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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. Límite indeterminado por racionalización Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 √5 − √𝑥 − 3 𝑥→8 𝑥 2 − 64

𝑙𝑖𝑚 Multiplicamos por el conjugado

√5 − √𝑥 − 3 ∗

√5 + √𝑥 − 3 √5 + √𝑥 − 3

2

√5 − √𝑥 − 3

2

√5 + √𝑥 − 3 −𝑥 + 8 √5 + √𝑥 − 3 −𝑥 + 8 √5 + √𝑥 − 3 𝑥 2 − 64 −𝑥 + 8 (√5 + √𝑥 − 3)(𝑥 2 − 64) Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 = (𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟖) −𝑥 + 8 (√5 + √𝑥 − 3)(𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟖) Sustituimos a variable −

1 (√5 + √8 − 3)(8 + 8)

=−

1 32√5

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2. Límite indeterminado por factorización Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5 𝑥 2 − 25 Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟓) Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓) (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) Simplificar (𝑥 − 3) (𝑥 + 5) (5 − 3) 1 = (5 + 5) 5

3. Límite indeterminado al infinito Estudiante 1

Estudiante 2

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Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 1 4 𝑥− 2 x→∞ 2 𝑥 lim

1 4 𝑥 − lim 2 x→∞ 2 x→∞ 𝑥 lim

Aplicamos la regla 𝐥𝐢𝐦[𝒄 ∗ 𝒇(𝒙)] = 𝒄 ∗ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝐱→𝐚

𝐱→𝐚

1 ∗ lim 𝑥 2 x→∞ Aplicamos la regla 𝐥𝐢𝐦 𝒙 = ∞ 𝐱→∞

1 ∗∞ 2 Aplicando las propiedades para límites infinitos en infinito: 𝒄 ∗ ∞ = ∞ 𝑐

Aplicando la propiedad para los límites infinitos lim ( 𝑎 ) = 0 𝑥→∞ 𝑥

4 =0 x→∞ 𝑥 2 lim

Entonces ∞ − 𝟎 = ∞

4. Límite indeterminado trigonométrico, (no usar método del L’Hopital). Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

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Estudiante 4

Estudiante 5 lim𝜋 𝑥→

4

lim𝜋 𝑥→

4

1 − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑑 1 − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥

Derivada del numerador y el denominador 𝑑 1 − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 𝑑 1+ − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 0 − 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 lim𝜋 = lim𝜋 = lim𝜋 𝑑 𝑑 𝑑 𝑥→ 𝑥→ cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑥→ 4 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 4 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Tome el límite de cada termino 2 2 2 𝜋 − ( ) −𝑠𝑒𝑐 ( ) 𝑥→ 4 √2 4 = 𝜋 𝜋 = 𝜋 𝜋 cos ( ) + 𝑠𝑒𝑛 ( ) cos ( ) + 𝑠𝑒𝑛 ( ) 4 4 4 4 cos (𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (lim𝜋 𝑥) −𝑠𝑒𝑐 2 (lim𝜋 𝑥)

𝑥→

𝑥→ 4

4

2

2√2 2 2 2 2 −( 2 ) −( ∗ ) −(√2) √2 √2 𝜋 𝜋 = 𝜋 𝜋 = 𝜋 𝜋 cos (4 ) + 𝑠𝑒𝑛 (4 ) cos (4 ) + 𝑠𝑒𝑛 (4 ) cos (4 ) + 𝑠𝑒𝑛 (4 ) −1 ∗ 2 −1 ∗ 2 −1 ∗ 2 𝜋 𝜋 = √2 √2 = √2 + √2 cos ( ) + 𝑠𝑒𝑛 ( ) 4 4 2 + 2 2 Reescribir de forma factorizada −1 ∗ 2 √2

=

−2 √2

=

−2 √2 −2√2 ∗ = = −√2 = −1.414 √2 √2 √2

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5. Calcular los valores de a y b para que la función f(x) sea continua Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 1 1 (1 + 𝑥 2 )𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 3 2 𝑥 −𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥

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6. Gráficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 a) 𝑓(𝑥) = {

b) 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 3 + 2𝑎 − 2 𝑥2 − 3

4

𝑆𝑖 𝑥 < 3 𝑆𝑖 𝑥 

4 3

3𝑥 3 − 3𝑎 𝑆𝑖 𝑥 < −3 4 +2 𝑆𝑖 𝑥  − 3 𝑥

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7. Problemas Límites y continuidad. Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

Estudiante 5 a) Límites. Todo canal de trasmisión de datos introduce errores en la información trasmitida. La relación de la tasa de errores BER se define como el número de bits erróneos recibidos 𝑁𝑒 y el número de bits trasmitidos 𝑁𝑡 . Determine la tasa de errores de un canal si el número de bits erróneos recibidos tiende a cero y se define por la siguiente expresión. VER = lim

𝑁𝑒 3 +3𝑁𝑒 2

3 2 𝑁𝑒→0 𝑁𝑒 −4𝑁𝑒

Solución

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD 3 3 𝑑 𝑑 𝑑 𝑁𝑒 + 3𝑁𝑒 2 𝑁𝑒 + 3𝑁𝑒 2 3𝑁𝑒 2 + 6𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 lim = lim = lim 𝑑 𝑁𝑒→0 𝑑 𝑁𝑒→0 𝑁𝑒→0 𝑑 𝑁 3 − 4𝑁𝑒 2 𝑁 3 − 4𝑁𝑒 2 𝑁 3 − 4𝑁𝑒 2 𝑑𝑁𝑒 𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑒

𝑑 [3𝑁𝑒 2 + 6𝑁𝑒] 3𝑁𝑒 2 + 6𝑁𝑒 3𝑁𝑒 2 + 6𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 lim = lim = lim 𝑑 𝑁𝑒→0 𝑑 𝑁𝑒→0 3𝑁𝑒 2 − 8𝑁𝑒 𝑁𝑒→0 𝑑 𝑁𝑒 3 + − 4𝑁𝑒 2 [3𝑁𝑒 2 − 8𝑁𝑒] 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑑 𝑑 𝑁𝑒 + lim 6 3𝑁𝑒 2 + 6𝑁𝑒 6𝑁𝑒 + 6 6𝑁lim 𝑁𝑒→0 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 𝑒→0 lim = lim = 𝑑 𝑁𝑒→0 𝑑 𝑁 6 lim 𝑁𝑒 − lim 8 𝑒→0 6𝑁𝑒 − 8 3𝑁𝑒 2 + − 8𝑁𝑒 𝑁𝑒→0 𝑁𝑒→0 𝑑𝑁𝑒 𝑑𝑁𝑒 6∗0+6 3 = − = −0.75 6∗0−8 4

b) Continuidad La presión es la relación entre una fuerza y el área sobre la cual actúa la misma, es decir, que las unidades de presión están expresadas por unidades de fuerza/unidades de área (longitud). En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de medida de presión es el pascal (Pa). Y está dado en Newton/ metro cuadrado. N/m2 Es necesario definir si la Presión registrada por la siguiente función es continua en 2. 𝑃𝑎 + 5 𝑓(𝑃𝑎) = {5 − 3𝑃𝑎

𝑠𝑖 𝑃𝑎 ≤ 2 𝑠𝑖 𝑃𝑎 > 2 .