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Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

Problemas  a b     b a

1. - Determine si el conjunto de matrices S de la forma en donde a y b son números reales, con las operaciones convencionales es un espacio vectorial. 2. - Sea X=R-{-1} donde se define la suma





y la multiplicación por escalar

de la siguiente manera:

x, y  X , x  y  x  y  xy   , x  X ,   x  x

Determine si X con estas operaciones es un espacio vectorial

   1 a1    a, b       b1  1  3. - Determine si el conjunto X=  y :

con las operaciones

1 a1  b1  1   1 a1    1 a2            1   b1  1  b2  1  a 2  b2  1 1 a1  a1  1   1 a1          1  b1  1    b1  1    , Constituye un espacio vectorial.

 x, y   R

2



/x0

4. - Determine si el siguiente conjunto V= , es un espacio vectorial, donde se han definido las operaciones de suma y multiplicación por un escalar real de la siguiente manera:

( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1 x 2 ,1  y1  y 2 )

   x, y    x  ,   y  1

.

V    x, y  / xy  0, x, y  R 5. -

con las operaciones de suma

( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1 x 2 , y1 y 2 )

y multiplicación por escalar

  ( x, y )  (x, y )

es un espacio vectorial

U    a, b,b, a  / a, b  R 6. - Determine si un espacio vectorial

con las siguientes operaciones, es

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(a, b,b, a )  (c, d , d , c )  (a  c, b  d ,(b  d ), a  c )

  (a, b,b, a )  (a, b,b, a ) 7. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa, demuéstrela en caso de ser verdadera o de un contraejemplo si es falsa.

 V ,, 

V

5 x  x  x

a. - Sea un espacio vectorial y x , si el neutro en V. b. Sea V un espacio vectorial real cualquiera, entonces:

, entonces x es

 v   v       

 ,   , v  V

 W ,,  c. - Sea 0



un espacio vectorial cualquiera y w un vector en W, entonces

0w w=

8. Si x, y son vectores en un espacio vectorial V, demuestre que existe un único vector

 z V, tal que x+z=y



9. - Demuestre

  v    v

V  M 33 10. Sea el espacio vectorial

. Sea el subconjunto de V:

Q   A  M 33 / aij  a ji , i M 33

Q Determine si

es un subespacio de

V  M 22 11. Sea

y sea

H   A  M 22 / a1 j  3a 2 j  -Determine si H es un subespacio de V

V  M 32 12. Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de

W   A / aij  0, i  j

U   A / 3a11  2a 21  a31  a 22 

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M 22 13. 4.- Sea V=

. Considere los conjuntos:

  a b   / a  2b  c  0; a, b, c, d  R  H      c d    a b   / a  2b  c  3d  1 T      c d  ¿Qué conjuntos son subespacios de V? 14. Determine un conjunto generador para los siguientes subespacios:

  x        y  / x  2 y  z  0   z      a)

  x        y / x  y  0  2 x  y  z  0   z      b)

V  P3 15. Sea

los subconjuntos de V

W1   p( x)  P3 / p (1)  p (0)  1

W2   p( x)  P3 / p ( x)  ( x  1)q( x), q( x)  P2 





W3  gen x 2  1, x 3  1, x 2  x 3 , x 2  x 3  2 Determine:

W1 ,W2 , W3 a) Si son subespacios vectoriales de V. b) Un conjunto generador finito para cada subespacio vectorial determinado en el literal anterior.

 v1 , v 2 , v3  16. -Sea V un espacio vectorial cualquiera y un conjunto linealmente independiente en V. Si se construye con ellos los siguientes vectores:

w1  v1  v2 w2  v 2  v 3 w3  v3  v1

 w1 , w2 , w3  Determine si el conjunto

es o no linealmente independiente.

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v1 , v 2  R 17. Dados verdaderas:

. Establezca cuales de las siguientes proposiciones son

v1  v 2 /  ,   R

v1  v 2 a) Si

, entonces H=

es un plano.

v1  v 2 /   R

v1 y v2 b) Si

son independientes, entonces H=

v1 y v2 c) Si son independientes, entonces los vectores son independientes.

1 v 1 , v 2 , v1  v 2 3

también

v1  kv2 , k  R

v1 y v2 d)

es una recta.

son dependientes si y solo si

18. En el espacio vectorial





P4   4 x 4   3 x 3   2 x 2   1 x   0 /  4 ,  3 ,  2 ,  1 ,  0  R

se escoge los vectores:

V1  x 4  2 x 3  x 2  x  1 V2  2 x 4  x 3  2 x 2  x  1 V3   x 4  3x 3  x 2  2 x  3 V4  3x 4  10 x 3  9 x 2  7 x  2 V5   x 4  8 x 3  9 x 2  5 x  5 Al establecer la independencia lineal de ellos se encuentra que una de las siguientes proposiciones es verdadera. Encuéntrela.

V1 , V2 ,V3 , V4 a)

son linealmente independientes.

V1 ,V2 ,V3 ,V 5 b)

son linealmente independientes.

V1 , V2 ,V3 , V4 ,V 5 c)

son dependientes.

V1 , V2 ,V3 d) son linealmente dependientes. e) Todas las proposiciones anteriores son verdaderas.

P2 19. Considérese el subespacio de

V

:

  a 2  a1  a 0  t 2   a1  2a 0  t   2a 2  a 0  / ai  R

Encontrar un conjunto finito de vectores S que genere al subespacio V.

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20. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, de ser verdaderas demuéstrelas, de ser falsas de un contraejemplo. a) Sean H el conjunto de matrices n×n inversibles, entonces H es un subespacio

M n n de

 x  1,3x  2,4  x

V  P3

b) Si entonces es linealmente independiente. c) Sea H un conjunto de vectores linealmente independientes, tomados de un espacio vectorial V. entonces cualquier subconjunto de H es linealmente independiente

21. Sea H un subespacio del espacio vectorial

  1    S   2     6   

 3    , 1    2  

 4   ,   1  4  

R3

. Sea:

    

un conjunto generador de H. a) Determine si el conjunto generador es linealmente independiente.

  11     8  H   26    b) Determine si

H  L(1  x,1  x,1  2 x 2  x 3  x 4 ,1  2 x 2  x 3  x 4 )

V  P4 22. Sea

y

a) Determine un conjunto linealmente independiente de H b) Pertenece el polinomio respuesta

2  2x 2  x3  2x 4

al subespacio H? Justifique su

V   p ( x )  P5 / p ( x)  p ( x) 23. Sea el espacio vectorial real conjunto:



. Sea el

S  x 2  4, x  x 2  x 4 , x 4  x 6 ,1,2  x 4 , x 3  1,7  x 2  x, x 5 Determine los elementos de S que no pertenecen a V.



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



V  ( x, y ) / x  R  , y  R

24. Considere el espacio vectorial real donde se han definido la suma en V y la multiplicación por escalar de la siguiente manera:

   x , y    x  , y 

( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1 x 2 , y1  y 2 ) a) Es {(1,0),(1,1)} linealmente independientes? b) Genera {(1,0),(1,1),(e,0) a V?

M 22 25. Sea V=

. Considere los subconjuntos:

  a b   / a  2b  c  0; a, b, c, , d  R  H      c d 

  1 1  W  gen     2 0

a) Halle la intersección ente los dos subespacios b) Una base y la dimensión del subespacio hallado

V  P3 26. Sea



W  gen 1  x  x 2  x 3







H  a  bx  cx  dx / a  2d  c  0 2

3



S  gen x,2  2 x  x Determine: a) Una base para b) Si

H W

3



H S P3

es un subespacio de

c) La dimension de d) El subespacio

H W

W S

V  M 22 27. Sea

y sean



H  A  M 22 / A   AT   0  1  W     1 0 

 1 0   0 2

, 



 1 1     0 0 

, 

a) Demuestre que H es un subespacio de V b) Determine una base para

H W

c) Determine si la matriz identidad pertenece a

H W

 0  1     1 0 

, 

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B   v1 , v 2 , v3 , v 4  28. Sea una base del espacio vectorial V. Sean H y W dos subespacios de V, tal que:

H  gen v1  v 2  v3 ,2v 2  v3 

W  gen v 4  v1 , v1  v3  v 4 

a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio

H W

v  v3  2v 4  2v1  2v 2  ( H  W ).

b) Determine si

V  P3 29. Sea

, considere los siguientes subconjuntos de V

W   p ( x) / p (1)  2 p(0)  p (1) H  L(2  x, x 3  x,4 x 3  8)





U  p ( x )  2  ax  bx 2 / a, b  R

a) Puede escribirse a V como la suma de dos de los subconjuntos anteriores? b) Determine, de ser posible, la dimensión de

H W

y de

U W

M 22 30. Considere V el espacio

con las operaciones usuales de suma de

W1 matrices y multiplicación por escalar. Sea

el conjunto de la forma:

 x  x   / x, y, z  R  y z  W2 y

el conjunto de matrices de la forma

 a b   / a, b, c  R  a c   W1 , W2 , (W1  W2 ) y (W1  W2 ) Hallar una base y la dimensión de 31. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Demuéstrelas en caso de ser verdaderas y de un contraejemplo en caso de ser falsas.

S1 a) Sea

S2 y

dos conjuntos de vectores de un espacio vectorial V, tales que

L( S1  S 2 )  L S1 

S 2  S1

, entonces

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Ayudante: Yoshua Núñez W  H W H

b) Sean W, H subespacios de V, entonces

W H

c) Si es un subespacio de V entonces W es también un subespacio de V d) Sean A y B dos conjuntos linealmente independientes de vectores de V. Si

A B 

entonces

A B

es también un conjunto linealmente independiente

v1 , v 2 , v3 , v 4 e) Sean

vectores linealmente independientes del espacio vectorial V.

H  gen v1  v 2 , v 2  v3 , v1  v 4 

Sean

W  gen v1 , v1  v 2 , v3  v 4 

y

dim( H W )  3

entonces

V  P2 f)

Sea el espacio vectorial



2



2

. Sean



H  ax  bx  c / a  b  c  0  2a  b  3c  0



y

W  ax  bx  c / 4a  5b  11c  0 es un subespacio de V. g) Sean



S 22  A  M 22 / A  AT



y

dos subespacios de V. Entonces



A22  A  M 22 / A   AT

dos

M 22  S 22  A22

M 22 subespacios del espacio vectorial



H W

. Entonces:

32. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser verdaderas, demuéstrelas y en el caso de ser falsas de un contraejemplo.

V1 ,V2 ,V3 ,V4  a) Sea

V1 ,V5 ,V6 ,V7  un conjunto generador de V y

DimV  3

un conjunto

linealmente dependiente en V, entonces b) Todo conjunto generador de un espacio vectorial de dimensión n, tiene exactamente n vectores.

V1 ,V2 

V1

c) El conjunto es linealmente independiente en V si y solo si son múltiplos escalares

V2 y

B   u  v, u  v, v  w

d) Si

 u  w, v  w,2u  v  w

es una base de un espacio vectorial V, entonces es un conjunto generador de V.

no

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e) El conjunto

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  1  1  G      0 6

 1 0   3 1

, 

 1 1   1 2

, 

 0 1     1 0 

, 

es una base del espacio

V  M 22

vectorial

W  gen w1 , w2 , w3 

f)

Sean entonces

y

W U

dos subespacios de V,

W   p( x)  P3 : p' (0)  0

V  P3

g) Si

U  gen u1 , u 2 , u 3 , u 4 

y

entonces una base de W es

S   u , v, w

h) Si

1, x

2

, x3



es un conjunto linealmente independiente de vectores de V,

 u  v, u  w, u  v

es una base de S.

H  genV1 ,V2 ,V3 , X  i)

Sea

y

V1 ,V2 ,V3 , X 

el conjunto

U  genV1 , V2 , V1  V3 ,V2  V3  . Si H=U entonces

es linealmente dependiente

33. Sea H un subespacio del espacio vectorial

  1    S   2     6   

 3    , 1    2  

 4   ,   1  4  

R3

.Sea:

    

un conjunto generador de H. a) Determine si los vectores son linealmente independientes b) En caso de ser linealmente independientes, complete un base para

W 34. Sea

un subespacio del espacio euclidiano

  1     B     2   2     y

  1    A     1   0   

 0   ,   1  2  

y sean

    

W dos bases de

C A B base

 3    ,   5  4   

R3

R3

. Encuentre la matriz de cambio de











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35. Sean

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  1 0  B1      0 2

 0 0     0 1 

  1 0  B2      0 1

, 

y

V  D2 x 2

 2 0     0 3 

, 

dos bases del espacio

vectorial real

a) Determine los vectores coordenadas de

 1 0  v1    0 5

y

 5 0  v 2    0 4

respecto a

B2

C B 2 B1

B2

b) Encuentre la matriz

de cambio de base de

v1 c) Determine los vectores coordenadas de

B1 a

v2 y

B1 respecto a

empleando

C B 2 B1

B1   v1 , v 2  36. Sean

V  D2 x 2

y

vectorial

   2 0  B2     0 1 

 3 0     0  1 

, 

dos bases del espacio

B1 . Sea la matriz de cambio de base de

C B1 B 2

v1 a) Encuentre los vectores

a

 4 1      3 1

v2 y

B2

B1 de la base

u B2

C B1 B 2 b) Usando la matriz de cambio de base

, determine

si se conoce que

 7 0    0  4

u  

B1   v1 , v 2 , v3  37. Sea

V un conjunto de vectores del espacio vectorial

B2   u1 , u 2 , u 3 

. Sea

V una base de

B1 a) Demuestre que

v3  2u1  u 2  u 3

y

v1  u1  u 2 v 2  u 2  u 3

V es una base de

si se sabe que

,

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Ayudante: Yoshua Núñez B1  B2

b) Encuentre la matriz de cambio de base de

  1    S2    0   1   

S1 38. Sean

  1   , 1   0  

 0   , 0  1  

    

y

dos bases de

S1 de base de

R3

y sea la matriz de cambio

S2 a

C S 1 S 2

 1  1 1     0  2 1  1 1 1  

S1 a) Determine la base

 1   u   2  3  

 u  S1 b) Encuentre

si

B1   v1 , v 2 , v3 

V  P2 39. Sea

. Si

B2   u1 , u 2 , u 3  y

son bases ordenadas de

V , y se conoce que:

C B1 B 2

 x  1 B1

 1     1  1  

  1 0  1    0 1 0   2 0 1  

 x  1 B1

 1     0  0  

,

y

B1

B2

Determine los vectores de las bases

y

V  S2x2

V

40. 7. Sea

y

B

x  2

una base de

tal que:

B2

 0     0  1  

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri   1 2        2 0 

B

Ayudante: Yoshua Núñez  1     1  0  

  1 1        1 0 

B

 0     1  2  

  1 0        0 1 

B

 0     0  1  

Determine: a) Los vectores de la base

B

b) La matriz de cambio de base desde

B

hacia la base canónica

B1   u1 , u 2 , u 3 

V 41. Sea

un espacio vectorial con bases

y

B2   2u1  u 2 , u1  3u 3 ,5u 2 

B1 . Determine la matriz de cambio de base de

B2 y

B1

V 42. Sea

un espacio vectorial con bases

B1 matriz de cambio de base de

B2 de la base

B2 y

. Sea

la

B2 a

. Determine la matriz de transición

B1 a la base

B1   v1 , v 2 , v3  43. Sean espacio vectorial

y

  2 0  B2     0  1

V  S 2 x2

 0  4   4 7 

, 

 0 0     0 3 

, 

dos bases del

C B1 B 2 . Sea

B1 la matriz de cambio de base de

B2 a

 1 2  1   A 0 1 3  1 1 0   

, tal que:

  3 2 1   C   1  1 5   1 4 3  

B1 a) Determine los vectores de la base

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 u1  B1

 3u1  2u 2  B 2 b) Encuentre

, si se conoce que

u1 c) Encuentre los vectors

44. Sean

 4      1  0  

  1 0  B1     0 1 

  1 0  B2      0 0

y

 1 1  2 1   ,    1 1  0 0 

 0 1   0 0

y

u2

, 

, 

 u 2  B1

  2    0   1   

 0 0   1 0

, 

 1 0     0 0 

, 

 2 2     2 2 

y

, 

V  M 2x2

dos bases del espacio vectorial

Determine:

C B1 B 2 a) La matriz de cambio de base

 4 1         3  5 

B2

b) Si

 A B1   A B 2 c) Si

 3      7  1     8     1    0   1    0  

 4 1         3  5 

, hallar la matriz

B1   p( x ), q ( x), r ( x) 45. Sean

B1

, hallar

A

B2   s( x ), t ( x), u ( x ) y

dos bases del espacio

P2 vectorial

x

2

x

y sean:



B1

 s( x)  t ( x) B1

 1     1  0  

 3     1  1  

 x  1 B1

 0     1  0  

 t ( x)  u ( x) B1

2 x  5     2  0  

2



 1 B1

 1      1  1  

 u ( x )  B1

 3     0  0  

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

Determine a) Los vectors de cada base b) Las coordenadas del vector

 x 2  3x  2

B2 con respecto a la base

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

B1   v1 , v 2 , v3  B2   v1  v 2 , v1  v 2 , w2  46. Sean

,

B3   w1 , w2 , v2  y

bases

S 2x2 ordenadas de

  1 0        0 2 

 2    0

 1     1  0  

  0 1        1 0 

B3

 1      1  0  

 1 0        0  1 

B3

 0     1  1  

 1    0  1  

 1   Si

B3

y se conoce que:

y

B3 son la primera y segunda columna de la matriz de transición de

B1 a

respectivamente.

Determine:

B1 a) Los vectores de la base

  3  1        1 2  

B3

b)

C B1 B 3 c)



d)

A

3  1      1 2  

 A  I  B3   

V  S 2 x2 47. Sea

A

B1

, si

, con bases

  1 0  B1      0 0

 0 1   1 0

, 

B2  B1

la matriz de cambio de base de

 2 3  5   A   1 1 4   1 3 9   

B2 Determine los vectores de la base

 0 0     0 1 

, 

tal que:

B2   u1 , u 2 , u 3  y

. Sea

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

48. Sea



, con bases

B1 cambio de base de

B2 y

. Sea

la matriz de

B2 a

B2 . Determine la base





B1  x 2 , x,1

V  P2 49. Sea



B1  x 2 , x,1

V  P2

 2 1 1   A   1 2 0  0 1 1  

, con bases





B2  x  1, x 2  2 x  3, x 2  1 y

B1 Construya la matriz de cambio de base de

a

B   v1 , v 2 , v3 

V 50. Sea un espacio vectorial y conjunto:

.

B2

V una base de

. Se define el

W  gen v1  2v 2 ,v1  3v 2  v3 , v1  3v3  BW

W a) Determine una base para

, denotada como

b) Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de

B1   x  1,1 51. Sean Determine:

y

a

P1 dos bases del espacio vectorial

B2 de cambio de base de

p ( x )  3 x  5

b) Si se conoce que

.

B1 a

, usando la matriz hallada en el literal anterior

 p( x) B1

calcular

 r ( x) B1   r ( x) B 2   c) Si

BW

B2   x  1, x  1

C B 2  B1 a) La matriz

B

3   1

r (x) , hallar el vector

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri   1    B1    1   1   

Ayudante: Yoshua Núñez  0   , 1  1  

 0   , 0  1  



  0    B2    1    1       

52. Sean

 1   , 0  1  

 1   , 1  0  

    

y

vectorial de dimensión finita

dos bases del espacio

R

3

Determine:

C B1 B 2 a) La matriz

  1     2   3 

  

 B1

B1 de cambio de base de

 1     1  1  

b) Si

, usando

 v B1   v B 2

  1     2   3 

C B1 B 2

  

 B2

hallar

 3     2  1  

c) Si

B2 a

v , hallar el vector

2  1   1 1 B 0 2   4 0 

1 4  1 1 0 1 

3 1 

53. Sea , determine el espacio fila, columna, núcleo, recorrido, nulidad y rango.

2 0 1  1   A 2 8 4  6  0  15  5 10    54. Sea la matriz a) Encuentre una base y la dimensión del espacio renglón de A y el núcleo de A b) A partir de una base del espacio columna de A, complete una base para

R3

55. Determine el espacio columna, rango, núcleo, nulidad y rango de la siguiente matriz:

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez  1 1 1  2   0 1 1 0 

A  

56. 4.- Dada la matriz:

 1 2 3 4    5 6 7 8 A 9 10 11 12     13 14 15 16    Represente explícitamente el recorrido de A, el espacio renglón de A y el núcleo 57. Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demuéstrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo

a) Sean A y B matrices

nn

 ( AB)   ( B ) , si A es inversible entonces

b) Sea A una matriz cuadrada

nn

. Sea

E  A  At

( RE  C E )

. Entonces el espacio fila de E

es igual a su espacio columna. 7 c) Si C es una matriz de cambio de base entonces su nulidad es diferente de cero

d) Sea la matriz de

 1 0   3 1 A 0 3   1 2 

2  5 3  0 

 4      2   Nu( A)   2   . El vector

y el vector

 4     8    12   Re( A)    4    e) Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una matriz simétrica. f)

m n

n 1

Sea A una matriz y B una matriz , entonces el producto A.B pertenece al espacio columna de A g) Sea A una matriz anti simétrica, entonces la dimensión del espacio fila de A es diferente a la dimensión del espacio columna de A

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

R3

58. Considere a con las operaciones convencionales de suma, producto por escalar y producto punto. Sea H es el plano que contiene a los vectores (1,2,1) y (2,0,2) y W la recta generada por (0,-1,1). Determine: a) b)

H W  H  W W

c) Una base ortonormal para

59. Sea H un subespacio del espacio vectorial

R3

, tal que:





H   a, b, c   R 3 /  a  2b  c  0 Utilizando el producto interno estándar en

R3

a) Encuentre una base ortonormal para el subespacio

v    1,3,1  R 3

b) Sea el vector

. Determine un vector

v  h p

H

hH

pH y un vector

, tal

que

f : P1  P1  R 60. Determine si la función

con regla de correspondencia

f   a1  b1 x  /  a 2  b2 x    2a1 a 2  3b1b2  a1b2  a 2 b1

es un producto interno real

P1 en

f : R3  R3  R 61. Determine si la función

definida por:

f   a, b, c  ,  d , e, f    ad  ae  bd  2be  cf ,

es un producto interno en

R

3

.

P3 62. Considere

a

con el producto interno dado por:

0



 a1 x  a 2 x  a 3 x 3 / b0  b1 x  b2 x 2  b3 x 3  a3 b3  2a 2 b2  4a1b1  a 0 b0 2

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

T  p  x    p  1  p 0  x 2

P3 a) Para el operador en T en

Nu  T 

Im  T 

una base para

definido por

, determine



y

r  x   1  x  2 x 2  3x 3

b) Encuentre la proyección ortogonal de

Nu T  sobre

P1 63. En el espacio vectorial

 p ( x) / q( x)  

está definido el siguiente producto interno:

p (1)q (1)  p (0)q (0)  p (1)q (1)

30 a) Encuentre un vector p(x) tal que su norma sea igual a

y la medida del

 2

ángulo con el vector q(x)=1+x sea

P1 W   a  bx / a  b  0

b) Sea el subespacio de : esta más cerca de r(x)=1-2x?

, Cual es el vector de W que

64. 8) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser falsa de un contraejemplo y en caso de ser verdadera demuéstrela. 65. a) Si V es un espacio vectorial con producto interno y H un subespacio de V,

H 

 

entonces

u1 b) Si

H

u2 y

son dos vectores ortonormales en

Rn

u1  u 2  2 , entonces

c) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, y sea ortonormal de V, entonces para todo x en V

x

2

 u 1 , u 2 ,..., u k  una base

k

   x / ui  i 1

d) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, Sean u y v dos vectores

u  v cualesquiera de V, si , entonces (u+v) es ortogonal a (u-v) e) Sean u, w dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial V con producto interno real, entonces:

 u / w   u / u  w / w

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri f)

Ayudante: Yoshua Núñez

Sea V un espacio vectorial con producto interno, y si para todo w en V (w/v)=0, entonces u es el neutro de V.

66. Determine si las transformaciones siguientes son lineales:

 x   x      y   0

T : R 2  R 2 ; T  a.-

f.-

 x    x T : R  R ; T  y      z   y   3

 x  x  y      y  x  y

T : R 2  R 2 ; T 

2

T : M nn  M nn ; T ( A)  A t A

b.-

g.-

 x    1 T : R  R ; T  y      z   z   3

2

T : P2  P1 ; T (a 0  a1 x  a 2 x 2 )  a 0  a1 x

c.-

h.-

 x  y      y  x

T : R 2  R 2 ; T  d.-

 x   xy  y

T : R 2  R; T  e.-

S 22 67. -Sea

el espacio vectorial de las matrices simétricas. Sea la

Transformación lineal T:

S 22   3

con regla de correspondencia:

 ac    a b      c  b   b c   2(c  a)    T

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

a) Encuentre una base para el núcleo de T y una base para el recorrido de T b) Encuentre la nulidad de T y el rango c) Determine si T en un isomorfismo. Justifique su respuesta 2

  P2 68. Sea T:

una transformación lineal. Si se conoce que:

  1   1  x  x 2  3

T 

y

 2   2 x 2  1  1

T 

Determine la regla de correspondencia de T

v1 , v 2 , v3 } 69. Considere la transformación lineal T: V→V y sea B={ V. Sea

una base de

T (v1  v 2 )  v 2  v3 T (v 2  v3 )  v3  v1 T (v1 )  2v1

Determine: a) La matriz asociada a T b) Si T es un isomorfismo c) El núcleo y la imagen de T 1

70. Construya de ser posible una transformación lineal de P en M

T(1-x)=

 1 0    1 0

y

M 22  M 71. Sea T:

 1 1   0  1

T (2)  

22

tal que T(A)=GA donde

 2 4   4 8

G  

a) Determine una base de la imagen de T y la nulidad de T

22

tal que

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

b) Determine la representación matricial de

T2

con respecto a la base canónica de

M 22

P2   3 72. Sea T:

una transformación lineal definida por:

T [ x 2  x  1]  (2,0,1)

T [ 2 x 2  1]  (3,0,1)

T [ x 2  x]  (1,2,3)

a) Encuentre la representación matricial de T con respecto a las bases canónicas de cada espacio

B1 b) Halle una base

P2 para

B2 y otra base

B1 matricial de T con respecto a

para

3

de modo que la representación

B2 y

sea la matriz identidad.

73. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, demuéstrelas o de un contraejemplo.

 x  x  y       y   2x  2 y 

T 

R2  R2

a) Si T: una transformación lineal definida por T es un isomorfismo 1

2

, entonces

2

b) Si T es un isomorfismo de V en W y T

es un operador de W en W, entonces T o T

1

es sobreyectiva

R2  R2

c) Existe una transformación lineal T: tal que: T(1,0)=(1,1) T(3,2)=(1,-1)

T(3,3)=(2,2) 1

d) Sean V y W espacios vectoriales ambos de dimensión n, sean B y B

TB1B 2 

y W respectivamente, sea además 1

2

bases para V

la matriz asociada a T con respecto a las

2

bases B y B . Bajo estas condiciones det a W.

TB1B 2 

≠0 entonces T es un isomorfismo de V

Materia: Algebra Lineal Profesor: Ing. Celleri

Ayudante: Yoshua Núñez

v1  v 2  v3 } e) Sea T una transformación lineal de V en W y si {

es linealmente

T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ) independiente en V y T es inyectiva, entonces { independiente en W

}es linealmente

f) Si T1 y T2 son isomorfismos de V en W. Entonces(T1oT2) también lo es.

  R   0 g) Sea T: V→W un isomorfismo y isomorfismo

. Entonces



T: V→w es también un

P2 , R 3 h) Sea V=L (

) el espacio vectorial de las transformaciones lineales cuyo dominio

es el espacio de los polinomios de grado menor igual a 2 y cuya imagen esta en

R3

,

M 22 bajo estas condiciones, V es isomorfo a

, el espacio de matrices cuadradas 2×2.

T : P1  P3 74. Considere la transformación lineal

dada por

T ( p ( x))  ( x 2  x  1) p ( x) a) Determine su representación matricial respecto a las bases canónicas b) Determine su representación matricial respecto a las bases:

1 '  {1,1  x}

 2 '  {2,2  x, (2  x) 2 , (2  x) 3 } T : P2   3 75. Sea la transformación lineal



T a  bx  cx

con regla de correspondencia: 2



a  2c     b  5c   3(2c  a )     

a) Encuentre una base para el núcleo de T, una base para el recorrido de T, la nulidad y el rango de T

P2 b) Encuentre; a representación matricial de T respecto a las bases canónicas de

3

, y determine si T es un isomorfismo

y

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Ayudante: Yoshua Núñez

P2  P3 76. Construya de ser posible, una transformación lineal T:

 p( x)  P2 / p(1)  p(2)

Nu(T)= es un isomorfismo.

3

e Im(T)=gen{x

2 x  x  1

T1 ,T 2, T3 77. 12.-Sean

transformaciones lineales de

T1 ( x, y, z )  (2 x  y, z ,2 x  y  2 z )

tal que

2

R3

en

T2 ( x, y , z )  ( x  y , x, x  z )

}. Justifique si T

R3

dadas por:

T3  T2 oT1

a)Encuentre la representación matricial de estas transformaciones con respecto a la

   1,0,0  , 1,1,0  ,  0,1,1

base

T3 b)Determine el núcleo, la nulidad y el recorrido de