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• Julio TERREL HIDALGO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPRE-UNI CICLO 2019 -I

Renato Descartes

. Nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, en la

CAPITULO

IV POLINOMIOS

Turena Francia.De una familia de la baja nobleza, su padre, Joachin Descartes, Consejero en el Parlamento de Bretaña. Estudió en el colegio de los jesuitas de La Flèche, luego Derecho en la Universidad de Poitiers. Según la propia confesión de Descartes, tanto en el Discurso del método como en las Meditaciones, las enseñanzas del colegio le decepcionaron, debido a las numerosas lagunas que presentaban los saberes recibidos, a excepción de las matemáticas, en donde veía la posibilidad de encontrar un verdadero saber. Descartes, de salud frágil y acostumbrado a permanecer escribiendo en la cama hasta media mañana, coge frío y muere de una neumonía en Estocolmo el 11 de febrero de 1650 a la edad de 53 años

TEMA: POLINOMIOS OBJETIVOS:: 1. Utilizar la definición y la notación polinómica: P(x), P(x,y). 2. Reconocer las características y propiedades de los polinomios, distinguir sus elementos, determinar sus grados. 3. Realizar operaciones básicas con polinomios. 4. Utilizar los productos notables, en forma correcta y cuando sea necesario. 5. Realizar divisiones algebraicas. 6. Aplicar el teorema de Descartes para el residuo de una division algebraica. Utilizar los teoremas de la divisibilidad. CONTENIDOS: 2.0 Algo de historia matematica. 2.1 Definición 2.2 Notación P(x), P(x,y) 2.3 Propiedades: Suma de coeficientes, Término independiente 2.4 Grado de un Polinomio.Grado en las operaciones algebraicas. 2.5 Polinomios especiales. Polinomio Ordenado Polinomio Completo Polinomio Completo y Ordenado Polinomio Homogéneo Polinomio Idénticamente nulo Polinomios Idénticos. 2.6 Operaciones con polinomios : Adición de polinomios, Sustracción de polinomios, Multiplicación de polinomios

DESARROLLO DE CONTENIDOS:

2.0 Algo de Historia.- La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Pero la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV. Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra. Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI . Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores . Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios. 2.1 POLINOMIOS m DEFINICIÓN: Es la suma finita de expresiones de la forma: ax (si es de una variable) ó de la m n

forma: ax y (si es de dos variables).

P(x) = an xn  an1xn1  an2 xn2  ..............  a2 x 2  a1x  a0 : Donde:

a : es una constante m, n : son los exponentes enteros no negativos. x , y : son las variables

2.2 NOTACIÓN : Adoptaremos la escritura: 

P(x) : polinomio de una sola variable "x".

 P(x,y) : polinomio de dos variables “x” e “y”.  P(x,y,z) : polinomio de dos variables “x” e “y”,”z” Ejemplo: P(x)=13x4-2x+7, de variable x ; donde los coeficientes son reales: (13, -2, 7) P(x,y)=7xy2-4x3y3+11x2, polinomio de variables x, y; de los coeficientes reales: (7, -4, 11) 2.2.1 POLINOMIO P(x): Polinomio entero en x Un polinomio de variable única “x”, tiene la siguiente forma general: n

P(x) = a nx + a n–1 x

n–1

+ a n–2 x

n–2

+ ....… + a 1 x + a 0

; a n  o.

Es usual tambien:

Donde: 

x : es la variable



n : es el grado del polinomio, n  N  {0}=N o



a n , a n–1 , a n–2 , … a 0 : son los coeficienes;



a n : es el coeficiente principal, an  o



Si a n=1,P(x) es el polinomio mónico.



a 0 : es el término independiente, ao  0.



El grado del polinomio es “n” y escribiremos gr[P(x)] = n. (El polinomio nulo no tiene grado.)

Ejemplo: P(x) = –10x5 + 3x4 + 16x3 + 4x2 + 20x +35; –10, 3, 16, 4, 20, 35 : son los coeficientes;

n=5; an = -10; ao = 35 35 : es el término independiente

2.3 PROPIEDADES: 

Si P(x) es un polinomio, entonces se cumple que:



P(1) = suma de coeficientes del polinomio



P(0) = Término independiente en el polinomio

Ejemplo: Para el polinomio: P(x)= 2x3 + 17x2 + 3x – 4 , se tiene que: * P(1) = 2 + 17 + 3 – 4 = 18 = Suma de coeficientes del polinomio * P(0) = 0 + 0 + 0 – 4 = – 4 = Término independiente o término constante del polinomio 2.4 GRADO DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE P(x) “El exponente entero no negativo de la variable, tal que el coeficiente sea no nulo”

P(x)= axn  a  0 , n  N  {0}

Sea :

 GA( P(X) ) = n

Ejemplo:  GA( P(x) ) = 3

* P(x) = 18x3 * Q(x) = 5 = 5x

0

 GA( Q(x) ) = 0

6

* R(x) = 0x = 0  GA( R(x) )  { } . El polinomio cero carece de grado. Grados en un Polinomio: Grado Relativo:

Ejemplo:

Está referido a una de las variables del polinomio, se denota por GR x ó GRy y está dado por el mayor exponente de dicha variable. Para el polinomio:

P(x, y) = x18y7 + x8y21

Son grados relativos: GRx = 18 (El mayor exponente respecto a x) GRy = 21 (El mayor exponente respecto a y) Grado Absoluto:

Está referido a todas las variables a la vez, se denota por GA(P) y está dado por la mayor suma de exponentes en uno de sus términos.

Ejemplo:

Para el polinomio:

P(x, y) = x30 + x4 y25 + y31 x + x33 GA =

30

29

32

33

 GA(P) = 33 GRADO EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS CON POLINOMIOS: I.

GA( P  Q ) = GA(P) + GA(Q)

II.

GA(

III.

GA(P ) = n GA(P)

IV.

GA ( n P ) =

2.5

P Q

)= GA(P) – GA(Q)

n

GA(P) n

Ejemplo: (2x3)(7x5)

 GA = 3 + 5 = 8

Ejemplo: 2x4  5x3

 GA = 4 – 3 = 1

Ejemplo: (x7 + 5)2

 GA = 2(7) = 14

Ejemplo:

3

x 18  1 

GA  18  6 3

POLINOMIOS ESPECIALES  Polinomio Ordenado: Respecto a una variable, es aquel donde los exponentes de dicha variable están ordenados de menor a mayor o viceversa (en forma creciente o decreciente).

Ejemplo:

P(x) = 22x7 + 5x20 + 3x41

es ordenado en forma creciente.

Q(x) = –30x13 + 21x8 + 6x5 es ordenado en forma decreciente.  Polinomio Completo: Respecto a una variable, es aquel donde dicha variable presenta todos los exponentes desde 0 hasta el mayor incluso.  Un polinomio de una sola variable P(x), completo y de grado n, posee “n+1” términos diferentes de grados “menor” o igual que “n”. El enunciado recíproco es correcto.

Ejemplo: P(x) = x3 + 7x4 + 19 – x2 + 13x Es completo, pues siendo de 4º grado tiene 5 términos diferentes, cuyos grados son menores o iguales que 4.

 Polinomio Completo y Ordenado: Se establece respecto a una variable, tiene las características de lo mencionado anteriomente.

 Los siguientes son polinomios de una sola variable, completos y ordenados: P(x) = a0 + a1x

De 1º grado 2

P(x) = a0 + a1x + a2x

De 2º grado

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 2

3

P(x) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x

De 3º grado 4

De 4º grado

----------------------------------------P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …… + anxn

De nº grado

 Polinomio Homogéneo: El que posee dos o más términos y dos o más variables tal que todos sus términos son del mismo grado absoluto; este grado es designado : “Grado de homogeneidad” Ejemplo: 6

P(x,y) = 7x4 y3 + 3x5 y2 – 4xy es homogéneo de 7º grado

Teorema: En todo polinomio homogéneo: f(x 1, x 2; ........; x m) de grado de homogeneidad “n”, se verifica: f(Kx 1, Kx 2, ..........; Kx m) = K n f (x j, x 2j ..............x m), donde “n” Ejemplo: Dado el polinomio homogéneo f(x ; y) =-15x7 –312x5 y2 + 24x4 y3  f (kx; ky) = k7 f(x; y)  GH(P) = 7 Es el grado de homogeneidad Polinomios Idénticos o Identidad: Dos polinomios, del mismo grado y con las mismas variables, se dice que son idénticos si los términos semejantes tienen coeficientes iguales. Observación: La noción axiomática que rige la validez de esta afirmación lo enuncia : PRINCIPIO DE REFLEXIÓN de la igualdad de los números reales: " xR : x=x “Todo número real es asi mismo”

 Polinomio Idénticamente Nulo: También polinomio cero, aquel que luego de ser ordenado, se caracteriza por   

tener todos sus coeficientes nulos.Propiedad : Si un polinomio es idénticamente nulo; entonces su valor númerico, para cualquier valor real que se asigne a sus variables, siempre será igual a 0. El polinomio idénticamente nulo es el unico polinomio que carece de gradoTodo polinomio grado “n” que se anula para mas de n valores es idénticamente nulo.

Ejemplo: P(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 2

P(x,y) = 0x5y + 0x y2 + 0y4 Ejemplo: Ejemplo:

es el polinomio cero de un variable. es el polinomio cero de dos variables.

Los polinomios: P(x) = 16x2 + 45x + 98 y Q(x) = 98 + 45x + 16x 2 , son idénticos y se P(x)  Q(x) Si P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = 9x3 + 31x2 + 20 , son idénticos  ax3 + bx2 + c  9 x3 + 31x2 + 20,

denota así:

"x R

 a = 9, b = 31, c = 20 2.6

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Adición : Dados los polinomios: P y Q, de grados m y n; para obtener la suma de ellos se suman algebraicamente sus términos y se reducen los términos semejantes (aquellos términos de igual parte variable). Notación: P + Q = S , donde: GA (S)  máx { m ; n}

Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la mismas potencias de x. La suma de los polinomios p y q es el polinomio s(x) de modo que simbólicamente: n

m

s ( x)  p( x )  q ( x)  �ai x i  �b j x j  i 0

Ejemplo:

j 0

max( n , m )

�c x k 0

k

k

Sean: P(x) = 7x2 + 11x – 31 y Q(x) = 34x3 + 19x + 45 , donde: GA(P) = 2 y GA(Q) = 3 3

 S(x) = P(x) + Q(x) = 7x2 + 11x – 31 + 34x3 + 19x + 45 = 34x + 7x2 + 26x – 31 3

 S(x) = 34x + 7x2 + 26x – 31 , donde: GA(S) = 3 Ejemplo:

Sean A(x) = 10x4 – 29x3 + 46x + 33 y B(x) = – 10x4 + 29x3 + 38x + 21  S(x) = A(x) + B(x) = 10x4 – 29x3 + 46x + 33 + (– 10x4 + 29x3 + 38x + 21)  S(x) = 0x4 + 0x3 + 94x + 54  S(x) = 94x + 54 Polinomio suma de GA(S) = 1

 Observar que la suma resultante es de grado menor o igual que el máximo grado de uno de los sumandos. Sustracción de polinomios: dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n; la diferencia o resta se realiza así: Notación: P – Q = P + ( –Q ) = D , donde: GA (D)  máx { m ; n} Ejemplo: Sean: A(x) = 49x3 – 7x2 + 16 y B(x) = 59x3 – 18x2 – 30  D(x) = A(x) – B(x) = 49x3 – 7x2 + 16 – (59x3 – 18x2 – 30)  D(x) = 49x3 – 7x2 + 16 – 59x3 + 18x2 + 30  D(x) = – 10x3 + 11x2 + 46,

donde: GA(D) = 3

Multiplicación de Polinomios: Sean los polinomios “p” y “q” de grados “m” y “n”, llamados factores, se obtiene un tercer polinomio “s” llamado producto. Notación: AB = S donde: GA(P) = m + n

Entendemos que el producto de los polinomios p y q es el polinomio ”s” de modo que:

n m nm �m �n i � j � i j s ( x )  p ( x )q ( x )  � a x b x  a b x  dk xk � � �� i j � � � i j � k 0 �i  0 � �j 0 � i 0 j 0

Nótese que el grado del polinomio s(x) es la suma de los grados de máximo de n y m, mientras que s(x) no sea el polinomio cero, de modo similar que los sumandos p y q Métodos de multiplicación: Los métodos de multiplicación se sustentan en dos axiomas de R, que se extienden también para polinomios: Axioma de conmutatividad:

" a, b : ab = ba

Axioma de distributividad :

" a, b, c : a(b + c) = ab + ac

ó

(a + b)c = ac + bc



El producto de polinomios es una operación asociativa, conmutativa y posee elemento neutro .



La relación de estas operaciones con el grado es la siguiente:

La Regla Diagonal. Una disposición usual para ejecutar el producto de polinomios mediante la Regla de Distribución : Ejemplo. Ejecutar: (3x2 + 7x + 21) (4x2 – 9x + 11)

Solución: 1) Disposición rectangular

2) Ejecutando una fila 4x

4x2 – 9x + 11 3x2

3x2

7x

7x

2

– 9x

3) De modo análogo

12x4 – 27x3 33x2

21

21

4x2

– 9x

11

3x2

12x4

– 27x3

33x2

7x

28x3

– 63x2

77x

21

2

– 189x

231

11

84x

De sumar términos semejantes por las diagonales: = 12x4 + x3 + 54x2 – 112x + 231 El ejemplo desarrollado fue el ejecutado anteriormente por lo que se tiene los mismos resultados. 2.7

PRODUCTOS NOTABLES

Son resultados de multiplicaciones frecuentes.onocer la forma que presenta dicha multiplicación. Estos productos están determinados por las siguientes identidades algebraicas.

Trinomio Cuadrado Perfecto

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Identidades de LEGENDRE

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ó (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

Desarrollo de un Binomio al Cubo

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 ó (a + b)3 = a3+b3+3ab(a+b) (a–b)3 = a3–3a2b+3ab2–b3 ó (a–b)3 = a3–b3–3ab(a–b)

Suma de Cubos

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Diferencia de Cubos

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Desarrollo de un Trinomio al Cubo

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c) (a+b+c)3 = a3+b3 + c3 + 3(a + b+ c)(ab + bc + ac) – 3abc

Producto de Multiplicar Binomios con un Término Común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Identidad de ARGAND

(a2 + ab + b2) (a2 – ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

2

(x+a)(x+b)(x+c) = x3 + (a+b+c)x +(ab + bc + ac)x + abc

(a+b+c)(a2+b2+c2–ab – ac – bc) = a3 + b3 + c3 – 3abc

Además: * Si: a + b + c = 0  a3 + b3 + c3 = 3abc  En R: a2+b2+c2 = ab + ac + bc  a = b = c  Si: a + b + c = 0  a3 + b3 + c3 = 3abc

Equivalencias de GAUSS

DIVISION DE POLINOMIOS 3.1DEFINICIÓN. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN. La división algebraica tiene por objeto determinar dos polinomios: COCIENTE y RESIDUO, siendo conocidos los polinomios : DIVIDENDO y DIVISOR no constante. DEFINICION.- Dados los polinomios D(x) y d(x), denominados dividendo y divisor tal que: GA(D)  GA(d) > 0 existen dos únicos polinomios q(x) y r(x) que cumplirán: D(x)  d(x) .q(x) + r(x)

3.2 CLASES DE DIVISION DIVISION EXACTA .- Tendrá residuo r (x)  0  el algoritmo de la división resulta como : "x �R : D (x)  d (x) .q (x)

DIVISION NO EXACTA .- Es aquella que si deja residuo r (x)  0. Del algoritmo, dividiendo ambos entre d (x) , se obtiene:

D( x ) d( x ) 3.3

3.4

q( x)d ( x)  r( x ) � d( x )



D( x ) d( x )

�q( x ) 

r( x )

( Se denomina cociente completo)

d( x )

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN. 

La división de polinomios se efectúa con respecto a una sola variable.

   

GA(D)  GA(d)>0 GA(q) = GA(D) – GA(d) 0 0GA(r)  GA(d) GA(r)máx = GA(d) – 1

REGLAS DE DIVISION DE POLINOMIOS.

Para efectuar una división de polinomios, el dividendo y divisor serán polinomios completos y ordenados descendentemente. Regla de W.G HÖRNER

Es el modo sintético de realización de una división algebraica mediante la condición necesaria y suficiente de existencia, es decir : GA [ D ] �GA [ d ] > 0 . Ejemplo 2: Efectuar la división algebraica :

15 x 5  11x 4  21x 3  x 2  3 3x 2  x  2 Obsérvese que falta el término en “x” en el dividendo. Trazando el esquema y completando con “0”

3

15

-11

21

-1

0

3

3

15

-11

21

-1

0

3

1

1

5

-1 0

-2

-2

-6

-2

4

9

3

-6

6

2

-4

2

-4

-1

5

-2

3

 

El cociente será: q(x) = 5x3 – 2x2 + 3x + 2 El resto: R(x) = – 4x – 1



3 2 Cociente completo será: Q( x )  5 x  2x  3 x  2 



 4x  1 3x 2  x  2

REGLA DE PAOLO RUFFINI.

Regla se utiliza sólo cuando el divisor es de primer grado, o en aquellas divisiones donde luego de un cambio de variable se obtiene un divisor de primer grado. d ( x)  ax  b, a �0 El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra vertical, tal como se muestra en. Los coeficientes del dividendo se escriben más arriba de la horizontal (a la derecha de la vertical) y a la izquierda de la vertical se coloca la raíz del divisor. Se completa el esquema separando, con una vertical adicional, el último término del dividendo. divisor = 0

D I V I D E N D O C O C I E N T E RESTO

3 x 5  10 x 3  x 2  5 x  1 x2 Completando con “0” el término que falta en el dividendo, el esquema queda como en el primer cuadro. Las operaciones se realizan como se muestra en el segundo cuadro. Ejemplo : Dividir

x - 2 = 0

3

-1 0

0

5

-1

x - 2 = 0

x = 2

3

x = 2 3

0

-1 0

5

-1

6

12

10

30

6

2

15

29

5

Al ser el coeficiente principal del divisor es igual a “1”, el cociente es verdadero, luego: q(x) = 3x4 + 6x3 + 2x2 + 5x + 1 y el resto es: R(x) = 29

3.5

TEOREMA DEL RESTO ( REGLA DE RENATO DESCARTES)

“El resto de dividir P (x) entre el divisor (ax+b) es valor numérico del polinomio P(x) cuando la variable “x” se P b sustituye por la raiz del divisor (ax+b), “x=– ” .Es decir,   b 

a

Ejemplo :

Hallar el resto en la división:

Mediante la regla de Descartes  Igualando el divisor a “0” y despejando “x”:

 a

3 x11  4 x 6  5 x 3  1 x 1

x+1=0  x=–1

 Reemplazando en el dividendo: P( – 1 ) = 3(–1)11 + 4(–1)6 – 5(–1)3 –1  Efectuando las operaciones correspondientes, el resultado será el resto de la división: R = P( – 1 ) = – 3 + 4 + 5 –1  R = 5 Ejemplo :

Hallar el resto de dividir:

x 7  x 5  x 3  2x  3 x3  3

Mediante la regla de Descartes : 

Igualando el divisor a “0” y despejando la mayor potencia de “x”: x3 – 3 = 0  x 3 = 3



Arreglos en el dividendo, formando en éste “ x3 ”: D = (x3)2.x + (x3).x2 + (x3) + 2x – 3



Reemplazando el valor de “x3 ” y efectuando , se obtiene el resto: R(x) = (3)2.x + (3).x2 + (3) + 2x – 3



R(x) = 3x2 + 11x

El resto es de menor grado que el divisor. Ejemplo:

Hallar el resto de la división:

( x  2)2n  x 2  5 ( x  1)( x  3)

Mediante la regla de Descartes:  Igualando el divisor a “0” y despejemos la mayor potencia de “x”:  x2 + 4x + 3 = 0  x2 = – 4x – 3

(x + 1)(x + 3) = 0

 Arreglos en el dividendo: D = [(x+2)2]n + x2 + 5  D = [ x2 + 4x + 4]n + (x2) + 5  Reemplazando y efectuando , se obtiene el resto :R = [ – 4x – 3 + 4x + 4] n + (– 4x – 3) + 5  R = [ 1 ]n – 4x – 3 + 5  R = – 4x + 3

3.6 RESTOS ESPECIALES La regla de Descartes o del resto resulta simple cuando el divisor contiene sólo dos términos y es de cualquier grado. Para esto, en algunos casos, previamente se debe transformar el divisor original en otro de sólo dos términos. Sabemos que: "x �R : D (x)  d (x) .q (x) + r (x) y GA(D)  GA(d) > 0 I. Si al dividendo y al divisor se les multiplica por una misma expresión M (x) (M(x)  0) , entonces el resto también queda multiplicado por la misma expresión. { D(x) . M(x) }  {d(x) . M(x)}. q(x) + r(x) . M(x) Aplicando la regla de Descartes, se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto correcto, se divide aquel resto falso entre la expresión M (x). RF(x) = R(x) . M(x)  R(x) =

R F( x ) M( x )

Ejemplo 12 : Determine el resto en la siguiente división: Multiplicando el dividendo y el divisor por “ x–1 ”: Se obtiene

:

2x 57  x 32 x2  x  1

(2x 57  x 32 )( x  1) ( x 2  x  1)( x  1)

2x 58  2x 57  x 33  x 32

x3  1 Mediante la regla de Descartes: (1) x3 – 1 = 0  x3 = 1 (2) Arreglos en el dividendo: D = 2(x3)19.x – 2(x3)19 + (x3)11 – (x3)10.x2 (3) Reemplazando: R = 2(1)19.x – 2(1)19 + (1)11 – (1)10.x2  R = – x2 + 2x – 1  R = – (x – 1)2 Este resto es falso. Para hallar el resto verdadero, lo dividimos entre la factor por el cual multiplicamos al inicio “x – 1”:

 ( x  1) 2 = – (x –1)  RV = – x + 1 x 1 Si al dividendo y al divisor se les divide entre una misma expresión M (x) (M (x)  0), entonces el resto también queda dividido entre M (x). RV =

II.

R( x )  d( x )   . q( x )  M( x ) M( x )  M( x ) D( x )

Si, luego de ésta operación, aplicamos el teorema, lo que se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto verdadero, se multiplica aquel resto falso por la expresión M(x).

RF(x) =

R( x ) M( x )

 R(x) = RF(x) .M(x)

Ejemplo : Hallar el resto de la división:

( x  1)11 (2x  7) ( x  1)( x  2)

No podemos cancelar “x + 1” a nuestro libre albedrío; lo que tenemos que hacer es dividir al dividendo y divisor entre “x + 1”, así:

( x  1)11 (2x  7) x 1 ( x  1)( x  2) x 1

; ahora si, simplificando resulta:

( x  1)10 ( 2x  7) x2

Usando el teorema del resto: (1) x + 2 = 0

 x=–2

(2) No hace falta arreglar el dividendo, reemplazando:  R=3

R = (– 2 + 1)10[2(–2) + 7]

Pero este resto es falso. Para hallar el resto verdadero se multiplica aquel resto falso por la expresión entre la cual dividimos al inicio, “x + 1”. Entonces, se tendrá que: RV = 3(x + 1)  RV = 3x + 3

3.7DIVISIBILIDAD POLINOMIAL

P( x )

DEFINICION: P(x) es divisible entre otro d (x) si y sólo si la división polinomio q(x) tal que: 

d( x )

es exacta (r(x)  0). Es decir que existe un único

P (x)  d (x) . q (x)

También se dice que: “ d (x) es un divisor o factor del polinomio P (x) ”. : x3 – 1  (x – 1)(x2 + x + 1) : x3 – 1 es divisible entre x – 1 : x – 1 es un divisor o factor de x3 – 1

Ejemplo A partir de decimos que ó

Ejemplo. De la identidad : x4 – 1  (x2 + 1)(x2 – 1) Afirmamos que : x4 – 1 es divisible entre x2 + 1 ó también : x2 + 1 es un divisor o factor de x4 – 1 4 También se : x – 1  (x + 1)(x2 + 1)(x – 1) Se establece que: x4 – 1 es divisible entre x + 1 o x + 1 es un divisor o factor de x 4 – 1 TEOREMAS DE LA DIVISIBILIDAD POLINOMICA 1.

Si un polinomio P (x) es divisible separadamente entre (x – a) y (x – b), donde a  b, entonces P (x) será divisible entre el producto (x – a)(x – b). P (x)  (x – a). q 1(x)

2.

y

P (x)  (x – b). q 2(x)



P (x)  [(x – a)(x – b)]. q (x)

Si un polinomio P (x) es divisible entre el producto (x – a)(x – b), entonces P (x) será divisible separadamente entre (x – a) y (x – b). P (x)  [(x – a)(x – b)]. q (x)



P (x)  (x – a). q 1(x)

y

P (x)  (x – b). q 2(x)

3. Si al dividir un polinomio P (x) separadamente entre (x – a) y (x – b) , donde a  b, y en ambos casos se obtiene el mismo resto r, entonces al dividir P (x) entre (x – a)(x – b) el resto seguirá siendo r .P (x)  (x – a). q 1(x) + R

P (x)  (x – b). q 2(x) + R

y



P (x)  [(x – a)(x – b)]. q (x) + R

4. Si dos polinomios F (x) y G (x) son divisibles entre un mismo divisor d (x), entonces la suma o diferencia de dichos polinomios seguirá siendo divisible entre el mismo divisor. F (x)  d (x) . q 1(x) TEOREMA DEL FACTOR

y

G (x)  d (x) . q 2(x)



F (x)  G (x)  d (x) . q (x)

Un polinomio P (x) se anula para x = a, esto quiere decir que P (a) = 0, si y sólo si (x – a) es un factor de dicho polinomio. Es decir: Dado un polinomio P (x) :

P (a) = 0  P (x)  (x – a) . q (x)

Ejemplo . El polinomio P(x) = x4 – 5x + 4 se anula para x = 1: P (1) = 1 – 5 + 4 = 0 , entonces (x – 1) es un factor de P (x), es decir:

P(x)  (x – 1) . q(x)

CUESTIONARIO DE PREGUNTAS:

1. Si la expresión: M(x;y) = ax2a y3-a + bx3-b y2b Se reduce a un monomio, entonces su coeficiente es: A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Calcular la suma de todos los valores que puede “n” si: P(x;y;z) = (n-1)x5yn-2 – 3xzn + x5-n yz Es un polinomio. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 3. Si: P(x) = (x-1)2 +1 Calcular . P(0) + P(1) + P(2) + P(3) A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 4. Si : P(x) = x+1 Calcular: P(x-1) + P(P(P(x-3))) A) x B) 2x D) 4x

C) 3x E) 5x

5. Si : P(x) = x+4 y P (F(x) +1) = 2x +8 Calcular : P(F(2)) – F(P(2)) A) 4 B) 2 C) 0 D) –2 E) –4 6. Si: P(x+1) =

x 2 P(G( x))  x x 2 x

Calcular : G(7) A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

7. Si : G(x) = x G(P(x) + Q(x)) = 3x+1 G(P(x) - Q(x)) = 5x+3 Calcular : G(P(Q(-1))) A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

C) 6

C) 3

 ax  b   a x 8. Si : F   ax b 

b

Calcular: F(2) F(3)F(4)....F(10) A) 15 B) 25 D) 45 E) 55

C) 35

9. Sea el polinomio: P(x) = (x-1)6 +(x+1)5+(x+2)4+2(x-2)3+3 Calcular el término de independencia de dicho polinomio. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 10. Hallar el coeficiente del monomio M(x;y) = 4nmx3m+2n y9m-n

Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “x” es 7 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 11. Si el grado absoluto del polinomio: P(x;y) = x3n-1 yn-2x2n-3 y2n + 3xn-3y3n es 11, hallar el valor de “n” A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

C) 3

12. Si: P(x;y) = 6xm-2yn+5+3xm-3yn +7xm-1 yn+6 Es un polinomio cuyo grado absoluto es 17, y su grado respecto a “x” es 6, calcular : mn A) 21 B) 28 C) 20 D) 15 E) 35 13. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio : P(x;y)= 3axa+byb+5bxa+6yb+4 Sabiendo que el grado relativo a “x” es menor en 2 unidades que el grado relativo a “y” A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 25 14. Hallar “a-b” si el polinomio: F(x;y)=5xa+b+3yb-2+ 7 xa+b+1 yb+4 -21xa+b-1yb+1 es de grado absoluto 14; y se cumple: G.R. (x) = G.R. (y) + 4 A) 3 B) 2 C) 0 D) 1 E) 8 15. Si el polinomio: P(x) = axa-3 + bxb-2 + cxc-1 + abc Es completo y ordenado, calcular el término independiente. A) 50 B) 49 C) 48 D) 47 E) 46 16. Calcular la suma de coeficientes de: P(x;y) = a2xa+7 – bxayb + abyb+4 Sabiendo que es un polinomio homogéneo A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 17. Hallar: abc Si: a(x-2)(x+1)+b(x-2)(x-1)+c(x+1)(x-1)  7x23x+8 A) –45 B) 90 C) –90 D) 4 E) 5 21. Si el polinomio: P(x;y) = (a+b-2)x3 +(a+c-3)xy2+b+c-5 Es idénticamente nulo, calcular a-b+c A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 22. Hallar el número de términos del polinomio completo y ordenado: P(x)= (n+35)xn-10 + (n+34)xn – 9 + (n+33)xn-8+ …… A) 10 B) 35 C) 44 D) 45 E) 46

18 . El polinomio P(x) es de 3r Grado

n

xyyn  x n

2n

A) 1 B) 2 C) 3 D) 180 E) –180 24. Un polinomio de 6º Grado al ser dividido entre (x+1)5 deja el residuo 5x + 1. 19 . El polinomio P(x) es de 3r Grado divisible por ( 2 x  3) y ( 3 x  5) . el residuo de dividir P(x) entre (x -1 ). Es – 80 ; el residuo de dividir P ( x)  (10 x) es -15. Hallar el residuo de dividir P ( x ) (12 x  24) a)– 143 b) – 140 c) – 138 d) – 128 e) – 118 20. P(x) es un polinomio mónico de 4º Grado, tal que el residuo de dividir P ( x )  ( x 2  6) ò P ( x)  ( x  5) es única e igual a 10; al dividirse P(x) entre ( x+1) el residuo es 388.Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x – 1)

El coeficiente principal del cociente es 4, la suma de coeficientes de P(x) es 38. Determine el residuo de dividir P(x) entre ( x – 1)2 ;indique el coeficiente principal. a)288 b) 298

c) 308

d) 318 e) 328

a) 221 b)219 c) 217 d) 215 e) 213 21. Al dividir el polinomio H(x) entre  x 2  13 ( x 2  9)3 el residuo es 2 x 2  1 ; al dividir : 2 2 W(x) entre  x 2  1  x 2  9  el residuo es

3 x 2  1 .Hallar el residuo de dividir la suma H( x ) + W(x) entre el producto ( x + 1) (x + 3 ). a) – 20x – 11 b)– 20x – 13 c) – 20x – 15 b) d) – 20x – 17

e) – 20x – 19

MAGDALENA 10 DEMARZO DEL 2019