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• emilio

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2017­10­9

Ficha Recurso

Introducción a los polinomios  

Introducción a los polinomios Los antiguos babilonios fueron los primeros en darse cuenta que el uso de los números no era suficiente para poder establecer cálculos generales basados en los posibles valores que pudiesen tomar las cantidades que aparecían en diversos problemas de la vida real. Así, estos fueron los primeros en introducir el lenguaje algebraico usando letras y otros símbolos para estas cantidades desconocidas y confeccionando expresiones matemáticas. Estas cantidades que se representan por letras se llaman incógnitas, variables o indeterminadas. Un problema donde el uso del lenguaje algebraico se hace patente seria, por ejemplo, el siguiente: Queremos saber el número de azulejos cuadrados de 1 m2 de lado, que necesitaríamos para realizar un mosaico también cuadrangular en la pared de nuestro jardín. Con el objetivo de conocer dicho número de azulejos, si llamamos "x" (variable) al costado de nuestro mosaico cuadrangular, obtendríamos una expresión del tipo x2/12, es decir x2 azulejos (la cual dependería del área de nuestro mosaico). Una expresión algebraica combina números y letras unidos por los signos de operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. A continuación se representan algunas expresiones algebraicas tipo: • Calcula el volumen de un cuadrado de arista x: x3 • Un tercio de un número: x/3 • El doble de un número aumentado en 5: 2x+5 • Tres veces el cubo de un número más dos veces este número: 3x3+2x Un monomio es una expresión algebraica formada por la multiplicación de un número real y de una o varias variables o indeterminadas elevadas a un exponente natural, por ejemplo 2x2 (las expresiones x­2 o x3/4 no serían monomios ya que el exponente no es un número natural). El número se llama coeficiente (2 para el ejemplo) y la variable elevada al exponente es la parte literal (x2 en el ejemplo). Llamamos grado del monomio al exponente de la variable (2 para el ejemplo). Para aquellos monomios con más de una variable, por ejemplo 3x2yz3, el grado del monomio es la suma de todos los exponentes de las variables (2+1+3 = 6). Otros ejemplos de monomios son: 5x4, 5x2z3, xy, x, 1/3x… Los números reales como 4, ­10, 3,4, √5, 1/3 también son monomios porque 4 es lo mismo que 4x0. Son monomios de grado 0. Son monomios semejantes aquellos que tienen la misma parte literal, por ejemplo: 5x4z y 2x43z. Un polinomio es la suma de monomios de distintos grados, por ejemplo x4+3x2­2x+3. El grado del polinomio es el grado más grande de todos los monomios que conforman el polinomio (4 en el ejemplo) y el término independiente es el monomio de grado 0 (3 en el ejemplo). En el caso de que tengamos un polinomio con dos o más variables diferentes, como, por ejemplo x3+4x2y2­2y, determinaremos su grado siguiendo los siguientes pasos: 1. Sumar el valor de los exponentes de las variables de cada coeficiente (3, 2+2 y 1) 2. Determinar cuál es el mayor valor de la suma de exponentes (4 para el caso estudiado) 3. Ese es el grado del polinomio (polinomio de grado 4) Existen varios tipos de polinomios: nulo, completo, incompleto, homogéneo, heterogéneo, ordenado,  iguales o semejantes. • Polinomio nulo: es aquel donde todos los coeficientes son 0 P(x)=0x3+0x2+0x+0 http://alumnos.aulaplaneta.com/AuxPages/PrintFichaRecurso.aspx?RecursoID=821246

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• Polinomio completo: es aquel en que aparecen todos los grados, tiene todos los términos incluyendo el término independiente P(x)=3x3+2x2+x+5 • Polinomio incompleto: es aquel que no tiene todos los términos P(x)=3x3+x+5 (falta x2) • Polinomio homogéneo: es aquel en que todos sus monomios son del mismo grado P(x)=3x3+2x2y • Polinomio heterogéneo: es aquel en que todos sus monomios no son del mismo grado P(x)=3x3+2x2y+x+3 • Polinomio ordenado: es aquel en que todos los términos o monomios que lo forman se encuentran ordenados desde mayor grado a menor P(x)=3x3+2x2+x+3 • Polinomios iguales: dos polinomios son iguales si coinciden sus coeficientes y parte literal sin estar necesariamente escritos en el mismo orden P(x)=3x3+2x2+x+5    y   P(x)=5+2x2+3x3+x   son polinomios iguales • Polinomios semejantes: dos polinomios son semejantes si, al igual que los monomios, verifican que tienen la misma parte literal P(x)=3x3+2x2y+x+3   y   P(x)=4x3+3x22y+6x+3   Si en una expresión algebraica sustituimos las letras (variables) por números, lo que tendremos será una expresión numérica. El resultado de esta expresión es lo que llamamos valor numérico de la expresión algebraica para estos valores de las variables. Debemos tener presente la prioridad de las operaciones: 1. Potencias 2. Productos y divisiones 3. Sumas y restas Ejemplo: P(x)=3x3+2x2+x+5 P(3)=3·33+2·32+3+5=107

Para practicar más los conceptos estudiados, puedes visitar la página Vitutor y realizar los siguientes ejercicios: expresiones algebraicas [ver (Enlace: http://www.vitutor.com/ab/p/a_1e.html) ],  monomios [ver (Enlace: http://www.vitutor.com/ab/p/a_2e.html) ]  y polinomios [ver (Enlace: http://www.vitutor.com/ab/p/a_4e.html) ].

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