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• Willian José Campo Torres

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Circuitos RLC en serie

Las letras R,L y C son conocidas como resistencia, inductancia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. En estos circuitos varia la corriente. Inductor o bobina: Dispositivo que almacena la energía en forma de campo magnético. Henrys (h)

Condensador o capacitor: Dispositivo que almacena la energía en forma de campo eléctrico. Ohm (Ω) Resistencia: Es un tamiz de material, el voltaje al pasar disminuye según la necesidad. Faradios (f)

Gustav Robert Kirchhoff (Königsberg, 12 de marzo de 1824 - Berlín, 17 de octubre de 1887) fue un físico prusiano cuyas principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptica, la espectroscopia y la emisión de radiación de cuerpo negro.

Segunda Ley de Kirchhoff, también llamada ley de las mallas: La suma de caídas de tensión en un tramo que está entre dos nudos es igual a la suma de caídas de tensión de cualquier otro tramo que se establezca entre dichos nudos.

En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q(t). El voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. Como la corriente i(t) esta relacionada con la carga q(t) en el capacitor 𝑑𝑞 mediante i = , 𝑑𝑡

• Inductor: 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

=𝐿

𝑑2 𝑞 𝑑𝑡 2

𝑑𝑞

• Resistor: iR = 𝑅 𝑑𝑡 • Capacitor:

1 𝑞 𝐶

Sumando los tres voltajes e igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden 𝒅𝟐 𝒒

𝒅𝒒

𝟏

𝑳 𝒅𝒕𝟐 + 𝑹 𝒅𝒕 + 𝑪 𝒒 = E(t)

Ejercicios Circuitos RLC en serie

Ejercicio 1: Considere un circuito RLC con R= 50ohms. L=0.1H y C=5X10-4F. En el tiempo t=0, cuando I(0) tanto como Q(0) son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 110V, 60Hz. Encuentre la corriente en el circuito

𝐿

𝑑2 𝑖 𝑑𝑡 2

+𝑅

𝑑𝑖 𝑑𝑡

1 𝐶

+ 𝑖 = E’(t)

E(t) = 𝐸𝑜𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡 Se quiere hallar I(t) = Itr + Ips

Donde Corriente transitoria (Itr) y Corriente periódica estacionaria (Ips). Estas corresponden a Y = Yc + Yp respectivamente. Ahora analizando los datos tenemos:

Una frecuencia de 60Hz significa que w=2π(60rad/s), ya que w= 2πf. Lo cual equivale a w=377 rad/s. El voltaje suministrado es Eo = 110V, donde E(t)= 110Sen(377t) 𝑑2 𝑖

𝑑𝑖

1

𝐿 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑖 = wEoCoswt (0.1)I”+50I′+2000I= ωE0cosωt (0.1)I”+50I′+2000I = (41470)cos377t

(0.1)I”+50I′+2000I= 0 Resuelvo como una ec homogenea (0.1)I”+50I′+2000I

⇒

0.1𝑚2 +50m+2000 𝑚2 +500m+20000 (m+43.8447)(m+456.155)

M1= -43.8447 ; M2= -456.155 𝐼1 = 𝑒 −43.8447 ; 𝐼2 = 𝑒 −456.155 Entonces 𝐼𝑡𝑟 = 𝐶1𝑒 −43.8447 +𝐶2𝑒 −456.155 Ahora hallo una Ed homogénea tal que R(x) = (41470)cos377t M = 0 ± 377. Entonces la ED = (𝐷 2 + 3772 )𝑅 𝑥 = 0 Procedo multiplicando la ED por el factor ([(𝐷 2 +3772 )(D + 43.8447)(D + 456.155)]I = 0

Ejercicios Circuitos RLC en serie

Ejercicio 1: Considere un circuito RLC con R= 50ohms. L=0.1H y C=5X10-4F. En el tiempo t=0, cuando I(0) tanto como Q(0) son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 110V, 60Hz. Encuentre la corriente en el circuito

Procedo multiplicando la ED por el factor ([(𝐷 2+3772 )(D + 43.8447)(D + 456.155)]I = 0 Ahora soluciono la Ecuacion E.A = (𝑚2 +3772 ) 𝑚 + 43.8447 𝑚 + 456.155 M= 0 ± 377 M = -43.8447 M = - 456.155 Entonces 𝐼 𝑡 = 𝐼𝑡𝑟 + 𝐼𝑝𝑠 .𝐼(𝑡) = 𝐶1𝑒 −43.8447𝑡 +𝐶2𝑒 −456.155𝑡 +𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 𝐶4𝑆𝑒𝑛(377𝑡) Donde

Ips = 𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 𝐶4𝑆𝑒𝑛(377𝑡)

Ahora hallo el valor de las constantes de la corriente periódica estacionaria . 𝐷 2 + 500𝐷 + 20000 𝐼𝑝𝑠 = 41470𝐶𝑜𝑠 377𝑡 .𝐼𝑝𝑠 =

𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 𝐶4𝑆𝑒𝑛(377𝑡)

.𝐼𝑝𝑠′ =

−377𝐶3𝑆𝑒𝑛 377𝑡 + 377𝐶4𝐶𝑜𝑠(377𝑡)

.𝐼𝑝𝑠′′ = −3772 𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 − 3772 𝐶4𝑆𝑒𝑛(377𝑡)

Ahora Igualando y reemplazando .(−3772 𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 − 3772 𝐶4𝑆𝑒𝑛(377𝑡) −377𝑥500𝐶3𝑆𝑒𝑛 377𝑡 + 377𝑥500𝐶4𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 20000𝐶3𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 20000𝐶4𝑆𝑒𝑛 377𝑡 = 41470Cos(377t)

.𝐶𝑜𝑠(377𝑡)[−3772 𝐶3 + 500𝑥377𝐶4 + 20000𝐶3] + 𝑆𝑒𝑛(377𝑡)[−3772 − 500𝑥377𝐶3 + 20000𝐶4] = 41470𝐶𝑜𝑠(3777𝑡)

.−3772 𝐶3 + 500𝑥377𝐶4 + 20000𝐶3 = 41470 . −3772 𝐶4 + 500𝑥377𝐶3 + 20000𝐶4 = 0

Ejercicios Circuitos RLC en serie

Ejercicio 1: Considere un circuito RLC con R= 50ohms. L=0.1H y C=5X10-4F. En el tiempo t=0, cuando I(0) tanto como Q(0) son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 110V, 60Hz. Encuentre la corriente en el circuito

.−3772 𝐶3 + 500𝑥377𝐶4 + 20000𝐶3 = 41470 . −3772 𝐶4 + 500𝑥377𝐶3 + 20000𝐶4 = 0

.𝐶4 = −1.543449959𝐶3 .−122129𝐶3 + 188500𝐶4 = 41470 ;

−413074,97𝐶3 = 41470

.𝐶3 = −0,10039 𝑌 𝐶4 = 0.15495

Por tanto Ips = −0,10039𝐶𝑜𝑠 377𝑡 + 0.15495𝑆𝑒𝑛(377𝑡) Y así entonces

. 𝐈(𝐭) = 𝑪𝟏𝒆−𝟒𝟑.𝟖𝟒𝟒𝟕 + 𝑪𝟐𝒆−𝟒𝟓𝟔.𝟏𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟗𝑪𝒐𝒔 𝟑𝟕𝟕𝒕 + 𝟎. 𝟏𝟓𝟒𝟗𝟓𝑺𝒆𝒏(𝟑𝟕𝟕𝒕)

Ejercicios Circuitos RLC en serie

Ejercicio 2: Considere el circuito RLC mostrado en la figura 1. con R=110 ohm, L=1H y C=0.001 F. Y una batería que proporciona Eo=90V. Inicialmente no existe corriente en el circuito ni carga en el capacitor. En el tiempo t=0 se cierra el interruptor durante 1s. En el tiempo t=1 se abre y se mantiene así en adelante. Encuentre la corriente resultante en el circuito. 𝑑𝑖

1

𝐿 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 + 𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = E(t) 𝑑𝑖 𝑑𝑡

90+u(x-1)(-90)

+ 110𝑖 + 1000 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 90(1-u(t-1))

I(s) + 110𝐼(s) + 1000

𝐼(𝑠) 𝑠

=

90 (1 − 𝑠

𝑒 −𝑠 )

Recordar: L{

𝑡 𝑖 0

𝑡 𝑑𝑡} = 𝐼(𝑠)/𝑠

90(1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝑠 2 + 110𝑆 + 1000 Ahora solucionamos I(s) por fracciones parcialess

𝐼 𝑠 =

90(1−𝑒 −𝑠 )

1

1

𝐴

𝐵

𝑠 2 +110𝑠+1000

= 𝑠+10 − 𝑠+100

90(1−𝑒 −𝑠 ) 𝑠 2 +110𝑠+1000

= 𝑠+10 − 𝑠+100 ;

90(1−𝑒 −𝑠 )

𝐴 𝑠+100 −𝐵(𝑠+10) 𝑠 2 +110𝑠+1000

= 𝑠2 +110𝑠+1000

90 1 − 𝑒 −𝑠 = 𝐴 𝑠 + 100 − 𝐵(𝑠 + 10)

A=1;B=1 1

1

I(s)= 𝑠+10 − 𝑠+100 − e−s

1 s+10

1

1

L eat = s−a

− s+100

I(t) = 𝒆−𝟏𝟎𝒕 − 𝒆−𝟏𝟎𝟎𝒕 − 𝒖(𝒕 − 𝟏)[𝒆−𝟏𝟎

𝒕−𝟏

− 𝒆−𝟏𝟎𝟎

𝒕−𝟏

]