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Ejercicios del estudiante 5 del área: ciencias de la Salud, Alimentos y Ecapma 1. La proporción de semillas de una especie de árbol que disemina una distancia mayor que r, a partir de la base del árbol, está dada 1 3 r0 2 1 r0 + por: p(t)= , donde r es una constante. Encuentre la 4 r 4 r razón de cambio de la proporción con respecto a la distancia y calcule: p´(2r0 ).

( ) ( )

Encontramos la razón de cambio R:

1 0 2

3 r 4 r

( )

R.

=

1 r0 , Entonces 4 r

( )

R =

1 r0 4 r 3 r0 4 r

( ) ( )

1 2

, Entonces R =

1

1 r0 2 3 r Ahora calculamos p`(t)

( )

p`(t) =

3 r0 8 r

−1 2

( )

+

1 4

2. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento ( t , medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: 2 t +8 t+50 0 ≤ t ≤ 5 P (t ) 38 t−100 t ≥5 0.4 t a) Confirma que dicha función es continua y que, por tanto, no presenta un salto en t=5 . Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca?

{

Para confirmar que la función es continua y que no presenta un salto en t = 5, debemos verificar que cumple las tres condiciones:

Lim f(t): Existe;

f(5) existe;

t a

Lim t 5

2

t +8 t +50 = 25+40+50 = 115

Lim f(t)= f(5) t 5

f(5) = 115 como ;

Lim f(t)= f(5) ; entonces la función es continua y no t→5

presenta salto en en t = 5

Para saber a qué porcentaje no llegara nunca, calculamos Lim f (t), entonces Lim t→∞

38 t−100 0.4 t

= 95

t→∞

Entonces por más que pase el tiempo, no se llegara nunca al 95% Ejercicio del estudiante 5 del área industrial, logística y optimización 1. La población de cierta ciudad pequeña años a partir de ahora se pronostica que será N = 20.000

+10.000 (t+2)2

N Determine la población a largo plazo, esto es, determine lim t→∞

lim 20.000+ t→∞

10.000 2 (t +2)

10.000 20.000+ 2 = lim t→∞

t + 2t +4

10.000 20.000+ Entonces lim 2 t→∞ (t +2)

=

10.000 20.000 t2 lim + 2 1 t→∞ t 2t 4 + + t2 t 2 t 2

0 = 20.000+ 1+ 0+o =20.000

La población de la ciudad a largo plazo será de 20.000 habitantes 2. (Costo de un empleado) Denotemos con f(x) el costo por semana que una empresa gasta en el contrato de un empleado que trabaja x horas por semana. Este costo consta de (1) un costo fijo de $20, (2) un sueldo de $6 por hora durante las primeras 35 horas, (3) un salario extra de $9 la hora por horas laboradas más allá de las 35 pero sin llegar a las 45 horas, y (4) un salario extraordinario de $12 por horas laboradas sobrepasando las 45. Estudie la continuidad y la diferenciabilidad de f(x) y dibuje su gráfica.

Planteamos la función: 20+ 6x si x ≤ 35 F(x)

20+ 9x si 35 < x < 45 20 + 12x si x > 45

Podemos observar que la función f(x) no es continua en x = 45 f(x) no es diferenciable en el punto x = 45, por tanto, f(x) no es diferenciable GRAFICA