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Profesor: ASENJO ALARCON, Dennis ACADEMIA PREUNIVERSITARIA ¨ CRAMER ¨

POLINOMIO 4

POLINOMIOS Suma limitada de monomios, no semejantes. Ejm.: 

x y + 2x y – x y



x5 + x3 + 2x + 1

2 3

4 2

3

3x

I.

es un monomio de grado 4.

II.

P(x) = 5 + 3x2 + x-3 es un polinomio.

P( x) 

NOTACIÓN

III.

Un polinomio cuya única variable es x puede ser representado así: P(x) Lo cual se lee: “P de x” o “P en x”

3 4 1 x  5x 2  2 4

3.

es un polinomio en Q.

a) Sólo I

b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II

e) Todas

En el siguiente polinomio:

y significa: polinomio cuya única variable es x.

P(x) = x2a+1 + 6x2a+3 – 5x2a+4

En general, un polinomio de (n + 1) términos puede ser

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14

expresado así:

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

n

n-1

P(x) = anx + an-1x

n-2

+ an-2x

0

+ ………….. + a0x

4.

Donde:

c) 4

En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6



x es la variable cuyo mayor exponente es n.



an, an-1, an-2, ……… a0 son los coeficientes de P(x).



an: coeficiente principal; an  0



a0: término independiente.

Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13

5.

a) 15

b) 14

d) 10

e) 12

c) 13

En el polinomio:

GRADO ABSOLUTO (G.A.)

P(x, y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a

Esta representado por el monomio de mayor grado.

Calcular el valor de “a” G.A. = 20

7

5

P(x) = x + x + 4 GA = 7 12 5

6.

4

P(x, y) = x y + x y + 4

a) 7

b) 8

c) 10

d) 11

e) 14

En el polinomio: P(x, y) = x2a+4y – 7xa-5y2 – 8xa-3y2

GA = 17

Calcular el valor de “a” si GRx = 10

GRADO RELATIVO (G.R.) Esta representado por el mayor exponente de la variable referida.

7.

P(x, y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5

a) 4

b) 5

d) 9

e) 10

c) 3

En el polinomio: P(x, y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3

GR(x) = 4 , GR(y) = 5

Calcular el valor de “b” GRy = 12

Ejm.: En el siguiente polinomio: P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa-5

8.

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

En el polinomio:

Calcular el valor de “a” si GA = 14

P(x, y) = axa-4 + 3xay3 + 2ya

Solución:

Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12

El grado absoluto es: a + 1 = 14 a = 13

9.

Ejm.: En el polinomio:

a) 10

b) 12

d) 15

e) 16

Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = axa-4yb-2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3

2 b+4

P(x, y) = 7x y

3 b-1

– 5x y

2 b+7

–x y

Siendo: GA = 8

Calcular el valor de “b” GRy = 10

a) 1

b) 2

Solución:

d) 4

e) 5

10.

El grado relativo con respecto a “y” es:

n

P( x, y)  6x 2 y3  2x2 y 3  1

b=3

Siendo n < 8

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Colocar verdadero o falso según corresponda:

11.

P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6

2.

c) 3

Calcular el valor de “n” en: n

b + 7 = 10

1.

c) 14

I.

El polinomio es de grado 4.

(

)

II.

El término independiente es 6.

(

)

III.

La suma de coeficientes es 7.

(

)

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) 6

b) 8

d) 5

e) 2

c) 4

Determine el GA del polinomio: a a 3 1 a  10 a  9 4 2 P(x, y)  x y x y  x a 1 y a  9 Sabiendo que 9 < GR(x) < 14

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12.

a) 9

b) 13

d) 19

e) 21

c) 16

7.

P(x, y) = 6x2yb+3 + 2x3yb+4 + x4yb+5

En el siguiente polinomio:

Calcular el valor de “b” GRy = 15

P(x, y) = xa+1y2b+3 – xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1 – xa+7y2b-3 De donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9 Calcular el G.A. del polinomio.

13.

a) 3

b) 5

d) 9

e) 18

8. c) 12

a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

En el polinomio: Calcular la suma de sus coeficientes si GA = 8

Determine el mayor grado relativo de una de sus

a) 10

b) 11

variables:

d) 14

e) 15

9.

Sabiendo GA del polinomio es 16. a) 5

b) 7

d) 11

e) 13

(

c) 12

Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = axa-2yb + bxa+3yb+1 + 3xa-1yb-2

c) 9

Siendo: GA = 10

En el siguiente polinomio:

P( x, y)  (2n  1) x

c) 12

P(x, y) = nxn-3 + 2xny2 + 4yn

P(x,y) = x3k-1yk+1 + x2k+3y2k+5 + xk+2y3k-4

14.

En el polinomio:

9 2n 3n  5 ( ) ) 2  2ny 3

10.

a) 3

b) 5

d) 9

e) 12

c) 1

Calcular el valor de “n” en: n

n

P( x, y )  2x 4 y2  2x3 y 3  3 Calcular: “n”

15.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Siendo: n < 15

Del problema anterior señalar la suma de coeficientes: a) 2

b) 4

d) 8

e) 11

c) 6

11.

b) 12

d) 14

e) 9

c) 13

Señalar la suma de coeficientes del polinomio:

n n 3 2 P( x)  nx  2nx  3x 7  n  4xn  5

ADICIONALES 1.

a) 10

Colocar verdadero o falso según corresponda: P(x) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7

2.

I.

El polinomio es de grado 5.

(

)

II.

El término independiente es 3.

(

)

III.

La suma de coeficientes es 15.

(

)

12.

a) 19

b) 17

d) 13

e) 11

En el polinomio:

La suma de coeficientes del polinomio:

P( x, y) 

P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 + (7 - n)x + 3n es de 16

c) 15

3

x

n 1



4

y

15  n

Señalar el término independiente.

3.

a) 3

b) 4

d) 6

e) 9

c) 5

En el siguiente polinomio: P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+4

13.

Calcular el valor de “a” si GA = 13

4.

Determine “n”

a) 8

b) 9

d) 11

e) 12

5.

e) 4

c) 1

14.

P(x, y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a Calcular el valor de “a” GA = 9

6.

b) 2

d) 4

e) 5 15.

P(x, y) = x7 – 4x2yb + byb+3 Calcular la suma de coeficientes si GRy = 10 b) 1

d) 6

e) 4

a) 6

b) 8

d) 12

e) 13

c) 2

c) 10

En el siguiente polinomio:

(

n 3 ) 2

 2ny

(

6 3n ) 3

Calcular: “n”

c) 3

En el polinomio:

a) 0

Determine el mayor grado relativo de una de sus

P( x, y)  (n  3)x

En el polinomio:

a) 1

c) 7

Sabiendo GA del polinomio es 15.

Calcular el valor de “a” si GA = 8 d) 0

e) 11

P(x, y) = x2k+4yk+2 + x2k-1yk+1 + 4xk+2y2k-1

P(x, y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5 b) 3

b) 5

d) 9 variables:

c) 10

En el polinomio:

a) 2

a) 3

a) 2

b) 3

d) 5

e) 7

c) 4

Del problema anterior señalar la suma de coeficientes: a) 10

b) 11

d) 14

e) 16

c) 12

POLINOMIOS ESPECIALES

Profesor: ASENJO ALARCON, Dennis ACADEMIA PREUNIVERSITARIA ¨ CRAMER ¨

1.

 a0 b0 

Polinomio Homogéneo

 c  0

Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

P( x;y)  2x 5 y 4  6x 6 y3  x2 y 7        G.A.  9

G.A.  9

G.A.  9

2.

P(x; y) es homogéneo de grado: 9 Polinomio Ordenado

3.

Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable están: aumentando o disminuyente, a partir del primer término. Ejemplo: P(x) = x8 + x5 – 2x4 + 5x - 2 Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de “x” disminuyendo a partir del primer término). Polinomio Completo Un polinomio será completo con respecto a una variable; si dicha variable posee todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x3 + x2 + x4 – 2x + 6x0  P(x) es completo  Propiedad En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en la unidad.

4.

Entonces: # de términos de P(x) = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x16 + x15 + x14 + ……. + x2 + x + 1 G.A. (P(x)) = 16 Entonces: # de términos de P(x) = 16 + 1 = 17 Polinomios Idénticos () Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficiente de sus términos semejantes son iguales. Es decir, si: ax2 + bx + c  mx2 + nx + p

Se cumple que:

1.

Calcular (mn) sabiendo que el polinomio es homogéneo. P( x, y)  5x m y 4  3x 6 y2  2x3 y 5  n

a) 1 b) 0 c) -1 d) 4 e) -2 2. Calcular la suma de coeficientes de P (x) sabiendo que es un polinomio completo. P(x) = 5xm+2 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2m a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 3. Se tienen los polinomios: M(x) = 3x2 + (b + 3)x + c2 – 3 N(x) = (7 - a)x2 + (2b + 1)x + 1 Donde: M(x)  N(x) Hallar: E = a – b – c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4.

E  2a  b  n Calcular: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a2 + b2 – 2ab)x3 + (b2 + c2 – 2bc)x2 + (a - c)x + d - 3

E

Polinomio Idénticamente nulo Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero. Es decir si: ax2 + bx + c  0 Se cumple que:

abc bd

Hallar: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6. Si: P(x) es completo y ordenado Hallar: “b” P(x) = axa+b – xa+2 – x2a + 3xa + xa-1 a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 7. Si el polinomio esta ordenado en forma ascendente: P(x) = 5x3 + 7x8 + 9xm+3 + bxn+2 + x11

 am  bn   c  p 5.

Dados los polinomios idénticos. M(x) = 3x4 – (a + b)xa N(x) = (b + n)xa+1 – x3

Hallar: “m + n” a) 10

b) 15

d) 21

e) 35

8.

c) 17

Sea P(x) un polinomio mónico: P(x) = (3 - a)x3 – (b - 2)x2 + (3 + a + b)x Determinar la suma de coeficientes de P(x) a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

9.

c) 8

Indicar cual o cuales de los siguientes polinomios son homogéneos: Donde (a, b, c, d  Z+) I.

P(x) = xa+b + yb+1

II.

P(x, y) = x1+a+by2 + 3x3+ayb

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III.

P(x) = xa+b+2 + xa+c+d

a) Sólo I

b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II

e) Ninguno

5 3.

10. Calcular: (a + b + c) Si: P(x)  Q(x) Siendo:

P(x) = 4x2 + 3x + 2

Donde: P(x)  Q(x)

Q(x) = (a + b - 1)x2 + (b – c + 2)x + (c – a + 4) a) 1

b) 2

d) 6

e) 8

c) 4

11. Sea M(x) un polinomio idénticamente nulo:

4.

Si: (a, b, c, d  Z) M(x) = (a + b - 10)x3 + (b + c + 7)x2 + (c + a + 2)x + 2d + 1 ( a  b  c  d)

 ( a  b)( c  d) 

F



2 2  3( a  b ) 

Hallar: a) -1 d) 0

b) 3 e) 1

5. c) 2

6.

a) 8 d) 11 14. Se cumple que:

b) 9 e) 12

7.

x2 + x +   (ax + 2n)2

2   8.

Indicar: a) 1/3 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/2 15. Indicar la suma de coeficientes del siguiente polinomio P(x, y) = axa + bcxbyc + dyd Sabiendo que es completo y ordenado respecto a sus dos variables. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9.

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Indicar cuantos de los polinomios son homogéneos: Donde (m, n, p  Z+) I.

P(x, y) = 3xm+nyp + 5xmyn+p

2 3 m+n

P( x, y)  2x a y 5  5bx 2 yb  3x 7 y2

10.

Q(x)  5 xm  2  m 5 x  3 5  2 5 x2 c) 3

II. M(x, y) = 5x y + xm+3yn+1 2 3+p 5 p III. N(x, y) = 4x y + 7x y a) Sólo I b) Sólo II c) Todas d) I y III e) Sólo III Calcular: (m + n + p) Si: P(x)  M(x)

a) 10 b) 20 c) 25 d) 28 e) 35 Hallar la suma de coeficientes de Q (x) sabiendo que es un polinomio completo.

b) 2

a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 0 Si el polinomio esta ordenado en forma ascendente: P(x) = mxn+1 + bx3 + 5x4+n + 3x5 Hallar: “n” a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 Sea P(x) un polinomio mónico: P(x) = (a - 6)x3 + 7x2 + (2a - 13)x4 + ax ( indica sumatoria)

Calcular (ab) sabiendo que el polinomio es homogéneo:

a) 1

c) 2

Hallar: F = coeficientes

TAREA DOMICILIARIA

2.

c1

Q(x)  mx m 1  5 xm  5x2m  4

c) 10

32

mnp

Hallar: a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 Si: Q(x) es completo y ordenado Hallar: “m2”

5 x 7  a  2x2a  3  mx 5  a

P( x) 

1.

Hallar: E = a + b - c a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 10 Dados los polinomios idénticos: P(x) = x3 – 4xa Q(x) = xa+2 + (b – 2a)x Calcular: a + b a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (m - 3)x4 + (n2 - 4)x3 + (n - 2)x2 + px + c - 4

M

12. Indicar el grado de homogeneidad de: P(x, y) = xa+by3+a-b + 5xa+17 + 7x4yb+5 a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33 13. Calcular el grado del polinomio ordenado estrictamente descendente:

E

d) 4 e) Se dan los polinomios: P(x) = (a - 3)x2 + (b2 - 2)x + 1 Q(x) = 5x2 + 2x + c

11.

Siendo: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1 Q(x) = (m + n - 1)x3 + (n + p - 2)x2 + (p)x + 1 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo: P(x) = (m + n + 3)x2 + (2m + n - 1)x + n - 2 Hallar: E = (m + n)50 a) 3000 b) -1 c) 0 d) 1 e) m + n - mn

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12.

13.

14.

Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M (x, y) es 12. M(x, y) = 5xa+b + 3xbyb + 4xmyn (Donde m < 4) a) 8 b) 10 c) 21 d) 12 e) 14 Señale el grado del polinomio entero y ordenado en forma estrictamente decreciente. P(x) = x12-2a + x2a-4 + x4-2a a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Si: ax2 + bx + c  (mx + n)2

F

b2  ac b2  ac

Calcular:

15.

a) 4/5 b) 5/3 c) 3/5 d) 1/3 e) 1/5 Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio : P(x, y) = mxa + bx + bxb + xm . y3 Sabiendo que es completo y ordenado. Respecto de x. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10