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• Marco Muñoz

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MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 1 de 11 . COMPETENCIA: Técnicas de SOLUCIÓN A ECUACIONES INTEGRO- DIFERENCIALES con transformada de LAPLACE. SOLUCIÓN DE CIRCUITOS RLC, RL, RC, LC, CON L . EJEMPLO #1: CIRCUITO RLC PARALELO CON FUENTE DE CORRIENTE COSENOIDAL. Considere el siguiente circuito paralelo, donde: I s1 = 8 Cos ( 2t + 6 ), R = 2 Ω, L = 3 H, C = 0.7 F.Con las siguientes condiciones iniciales: i(0 ) = 3 Amperios, en la bobina. v(0 ) = 1 Voltio, en el capacitor. S1R1Is1 L1

+ C1 1) Encuentre la respuesta de voltaje V=V(t) del circuito, e identifique en ella la parte Natural( Complementaria o Transitoria ) y la parte Forzada ( Particular o Permanente ).Observe que como se trata de un paralelo, el voltaje en todos los elementos es el mismo:V R =V L =V C = V = V( t ). 2) Encuentre la respuesta de corriente i R (t) a través de la Resistencia R. Identifique la parte Natural y la parte Forzada. 3) Encuentre la respuesta de corriente i L (t) a través de la Bobina L. Identifique la parte Natural y la parte Forzada.

4) Encuentre la respuesta de corriente i C (t) a través del Capacitor C. Identifique la parte Natural y la parte Forzada. SOLUCIÓN AL EJEMPLO #1: Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside:

Ecuación Integro-Diferencial L [ Ecuación integro-diferencial ]Para llevar la ecuación, del dominio del tiempo t , al dominio de la S . Despejar la variable de interés. Reemplazar condiciones iniciales. L -1 [ Ecuación con variable de interés despejada]

Entonces, esta esla Solución de la ecuación integro diferencial. Entonces:MétodoHEAVISIDE. Sí se encuentra: Sí no se encuentra: MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 2 de 11 .

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 3 de 11 . 1) Para encontrar la respuesta de voltaje del circuito es necesario en primer lugar, encontrar el modelo del circuito. Para hacerloutilizamos la ley de corrientes de KIRCHHOFF: a)Σ

i = 0 ;nodo I s1 +i R +i L +i C = 0i R +i L +i C =I s1 v R +1 ∫ t v L

dt +Cdv C =I s1 .RL -∞ dtv R +1 ∫ t v L dt + 0.7 dv C = 8Cos ( 2t + 6 ) . 2 3 -∞ dtEl siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE a ambos lados de la ecuación, pero debemosrecordar que la

L no está definida para los tiempos negativos o sea para los t < 0, por lo tanto la integral querepresenta la corriente de la bobina que se define para los tiempos desde: t = - ∞ hasta cualquier tiempo: t ,debe partirse, y reemplazar el valor de la corriente de la bobina para los t negativos: i(0 ) = 3 Amperios. v R +1 { ∫ 0 v L dt + ∫ t v L dt }

+ 0.7 d v C = 8Cos ( 2t + 6 ) . 2 3 -∞ 0 dt 0.5 v R +1 { i(0 ) + ∫ t v L dt } + 0.7 d v

C = 8Cos ( 2t + 6 ) .3 0 dt0.5 v R +1 { 3 amp. + ∫ t v L dt } + 0.7 d v C = 8Cos ( 2t + 6 ) .3 0 dt0.5 v R +1{

3 amp } +1 { ∫ t v L dt } + 0.7 d v C = 8Cos ( 2t + 6 ) .3 3 0 dt0.5 v R + 1 + 0.3333 { ∫ t v

L dt } + 0.7 d v C = 8Cos ( 2t + 6 ) . 0 dtRecordemos que se trata de un circuito en paralelo, por lo tanto: V R =V L =V C =V 0.5 v +1 + 0.3333 ∫ t v dt

+ 0.7 d v = 8Cos ( 2t + 6 ) . 0 dtEsta es la ecuación integro-diferencial que hace las veces del modelo del circuito, para el voltaje. Por que laúnica variable dependiente es el voltaje v . b)Aplicamos transformación de LAPLACE, a ambos lados de la ecuación integro-diferencial: L { 0.5 v +1 + 0.3333 ∫ t v dt + 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 )

} . 0 dtLo que sigue es aplicar todas las propiedades de la L que sean necesarias: L { 0.5 v } + L { 1 } + L { 0.3333 ∫ t v dt } + L

{ 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 ) } . 0 dt

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 4 de 11 . 0.5 L { v } + L { 1 } + 0.3333 L { ∫ t v dt } + 0.7

L { dv } = 8 L { Cos ( 2t + 6 ) } . 0 dt0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 { s V( s ) v( 0 )

} =8 { s Cos(6) –2 Sen (6) } .ss(s 2 + 2 2 )0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 *s V( s ) - 0.7* v( 0 ) =8 { s* 0.9602 –2*

(- 0.2794) } .ss(s 2 + 4 )c)Se reemplazan las condiciones iniciales que aparezcan en la ecuación transformada:0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7* v( 0 ) =8 { 0.9602 s + 0.5588 } .ss(s 2 + 4 )0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s )

+ 0.7 s V( s ) - 0.7* 1 = 7.6816 s + 4.4704. s s ( s 2 + 4 )0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7 = 7.6816 s + 4.4704. s s ( s 2 + 4 )d) Se despeja la variable de interés, en este caso la V(s): 0.5 V( s ) +1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) 0.7 = 7.6816 s + 4.4704. s s ( s 2

+4) { 0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) +1 0.7 = = 7.6816 s + 4.4704. s s ( s 2 +4) { 0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) = 7.6816 s + 4.4704 - 1 + 0.7 .s(s 2 +4) s Se requiere obtener el común denominador en ambos lados del igual: { 0.5 s + 0.3333 + ( 0.7 s ) s } * V( s ) =

{ 7.6816 s + 4.4704 } s -1 ( s 2 +4) + 0.7 s ( s 2 +4) . s(s 2 +4) s Y se despeja la variable de interés: V( s ) = { 7.6816 s

2 + 4.4704 s s 2 -4 + 0.7 s 3 + 2.8 s } *. s .. ( s 2 +4) s* { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s 2 }V( s ) ={

7.6816 s 2 + 4.4704 s s 2 -4 + 0.7 s 3 + 2.8 s } .. ( s 2 + 4 ) * { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s 2 } V( s ) = { 6.6816 s 2 + 7.2704 s -4

+ 0.7 s 3 } . .(s 2 +4) { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s 2 } e) Se aplica la antitransformación de LAPLACE a ambos lados del igual, para pasar del dominio de lafrecuencia compleja s al dominio del tiempo t : L -1 [ V( s ) ] = L -1

[ { 6.6816 s 2 + 7.2704 s -4 + 0.7 s 3 } . ] ; en MATLAB:. ( s 2 +4) { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s 2 } v(t) = 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) + 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656

e – 0.3571t Sen (5.9042 t )Esta es la solución completa para el voltaje del circuito, donde: v(t) = v c (t) + v p (t) MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 5 de 11 . v c (t) = 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) ; Respuesta Forzada , Particular o Permanente. Observe que tiene lamisma forma de la fuente. v p

(t) = 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656 e – 0.3571t Sen (5.9042 t ); Respuesta Natural , complementaria oTransitoria. Observe que corresponde al caso de Raíces Complejas yConjugadas. EJEMPLO #2: CIRCUITO RLC PARALELO CON DOS FUENTES DE VOLTAJE. Considere el siguiente circuito, donde: V s1 = 1 Voltio, V s2 =1 µ (t) Voltios, R = 2 Ω, L = 1H, C = 0.2 F.Con las siguientes condiciones iniciales: i L (0 -

) = 0Amperios, en la bobina. v C (0 ) = 1 Voltio, en el capacitor. S1+-Vs2+-Vs1R1L1+C1 1) Encuentre la respuesta de corriente i=i(t) del circuito.Observe que como se trata de una serie por lo tanto la corriente por todos los elementos es la misma:i R =i L =i C = i = i ( t ). 2) Encuentre la respuesta de voltaje v C (t) a través del Capacitor C.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO #2: Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside: Ecuación Integro-Diferencial L [ Ecuación integro-diferencial ]Para llevar la ecuación, del dominio del tiempo t , al dominio de la S . Despejar la variable de interés. Reemplazar condiciones iniciales. L -1 [ Ecuación con variable de interés despejada] Entonces, esta esla Solución de la ecuación integro diferencial. Entonces:MétodoHEAVISIDE. Sí se encuentra: Sí no se encuentra: MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 6 de 11 . MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página #

7 de 11 . 1) Para encontrar la respuesta de corrientedel circuito es necesario en primer lugar, encontrar el modelo del circuito. Parahacerlo utilizamos la ley de voltajesde KIRCHHOFF: a) Σ v = 0 ;malla v s1 +v L +v R v s2 + v C = 0v L +v

R + v C =v s1 + v s2 Ldi L +Ri R + 1 ∫ t i C dt =v s1 + v s2. dt C

-∞ Ldi L +Ri R + 1 ∫ t i C dt =v s1 + v s2. dt C -∞ El siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE a ambos lados de la ecuación, pero debemos recordar quela L no está definida para los tiempos negativos o sea para los t < 0, por lo tanto la integral que representa el voltaje delcapacitor que se define para los tiempos desde: t = - ∞ hasta cualquier tiempo: t ,

debe partirse , y reemplazar el valor del voltaje del capacitor para los t negativos: v(0 ) = 1 voltios. Ldi L +Ri R + 1 ∫ 0 i C dt + 1 ∫ t i C dt = v

s1 + v s2. dt C -∞ C 0 1 di L + 2 i R + 1 ∫ 0 i C dt + 1 ∫

t i C dt = 1 + 1 µ (t) . dt 0.2 -∞ 0.2 0 1di L +2i R + v(0 )+ 1 ∫ t

i C dt = 1 + 1 µ (t) . dt 0.2 0 di L +2i R + 1 + 5 ∫ t i C dt = 1 + µ (t) .

dt 0 Recordemos que se trata de un circuito en serie , por lo tanto: i R =i L =i C =i d i +2 i + 1 + 5 ∫ t i dt = 1 + µ (t)

. dt 0 d i +2 i + 5 ∫ t i dt = 1-1 + µ (t) . dt 0 d i +2 i + 5

∫ t i dt = 0 + µ (t) . dt 0 d i +2 i + 5 ∫ t i dt = µ (t) .. dt 0

Esta es la ecuación integro-diferencial que hace las veces del modelo del circuito, para la corriente. Por que la única variabledependiente es la corriente i . b)Aplicamos transformación de LAPLACE, a ambos lados de la ecuación integro-diferencial: MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 8 de 11 . L { d i +2 i + 5 ∫ t i dt } = L

{ µ (t) } . dt 0 Lo que sigue es aplicar todas las propiedades de la L que sean necesarias: L { d i } + L { 2 i} + L { 5 ∫ t

i dt } = L { µ (t) } . dt 0 L { d i } + 2* L { i} + 5* L {

∫ t i dt } = L { µ (t) } . dt 0 { s I (s) i(0 ) } + 2* { I(s)} +

5* { I (s) } = { 1 } . ss c)Se reemplazan las condiciones iniciales que aparezcan en la ecuación transformada:s I (s) 0 +2 I(s) + 5 I (s) =1 . s sd) Se despeja la variable de interés, en este caso la V(s): [ s+2+ 5

]* I (s) =1 . s sBusquemos común denominador en el lado izquierdo del igual: [ s 2 +2 s +5 ]* I (s) =1 .. s s Y se despeja la variable de interés: I (s) =.1. .. s

s [s 2 + 2s + 5 ] I (s) =. s . .. s [s 2 + 2s + 5 ] I (s) =. 1 . .. [s 2 + 2s + 5 ] e) Se aplica la antitransformación de LAPLACE a ambos lados del igual, para pasar del dominio de lafrecuencia compleja

s al dominio del tiempo t : L -1 [ I (s) ] = L -1 [ .1. ] . [s 2 + 2s + 5 ] Si lo resolvemos utilizando el comando ilaplace de MATLAB, el resultado será: i ( t ) = - 0.25 j { e (-1+2j) e

(-1–2j) } Si lo resolvemos a mano, utilizando primero el método de Heaviside y luego el de Laplace,obtenemos: MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 9 de 11 . I (s) =. 1 . =. 1 . .. [s 2 + 2s + 5 ] (s+1–j2)(s+1+j2) I (s) =.

1 . =. A . +. A * . . (s+1–j2)(s+1+j2)(s+1–j2)(s+1+j2). 1 . =. A (s+1+j2)+ A * ( s + 1 – j 2 ). . ( s + 1 – j 2 ) ( s + 1 + j 2 ) ( s + 1 – j 2 ) * ( s + 1 + j 2 )Cancelamos denominadores:. 1(s+1–j2)*(s+1+j2). =. A (s+1+j2)+ A

* (s+1–j2). . (s+1–j2)(s+1+j2)1 1 = A (s+1+j2)+ A * (s+1–j2) 1 = A s+ A +j2 A + A * s+ A * –j2 A

* 1 =( A + A * )*s + { ( A + A * )+j2*( A – A * ) } Para obtener un sistema de ecuaciones debemos comparar y reordenar los dos lados del igual, buscando quetengan la misma estructura:0* s + 1 =(

A + A * )*s + { ( A + A * )+j2*( A – A * ) } Planteamos entonces las siguientes condiciones para que se cumpla la igualdad:0 = ( A + A * ) Condición # 1 = Ecuación # 1

1={ ( A + A * )+j2*( A – A * ) } Condición # 2 = Ecuación # 2 Resultó un sistema de ecuaciones 2 x 2 y la primera permite despejar rápidamente: A = A * Si reemplazamos este resultado, y la Ecuación# 1, en la Ecuación# 2. Tenemos que:1 = { ( A + A * ) + j 2 * (A – A * ) }1 ={

( 0 )+j2*(A– ( A) ) } 1 ={ j2*(A+ A ) } 1 ={ j2*( 2 A ) } 1=j4 A 1= A j 41 * j =

A j 4 * j. j = A 4* j 2 . j .= A 4*( -1 ) MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 10 de 11 . . j= A .4 - 0.25 j = A Reemplazamos este resultado en la Ecuación# 1 y obtenemos que:0 = ( A

+A * )0 = - 0.25 j +A * 0.25 j = A * Por lo tanto el desarrollo en fracciones parciales de HEAVISIDE para la I(s) resulta ser: I (s) =. A . +. A * . .. (s+1–j2)(s+1+j2) I (s) =. - 0.25 j

. +. 0.25 j . .. ( s + 1 – j 2 ) ( s + 1 + j 2 )Para cambiar desde el dominio de la frecuencia compleja s hacia el dominio del tiempo t, es necesario aplicar la anti-transformada de LAPLACE o transformada inversa: L -1 [ I(s)] = L -1 [ . - 0.25 j . +. 0.25 j . ] . (s+1–j2)(s+1+j2) i(t)

= L -1 [ . 0 - 0.25 j . +. 0 + 0.25 j . ] . ( s + 1 – j 2 ) ( s + 1 + j 2 )Recordemos la tabla vista en esta clase: DOMINO DEL TIEMPO: f(t) DOMINIO DE LA FRECUENCIA S : F(s) 2( ε 2 + τ

2 ) 1/2 *e σ t * Cos ( w t+ θ )Donde: θ = tan -1 ( τ/ε ), si ε≠0 ó: θ = sen -1 ( τ

/( ε 2 + τ 2 ) ½ ). ε + j τ . + . ε j τ .(s+ σ– j w )(s+ σ+

j w )Aplicando el resultado de esta tabla, tenemos que en nuestro caso: ε = 0, τ = - 0.25, σ = 1, w =2 Con estos datos podemos calcular el valor de θ y el valor de ( ε 2 + τ 2 ) 1/2 en el lado izquierdo de la tabla: θ = Sen

-1 ( τ /( ε 2 + τ 2 ) ½ ) θ = Sen -1 ( - 0.25 /( (0) 2 + ( - 0.25 ) 2 ) ½ )

θ = Sen -1 ( - 0.25 /( ( - 0.25 ) 2 ) ½ ) θ = Sen -1 ( - 0.25 /( - 0.25 )) θ = 1.57079 radianes( ε 2 + τ 2

) 1/2 =( (0) 2 + ( - 0.25 ) 2 ) 1/2 ( ε 2 + τ 2 ) 1/2 =( ( - 0.25 ) 2 ) 1/2 ( ε 2

+ τ 2 ) 1/2 = - 0.25 MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 11 de 11 . Podemos ahora reemplazar estos resultados en la lectura de la tabla: i(t) = 2( ε 2 + τ 2 ) 1/2 *e -

σ t * Cos ( w t+ θ ) i(t)= 2(( 0 ) 2 +( - 0.25 ) 2 ) 1/2 *e 1 t * Cos ( 2

t+ 1.57079 ) i(t)= 2 ( - 0.25 ) * e t * Sen ( 2t ) i(t) = - 0.50 e t Sen ( 2t ), Esta es la solución para la corriente del circuito. Compare este resultado con el obtenido en MATLAB. Son el mismo resultado y son equivalentes, paracomprobarlo, aplique la identidad de EULER. 2)Encontrar la respuesta de voltaje que tiene el capacitor del circuito:v C = 1 ∫ t i C

dt =1 ∫ 0 i C dt + 1 ∫ t i C dt . C -∞ C -∞ C 0 v C = v C

(0 )+ 1 ∫ t i C dt . C 0 Como se trata de un circuito en serie tenemos que: ic = i total del circuito. i(t) = - 0.50 e t Sen ( 2t ) , Esta es la solución para la corriente del circuito. v C (0 -

) = 0 voltios. Según las condiciones iniciales del circuito. Reemplazamos estos valores, en la ecuación del voltaje del capacitor, así:v C = 1+ 1 ∫ t - 0.50 e t Sen ( 2t ) dt . 0.2 0 v C = 1+ 5 * ( - 0.50) ∫

t e t Sen ( 2t ) dt .0 v C = 1 - 2.5* ∫ t e t Sen ( 2t ) dt .0 v C = 1 - 2.5 * [ - 0.4 e t

Cos ( 2t ) - 0.2 e t Sen ( 2t ) ] t.0 v C = 1 - 2.5 *[ { - 0.4 e t Cos ( 2 t ) - 0.2 e t Sen ( 2 t )

} { - 0.4 e 0 Cos ( 2 *0 ) - 0.2 e 0 Sen ( 2 *0 ) } ] v C = 1 - 2.5 *[ { - 0.4 e -

t Cos ( 2 t ) - 0.2 e t Sen ( 2 t ) } { - 0.4 * 1 *1 - 0.2 *1 *0 } ] v C =

1 - 2.5 *[ { - 0.4 e t Cos ( 2 t ) - 0.2 e t Sen ( 2 t ) } + 0.4 ] v C = 1+1 e t

Cos ( 2 t ) + 0.5 e t Sen ( 2 t ) -1 v C = e t Cos ( 2 t ) + 0.5 e t Sen ( 2 t

) v C = e t Cos ( 2t ) + 0.5 e t Sen ( 2t ) ; E sta es la respuesta completa del voltaje del capacitor.