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CALCULO DIFERENCIAL - (100410A_614) UNIDAD 3: TAREA 3 - DERIVADAS

PRESENTADO POR: VERONICA CUELLAR COD: 1075279824

TUTORA: PATRICIA BELTRAN PEREZ

GRUPO: 100410_523

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD NEIVA – HUILA 2019

INTRODUCCION

El siguiente trabajo se refiere al tema de derivadas y aplicaciones, estudiados en la unidad tres del módulo del curso de Cálculo diferencial. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios propuestos en la guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el trabajo en equipo. El propósito de este trabajo es que los estudiantes interioricen y asimilen en mayor medida los métodos y temáticas establecidas para la resolución de derivadas, pendientes tangentes a curvas, la derivada implícita, técnicas de derivación, entre otros. Para iniciar con el trabajo colaborativo en bueno aclarar que la derivada de una función en un punto determinado equivale a la pendiente de la recta tangente en el mismo punto.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

ESTUDIANTE 5: 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 5

𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓(𝑥 + ℎ) = 2(𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 𝑓(𝑥 + ℎ) = 2(𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) 𝑓(𝑥 + ℎ) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 Reemplazamos 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

2𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − (2𝑥 3 + 2𝑥 2 ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

2𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

ℎ(6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim

𝑓´(𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥(0) + 2(0)2 + 4𝑥 + 2(0) 𝑓´(𝑥) = 6𝑥 2 + 4𝑥

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 1. Estudiante 5

𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 𝑥)

𝑓´(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)´(𝑒 𝑥 + 𝑥) + (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 𝑥)´ 𝑓´(𝑥) = ( 𝑓´(𝑥) =

1 2√𝑥

𝑒𝑥 2√𝑥

− 1) (𝑒 𝑥 + 𝑥) + (√𝑥 − 𝑥)(𝑒 𝑥 + 1)

− 𝑒𝑥 +

𝑥 2√𝑥

− 2𝑥 + 𝑒 𝑥 √𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 + √𝑥

2. Estudiante 5

𝑓´(𝑥) =

𝑓(𝑥) =

𝑒𝑥 − 𝑥 √𝑥 − 3

(𝑒 𝑥 − 𝑥)´(√𝑥 − 3) − (𝑒 𝑥 − 𝑥)(√𝑥 − 3)´ (√𝑥 − 3)

2

(𝑒 𝑥 − 1)(√𝑥 − 3) − (𝑒 𝑥 − 𝑥) ( 𝑓´(𝑥) = (√𝑥 − 3)

2

(𝑒 𝑥 √𝑥 − √𝑥 − 3𝑒 𝑥 + 3) − ( 𝑓´(𝑥) = (√𝑥 − 3)

(√𝑥 − 3)

𝑒𝑥 𝑥 − ) 2√𝑥 2√𝑥

2

𝑒 𝑥 √𝑥 − √𝑥 − 3𝑒 𝑥 + 3 − 𝑓´(𝑥) =

1 ) 2√𝑥

2

𝑒𝑥 𝑥 + 2√𝑥 2√𝑥

3. Estudiante 5

𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (1 − 𝑥)2

𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (1 − 𝑥)2

𝑓´(𝑥) = ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 )´((1 − 𝑥)2 ) + ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 )((1 − 𝑥)2 )´

𝑓´(𝑥) = (𝑥(2𝑥 2 − 𝑥)𝑥−1 (4𝑥 − 1))(1 − 𝑥)2 + ((2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 )(2(1 − 𝑥)(−1))

𝑓´(𝑥) = (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥−1 (4𝑥 2 − 𝑥)(1 − 𝑥)2 + (2𝑥 2 − 𝑥)𝑥 (−2 + 2𝑥)

4. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Estudiante 5

ln(𝑥𝑦)2 − 𝑦 3 = 25 ln(𝑥𝑦)2 − 𝑦 3 = 25

2 ln(𝑥𝑦) (𝑦 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 ) − 3𝑦 2 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

2𝑦 ln(𝑥𝑦) + 2𝑥 ln(𝑥𝑦)

𝑑𝑦 𝑑𝑦 − 3𝑦 2 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 (2𝑥 ln(𝑥𝑦) − 3𝑦 2 ) = −2𝑦 ln(𝑥𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝑦 ln(𝑥𝑦) =− (2𝑥 ln(𝑥𝑦) − 3𝑦 2 ) 𝑑𝑥

5. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Estudiante 5

𝑓(𝑥) = (𝑥 3 )(𝑥 4 + 1)

𝑓 ′′′ (𝑥) =?

𝑓(𝑥) = (𝑥 3 )(𝑥 4 + 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 3 Derivamos una vez 𝑓´(𝑥) = 7𝑥 6 + 3𝑥 2 Derivamos dos veces 𝑓´´(𝑥) = 42𝑥 5 + 6𝑥 Derivamos tres veces 𝑓´´´(𝑥) = 210𝑥 4 + 6

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

A. La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las o y 4 horas de recorrido se representa con la expresión 𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡 , donde t es el tiempo en horas y 𝑣(𝑡) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que momento del intervalo [0,3] circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante?

𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒 𝑡

B. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 3 − 2𝑥 + 4

Derivamos

3 𝑓 ´(𝑥) = 𝑥 2 − 2 2 Igualamos a cero 3 2 𝑥 −2=0 2 3 2 𝑥 =2 2 3𝑥 2 = 4 𝑥2 = 𝑥=± ntervalo

−∞ < −

Valor de prueba Signo de f’(x) conclusión Luego en 𝑥 = − relativo

2 √3

2 √3

-2 f’(0)