yx + x = C(x)e^x2/2x + x de donde deducimos que C′(x)e^x2/2 = x y por tanto C(x) = ∫xe^−x2/2dx = −e^−x2/2 + K Asi que y = C(x)e^x2/2 = (−e−x2=2 + K)e^x2/2 = −1 + Ke^x2/2