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• Adrián Pilataxi

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DEBER DE ECUACIONES DIFERENCIALES ´ PILATAXI NOMBRES: ADRIAN

NRC:1735 1) (2 − 9xy 2 )xdx + (4y 2 − 6x3 )ydy = 0 (2x − 9x2 y 2 )dx + (4y 3 − 6x3 y)dy = 0 M = (2x − 9x2 y 2 )

My = −9y 2 (2y) = −18x2 y

N = (4y 3 − 6x3 y)

Nx = −6y(3x2 ) = −18x2 y My = Nx F (x, y) = C

Z Z

(2x − 9x2 y 2 )dx = x2 −

9y 2 x3 = x2 − 3x3 y 2 3

(4y 3 − 6x3 y)dy = y 4 −

6x3 y 2 = y 4 − 3x3 y 2 2

x2 + y 4 − 3x3 y 2 = C

2. xy dx + (y 3 + ln x)dy = 0 M= N = y 3 + ln x

y x

→ My =

→ Nx = 0 +

1 x

1 x

⇒ My = Nx

f (x, y) = C R R

y 3 dy +

R

y dx x

= y.lnx

ln xdy = 41 y 4 + y.lnx

C = 14 y 4 + y.lnx

1

3) (2x + 3) + (2y − 2)y 0 = 0 (2x + 3)dx + 2y − 2)dy = 0 M = 2x + 3 MY = 0 N = 2y − 2 Nx = 0 MY = NX R (2x + 3)dx = (x2R+ 3x) R R (2y − 2)dy = 2 ydy − 2 dy = y 2 − 2x x2 + 3x + y 2 − 2x = C 4) (2x + 4y) − (2x − 2y)y 0 = 0 (2x + 4y)dx − (2x − 2y)dy = 0 My = 4 Nx = 2 NO ES EXACTA 5) (9x2 − y − 1) − (4y − x)y0 = 0 (9x2 − y − 1)dx − (4y − x)dy = 0 M = 9x2 − y − 1 ⇒ M y = −1 N = 4y − x ⇒ N x = −1 My = Nx nR R 2 F (x, y) = (9x − y − 1)dx (4y − x)dy R 2 3 (9xR − y − 1)dx xy − x R = 3x + 2 4 ydy − x dy = 2y = xy 3x3 + 2y 2 − xy − x = c Solucion 6) (2xy 2 + 2y) + (2x2 y + 2x) y 0 = 0 (2xy 2 + 2y) dx + (2x2 y + 2x) dy = 0 M = 2xy 2 + 2y My = 4xy + 2 N = 2x2 y + 2x Nx = 4xy + 2 ´ EXACT A Si My = Nx ECU ACI ON RF (x, 2y) = C 1. (2xy + 2y) dx 2 2 R y x 2 + 2yx 2. (2x y + 2x) dy x2 y 2 + 2xy x2 y 2 + 2xy = C Soluci´ on

7)

3x2 +y 2 dx y2

−

2x3 +5y dy y3

=0

2

M=

3x2 +y 2 y2

N=

2 2y 3 −6x2 y−2y 3 = −6x y4 y3 3 2 − 2x y+5y ⇒ Nx = −6x 3 y3 My = Nx

⇒ My =

 R  2 2 3 2 3x +y  dx = x +xy = y2 y2 F (x, y) = C R  2x3 +5y  3  − dy = x2 + 5 3 y

x3 y2

F (x, y) = C ⇒ + x + p p 8) 2x(1 + x2 − y)dx − x2 − y dy = 0 p M = 2x(1 + x2 − y) p N = x2 − y R

y 5 y

x3 y2

+x

y

=C

My = − √ x2 Nx =

x −y − √ x2 x −y

pMy = Nx 3 M dx = 2x(1 + x2 − y)dx = x2 + 23 (x2 − y) 2 p R R 3 N dy = − x2 − ydy = 23 (x2 − y) 2 3 Sol. General x2 + 23 (x2 − y) 2 = C R

9) (1 + y 2 sin 2x) dx − (2ycos2 x) dy = 0 (1 + y 2 sin 2x) dx − (2ycos2 x) dy = 0 M = 1 + y2 sin 2x ⇒ My = 2y sin 2x N = - 2ycos2  x⇒ 2x R Nx = 22y2 cos x sin x = 2y 2sin cos 2x  (1 + y sin 2x) dx = x − y 2 f(x, y) = C ⇒  R − 2ycos2 xdy = −y 2 cos2 x 2 cos 2x x - y 2 − y 2 cos2 x = C1 10)3x2 (1 + ln y)dx = (2y −

x3 ) y 3

3x2 (1 + ln y)dx − (2y − xy )dy = 0 M = 3x2 (1 + ln y) My = 32 ( y1 ) N = −2y +

x3 y

2

Nx = 3xy ∴ My = Nx 3 2 dF = 3x (1 + ln y)dx + (−2y + xy )dy = 0 R 2 3x (1 + ln y)dx = (1 + ln y)x3 R 3 (−2y + xy )dy = −y 2 + x3 ln y x3 + x3 ln y − y 2 = C Solucion 11)



x seny

 + 2 dx +

(x2 +1)cosy dy cos2y−1

M=

=0

x +2 seny

My = xcscy + 2 3

My = x(−cscyctgy) xcosy My = −xcscyctgy = − sen2 y x2 cosy cosy (x2 + 1)cosy Nx = + cos2y − 1 cos2y − 1 cos2y − 1 2xcosy 2xcosy Nx = = 2 2 cos2y − 1 cos y − sen y − sen2 y − cos2 y 2xcosy xcosy Nx = =− 2 −2sen y sen2 y

N=

F (x, y) = C  x x2 + 2 dx = + 2x seny 2seny Z Z Z (x2 + 1)cosydy (x2 + 1)cosydy (x2 + 1) cosydy = = 2 cos2y − 1 −2sen y −2 sen2 y Z 

u = seny

du = cosydy Z (x + 1) 1 = −2 u2 2

=

(x2 + 1) u−1 +C −2 (−1) (x2 + 1) +C 2seny

x2 1 + +C 2seny seny x2 1 + + 2x 2seny seny 1 C − 2x = (x2 + 1) 2seny C=

2senx(C − 2x) = x2 + 1

12. (ex sin y − 2y sin x)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0 M = ex sin y − 2y sin x

→ My = ex cosy − 2sinx

N = ex cos y + 2 cos x → Nx = ex cosy − 2sinx ⇒ My = Nx f (x, y) = C R

R ex sin ydx − 2 y sin xdx = ex siny + 2ycosx

4

R

ex cos ydy + 2

R

cos xdy = ex siny + 2ycosx

C = ex siny + 2ycosx 13) ex siny + 3y)dx − (3x − ex siny)dy = 0 M = ex siny + 3y MY = ex Cosx + 3 N = −3x + eX siny NX = −3 + eX siny MY 6= NX La Ecuacion no es exacta 14) (yexy cos(2x) − 2exy sin2x + 2x)dx + (xexy cos2x − 3)dy = 0 M y = exy cos2x + xyexy cos2x − 2xexy sin2x N x =R exy cos2x + xyexy cos2x − 2xexy sin2x xy xy R 1)xy (ye cos(2x) R− 2exy sin2x + 2x)dx R (ye cos(2x)dx − 2e sin2xdx + 2xdx integrando por partes: xy yexy (ycos2x+2sin2x) − 2e (ysin2x−2cos2x) + x2 y 2 +4 y 2 +4 yexy (ycos2x + 2sin2x) − 2exy (ysin2x − 2cos2x) + x2 (y 2 + 4) xy y 2 exy cos2x cos2x + x2 (y 2 + 4) R − 4e 2) (xexy cos2x − 3)dy integrando por partes: exy cos2x − 3y xy c = e cos2x − 3y + y 2 exy cos2x − 4exy cos2x + x2 (y 2 + 4) exy cos2x(1 − y 2 − 4) − 3y + x2 (y 2 + 4) = c 24)(1 + ex/y )dx + ex/y (1 − xy )dy = 0 xy M y = − xey2 xy N x = − xey2 R x 1) (1 + e y )dx x y x + ye R x y 2) e (1 − xy )dy x

x

x

xe y − ye xy + ye y xe y x c = ye y + x Soluci´on 15)

y x


+ 6x dx + (lnx − 2)dy = 0 M = xy + 6x ⇒ M y = x1 N = lnx − 2 ⇒ N x = x1 nR M y =
N x R y F (x, y) = + 6x dx (lnx − 2)dy x 5

R R 2 y dx + 6 xdx Rx R = ylnx + 3x lnx dy − 2 dy = ylnx − 2y ylnx + 3x2 − 2y = c Solucion 16) (x ln y + xy) dx + (y ln x + xy) dy = 0 M = x ln y + xy My = xy + x N = y ln x + xy Nx = xy + y Si My 6=Nx (3xy + y 2 ) + (x2 + xy) y 0 = 0; m = x (3xy + y 2 ) dx + (x2 + xy) dy = 0 x (3xy + y 2 ) dx + x (x2 + xy) dy = 0 M = 3x2 y + xy 2 My = 3x2 + 2xy N = x 3 + x2 y Nx = 3x2 + 2xy ´ EXACT A Si My = Nx ECU ACI ON Integramos R 2 2 (3x y + xy 2 ) dx = x3 y + x2 y 2 R 3 2 (x + x2 y) dy = x3 y + x2 y2 F (x, y) = C 2 2 3 x y + x 2y = C 17)

xdx 3

(x2 +y 2 )

/2 + ydy M=x N=y

3 (x2 +y 2 ) /2 =0 

3 (x2 +y 2 ) /2 ⇒M

3 y =− 2 

 2xy





3 (x2 +y 2 ) /2 ⇒Nx =− 32 



5 (x2 +y2 ) /2 2xy

5 (x2 +y2 ) /2



My = Nx → es exacta  R x 1  3 dx = − 2 2 1/2  2 +y 2 ) /2  (x (x +y )   F(x,y) = C  R   y 1   3 dy = − 2 2 1/2 2 2 /2 (x +y )

F(x,y) = C ⇒ − 18) (y − x)dx + xdy

6

(x +y )

1 1 (x2 +y 2 ) /2

=C

M =y−x My = 1 N =x Nx = 1 My = Nx R R x2 M dx R = (y − R x)dx = y − 2 N dy = xdy = xy x2 Sol. General xy − 2 = C 19) (3x2 + 6xy 2 ) dx + (6x2 y + 4y 3 ) dy = 0 M = 3x2 + 6xy 2 ⇒ My = 12xy N = 6x2 y + 4y 3 ⇒ Nx = 12xy  R My = Nx  (3x2 + 6xy 2 ) dx = x3 + 3x2 y 2 f(x, y) = C ⇒  R (6x2 y + 4y 3 ) dy = 3x2 y 2 + y 4 x3 + 3x2 y 2 + y 4 = C1 20)(x3 − 3xy 2 )dx + (y 3 − 3x2 y)dy = 0 M = x3 − 3xy 2 My = − 3xy 2 N = y 3 − 3x2 y Nx = − 3xy 2 ∴ My = Nx dF = (x3 − 3xy 2 )dx + (y 3 − 3x2 y)dy R 3 2 2 4 (x − 3xy 2 )dx = x4 − 3x2y R 3 4 2 2 (y − 3x2 y)dy = y4 − 3x2y 4 2 2 x4 + y4 − 3x2y = C Soluci´on 4 xdx+ydy 21) √ + 2 2 x +y

xdy−ydx x2

=0

xdx ydy dy ydx p +p + − 2 =0 2 2 2 2 x x x +y x +y ! ! y y 1 x p − dx + p + dy = 0 x2 + y 2 x2 x2 + y 2 x x y M=p − 2 x2 + y 2 x

My = x(x2 + y 2 )− 2 (2y) − x−2

y 1 N=p + x2 + y 2 x

Nx = y(x2 + y 2 )− 2 (2x) − x−2

3

3

My = Nx

Z

x p x2 + y 2

!

F (x, y) = C Z Z 1 2xdx 1 p dx = −y dx 2 x2 x2 + y 2 7

1 = 2

Z

− 12

u

Z du − x

x−2 dx

1

Z

1 u2 x−1 +C = 1 −y 2 2 −1 p y = x2 + y 2 + + C x ! Z Z y ydy 1 1 p p + dy = + dy 2 2 2 2 x x x +y x +y u = x2 + y 2 du = 2xdx Z 1 1 1 = u− 2 du + y 2 x 1

1 u2 y = 1 + +C 2 2 x p y = x2 + y 2 + + C x p y C = x2 + y 2 + x 23)

2x(1−ey ) dx (1+x2 )2

−

ey dy 1+x2

=0 2x(1−ey ) (1+x2 )2 y (2x) MY = −e (1+x2 )2 ey N = − 1+x 2 −ey (2x) NX = (1+x2 )2

M=

R

MY = NX R R y) 2 x(1−e dx = 2(1 − ey ) (1+x2 )2 R y ey 1 − 1+x e dy = 2 dy = − 1+x2 ey −1 =C (1+x2 )

2x(1−ey ) dx = (1+x2 )2 R

x dx (1+x2 )2 ey −1 (1+x2 )

=

28) (y 2 + xy)dx − x2 dy = 0 M = y 2 + xy ⇒ M y = 2y + x N = x2 ⇒ N x = 0 M y 6= N x M y−N x 2y+x = 2y+x−0 = y(y+x) ⊗ N y 2 +xy N x−M y 2y+x = x2 M ⇒ N o f unciona con estos f actores integrantes −1

30) x2 y 3 + x (1 + y 2 ) y 0 = 0 ; µ = (xy 3 )

8

ey −1 (1+x2 )

(xy 3 )

−1

−1

· (x2 y 3 ) dx +(xy 3 )  · (x + xy 2 ) dy = 0 (x) dx + y13 + y1 dy = 0 M= x ⇒My = 0

N = y13 + y1 ⇒ Nx = 0  R 2  (x) dx = x2    F(x,y) = C    R1  1  + dy = − 2y12 + ln y y3 y F(x,y) = C ⇒ − 2e−x sinx)dx + ( cosy+2ey 31) ( siny y

x2 2

−

−x cosx

1 2y 2

u = yex

)dy = 0

M = ( siny − 2e−x sinx) y N = ( cosy+2ey

+ ln y = C

ycosy−siny y2 4 −x − y e cosx

My =

−x cosx

) Nx = My 6= Nx uM dx + uN dy = 0 −x ex [ siny − 2e−x sinx] + yex [ cosy+2ey cosx ] = 0 y R R x x RuM dx = R (e xsiny − 2ysinx)dx = ex siny + 2ycosx uN dy = (e cosy + 2cosx)dy = e siny + 2ycosx ex siny + 2ycosx = C Sol. General 32) ydx + (2x − yey ) dy = 0 → µ = y M = x ⇒ My = 0 N = 2x - yey ⇒ Nx = 2 My 6= Nx µ (Ec.Dif erencial) y2 dx + (2yx − y 2 ey ) dy = 0 P = y2 ⇒ Py = 2y 2 y Q R =2 2yx - y 2e ⇒ Qx = 2y y dx = xy f(x, y) = C ⇒ R (2yx − y 2 ey ) dy = y 2 x − ey (y 2 − 2y + 2) y2 x − ey (y 2 − 2y + 2) = C1 33)(1 − xy )dx + (2xy +

x y

+

x2 )dy y2

= 0; u =

1 x

( x1 − y1 )dx + (2y + y1 + yx2 )dy = 0 M = x1 − y1 My = y12 N = 2y + x1 + yx2 Nx = y12 R 1 ∴ 1My = Nx ( x − y )dx = ln x − xy R (2y − y1 + yx2 )dy = y + ln y − xy Soluci´on 9

34) (x3 − xy 2 − y)dx + (x2 y − y 3 + x)dy = 0 u1 =

1 xy

u2 =

x2

1 − y2

u1 = Cu2 1 1 =C 2 xy x − y2 x2 − y 2 =C xy x y C= − y x (x(x2 − y 2 ) − y)dx + (y(x2 − y 2 ) + x)dy = 0     x y dx + y + 2 dy = 0 x− 2 x − y2 x − y2     1 1 1 1 − dx + + dy = 0 y x(x2 − y 2 ) x y(x2 + y 2 )     1 1 1 1 − + dx + dy y x3 − xy 2 x x2 y − y 3 M=

1 1 − 3 y x − xy 2

My = −y −2 −

1 1 N= + 2 x x y − y3

Nx = −x

−2

−

tanh−1 xy y2 tanh−1 xy y2

+C

+C

My 6= Nx

35. (y − x)e−x dx + xe−x dy = 0 M = (y − x)e−x N = xe−x

→ My = 1e−x

→ Nx = e−x − xe−x M y−N x N

=

e−x −e−x +xe−x xe−x

u=e

R

dx

⇒ My 6= Nx =1

= ex

(y − x)dx + xdy = 0 f (x, y) = C R

(y − x)dx = yx − 12 x2 R

xdy = xy 10

C = xy − 12 x2

1 36) (x − y)dx + (x + y)dy = 0 → u = u x2 +y 2 (x−y) dx x2 +y 2

M

(x+y) dy = x2 +y 2 (x−y) = x2 +y2 y 2 −2xy−x2

+

My =

0

(x2 +y 2 )2

(x+y) x2 +y 2 y 2 −2xy−x2 (x2 +y 2 )2

N=

Nx = M R x R Y 1= NX 1 R (x−y) dx = x2 +y2 dx − y x2 +y2 dx = 2 ln(x2 + y 2 ) − tan−1 ( xy ) x2 +y 2 R (x+y) R x R y dy = x2 +y dx = tan−1 ( xy ) + 12 ln(x2 + y 2 ) 2 dy + x2 +y 2 x2 +y 2 1 ln(x2 + y 2 ) + tan−1 ( xy ) − tan−1 ( xy ) = C 2 37) (1 − x2 y)dx + x2 (y − x)dy = 0 u = x12 ( x12 − y)dx R +1 (y − x)dy = 0 1) ( x2 − y)dx 1 R− x − xy 2) (y − x)dy y2 − xy 2 y2 1 −xy − 2 − x = c Soluci´on 38)(y + x3 y 2 )dx − xdy = 0 M = y + x3 y 2 ⇒ M y = 1 + 2x3 y N =x ⇒ Nx = 1 M y 6= N x 3y M y−N x = 1+2x ⊗ N x N x−M y 1−1+2x3 y 2x3 y = y+x3 y2 = y(1+x3 y) ⊗ M ⇒ N o f unciona con estos f actores integrantes 39) (4x2 + y) dx − xdy = 0 M = 4x2 + y My = 1 N = −x Nx = −1 Si My 6=Nx My −Nx dx = 1+1 = − x2 N −x R dx m = e−2 x 11

m = x12 m (4x2 + y) dx − mxdy
=0 1 1 2 xdy = 0 (4x + y) dx − x2 x
2
y 1 4 + x2 dx − x dy = 0 M = 4 + xy2 My = x12 N = − x1 Nx = x12 ´ EXACT A Si My = Nx ECU ACI ON Integramos
R 4R + xy2
dx = 4x − xy − x1 dy = − xy F (x, y) = C 4x − xy = C 41) ydy = (xdy + ydx)

p 1 + y2 √y

1+y 2

dy − xdy = ydx

ydx + (x − √ y

1+y 2

M =y N = (x − √ y

1+y 2

)

)dy = 0 My = 1 Nx = 1

My = R Nx M dx = ydx = xy p R R N dy = (x − √ y 2 )dy = xy − 1 + y 2 1+y p 2 Sol. General xy − 1 + y = C R

42) xy 2 (xy 0 + y) = 1 (xy 3 − 1) dx + x2 y 2 dy = 0 M = xy3 − 1 ⇒ My = 3xy 2 N = x2 y 2 ⇒ Nx = 2xy 2 My 6= Nx My − Nx N = 1 R

My −Nx dx N

x

R

dx

µ = ce =e x =x (x2 y 3 − x) dx + x3 y 2 dy = 0 R 3 3  (x2 y 3 − x) dx = x 3y − f(x, y) = C ⇒  R 3 2 3 3 x y dy = x 3y x3 y 3 x2 3−

2

=C1

43) y 2 dx − (xy + x3 )dy = 0 M = y2

My = 2y 12

x2 2

N = −xy − x3 Nx = −y − 3x2 2 X f (x) = My −N = 2y+y+3x N −xy−x3 2

3y+3x2 −xy−x3

3(y+x ) = −x(y+x 2) f (x) = − x3 R dx u = e−3 x = x13 2 ⇒ ( xy 3 )dx − ( xy2 + 1)dy = 0 2 M = xy 3 My = x2y3 N = − xy2 − 1 Nx = x2y3 ∴ M = Nx R y2 y y2 ( x3 )dx = − 2x 2 R y2 y (− x2 − 1)dy = − 2x2 − y y2 Soluci´ on − 2x2 − y = C

f (x) =

44) (x2 + 3lny)ydx = xdy (x2 + 3ylny)dx − xdy = 0     1 2 2 M = x y + 3ylny My = x + 3 y + lny y My = x2 + 3 + 3lny N = −x

Nx = −1

My 6= Nx  2  My − Nx x + 3 + 3lny + x = N −x   Nx − My −1 − x2 − 3 − lny = M x2 y + 3ylny 45. y 2 dx + (xy + tan xy)dy = 0 M = y2 N = xy + tan xy M y−N x N N x−M y M

=

=

→ My = 2y

→ Nx = y + y sec2 xy

2y−y−y sec2 xy xy+tan xy

y+y sec2 xy−2y y2

=

=

y(1−sec2 xy) xy+tan xy

−y+y sec2 xy y2

46) y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0

13

=

⇒ My 6= Nx =

y tan2 xy xy+tan xy

−y(1−sec2 xy) y2

=

tan2 xy y

M = y(x + y) MY = x + 2y N = xy + 1 Nx = y MY 6= NX no es exacta N x−M y = y−x−2y M y(x+y) N x−M y −y−x = M y(x+y) N x−M y y+x = − y(x+y) M N x−M y = − y1 M R

−1

u = e y dy u = e−ln(y) ⇒ u = − y1 (x + y)dx + y1 (xy + 1)dy = 0 MY = NX R x2 (x + y)dx R 1 R = 21 + xy + c (xy + 1)dy = (x + y )dy = xy + ln(y) y x2 2

+ xy + ln(y) = c

Solucion

47) y(y 2 + 1)dx + x(y 2 − x + 1)dy = 0 M y = 3y 2 + 1 N x = y 2 − 2x + 1 N x−M y dy M N x−M y y 2 −2x+1−3y 2 −1 dy = dy M y(y 2 +1) No se puede 48) (x2 + 2x + y)dx = (x − 3x2 y)dy (x2 + 2x + y)dx − (x − 3x2 y)dy = 0 M = x2 + 2x + y ⇒ M y = 1 N = −x + 3x2 y ⇒ N x = −1 + 6xy M y 6= N x 2(1+3xy) M y−N x 1+1+6xy = −x+3x2 y = −x(1+2xy) = −2 N x R

dx

u = e−2 x u = x12 2 ⇒ u(x2 + 2x +
y)dx − u(x − 3x
y)dy = 0 y 2 1 0 nR1 + x + x2 dx
− x R− 3y dy =
1 1 + x2 + xy2 dx − 3y dy x R R dx R −2 dx + 2 R x + y R x dx = x + 2lnx − xy − x1 dy + 3 ydy = − xy + 32 y 2 Solucion − xy + 32 y 2 + x + 2lnx = c
49) ydx − xdy = 2x3 tan xy dx  3
 2x tan xy − y dx +
xdy = 0 y 3 M = 2x tan
x2 y−
y 3 1 My = 2x x sec x − 1 14


My = 2x2 sec2 xy − 1 N =x Nx = 1 Si My 6=Nx My 6=Nx no cumple I y II caso 51) xydx = (y 3 + x2 y + x2 )dy xydx − (y 3 + x2 y + x2 )dy = 0 M = xy My = x N = −(y 3 + x2 y + x2 ) Nx = −2xy − 2x My 6= Nx Nx −My −2xy−2x−x = = −2y−2−1 = −2 − y3 M xy y u = e−

R

2+ y3 dy

3

= e−[2y+lny ] = e2y1 y uM dx − uN dy = 0 1 xydx − e2y1 y (y 3 + x2 y + x2 )dy = 0 e2y y R R x2 uM dx = e2y1 y xy dx = 2ye 2y R

R 3 uN dy = − [ ey2y +

x2 y e2y y 3

2

+ e2yx y3 ] dy La integral queda expresada para ser resolvida por metodos numericos

53) (x2 − y 2 + y)dx + x(2y − 1)dy = 0 M = x2 − y 2 + y My = −2y + 1 N = (2y − 2)x Nx = 2y − 1 −2y+1−2y+1 f (x) = x(2y−2) = −2(2y−1) (2y−1)x −2 f (x) = x R −2 u = e x dx = x12 2 ⇒ (1 − xy 2 + xy2 )dx + ( 2y − x1 )dy x 2 M = 1 − xy 2 + xy2 + x12 My = − −2y x2 N = 2y − x1 x Nx = − x2y2 + x12 ∴ My = Nx R 2 y2 (1 − x2 + xy2 )dx = x + yx − xy R 2y 1 2 ( x − x )dy = yx − xy 2 x + yx − xy = C Soluci´ on 54) (2x2 y 2 + y)dx + (x3 y − x)dy = 0 M = 2x2 y 2 + y

My = 2x2 (3y)

N = x3 y − x

Nx = 3yx2 − 1

My 6= Nx 2

6x y − 3x2 y + 1 3x2 y + 1 My − Nx dx = dx = N x3 y − x x3 y − x 15

Nx − My 3yx2 − 1 − 6x2 y −3x2 y − 1 dy = = M 2x2 y 2 + y 2x2 y 2 + y 55. y(x + y 2 )dx + x2 (y − 1)dy = 0 M = y(x + y 2 ) N = x2 (y − 1)

→ My = (x + y 2 ) + 2y 2

→ Nx = 2x(y − 1)

⇒ My 6= Nx

M y−N x N

=

(x+y 2 )+2y 2 −2x(y−1) x2 (y−1)

=

3x+3y 2 −2xy x2 (y−1)

N x−M y M

=

2x(y−1)−(x+y 2 )−2y 2 y2

=

2xy−3x−3y 2 y(x+y 2 )

57) (x2 + 1)(2xdx + cosydy) = 2xsinydx (2x3 + 2x − 2xsiny)dx + (x2 cosy + cosy)dy = 0 M y = −2xcosy N x = 2xcosy M y−N x dx = −2xcosy−2xcosy dx N cosy(x2 +1) −4x = x2 +1 dx R

−4x

dx

u = e x2 +1 1 u = (x2 +1) 2 entonces R 3 2xsin(y) 2x 1) [ (x2x 2 +1) + (x2 +1) − (x2 +1) ]dx x2 + ln(x2 + 1) + ln(x2 + 1) − ln(x2 + 1)sin(y) x2 + 2ln(x2 + R1) − ln(x2 + 1)sin(y) 2) (xcosy 2 +1) dy siny (x2 +1)

x2 + 2ln(x2 + 1) − ln(x2 + 1)sin(y) +

siny (x2 +1)

=C

Soluci´ on

58) (2x3 y 2 − y)dx + (2x2 y 3 − x)dy = 0 M = 2x3 y 2 − y ⇒ M y = 4x3 y − 1 N = 2x2 y 3 − x ⇒ N x = 4xy 3 − 1 M y 6= N x M y−N x = 4y(x−y)(x+y) ⊗ N 2xy 3 −1 2

2

−x ) = 4xy(y ⊗ y(2xy−1) ⇒ N o f unciona con estos f actores integrantes N x−M y M

59) x2 y 3 + y + (x3 y 2 − x) y 0 = 0

16

(x2 y 3 + y) dx + (x3 y 2 − x) dy = 0 M = x2 y 3 + y My = 3x2 y 2 + 1 N = x3 y 2 − x Nx = 3x2 y 2 − 1 Si My 6=Nx no cumple I y II caso 63)( xy + 1)dx + ( xy − 1)dy = 0 My = −x y2 Nx = y1

M = xy + 1 N = xy − 1 g(y) = g(y) =

−x − y1 y2 −x −1 y −x−y y2 −x−y y

1 y

g(y) = R

1 dy y

u=e =y ⇒ (x + y)dx + (x − y)dy = 0 M =x+y My = 1 N =x−y Nx = 1 ∴ My = Nx R 2 (x + y)dx = x2 + xy R 2 (x − y)dy = xy − y2 2 x2 + xy − y2 = C Soluci´ on 2 64) (x2 + y)dx − xdy = 0 M = x2 y + y

My = 1

N = −x Nx = −1 My − Nx 1 − (−1) 2 dx = =− N −x x u=e

R

− x2 dx

u = e−2lnx −2

u = elnx

u = x−2 (1 + x−2 y)dx − x−1 dy = 0 F (x, y) = C Z

x−1 y (1 + x−2 y)dx = x + y =x− −1 x Z −x−1 dy = 0 C =x− 17

y x

65) (2xy 2 − y)dx + (y 2 + x + y)dy = 0 M = (2xy 2 − y) N = y2 + x + y

→ My = 4xy − 1

→ Nx = 1

⇒ My 6= Nx

M y−N x N

=

4xy−1−1 y 2 +x+y

=

4xy−2 y 2 +x+y

N x−M y M

=

1−4xy+1 2xy 2 −y

=

4xy 2xy 2 −y

67) (y + x2 )dy + (x − xy)dx = 0

2

(1 − y)4 x2

M y = −x N x = 2x N x−M y 3x 3 dy = x(1−y) = 1−y dy M 3 u = (1 − y) R 1) (1−y)x dx (1−y) R3 4 (1 − y) xdx 4 x2 R (1 − 3y) 2 2 − y) R(y + x )dy R 2) (1 3 (1 − y) ydy − x2 (1 − y)3 dy integramos por parte: 4 2 4 (1−y)5 − (1−y) + x (1−y) 5 4 4 5 (1−y)4 x2 (1−y)4 + (1−y) − + =c 5 4 4

Soluci´ on

68) (x2 + y)dx − xdy = 0 M = x2 + y ⇒ M y = x2 N = −x ⇒ N x = −1 M y 6= N x 2 +1 M y−N x = x−x ⊗ N N x−M y −1−x2 = x2 +y ⊗ M ⇒ N o f unciona con estos f actores integrantes 69) (xy 2 + y) dx − xdy = 0 M = xy 2 + y My = 2xy + 1 N = −x Nx = −1 ´ IN EXACT A Si My 6= Nx ECU ACI ON −1−2xy−1 NX −MY dy = y(xy+1) = −2(1+xy) = −2 M y(xy+1) y 18

R

dy

m = e−2 y m = y12 m (xy 2 + y) dx − mxdy = 0 1 (xy 2 + y) dx − y12 xdy = 0 y2   x + y1 dx − yx2 dy = 0 M = x + y1 My = − y12 N = − yx2 Nx = − y12 ´ EXACT A Si My = Nx ECU ACI ON Integramos  R 2 x + y1 dx = x2 + xy R x − y2 dy = xy x2 2

+

x y

19

=C