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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería Civil

EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA Nº01: En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar =0.02 en todas la tuberías (para los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100%).

125 m

10’’

120 m

1 800 m 100 m

18’’ 20’’

P

12’’

1 500 m

1 300 m

300 m

Solución: La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2. ℎ𝑓 = 0.0827

𝑓. 𝑙 2 𝑄 𝐷𝑆

La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4. 𝐷𝑆 1 𝑄 = 3.477√ ℎ𝑓2 𝑓. 𝑙 Reemplazando datos de cada tramo se obtiene.

ℎ𝑓1 = 14,67𝑄12

MECÁNICA DE FLUIDOS II :

1 2 𝑄3 = 0,0188ℎ𝑓3

EJERCICIOS DE TUBERÍAS Y REDES

GRUPO N° 03

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1

ℎ𝑓2 = 107,63𝑄22

2 𝑄4 = 0,0326ℎ𝑓4

Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto 𝑄 = 100 𝑙/𝑠 (en la bomba). 𝑄 = 0.1 𝑚

La pérdida de carga en el tramo 1 es:

3⁄ 5

ℎ𝑓1 = 14.67𝑄12 = 0.15 𝑚

La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99.85 m (10 – 0.15) La energía teórica suministrada por la bomba es 𝐻=

76𝑃𝑜𝑡 𝑦.𝑄

76∗40

= 1000∗0.1 = 30.4 𝑚

La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130.25 m La pérdida de carga en el tramo 2 es: ℎ𝑓2 = 107.63𝑄22 = 1.08 𝑚 𝑄2 = √1.08⁄107.63 = 0.10017 𝑚

3⁄ 5

= 100.17 𝑙/𝑠

La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129.17 m  (130.25 – 1.08) La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en tramo 3 es ℎ𝑓3 = 129.17 − 125 = 4.17 𝑚 Y el gasto resultante es 𝑄3 = 0,03839𝑚

3⁄ 5

1 2 𝑄3 = 0,0188ℎ𝑓3 = 38.5 𝑙/𝑠

La energía disponible para el tramo 4 es 9.17 m y el gasto resultante es. 1 2 𝑄4 = 0,0326ℎ𝑓4 = 98.7 𝑙/𝑠

Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que: 𝑄2= 𝑄3 + 𝑄4 O bien, 𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 ) = 0 Sin embargo encontramos que para el gasto supuesto. MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 ) = 37.1 𝑙/𝑠 Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos. Hacemos un nuevo cálculo con 𝑄 = 110 𝑙/𝑠 y obtenemos. 𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 ) = 8.9 𝑙/𝑠 Hacemos un nuevo cálculo con 𝑄 = 108 𝑙/𝑠 y obtenemos. 𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 ) = 1.2 𝑙/𝑠 Con 𝑄 = 108.7 𝑙/𝑠 se obtiene, 𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 ) = 2.1 𝑙/𝑠 Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente 𝑄 = 108.17 𝑙/𝑠. Redondeando los valores (𝑙/𝑠) se obtiene. 𝑄 = 108 𝑙 ⁄𝑠 𝑄3 = 24 𝑙 ⁄𝑠 𝑄4 = 108 𝑙 ⁄𝑠

𝑄

110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100

-40

-30

-20

-10

0

+10

+20

𝑄2 − (𝑄3 + 𝑄4 )

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PROBLEMA Nº2: La presión de la bomba es 120m, para una potencia d 605HP, siendo la eficiencia del conjunto motor-bomba de 84%. LA carga perdida a través de la válvula N es de 10m. Se pide hallar la dirección del flujo y gasto en cada tubería, así como la cota del nivel de agua en el reservorio R. Dibujar la línea de gradiente. Úsese C=120 para todas las tuberías.

Solución: La cota piezométrica A es 10+123=130m. 100m. (cota del reservorio N), entonces el flujo va hacia M, cuyo gasto lo hallaremos:

𝑆1 =

130−100 10

= 3 𝑚⁄𝐾𝑚

𝑄1 = 420 𝑙⁄𝑠𝑒𝑔

𝐷1 = 24′′ ; 𝐶 = 120 𝑄1 = 4.26𝑥10−4 𝐶 𝐷12.63 𝑆10.54

𝑄1 = 0.42 𝑚

𝑄1 = 394.5𝑙𝑡𝑠 La bomba tiene una: 𝑃𝑜𝑡 =

3⁄ 5

𝑊𝑄1 (𝑆𝑆 −𝐵𝐸 ) 75𝑋𝐸𝑓𝑖𝑐

Reemplazando valores: 605 =

1000𝑥0.420(120 − 𝐵𝐸 ) 75𝑋0.84

38115 = 50400 − 420𝐵𝐸 90.75 = 120 − 𝐵𝐸 MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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Donde: 𝐵𝐸 = 120 − 91 = 29𝑚 de agua

El gastoque pasa por AM, también ha debido pasar por SB, luego:

𝑆2 = 𝑄2 = 420 𝑙𝑡𝑠⁄𝑠

𝑆2 = 3 𝑚⁄𝐾𝑚

ℎ𝑓2 𝐿2

ℎ2 = 3𝑥4 = 12𝑚

𝐷2 = 24′′ ; 𝐶 = 120

Cota piezométrica en B=10+29=39m Cota piezométrica en S=39+12=51m

El flujo va de S hacia T, ya que la cota piezométrica de S es mayor que la del reservorio T, cuya descargas:

𝑆4 =

51−37.9 2

= 6.55 𝑚⁄𝐾𝑚

𝑄4 = 100 𝑙𝑡𝑠⁄𝑠

𝑄4 = 4.26𝑥10−4 𝐶 𝐷2.63 𝑆 0.54 𝑄4 = 97.19 𝑙⁄𝑠𝑒𝑔

El gasto que debe arrojar el reservorio R será: 𝑄2 + 𝑄4

𝑆3 = 4.5 𝑚⁄𝐾𝑚

𝑄3 = 𝑄2 + 𝑄4 𝑄3 = 420 + 100 = 520 𝑙𝑡𝑠⁄𝑠 𝐷3 = 24′′ ; 𝐶 = 120 𝑆3 =

𝑆3 =

ℎ𝑓3 𝐿3

=

ℎ3 = 4.5𝑥8 = 36 𝑚

51 − 10 = 5.13 𝑚⁄𝐾𝑚 8 𝑘𝑚

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Cota del reservorio R=cota piezométrica de S+Pc, válvula +ℎ3 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑅 = 51 + 10 + 36 = 97𝑚 +120m R

+97m

10m +51m

+39m

N

+100m

(3)

Q3=520lt/s

+10m Q2=420lt/s

(1) M

8

(2) B

A

Q1=420lt/s

+37.98

(4)

BOMBA Q2=100lt/s T

Problemas 03 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son: 𝒁𝟏 =120 𝑳𝟏 =1000m 𝑫𝟏 =8’’ 𝑭𝟏 =0.02

𝒁𝟐 =100m 𝑳𝟐 =2000m 𝑫𝟐 =10’’ 𝑭𝟐 =0.018

𝒁𝟑 =80m 𝑳𝟑 =1200m 𝑫𝟑 =6’’ 𝑭𝟑 =0.015

Calcular el gasto en cada uno de los ramales. 120m

𝑍𝑝 1000m-8’’-0.02

𝑍𝑝 𝑍𝑝

100m

P 2000m-10’’-0.018 1200m-6’’-0.015

𝑍𝑝

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80m

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SOLUCIÓN: ℎ𝑓=metro

A partir de la ecuación: 𝐷5

1 2

𝑄 = 3,477√ 𝑓𝐿 ℎ𝑓

𝐷=metros 𝐿=metros 3 𝑄=𝑚 ⁄5

Determinamos la ecuación de descarga de cada tubería: 1

𝑄1 = 0,0145ℎ𝑓21

1

𝑄2 = 0,0188ℎ𝑓22

1

𝑄3 = 0,0074ℎ𝑓23

Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110m  𝑍𝑝 = 105𝑚 ℎ𝑓1 = 10𝑚 ℎ𝑓2 = 10𝑚 ℎ𝑓3 = 30𝑚

𝑄1 = 45.9 𝑙/𝑠 𝑄1 = 59.5 𝑙/𝑠 𝑄1 = 40.5 𝑙/𝑠

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 ) = 54.1 𝑙/𝑠

Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se realiza un nuevo tanteo  𝑍𝑝 = 105𝑚 ℎ𝑓1 = 15𝑚 ℎ𝑓2 = 5𝑚 ℎ𝑓3 = 25𝑚

𝑄1 = 56.2 𝑙/𝑠 𝑄1 = 42 𝑙/𝑠 𝑄1 = 37 𝑙/𝑠

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 ) = 22.8 𝑙/𝑠

Se realizara algunos cálculos adicionales:  𝑍𝑝 = 101𝑚 ℎ𝑓1 = 19𝑚 ℎ𝑓2 = 1𝑚 ℎ𝑓3 = 21𝑚 

𝑄1 = 63.2 𝑙/𝑠 𝑄1 = 18.8 𝑙/𝑠 𝑄1 = 33.9 𝑙/𝑠

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 ) = 10.5 𝑙/𝑠

𝑄1 = 64 𝑙/𝑠 𝑄1 = 13.3 𝑙/𝑠

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 ) = 16.4 𝑙/𝑠

𝑍𝑝 = 100.5𝑚 ℎ𝑓1 = 19.5𝑚 ℎ𝑓2 = 0.5𝑚

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ℎ𝑓3 = 21.5𝑚 

𝑄1 = 34.3 𝑙/𝑠

𝑍𝑝 = 100𝑚 ℎ𝑓1 = 2𝑚 ℎ𝑓2 = 0𝑚 ℎ𝑓3 = 20𝑚

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 ) = 31.7 𝑙/𝑠

𝑄1 = 64.8 𝑙/𝑠 𝑄1 = 0 𝑙/𝑠 𝑄1 = 33.1 𝑙/𝑠

Se realiza la gráfica con los valores encontrados: 𝑍𝑝 110

-54,1

109 108 107 106 105

-22,8

104 103 102 101

+10,5 +16,4 +31,7

100

-60

-50 -40 -30 -20 -10

0

+10 +20

+30 +40 +50 +60

𝑄1 − (𝑄2+ 𝑄3 )

Del grafico se obtiene 𝑍𝑝 = 102𝑚

ℎ𝑓1 = 18𝑚 ℎ𝑓2 = 2𝑚 ℎ𝑓3 = 22𝑚

Reemplazando estos valores en las ecuaciones iniciales se tiene: 𝑄1 = 62 𝑙/𝑠

𝑄2 = 27 𝑙/𝑠

𝑄3 = 35 𝑙/𝑠

Problema nº 04 En la fig. 8-7 el caudal que sale del depósito A es de 430 l/seg. Determinar la potencia extraída por la turbina DE si la altura de presión en E es de – 3,0 m. Dibujarlas líneas de altura piezométrica.

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Solución: El análisis del sistema ramificado debe concentrarse sobre el punto C. En primer lugar la suma de caudales que llegan a C ha de ser igual a la suma de caudales que salen de C. En segundo lugar, la elevación de la línea de alturas piezométrica en C es, por lo general, la clave de la solución.

El. 66.2 m El. 65.4 m

A

B

El. 62.6 m

El. 49.0 m

C 𝐶1 = 120 (para todas las tuberías)

𝐸

𝐸𝑙.24,0 𝑚

𝐸𝑙.75 𝑐𝑚 𝐷



El. 21.0 m

Para calcular la altura de la línea de alturas piezométricas en C se supone que la perdida de carga A a C es de 7,0 m. Entonces, 𝑆50 = 7⁄1800 = 3,90 𝑚⁄1000 𝑚 , 𝑄50 = 216 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, (42,6%) 𝑆60 = 7⁄2400 = 2,92 𝑚⁄1000 𝑚 , 𝑄60 = 290 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, (57,4%) 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 506 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔 , (100,0%)

Aplicando esos porcentajes al caudal dado de 430 = 358 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔 de A a C, teniendo en cuenta que para 𝐶1 = 100, 𝑄 = (100⁄120)430 = 358 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, 𝑄50 = 151 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, 𝑆50 = 2,00 𝑚⁄1000𝑚, 𝐻𝐿 = 3,6𝑚 𝑄60 = 207 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, 𝑆60 = 150 𝑚⁄1000𝑚, 𝐻𝐿 = 3,6𝑚 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

Así, la elevación de la línea de alturas piezométricas en C=66,2 – 3,6 = 62,6m. Con esta información, la línea de alturas piezométricas cae 2,8m de B a C y el flujo circulara desde B hacia C. De aquí, 𝑆75 = 2,8⁄2400 = 1,17 𝑚⁄1000 𝑚 , 𝑄(100) = 340 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔, 𝑄(120) = (120⁄100 340) = 408 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔

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caudal que sale de 𝐶 = 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝐶 𝑄𝐶−𝐷 = 403 + 408 = 838 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔

Además,

Para 𝐶1 = 120, y para 𝐶1 = 100, 𝑄 = 698 𝑙 ⁄𝑠𝑒𝑔. Por tanto, 𝑆75 = 4,5 𝑚⁄1000 𝑚, (𝐻𝐿 )𝐶−𝐷 = 13,5 𝑚, y la elevación de la línea de alturas piezométricas en 𝐷 = 62,6 − 13,5 = 49,1 𝑚.

Potencia Extraída (CV) =

1000(0,838)(49,1−21,0) 75

= 314 CV

Problema nº 05 Calcular en el sistema mostrado si la tubería es larga o corta y hacer su comentario.

L1  700m D1  6"

L2  900m D2  10"

L3  600m D3  8"

Nota: En este sistema no se desprecia la Pérdida de carga L1 700 m   4593  1500  TL D 0 . 1524 m 1  L2 900 m   3600  1500  TL h D 0 . 25 m 2  Desprecio hL sólo considero f L3 600 m   3000  1500  TL D 0 . 20 m 3 

hf  f

L V2 .................Ec....1 D 2g

Q  VA  V 

Q .............Ec.....2 A

FÓRMULA DE DARCY

FÓRMULA DE CONTINUIDAD

Reemplazando (2) en (1) MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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L Q2 hf  f D 2gA2

A

hf  f hf  8 f

D2 4

A  2

L Q 2 16  D 2 g 2 D 4

16

S  Pendiente

L Q2 D5 g 2

D5  0.0826

 2 D4

hf

L

8 fLQ2  2 ghf

D5 

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h f  S L 

fLQ2 fLQ2  0.0826 hf SL

D5  0.0826

fQ 2 S

EN EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Para números de Reynolds:

R

VD

Q  VA  VA 



D2 





NR 

4

V

4A

 2 A

VD

D2

 

V 

1.128V A



1.128V A



Problema nº 06 Para un sistema de 2 tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos:

L  100 m

D  16"

f  0.018

L2  750m

D  12"

f 2  0.018

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Qi  Qs  100 lts

seg

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Calcular el caudal en cada una de las tuberías

QI  100 lts

L1  100 m seg

D  16"

f1  0.018

QI  Q1  Q2  QS

D  12"

L2  100m

f1  0.018

QS  100 lts

seg

hf 1  hf 2

SOLUCION:

QI  Q1  Q2  QS ……...….(1)

h f 1  h f 2 ………………..….(2) 100 lts

seg

 Q1  Q2 ............Ec....1

Igualando el principio (2)

hf 1  hf 2

h f 1  0.0826 f1L1

2

Q1 5 D1 2

hf 2

Q  0.0826 f 2 L2 2 5 D2 2

2

Q Q 0.0826 f1L1 15  0.0826 f 2 L2 2 5 D1 D2 D  Q   1   D2 

5

2 1

2 D  Q1   1  2 Q2  D2 

Q1

2

Q2

2

 L2  2  Q2  L1 

5

 L2     L1 

5

 16   750       12   1000 

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2

Q1  3.16 2 Q2

Q1

 1.77  Q1  1.77Q 2 ............Ec.....2

Q2

Reemplazando 2en1 100 lts

seg

 1.77Q2  Q2 .....................Ec....3

seg

 1.777Q2  Q2

seg

 2.777Q2

De 3

100 lts 100 lts

Q2 

100 lts

seg 2.777

Q2  36 lts

seg

Q1  100 lts Q1  64 lts

seg

 36 lts

seg

seg

COMPROBANDO

hf  f 

L V2  D 2g

TRAMO 1

L V 1000 0.493 h f 1  f1 1 1  0.018 x  0.55 D1 2 g 0.1524 2 x9.81 2

2

Calculo de “V”

V 

V1 

Q A 0.064 m

3

seg 2

 0.1524  2  m  4 

 0.493 m



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seg

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V2 

0.036 m

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3

seg 2

 0.1524  2   m  4 

 0.493 m

seg

TRAMO 2

L V 750 0.493  f 2 2 2  0.018 x  0.55 D2 2 g 0.3048 2 x9.81 2

hf 2

2

 h f 1  0.55  h f 2  0.55 hf 1  hf 2

Problema nº 07 Se tiene una tubería de fierro D = 6”, long. = 80 m.,la tubería arranca de un estanque que tiene 7 m. de carga con respecto a un punto de desagüe, a lo largo de la tubería existen 2 codos de 90º y una válvula de compuerta, calcular el gasto que circula Q = ?.Considerar viscosidad 4.11 X 10-7 m2/seg. DATOS: µ =4.11 X 10-7 m2/seg.

1

Agua a 70°C

Tanque

codo90º 7m

D  6" Entrada Diámetro:

L  80m

0.0254 m 6 p lg x   0.1524 m 1 p lg

Para válvula de compuerta: Para codos de 90 °

nivel de referencia

k = 0.19 k = 0.90

Rugosidad para fierro fundido :  = MECÁNICA DE FLUIDOS II :

2

2.5 X 10 4

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SOLUCIÓN:

Bernoulli 1 y 2

Z1 

2

P1





2

V1 P V V2  Z 2  2  2  h f  hl  Z1  0  0  0  0    hT 2g  2g 2g

2

Z1 

V2  h f  hl ...........Ec.(1) 2g

L V2 hf  f   D 2g

a). Calculo de hf

NR 

VD





V (0.1524)  3.7 X 10 5 = 3.71X105 V ≈ 4x105V seg/m 7 4.11X 10

NR = 4X105V  4X105 seg/m(2.97m/seg) = 1’188,000

D







0.1524 m  609.6  0.6 X 10 3 2.5 X 10 4 m

Del ábaco tenemos f =0.023 (Por tanteo)

Reemplazando en (1) Primero

hL  K hL 

V2 V2 V2 V2  0.5  2 X 0.90  0.19 2g 2g 2g 2g

V2 (0.5  1.8  0.19) 2g

V2 hL  (2.49) 2g 2

 En 1

V Z1  2  h f  hl ...........Ec.(1) 2g

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Nota: 0.023 valor del factor de fricción obtenido del diagrama de Moody (Abaco) Reemplazando valores en Ec.(1), tenemos:

7

2 V2 V2  80  V  0.023  2.49  2g 2g  .1524  2 g

7

V2 1  12.073  2.49 2g

7  15.56

V

V2 2g

7 x2 g 7 x2 x9.81   2.97 15.56 15.56

V  2.97

m seg

Calculo de caudal “Q”

Q  VA

Q  2.97 Q  54

m  .1524  m 2 m3 litros x  0.054  1000 3 seg 4 seg m 2

litros seg

Problema nº 08 En una planta de procesamiento quÍmico debe llevarse benceno a 50 C (sg - 0.86) al punto B. con una presidn de 550 kPa. Sc instala una bomba en el punto A, a 21 m por debajo de B. y se conectan los dos puntos por medio de un tubo de plástico de 240 m, con diámetro interior de 50 mm. Si el flujo volumétrico es de 110 L/min, calcule la presión que se requiere en la salida de la bomba.

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Cancelando los términos nulos y despejando PAqueda :

z B  z A  21 m porque el punto B está más elevado que cl

Encontramos que punto A.

Esto nos lleva a hf, : la pérdida de energía debido a la fricción entre A y B, El primer paso es la evaluación del número de Reynolds. Previamente , hallamos la velocidad , utilizando la ecuación de Continuidad: Q  VA...Q  100 L / min  1.83 xo.oo1m3 / seg

V1 

1.83 x10 3 m

3

2

seg

 0.050  2  m  4 

 0.932 m



seg

El valor correcto es NR = 9.54 X 104.

NR 

MECÁNICA DE FLUIDOS II :

VD





0.932(0.050) x860  9.54 X 10 4 4 4.2 X 10

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Del Diagrama de Moody de obtiene : f = 0.018 Ahora podemos hallar la pérdida de carg a continua :

Problema nº 09 En la tubería en paralelo, mostrado en la figura, nos piden determinar, para Q=456l/s (caudal total), los caudales en las 2 ramas del circuito, utilizando el método de Hardy Cross.

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Solución: Se supone que los caudales Q30 y Q40 son iguales respectivamente, a 150lt/s y 306lt/s. Los cálculos se realizan por la tabla que sigue (obsérvese que se a puesto -306 l/s), procediendo así: se calculan los valores de S mediantes el diagrama B. o por cualquier otro procedimiento, luego HL 0 S x L y a continuación, se determina H L  SxL y a continuación se determina H L /Q0 . Se notará, que cuanto mayor sea

H

L

más alejados de los correctos estarán los

caudales Q. (los valores de Q se han elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores grandes de  H L y así ilustrar el procedimiento)

D(cm)

30 40



L(m)

Q0

supuesto (l/s) 1500 150 900 -306 Σ = 456

H L .m

H L / Q0



Q1

25.5 -14.4 Σ = 11.1

0.170 0.046 0.216

-27.8 -27.8

122.2 -333.8 456.0

S (m/Km)

17.0 -16.0

  HL 11.1 = = -27,8 l/s HL 1 . 85 ( 0 . 216 ) 1.85 Q0

Entonces los valores de Q1 serán (150,0-27,8)= 122l/s y (-306 – 27,8)=-333,8, Volviendo a hacer el cálculo encontramos: S

HL

11.0 -19.0

16.5 17.1 Σ= -0.6

H L / Q1



Q2

0.135 0.051

3.2 3.2

125.4 330.6

0.186

456.0

No es necesario hacer una nueva aproximación, ya que en el diagrama B, no puede conseguir una mayor precisión de 3,0 l/s aproximadamente. Teóricamente,  H L debería ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente

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Problema nº 10 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terreno mostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20 ‘’de diámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, CH = 100,

Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que

La pérdida de carga entre A y N sería

La cota piezométrica en N es

La presión en N es

Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos: AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.

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Problema nº 10

Problema nº 11

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Problema nº 12

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Problema nº 13

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Problema nº 14

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Problema nº 15

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Problema nº 16

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Problema nº 17 La tubería compuesta de la figura es de categoría II de Schoeder. Se pregunta: a) ¿Cuál es el gasto? b) si el tramo BC es remplazado por una tubería de 0.35 m. de diámetro, ¿Qué porcentaje de disminución en el gasto se producirá, en comparación con la situación anterior? Despreciar las pequeñas pérdidas por contracción y otras. SOLUCIÓN

Aplicando la formula de Schoeder para todos los tramos: 𝑄1.85 𝐿1 𝐿2 𝐿3 ℎ𝑓 = [ 4.95 + 4.95 + 4.95 ] 780 𝐷1 𝐷2 𝐷3 Remplazando los valores: 25 =

𝑄1.85 2.800 1.800 1.200 [ + + ] 4.95 4.95 780 0.45 0.40 0.304.95

25 =

𝑄1.85 2.800 1.800 1.200 [ + + ] 780 0.0192 0.0107 0.00258

De donde: 1⁄ 1.85

25𝑥780

𝑄 = (779.000) 𝑄 = (0.0251)0.54

𝑚3

𝑄 = 0.137 𝑄 = 137

𝑠

𝑙𝑡𝑠 𝑠

B) Cuando el diámetro de BC es remplazado por uno de 0.35 m., se tiene: MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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25 =

𝑄1.85 2.800 1.800 1.200 [ + + ] 4.95 4.95 780 0.45 0.40 0.304.95

25 =

𝑄1.85 2.800 1.800 1.200 [ + + ] 780 0.0192 0.0055 0.00258

De donde:

1⁄ 1.85

25𝑥780

𝑄 = (938.000)

𝑄 = (0.0208)0.54 𝑄 = 0.124

𝑚3 𝑠

En el gasto habrá un porcentaje de disminución igual a: (137 − 124) 100 = 9.5% 137

Problema nº 18 En la figura la válvula F está parcialmente cerrada lo que produce una pérdida de carga de 1.00 m cuando el caudal que circula a través de ella es de 28 Litros/seg. ¿Cuál es la longitud de la tubería de 25 cm que parte del depósito A?

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑫𝑩: 𝑄 = 28

𝐿𝑡𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 (𝐶𝐻 = 80) 𝑠

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𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝐻 = 100 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑄 = =

100 𝐿𝑡𝑠 𝑥28 = 35 , 𝑆30 80 𝑠

1.5 𝑚 1000 𝑚

𝐿𝑎 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝐷 𝑎 𝐵 =

1.50𝑥300 + 1 = 1.45 𝑚. 1000

𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑟á 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝐵 𝑑𝑒 4.55 𝑚. 𝑁𝑅 (𝐸) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑩𝑬: 𝑆30 =

4.55 − 0 3.3 𝑚 𝐿𝑡𝑠 = 𝑦 𝑢𝑛 𝑄 = 52 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝐶𝐻 = 100) 1500 1000 𝑚 𝑠

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝐻 = 120 , 𝑒𝑙 𝑄 =

120 𝐿𝑡𝑠 𝑥52 = 62.4 100 𝑠

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑨𝑩: 𝐿𝑡𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑆25 𝑠 3.5 𝑚 = ( 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠) 1000 𝑚

𝑄 = 62.4 − 28 = 34.4

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆 =

ℎ ℎ 0.85 …𝐿 = = ( ) 𝑥1000 = 𝟐𝟒𝟑 𝒎 𝐿 𝑆 3.50

Problema nº 19 En el sistema de tuberías mostrado tiene un solo valor de C, longitudes 𝐿1 = 1000𝑚 , 𝐿2 = 500𝑚 , 𝐿3 = 1000𝑚 y diámetros 𝐷1 = 𝐷2 = 0.8𝐷3 Determinar la cota de energía del nudo A.

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SOLUCIÓN: 𝐿1 = 1000𝑚 = 1𝑘𝑚

𝐿3 = 1000𝑚 = 1𝑘𝑚

𝐿2 = 500𝑚 = 0.5𝑘𝑚

𝐷1 = 𝐷2 = 0.8𝐷3

Tenemos: 𝑄3 = 𝑄1 + 𝑄2 − − − − − − − − − (𝟏) 0.54

ℎ

𝑄 = 0.000426 𝐶𝐻 𝐷2.63 ( 𝐿𝑓 )

ℎ𝑓1 = ℎ𝑓2

Luego: 𝐿 𝑄 1.85

1 1 1.72𝑥106 𝐶 1.85 𝐷

1

1.85

𝑄

(𝑄1) 2

2

2

𝐿

𝐷

= (𝐿2 ) (𝐷1 ) 1

1.85

𝑄

(𝑄1)

𝐿 𝑄 1.85

2 2 = 1.72𝑥106 𝐶 1.85 𝐷

4.87

4.87

4.87

2

0.5

=(1)

𝑄1 = 0.69𝑄2−−−−−−−−−−−−−−−(𝟐)

Reemplazamos (2) en (1) 𝑄3 = 𝑄1 + 𝑄2 𝑄3 = 0.69𝑄2 + 𝑄2 𝑄3 = 1.69𝑄2 0.000426 𝐶3 𝐷3 𝐷3 2.63 (

2.63

ℎ𝑓3 ( ) 𝐿3

30−ℎ𝑓1 0.54 𝐿3

)

0.54

0.54

= 1.69𝑥0.000426 𝐶2 𝐷2 ℎ

2.63

ℎ𝑓2 ( ) 𝐿2

0.54

𝑓1 = 1.69(0.8𝐷3 )2.63 ( 0.5 )

ℎ

0.54

𝑓1 (30 − ℎ𝑓1 )0.54 = 0.94 ( 0.5 )

ℎ𝑓1 30 − ℎ𝑓1 = 0.94 ( ) 0.5 ℎ𝑓1 = 10.42𝑚 MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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Finalmente:

𝐸𝐴 = 100 − ℎ𝑓1 𝑬𝑨 = 𝟖𝟗. 𝟓𝟖

Problema nº 20 1. Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos. 𝐿1 = 1 000 𝑚 𝐷1 = 16’’ 𝑓 1 = 0,018

𝐿2 = 750 𝑚 𝐷2 = 12’’ 𝑓2 = 0,018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías. Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. 0.0827

𝑓1 𝐿1 2 𝑓2 𝐿2 2 𝑄 = 0.0827 𝑄2 1 𝐷15 𝐷25

De donde, 𝑄12 𝐿2 𝐷1 5 750 16 5 = ( ) = ( ) = 3.16 1000 12 𝑄22 𝐿1 𝐷2 Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 𝑄1 = 1.78𝑄2

𝑄1 + 𝑄2 = 0.1

Obteniéndose finalmente 𝑄2 = 36 𝑙/𝑠

𝑄1 = 64 𝑙/𝑠

El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 𝐷5 12 𝑄 = 3.477√ ℎ𝑓 𝑓𝐿 Obteniéndose 1

1

𝑄1 = 0.0863ℎ𝑓2

𝑄2 = 0.0485ℎ𝑓2

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Sumando 1

𝑄 = 0.1348ℎ𝑓2

Que es la ecuación de descarga del sistema. Para 𝑄 = 0,1 𝑚3/𝑠 se obtiene ℎ 𝑓 = 0,55 𝑚. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales.

Problema nº 21 Demostrar que la perdida de carga de una tubería que hace servicio en su recorrido, con su extremo final cerrado es igual a la tercera parte de lo que corresponde en el caso de que el gasto se hubiera mantenido constante en toda la longitud de la tubería.

v

D dx

V

V=0

x L

El triángulo achurado representa la variación de velocidades. En un diferencial de tubería, según a formula de Darcy habrá una pérdida de carga igual a: dhf = f

𝑑𝑥

𝑣𝑥

,( )2 ………………………………

(1) 𝐷 2𝑔 Por proporciones en el triángulo achurado se tiene:

v𝑥 =

v.X L

………………………………………….. (2)

Reemplazando (2) en (1) dhf =

f

𝑉 2 .𝑋 2 D.2g𝐿2

dx

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Integrando esta última ecuación diferencial se tiene:

hf = f hf = f

1

.

𝐷𝐿2

1 𝐷𝐿2

.

𝑉2

𝐿

∫0 𝑋 2 dx

2g

𝑉2 𝑋3 2g

[ ] 3

Reemplazando los límites y simplificando: 1

hf=

3

f.

𝐿 𝑉2

.

𝐷 2g

Problema nº 22 1 𝐿 𝑉2 hf = 3 f . 𝐷 . 2g Una tubería de 0.20m de diámetro y 600m de longitud tiene en su origen un gasto de 40lts/s y en su extremo final descarga 25lts/s; los 15 lts/s restantes han sido repartidos uniformemente en los 600m de recorrido, por medio de un gran número de conexiones. Calcular la perdida de carga en los 600m de tubería, usando la fórmula de Darcy y aceptando que el coeficiente “f” permanece constante e igual a 0.02. Solución D=0.20m

V1

L = 600m

Q1 = 40lt/s

Vx

Q2=25lt/s dx

Q1

Qx Q1-Q2

x

V2 Q2

Aplicando la fórmula de Darcy, tendremos que para un diferencial de longitud habrá una perdida igual a : dhf = f dónde:

𝑑𝑥 (𝑉𝑥)2 𝐷

,

𝑉𝑥 =

2𝑔 𝑄𝑥 𝐴

……………………………………… (1) ……………………………………… ( 2)

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Suponiendo una variación lineal para el gasto, por semejanza de triángulos se tendrá: 𝑄𝑥−𝑄2 𝑄1−𝑄2

=

𝑋 𝐿

Del cual despejando: Qx = Q2 +

(𝑄1−𝑄2)𝑋 𝐿

…………………………………… (3)

Reemplazando valores en (3) Qx = 0.025 +

(0.040+0.025)𝑥 600

= 0.025 +

0.015 600

x ……… (4)

La seccion transversal de la tuberia tiene una Area A = 0.0314𝑚2 Reemplazando este valor y (4) en ( 2) : Vx =0.025+

0.015 600

𝑥⁄0.0314 …………………… (5)

Sustituyendo (5) y demás valores en la ecuación (1) dhf = 0.02 (

1

) 0.20𝑥19.6𝑥0.03142

(0.025+

0.015 600

𝑥)2 .dx

Simplificando e integrando: hf

=

1.44 600 ∫ (225 + 0.000225 𝑥 2 + 0.45x)dx 105 0

hf =

1.44 105

[225x +

0.000225𝑥 3 3

+

0.45𝑥 2 2

]

Reemplazando estos límites se obtiene: hf = 3.30m

Problema nº 23 Encontrar la expresión de la perdida de carga de una tubería de diámetro uniforme que bota la mitad del gasto entrante por el extremo final y la otra mitad a través de un gran número de desviaciones igualmente espaciadas sobre toda su longitud con iguales cantidades de agua. Use ls formula de Darcy,aceptando constante el coeficiente de friccion a pesar de la variacion en velocidad. Solucion MECÁNICA DE FLUIDOS II :

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Como por el extremo final sale la mitad del gasto entrante,la velocidad de salida sera tambien un medio de la que se tiene en la entrada, ya que es de diametro uniforme. El grafico adjunto representa la variacion de velocidad considerandola lineal. Del grafico por semejanza de triangulos:

𝑄

Q dx

2

x 𝑣

Vx

2

V

Vy- v/2 L 𝑣

𝑉𝑥− 2 𝑣 2

De donde: 𝑉𝑥 =

=

𝑥 𝐿

𝑣 𝑥

( + 1) … … … … … … … … … … (1)

2 𝐿

Para un trazo infitesimal de tubería, según Darcy se tiene:

dhf = f

𝑑𝑥 𝑣𝑥 2

.

………………. (2)

𝐷 2𝑔 Integrando la ecuación diferencial: 1

1

4

𝐷

hf = f.

.

𝑣2

𝐿 𝑥

∫ ( + 1)2 .dx 2𝑔 0 𝐿

de donde obtenemos:

hf =

7 12

. f.

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𝐿 𝐷

.

𝑣2 2𝑔

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Problema nº 24 .-Determinar la relación que debe haber entre el diámetro del pitón d y D de la tubería de descarga para que la potencia del chorro descargado sea máximo. Solución

K = 0.5 𝐻 3

D L

𝑣2

2

2𝑔

3

H

D V

d V

Para obtener la máxima potencia del chorro, se debe perder 2

𝐻 3

en la tubería y

los 3 H restantes en el pitón. Luego se puede escribir:

0.5 𝑣2

𝑣2 2𝑔

+(

𝐿 𝑣2

+ f. .

𝐷 2𝑔

1

2 𝐶𝑉

2𝑔

-1)

𝑣2 2𝑔

= =

𝐻 3 2 3

…………………………………. (1)

H………………………………...... (2)

Reemplazando (1) en (2) 𝑣2

+(

1

2 𝐶𝑉

2𝑔

-1)

𝑣2 2𝑔

= 2(0.5

𝑣2

2𝑔

+ f.

𝐿 𝐷

.

𝑣2 2𝑔

)

Simplificando: 𝑣2

𝐿

= 𝑣 2 (1+ 2f. )

2 𝐶𝑉

𝐷

𝑉2 𝑣2

𝐿

= 𝐶𝑉2 (1 + 2f. ) ……………………………….. (3) 𝐷

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Pero por continuidad: Q = Q1 𝑉 𝑣

=

𝑎 𝐴

=

𝐷 𝑑2

………………………………………… (4)

Reemplazando (4) en (3): 𝐷4 𝑑4

𝐿

= 𝐶𝑉2 (1 + 2f. ) 𝐷

De donde obtenemos: 𝐷 𝑑

𝐿

= 4√1 + 2𝑓 . ). 𝐶𝑉2

MECÁNICA DE FLUIDOS II :

𝐷

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