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EJERCICIO 4 ESTUDIANTE 5 Dadas las siguientes progresiones (𝑎𝑛 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.

Estudiante 5

a. Progresión aritmética 𝑎𝑛 = {−21, −18, −15, −12, . . 𝑢𝑛 }

b. Progresión geométrica 𝑎𝑛 = {−5, −25, −125, −625, −3125. . . 𝑢𝑛 }

SOLUCION a. PROGRESION ARITMETICA 𝑎𝑛 = {−21, −18, −15, −12, … 𝑢𝑛 } Fórmula para el Termino general de una progresión aritmética 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒅

Tenemos que 𝑎1 = −21

y

𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 3

Reemplazamos 𝑎𝑛 = −21 + (𝑛 − 1) ∙ 3 𝑎𝑛 = −21 + 3𝑛 − 3 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 24

Para la suma de los 10 primeros términos tenemos que 𝑎10 = 3(10) − 24 = 6 Aplicamos la formula 𝑺𝒏 =

(𝒂𝟏 + 𝒂𝟏𝟎 )𝒏 𝟐

Reemplazamos 𝑆10 =

(−21 + 6)10 −150 = = −75 2 2

Comprobamos sumando los 10 primeros términos 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8 + 𝑎9 + 𝑎10 (−21) + (−18) + (−15) + (−12) + (−9) + (−6) + (−3) + 0 + 3 + 6 = −75

b. PROGRESION GEOMETRICA 𝑎𝑛 = {−5, −25, −125, −625, −3125. . . 𝑢𝑛 }

La razón de la sucesión es

𝑟=5

Ya que 𝑟=

𝑎2 −25 = =5 𝑎1 −5

El termino general de la progresión es 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1 𝑎𝑛 = −5 ∙ (5)𝑛−1

Ahora usamos la formula para la suma de los 10 primeros términos 𝑟𝑛 − 1 𝑆𝑛 = 𝑎1∙ 𝑟−1 𝑆10 = −5 ∙ 𝑆10 = −5 ∙

510 − 1 5−1

9.762.625 − 1 4

𝑆10 = −5 ∙

9.762.624 4

𝑆10 = −12.207.030

Comprobamos sumando los 10 primeros términos 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8 + 𝑎9 + 𝑎10 (−5) + (−25) + (−125) + (−625) + (−3.125) + (−15.625) + (−78.125) + (−390.625) + (−1.953.125) + (−9.765.625) = −12.207.030