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Números Índices Los números índices son una medida estadística que permite comparar una magnitud simple o compleja en dos situaciones diferentes respecto al tiempo o al espacio tomando una de ellas como referencia. Al período inicial se le denomina período base o referencia y se le asigna el valor 100, en cambio, la situación que deseamos comparar se denomina período actual o corriente. Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes: -

Fijar la situación inicial (de forma arbitraria) a la que se referirán las comparaciones. Señalar que la elección de la situación inicial condiciona el resultado de la comparación, por lo que el punto de referencia inicial debe ser el más idóneo posible a los objetivos que se persiguen.

-

Las magnitudes que se comparan pueden ser simples o complejas, lo que nos introduce en el problema de la construcción de sistemas de comparación adecuados. Una magnitud compleja es comparar la producción de un mismo país en dos épocas diferentes o la producción global de dos países. No olvidemos que la producción es una magnitud compleja compuesta por magnitudes simples heterogéneas (unidades de producción, litros, kilogramos, etc.)

𝑝=

𝑃𝑡 𝑥100 𝑃0

Una clasificación seria: Serie (referencia fija) SIMPLES. Se refiere a un solo producto o concepto COMPLEJOS. Varios productos y conceptos

Cadena (referencia al dato anterior) SIN PONDERAR PONDERADOS

1.1 Números Índice Simples Son los índices que proporcionan la variación que ha sufrido una magnitud o concepto entre dos períodos o lugares distintos. Generalmente, esta comparación se realiza con el valor de un período fijo (periodo base).

𝑝=

𝑃𝑡 𝑥100 𝑃0

𝑃𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑃𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 1

Ejemplos: 1. De acuerdo con el Bureau of Labor Statistics, en 2000 el salario promedio por hora de los obreros en Estados Unidos era de $14.02. En 2009, fue $18.62. ¿Cuál es el índice de salarios por hora de los obreros en 2009 con base en los datos de 2000? Solución: 𝒑=

𝑺𝒂𝒍𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝟐𝟎𝟎𝟗 $𝟏𝟖, 𝟔𝟐 (𝟏𝟎𝟎) = (𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟑𝟐, 𝟖𝟏 𝑺𝒂𝒍𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝟐𝟎𝟏𝟎 $𝟏𝟒, 𝟎𝟐

Por lo tanto, el salario por hora de 2009 comparado con el de 2000 fue de 132.81%. Esto significa que el salario aumentó en 32.81% por hora durante el periodo, determinado por: 132.81 − 100 = 32,81

2. La población de la provincia canadiense de Columbia Británica en 2010 fue de 4.494.232, y en Ontario 13.069.182. ¿Cuál es el índice de población de la Columbia Británica comparado con el de Ontario?

𝒑=

𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒍𝒖𝒎𝒃𝒊𝒂 𝑩𝒓𝒊𝒕á𝒏𝒊𝒄𝒂 𝟒𝟒𝟗𝟒𝟐𝟑𝟐 (𝟏𝟎𝟎) = (𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟒. 𝟒 𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑶𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝟏𝟑𝟎𝟔𝟗𝟏𝟖𝟐

Esto indica que la población de Columbia Británica suma 34.4% (cerca de un tercio) de la población de Ontario, o que la población de la Columbia Británica es 65.6% menor que la población de Ontario 100 − 34,4 = 65,6 3. PNC Bank, Inc., con sede en Pittsburgh, Pennsylvania, reportó $17 446 (millones) en concepto de préstamos comerciales en 1995, $19 989 en 1997, $21 468 en 1999, $21 685 en 2000, $15 922 en 2002, $18 375 en 2004 y $54 818 en 2009. Utilice 1995 como base y desarrolle un índice simple que muestre el cambio de la cantidad de préstamos comerciales durante los años 1997, 1999, 2000, 2002, 2004 y 2009, con base en 1995.

PRESTAMOS COMERCIALES AÑO VALORES ÍNDICES 1995 17446 100,00 1997 19989 114,58 1999 21468 123,05 2000 21685 124,30 2002 15922 91,26 2004 18375 105,33 2009 54818 314,22

2

En la siguiente captura de pantalla de Excel se muestra el número de pasajeros (en millones) de los cinco aeropuertos más grandes de Estados Unidos en 2009. ¿Cuál es el índice de Atlanta, Chicago, Los Angeles y Dallas/Ft. Worth en comparación con Denver? Anexo 1.

Para determinar los cuatro índices, se dividen los pasajeros de Atlanta, Chicago, Los Angeles y Dallas/Ft. Worth entre el número de Denver. Se concluye que Atlanta tuvo 75.1% más pasajeros que Denver, Chicago 34.8% más, Los Angeles 15.8% más y Dallas/Ft. Worth 10.9% más. Anexo 2.

Del análisis anterior observe que: 1. El índice de salarios por hora promedio de los obreros (132.81) es un porcentaje, pero el símbolo de porcentaje casi siempre se omite. 2. Cada índice tiene un periodo base. En el ejemplo respecto del salario por hora promedio de los obreros, se utilizó 2000 como periodo base. El periodo base del Índice de Precios al Consumidor es 1993-1995. La razón de paridad, que es la razón entre los precios que recibieron los agricultores y los precios pagados por ellos, aún tiene 1910-1914 como periodo base. 3

3.

La mayoría de los índices, en negocios y en economía, se calculan hasta el número entero más cercano, como 214 𝑜 96, o hasta el décimo más cercano de un porcentaje, como 83.4% 𝑜 118.7%. 1.1.1. Índices simples en serie:

Los índices que se obtienen con respecto a una base anterior se denominan índices en serie Ejemplo 1.- En la tabla se presenta el número de mujeres (en miles activas en España desde el tercer trimestre de 2009 hasta el tercer trimestre de 2010. En la última columna se representan los números índices simples en serie con base el tercer trimestre de 2009.

Año 2009 2009 2010 2010 2010

NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES EN SERIE Trimestre Mujeres activas (miles) Base (2009-3º) 3 10089,4 100 (10139, 3 / 10089, 4) . 100 = 100,4946 4 10139,3 (10213, 3 / 10089, 4) . 100 = 101,2280 1 10213,3 (10250, 5 / 10089, 4) . 100 = 101,5967 2 10250,5 (10265, 2 / 10089, 4) . 100 = 101,7424 3 10265,2

Los índices reflejan la variedad porcentual que experimentan los distintos valores de la variable con respecto al valor con que se ha tomado con referencia (3° trimestre del 2009). Observando la tabla el número de mujeres activas en España en el tercer trimestre del 2010 es un 1,74% superior al año anterior. Numero índice simple en cadena Cuando el índice corresponde a cada dato se calcula tomando como referencia el dato inmediatamente anterior. Para series de observaciones temporales, estos índices refleja la variación porcentual que experimenta la variable entre cada dos observaciones consecutivas. 𝐼𝐶 𝑡 =

𝑥𝑡 𝑥100 𝑥𝑡−1

NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES EN CADENA Año 2009 2009

Trimestre 3 4

Mujeres activas (miles) 10089,4 10139,3

Base(2009-3º) --------(10139, 3 / 10089, 4) . 100 = 100,49

4

2010 2010 2010

1 2 3

10213,3 10250,5 10265,2

(10213, 3 / 10139, 3) . 100 = 100,73 (10250, 5 / 10213, 3) . 100 = 100,36 (10265, 2 / 10250, 5) . 100 = 100,14

Los índices en cadena reflejan la variación porcentual entre trimestre del número de mujeres activas en España. En esta línea, en el segundo trimestre de 2010 el número de mujeres activas fue un 0,36% superior al dato anterior.

2010−3 𝐼𝐶2010−2 =

10250,5 𝑥100 = 100,36 20213,3

Índices Complejos Generalmente el interés no se encuentra en comparar precios, cantidades o valores individuales, sino que se comparan fenómenos del mundo real donde intervienen muchas variables. Como consecuencia, la información suministrada por los índices de diferentes bienes debe de ser resumida en un único índice al que se denomina índice complejo. 1.1.2. Índices no ponderados En muchas situaciones se desea combinar varios artículos y elaborar un índice para comparar el costo de este agregado de artículos en dos periodos distintos. Promedio Simple de los índices de precios 𝑃=

𝑃𝑡 (100) 𝑃0

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑃 =

∑𝑃𝑖 𝑛

Ejercicios Tabla 1.1

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En la tabla 1.1 se reportan los precios de varios artículos de alimentos de 1999 a 2009. Usted desea elaborar con ellos el índice de 2009, usando 1999 como base. Esto se expresa con el código abreviado 1999 = 100. (Debemos recalcar que 1999 = 100 es tan solo una notación convencional para especificar que 1999 es el año base y no una igualdad entre valores numéricos como tal.) Inicie con el cálculo de un promedio simple de los índices de precios de cada artículo, emplee 1999 como año base y 2009 como año dado. El índice simple del pan es 147.1, que se determina con la fórmula.

𝑃=

𝑃𝑡 1,28 (100) = (100) = 147,1 𝑃0 0,87

El precio del café aumentó 7.3%, determinado por 107.3 − 100 = 7.3. Luego sería natural promediar los índices simples. La fórmula es:

𝑃=

∑𝑃𝑖 147.1 + ⋯ + 107,3 = = 145,5 𝑛 6

Esto indica que la media del grupo de índices aumentó 45.5% de 1999 a 2009.

1.1.Índice agregado simple. Una segunda posibilidad es sumar los precios (en lugar de los índices) de los dos periodos y luego determinar el índice con base en los totales. La fórmula es:

𝑃=

∑𝑃𝑡 𝑋 100 ∑𝑃0

A éste se le denomina índice agregado simple. El índice de los artículos de alimentos anteriores se determina al sumar los precios de 1999 y 2009. La suma de los precios del periodo base es $10.90, y del periodo dado, $14.70. El índice agregado simple es 134.9, lo que significa que el grupo de precios agregado aumentó 34.9% en el periodo de 10 años.

𝑃=

∑𝑃𝑡 $14,70 𝑋 100 = (100) = 134,9 ∑𝑃0 $10,90

1.2. Índice Ponderado. Los dos métodos más conocidos para calcular el índice de precios ponderado son el de Laspeyres y el de Paasche. 1.2.1.

Índice de precios de Laspeyres 6

A finales del siglo XVIII, Etienne Laspeyres desarrolló un método para determinar un índice de precios ponderado con las cantidades del periodo base como ponderaciones. Según dicho método, un índice de precios ponderado se calcula mediante:

𝑃=

∑𝑃𝑡𝑞0 𝑋 100 ∑𝑃0𝑞0

Donde: P es el índice de precios. pt es el precio actual. p0 es el precio en el periodo base. q0 es la cantidad en el periodo base. Ejemplo 1.

Los precios de los seis artículos de alimentos de la tabla 1.1 se repiten a continuación en la tabla 1.2. También se incluye el número de unidades de cada uno, consumido por una familia normal en 1999 y 2009.

Precio y cantidad de artículos de alimentos en 1999 y en 2009 Tabla 1.2

Determine un índice de precios ponderado con el método de Laspeyres. Interprete el resultado. Solución: Primero determine la cantidad total que se gastó en los seis artículos en el periodo base, 1999. Para encontrar este valor multiplique el precio en el periodo base del pan ($0.87) por la cantidad en el periodo base de 50. El resultado es $43.50. Esta cifra indica que se gastó un total de $43.50 en el periodo base en pan. Continúe de la misma manera con todos los artículos y sume los resultados. El total del periodo base es de $507.64. El total del periodo actual se calcula de manera similar. En el caso del primer artículo, pan, multiplique la cantidad en 1999 por el precio del pan en 2009, es decir, $1.28(50). El resultado es $64.00. Haga el mismo cálculo con cada artículo y sume el resultado. El total es $695.72. Debido a la naturaleza repetitiva de estas operaciones, una hoja de cálculo es útil para realizarlos. La siguiente es una reproducción de la captura de pantalla de Excel.

7

Tabla 1.3

El índice de precios ponderado de 2009 es 137.0, determinado por:

𝑃=

∑𝑃𝑡𝑞0 $695,72 (100) = 137,0 𝑋 100 = ∑𝑃0𝑞0 $507,64

Con base en este análisis se concluye que el precio de este grupo de artículos aumentó 37.0% en el periodo de diez años. La ventaja de este método sobre el índice agregado simple es que se considera la ponderación de cada artículo. En el índice agregado simple, el café representaba alrededor de 40% de la ponderación para determinar el índice. En el índice de Laspeyres, el artículo con la ponderación mayor es la leche, debido a que el precio del producto y las unidades que se vendieron son los mayores. 1.3.2. Índice de precios de Paasche: El índice de Paasche es una alternativa. El procedimiento es similar, pero en lugar de emplear cantidades del periodo base como ponderaciones, se utilizan cantidades del periodo actual. Se emplea la suma de los productos de los precios en 1999 y las cantidades en 2009. Esto tiene la ventaja de emplear las cantidades más recientes. Si hubiera un cambio en las cantidades consumidas desde el periodo base, se reflejaría en el índice Paasche.

𝑃=

∑𝑃𝑡𝑞𝑡 𝑋 100 ∑𝑃0𝑞𝑡

Ejemplo Utilice la información de la tabla 1.3 para determinar el índice de Paasche. Analice cuál de los índices debe usar. 8

Una vez más, debido a la naturaleza repetitiva de los cálculos, emplee Excel para realizar los cálculos. Los resultados se muestran en la siguiente captura de pantalla.

El índice de Paasche es 135.6, determinado por:

𝑃=

∑𝑃𝑡𝑞𝑡 $811,60 (100) = 135,6 𝑋 100 = ∑𝑃0𝑞𝑡 $598,36

Este resultado indica un aumento de 35.6% del precio de esta “canasta básica” de artículos entre 1999 y 2009. Es decir, cuesta 35.6% más comprar estos artículos en 2009 que en 1999. El índice de Paasche refleja mejor la situación actual. Se debe observar que el índice de Laspeyres se emplea con más frecuencia debido a que hay menos datos que actualizar en cada periodo. El Índice de Precios al Consumidor, que es el índice que se reporta con más frecuencia, es un ejemplo del índice de Laspeyres. 1.3.3. Índice ideal de Fisher El índice de Laspeyres tiende a ponderar demasiado los artículos cuyos precios aumentaron, el índice de Fisher parece ideal porque combina las mejores características de los índices de Laspeyres y Paasche. Es decir, equilibra los efectos de ambos índices. 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑠𝑝𝑒𝑦𝑟𝑒𝑠)(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒) Ejemplo: Determine el índice ideal de Fisher con los datos de la tabla 15-3. El índice ideal de Fisher es 136.3. 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑠𝑝𝑒𝑦𝑟𝑒𝑠)(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒) 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √(137,0)(135,6) = 136,3

9

1.4. Índice para propósitos especiales Este índice especial se denomina Índice de Satisfacción del Consumidor. Con frecuencia, instituciones financieras, compañías de servicios y centros de investigación de universidades elaboran índices sobre el empleo, jornadas laborales y salarios, y ventas al menudeo de las regiones donde se ubican. Ejemplo: La Seattle Chamber of Commerce desea elaborar una medida de la actividad de negocios general de la zona noroeste de Estados Unidos. Con este fin, al director de desarrollo económico se le asignó desarrollar un Índice General de Actividades de Negocios del Noroeste. Después de muchas ideas e investigaciones, el director llegó a la conclusión de que se deben considerar cuatro factores: las ventas en tiendas departamentales de la región (que se reportan en millones de dólares), el índice de empleo regional (que tiene como base el año 2000 y lo reporta el estado de Washington), los embarques en transportes de carga (reportados en millones) y las exportaciones del muelle de Seattle (reportadas en miles de toneladas). En la tabla se reporta información reciente sobre estas variables. Datos para calcular el Índice General de Actividades de Negocios del Noroeste

Después de revisar y consultar los datos, el director asignó ponderaciones de 40% a las ventas de tiendas departamentales, 30% al empleo, 10% a los embarques en transportes de carga y 20% a las exportaciones. Para elaborar el Índice General de Actividades de Negocios del Noroeste de 2009 con 1999 = 100, cada valor de 2009 se expresa como porcentaje, con el valor del periodo base como denominador. Para ilustrar esta operación, las ventas de tiendas departamentales en 2009 se convierten en porcentajes mediante ($44/$20)(100) = 220. Esto significa que las ventas de tiendas departamentales aumentaron 120% en el periodo. Luego, este porcentaje se multiplica por la ponderación apropiada. En el caso de las ventas de tiendas departamentales es (220)(0.40) = 88.0. Los detalles de los cálculos de 2004 y 2009 se muestran a continuación.

10

El Índice General de Actividades de Negocios del Noroeste de 2004 es 157.0, mientras que el de 2009 es 157.1. La interpretación de estos índices es que la actividad de negocios aumentó 57.0% de 1999 a 2004, y 57.1% del periodo base de 1999 a 2009. 1.4.1. Índice de precios al Consumidor Es un indicador INPC económico diseñado específicamente para medir el cambio promedio de los precios en el tiempo, mediante una canasta ponderada de bienes y servicios representativos del consumo de las familias. Ejemplo Paso 1 Se fijan los bienes de la canasta básica. Supuestos: En nuestra economía podemos incluir que la canasta tendrá:

Paso 2 Se hallan los precios de cada bien en cada año.

Paso 3 Se calcula el costo de la canasta

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Paso 4. Se elige un año como base: 2008 por ejemplo y se calcula el INPC de cada año.

Paso 5 Se utiliza el INPC para calcular la tasa de inflación desde el año anterior con la siguiente formula: 𝐼𝑃𝐶 𝑎ñ𝑜 2 − 𝐼𝑃𝐶 𝑎ñ𝑜 1 𝑥 100 𝐼𝑃𝐶 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 1 Y Así tenemos: Que para la tasa de inflación respecto del año 2009 con respecto al 2008 es la siguiente:

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1.4.2. Índice de Precios al Productor

Es un indicador que mide la tasa de variación en los precios de los bienes y servicios comprados y vendidos por los productores. (ILO et.al, p.xiii) Mide la tasa de variación de los precios de los bienes y los servicios comprados y vendidos por los productores. Normalmente incluye la minería, la manufactura, los servicios públicos, la agricultura, la silvicultura y la pesca pero puede abarcar la construcción y los servicios. Es un indicador estadístico esencial para la toma de decisiones económicas y empresariales y el seguimiento de la inflación. El IPP de la producción mide la tasa de variación de los precios de los productos vendidos conforme salen del productor. El IPP de insumos mide la tasa de variación de los precios de los insumos de los bienes y servicios adquiridos por el productor. (FMI, p.33) Como se calcula Recopilar datos para la elaboración del IPP no es una tarea fácil. En términos prácticos, para recopilar el IPP es necesario establecer un muestreo —a partir de una muestra representativa de establecimientos— un conjunto de productos bien definidos cuyas variaciones de los precios globales representen las de millones de transacciones realizadas. Las oficinas de estadística llevan a cabo un seguimiento periódico (normalmente con una frecuencia mensual) de los precios de estos mismos productos y ponderan las variaciones de los precios según el ingreso relativo. (FMI, p.33)

1.4.3. Promedio Industrial Dow Jones (DJIA) Es un índice de precios accionarios, pero tal vez sería mejor llamarlo “indicador” en lugar de índice. Se supone que es el precio medio de 30 acciones industriales específicas. Sin embargo, al sumar los 30 precios accionarios y dividir entre 30 no se obtiene su valor. Esto se debe a las divisiones accionarias, a las fusiones y a la adición y eliminación de acciones. Cuando ocurre algún cambio, se hacen ajustes en el denominador empleado con el promedio. En la actualidad, el DJIA es más un indicador psicológico que una representación del movimiento general de precios en la Bolsa de Valores de Nueva York. La falta de representatividad de las acciones en el DJIA es una de las razones para el desarrollo del Índice de la Bolsa de Valores de Nueva York. Este índice se desarrolló como un precio promedio de todas las acciones que se cotizan en la bolsa de valores de esa ciudad. Puede encontrar más información sobre el DJIA en 13

el sitio web www.dowjones.com: seleccione The Company, luego Dow Jones, y por último, en Enterprise Media Group, Dow Jones Indexes. Puede encontrar su valor actual así como las 30 acciones que ahora son parte de su cálculo. En la siguiente gráfica se resume el DJIA de un día. Se puede localizar en el sitio web de Merrill Lynch: www.ml.com.

1.4.4. Índice S&P 500 Su nombre completo es Índice Compuesto de Precios Accionarios de Standard & Poor’s. Se trata de un índice agregado de los precios de 500 acciones comunes. También es probable que sea un mejor reflejo del mercado que el DJIA. Puede acceder a la información de S&P 500 en el sitio web de Merill Lynch. El siguiente es un resumen reciente.

Hay muchos otros índices que sirven para conocer el comportamiento económico y de negocios, como el Nasdaq, el Russell 2000 y el Wilshire 5000.

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