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ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.

SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos. Ejemplos: Hallar las sumas: a)

3a + 2b − c con 2a + 3b + c . De acuerdo con lo indicado se tiene. 3a + 2b − c 2a + 3b + c 5a + 5b + 0

b)

7a − 4b + 5c con − 7a + 4b − 6c . Ordenando: 7a − 4b + 5c − 7a + 4b − 6c +0

0

c)

−c

9x − 3y + 5 con − x − y + 4 y − 5x + 4y − 9 . Ordenando: 9x − 3y + 5 −x− y+4 − 5x + 4y − 9 +0 +0

3x

d)

1 3 1

2

x +

x

2

2 0 1 2

2

x +

1

xy con

3

2

+

1

1

1

xy +

+

xy

2 1 2

xy +

1

2

y . Ordenando:

4

+0

xy

3

+

3

1

1

y

2

4

xy +

1

y

2

4

Simplificando: 1 2

e)

 2 + 3  xy + 1 y 2 = 1 x 2 + 5 xy + 1 y 2  4 2 6 4  6 

x + 2

5ab − 3bc + 4cd , 2bc + 2cd − 3de , 4bc − 2ab + 3de y − 3bc − 6cd − ab . Ordenando:

AUTOR: PROFESORYYAN CARLOS DURAN

3-1

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

5ab − 3bc + 4cd + 0 + 2bc + 2cd − 3de

0

− 2ab + 4bc + 0

+ 3de

− ab − 3bc − 6cd + 0 +0

2ab

f)

+0

(a − b) − (b + c − d) + (b + c − d) + (2b − a) = a − b − b − c + d + b + c − d + 2b − a = b 2

g)

+0

2

2

2

2

2

2

i)

2

2

2

2

2

2

2

2.

2

2

2

2

2

2

2

a + 2b − 6a − [3b − 6a + 6b] = a + 2b − 6a − [ −6a + 9b] = a + 2b − 6a + 6a − 9b = 2

= a − 7b (x + y − z) − (x − y + z) + ( − x + y + z) − ( − x − y + z) = = x + y − z − x + y − z − x + y + z + x + y − z = 4y − 2z 3

j)

2

= a − b + c + b − a − c − c − a + b = −a + b − c 2

h)

2

a − (b − c ) + b − (a + c ) − c − (a − b ) =

2

3

2

3

2

(4x − 2x + x + 1) − (3x − x − x − 7) − (x − 4x + 2x + 8) = 3

= 4x − 2x

2

+ x + 1 − 3x 3 + x 2 + x + 7 − x 3 + 4x 2 − 2x − 8 = 3x 2

RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándose el signo a todos sus términos. La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios. Ejemplos: a)

De a + b restar a − b . Ordenando: a +b

b)

minuendo

− a +b

sustraendo

+ 2b

diferencia

De 8a + 3b restar − 3a + 4 . Ordenando: 8a + 3b 3a

minuendo −4

11a + 3b − 4

c)

sustraendo diferencia

De 4x − 3y − 2z restar − 3x + 2y + 7z . Ordenando, se tiene:

AUTOR: PROFESORYAN CARLOS DURAN

3-2

ÁLGEBRA:

3.

OPERACIONES CON POLINIMIOS

4x − 3y − 2z

minuendo

3x − 2y − 7z

sustraendo

7x − 5y − 9z

diferencia

MULTIPLICACIÓN

Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se conserva la misma base y se suman los exponentes. Ejemplos: 2

2

a)

(ab)(ab) = a b

c)

( −3ax)(5ay) = −15a xy

e)

(6x y z )( −4xyz ) = −24x y z

3

2

2

4

3

3

5

7

3

4

3

2

3

4

 − 1 xy 2 (5xz ) = − 5 x 2 y 2 z   4  4 

d)

4

2

( −9a bc )( −8d e g) = 72a bc d e g

b)

f)

(3a

x +2

)(5a

x+7

) = 15a

2x +9

Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados. Ejemplos: 3

2

2

5

4

3

(3x − x + 2x − 4)( −2x ) = −6x + 2x

b)

(5a b c − 12ab c − 6a c )( −3abc) = −15a b c + 36a b c + 18a bc

c)

(a b + 3a

4

m

2

3

n

5

m −1 n + 2

b

5

−a

m −2

− 4x + 8x

2

a)

2

b

5

n +3

m

3

)(4a b ) = 4a

3

2m

b

4

n +3

2

+ 12a

6

2

6

2m −1 n +5

b

3

− 4a 2m − 2b n + 6

Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados; finalmente se hace la correspondiente reducción de términos semejantes. Ejemplos: 3

a)

2

− 2x + 5) = x 5 − 2x 4 + 5x 3 + 2x 4 − 4x 3 + 10x 2 − x 3 + 2x 2 − 5x = 5

2

= x + 12x − 5x 2

b)

2

(x + 2x − x)(x

2

2

2

4

2

2

3

4

2

2

4

2

2

4

3

3

3

2

2

(x + y − xy)(x + y + xy) = x + x y + x y + x y + y + xy − x y − xy − x y = =x +x y +y

3-3

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

4

3

2

2

2

2

(a + a b + a b )(3a − 2ab + b ) =

c)

6

5

4 2

5

4

2

3

3

4 2

3

3

2

4

= 3a − 2a b + a b + 3a b − 2a b + a b + 3a b − 2a b + a b = 6

5

4

2

3

3

2

= 3a + a b + 2a b − a b + a b

4

2

d)

4.

(x − a)(x − b)(x − c) = (x − bx − ax + ab)(x − c) = 3

2

2

2

= x − bx − ax + abx − cx + bcx + acx − abc

DIVISIÓN

División de un monomio entre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero cuando se trata de potencias con la misma base se restan los exponentes. Ejemplos: 5

a)

8

2

− 45a b c xy 2

2

3

3

=−

4

9a b cd e 3

b)

4

d e

= −2ab

2

− 2a b

− 20mx y 4xy m

d)

3

2

4a b

2

c)

6

5a b cxy

= −5mx

3

n

−x y z 2

3

3xy z

a

=−

3

1

x

m −1 n −2

y

z

a −3

3

División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplos: 2

a)

2

3a − 6a b + 9ab

2

= a − 2ab + 3b

3a 8

b)

8

6

6

2

2

6

5 8

4

4

5

4

2

2

2a

m

− 3a

m +2

− 3a

3

+ 6a

3

= 2a b − a b −

3

3

3

84x y z − 21x y z − 49x y z 7x y z

d)

3

3

3a b

c)

2

6a b − 3a b − a b

2

3

m+4

=−

2 3

a

m −3

1 3

4 3 5

2

2

= 12y z − 3x y − 7xyz

+a

m−1

− 2a

m +1

3-4

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

e)

4a

x+4

b

m −1

− 6a

x +3

− 2a

b

x+2

m −2

b

+ 8a

x +2

b

m −3

m− 4

2

3

2

= −2a b + 3ab − 4b

División de un polinomio entre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se dará un método para la división entre polinomios. 111

Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en orden de potencias decrecientes.

211

Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para obtener el primer término del cociente.

311

Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.

411

Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 211 y 311 para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.

511

Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del denominador. Si el residuo es cero, la división es exacta, y se puede expresar como: numerador denominador

= cociente =

dividendo divisor

Si el residuo es diferente de cero, se puede expresar como: numerador denominador

= cociente +

residuo denominador

Ejemplos a)

Dividir a 2 + 4ab + 3b 2 entre a + b . Podemos expresarlo como: numerador 0 2

a + 4ab + 3b a+b

2

=

dividendo denominado r o divisor

Para la solución hacemos uso del símbolo tendremos:

,llamado galera, por lo que

3-5

ÁLGEBRA

OPERACIONES CON POLINIMIOS

a + 3b denominador o divisor

a+b

2

cociente 2

a + 4ab + 3b -a 2 - ab 0 + 3ab + 3b 2 - 3ab - 3b 2 0 + 0

numerador o dividendo Residuo =

Es una división exacta

b)

Dividir: 3x 2 + 2x − 8 entre x + 2 . Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene: 3x – 4 x+2

c)

3x 2 + 2x – 8 - 3x 2 - 6x 0 - 4x – 8 + 4x + 8 0 = residuo; división exacta

Dividir 31x 2 − 9x + 35x 4 − 9x 2 entre 5x 2 + 3x . Arreglando dividendo y divisor en orden decreciente de sus potencias tenemos: 7x 2 +2x - 3 5x 2 + 3x

d)

35x 4 + 31x 3 – 9x 2 – 9x - 35x 4 – 21x 3 0 + 10x 3 – 9x 2 – 9x - 10x 3 – 6x 2 0 - 15x 2 – 9x + 15x 2 + 9x 0

división exacta

Dividir 5a 4 − 2a + a 2 − 3 entre a − 1 . Ordenando se tiene:

5a 3 + 5a 2 + 6a + 4 a–1

5a 4 + 0a 3 + a 2 – 2a – 3 -5a 4 + 5a 3 0 + 5a 3 + a 2 – 2a - 3 - 5a 3 + 5a 2 0 + 6a 2 – 2a - 3 - 6a 2 + 6a 0 +4a - 3 - 4a + 4 0 +1= División no

3-6

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Por lo que, también se puede expresar como: 5a

4

2

+ a − 2a − 3 a −1

e)

 1    a −1

= 5a + 5a + 6a + 4 +  3

2

Dividir x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3 + y 4 entre x − y i)

Ordenando con respecto a x; tenemos: x 2y + 2xy2 – 3y3 x – y x 3y + x 2y2 – 5xy3 + y4 - x 3y + x 2y2 0 + 2x 2y2 – 5xy3 + y4 - 2x 2y2 + 2xy3 0 - 3xy3 + y4 + 3xy3 - 3y4 0 - 2y4

ii)

División no exacta

Ordenando con respecto a y; tenemos : -y3 + 4xy2 + 3x 2y + 2x 3 - y + x y4 –5xy3 + x 2y2 + x 3y - y4 + xy3 0 – 4xy3 + x 2y2 + x 3 y + 4xy3 - 4x 2y2 0 - 3x 2y2 + x 3y + 3x 2y2 – 3x 3y 0 - 2x 3y + 2x 3y - 2x 4 - 2x 4 División no exacta

f)

Hacer la división de a 4 − a 2 − 2a − 1 entre a 2 + a + 1 . Ordenando: a2 – a – 1 a2 + a + 1

a 4 – 0a 3 – a 2 – 2a- 1 - a4 – a3 – a2 0 – a 3 – 2a 2 – 2a – 1 + a3 + a2 + a 0 – a2 – a – 1 + a2 + a + 1 0

División exacta

3-7

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

g)

Dividir x 6 + 6x 3 − 2x 5 − 7x 2 − 4x + 6 entre x 4 − 3x 2 + 2 . Ordenando y dividiendo: x 2 – 2x + 3 x 4 – 3x 2 + 2

h)

x 6 – 2x 5 + 0x 4 + 6x 3 – 7x 2 – 4x + 6 - x 6 + 0 + 3x 4 + 0 – 2x 2 0 – 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 – 4x + 6 + 2x 5 + 0 – 6x 3 + 0 + 4x 0 + 3x 4 + 0 – 9x 2 + 0 + 6 - 3x 4 + 0 + 9x 2 + 0 – 6 0

División exacta

Efectuar la siguiente división: 2x − 3 7x 3 − 3x 4 + 2x − 3 . Ordenando tenemos:

− 2x − 3

3 2

3

x +

5 4

2

x +

4

15

x+

8

3

61 16

2

− 3x + 7x + 0x + 2x − 3 +

6 2 0

4

x − + −

9 2 5

x

3

2

x + 0x + 2x − 3

2 10 4 0

3

3

x + +

15

15 4 −

x

2

4 2

x + 2x − 3 30 8

2

x + +

0 −

45 8 61

8 122 16 0

x

x −3 x+ +

183 16 135

División no exacta

16

3-8

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

i)

Efectuar la siguiente división: 1 1 3

j)

a+

1 2

2 1

b

6 1

1

a−

b

3

2

a +

5

ab −

1

b

2

36 6 1 2 − a − ab 6 4 1 1 2 0 − ab − b 9 6 1 1 2 + ab + b 9 6 0

División exacta

Hacer la división que se indica: 2

a − 5ab + 6b 2

2a − 3ab + 4b

2

4

3

2 2

2

4

3

2

− 2a + 3a b − 4a b

4

4

2

3

2

2

3

3

2

2

3

− 10a b + 27a b − 38ab + 24b

0

+ 10a b − 15a b + 20ab 2

2

3

2

2

+ 18ab 3 − 24b 4

+ 12a b − 18ab + 24b

0

- 12a b

0

5.

3

2a − 13a b + 31a b − 38ab + 24b

4

División exacta

DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN x ENTRE UN BINOMIO DE LA FORMA x - a

Se llama polinomio en x aquel en que la literal de este nombre está afectada exclusivamente de exponentes enteros y positivos en todos los términos en que participan, en los cuales de una vez establecemos cierto orden, porque su manejo resulta mas sencillo si de preferencia están ordenados conforme a las potencias decrecientes de x o de y ó de z, si tuviéramos que emplear estas literales. Ejemplos: 6

5

1)

5x − 4x + 3x

2)

x + 8x − 7

3)

x −8

4

4

3

2

+ 8x + 7x − 13x − 6

2

3

Si una expresión no satisface el requisito de que los exponentes de la literal fundamental, sean enteros y positivos, no debe llamarse polinomio, sino simplemente suma de términos, como es 1

el caso del siguiente ejemplo: 2x 3 − 3x 2 − 4x 2 + 3 Al referirnos a la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma x − a ; previamente debemos aclarar que dicho binomio siempre tiene la forma x − a , nada más que el 3-9

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

número a por si solo, puede ser positivo o negativo y esto origina que a veces el signo de liga entre los dos términos del binomio sea positivo (+) como se ve a continuación. x − ( +2) = x − 2

x − ( − 3) = x + 3

;

Según lo anterior, dado un binomio de esta naturaleza, el número a siempre debe considerarse con signo contrario al que tenga en el binomio. El teorema del residuo. Expresa que el residuo resultante al dividir un polinomio en x entre un binomio de la forma x − a puede calcularse, sin necesidad de hacer la división; si en el polinomio sustituimos en el lugar de x el número a, precisamente tomado con signo contrario al que tenga el binomio. Demostración. Para su demostración, supondremos que p(x) simboliza a cualquier polinomio en x; que Q(x) simboliza, también, al polinomio en x que resulta como cociente al dividir el polinomio en x entre el binomio x − a , y que R es el residuo correspondiente de dicha división. De acuerdo con esto tendremos: p(x) x −a

= Q(x) +

R x −a

Despejando:

 R (x − a) = Q(x)(x − a) + R   x−a

p(x) = Q(x)(x − a) + 

Si en esta última expresión sustituimos a x por (+ a), obtendremos: p( +a) = Q( + a)(a − a) + R = 0 + R

∴ R = p(a)

Queda demostrado el teorema del residuo, y que es de gran interés, porque así podremos averiguar anticipadamente si una división de este tipo, va a ser exacta, cuando el residuo calculado valga cero. Ejemplos: 1)

Aplicando el teorema del residuo, diga si la siguiente división es exacta o no. 6

5

4

3

2

5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6 x +2

En el polinomio en x se sustituye el número a, tomado con signo contrario al que tenga en el binomio, es decir (- 2) 6

5

4

3

2

R = p(a) = p( −2) = 5( −2) − 4( −2) + 3(− 2) + 8(− 2) + 7( −2) − 13(−2) − 6 = = 5(64) − 4( −32) + 3(16) + 8(− 8) + 7(4) + 26 − 6 = 320 + 128 + 48 − 64 + 28 + 26 − 6 = = 550 − 70 = 480

∴ R = 480

Sin hacer la división, el residuo es 480. Para comprobar efectuamos la división: 3-10

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

5x 5-14x 4+31x 3-54x 2+115x-243 x+2 5x 6 -4x 5+3x 4 -8x 3 +7x 2 -13x -6 -5x 6-10x 5 0 -14x 5+3x 4 +14x 5+28x 4 0 +31x 4 +8x 3 -31x 4-62x 3 0 -54x 3 +7x 2 +54x 3+108x 2 0 +115x 2 -13x -115x 2-230x 0 -243x -6 +243x+486 0 +480 = Residuo = 480

2)

Aplicando el teorema del residuo, decir si la división siguiente es exacta o no. 6

5

4

3

2

5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6 x −1

Aplicando el teorema del residuo tenemos. 6

5

4

3

2

R = p(a) = p(1) = 5(1) − 4(1) + 3(1) + 8(1) + 7(1) − 13(1) − 6 = = 5 − 4 + 3 + 8 + 7 − 13 − 6 = 23 − 23 = 0

∴ R=0

Comprobación: 5x 5+x 4+4x 3+12x 2+19x+6 x-1 5x 6 -4x 5+3x 4 +8x 3 +7x 2 -13x-6 -5x 6+5x 5 0 +x 5+3x 4 -x 5+x 4 0+4x 4 +8x 3 -4x 4 +4x 3 0 +12x 3+7x 2 -12x 3+12x 2 0 +19x 2-13x -19x 2+19x 0 +6x-6 -6x+6 0

3-11

ÁLGEBRA

6.

OPERACIONES CON POLINIMIOS

DIVISIÓN SINTÉTICA O SIMPLIFICADA.

Tiene por objeto determinar el cociente de un polinomio en x entre un binomio de la forma x − a , de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos, en el ejemplo que ya se ha visto. 6

5

4

3

2

5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6 x −1

= 5x

5

4

3

2

+ 1x + 4x + 12x + 19x + 6

Primero.

Se divide el primer término del dividendo (5x6) entre el primer término del divisor (x), para obtener el primer término del cociente (5x5)

Segundo.

Se multiplica el coeficiente del primer término del cociente (5) por el segundo término del divisor tomado con signo contrario al que tenga el binomio (+1), y el producto resultante (+ 5) se suma algebraicamente al coeficiente (-4) del término de grado inmediato inferior en el dividendo; el resultado obtenido (+1) será al coeficiente del segundo término del cociente el cual se escribe en el lugar respectivo acompañado de la literal x afectada de un exponente una unidad menor, respecto del término anterior(+1x4).

Tercero.

El nuevo coeficiente (+1) se vuelve a multiplicar por el segundo término del divisor con signo contrario y el producto (+1), nuevamente se suma al coeficiente (+3) del siguiente término del dividendo, obteniéndose (+4) que es el coeficiente del tercer término del cociente, al que se volverá acompañar de la literal x con un exponente otra unidad menor(+4x3)

Cuarto.

Y así sucesivamente.

Ejemplos: 4

1)

3

2

x − 2x − 8x + 14x + 4 x −2

3

2

3

= x + 0x − 8x − 2 = x − 8x − 2

Aplicando el teorema del residuo: R = p( +2) = 16 − 16 − 32 + 28 + 4 = 0 5

2)

∴ R=0

División exacta

2

9x − 8x − 15x + 2 x +1

Completando el dividendo y dividiendo, se tiene: 9x

5

4

3

2

+ 0x + 0x − 8x − 15x + 2 x +1

5

3)

4

3

2

= 9x − 9x + 9x − 17x + 2

2

3x + 4x + 80 x+2

Completando el dividendo y dividiendo, se tiene: 5

4

3

2

3x + 0x + 0x + 4x + 0x + 80 x+2

4

3

= 3x − 6x + 12x

2

− 20x + 40 3-12

ÁLGEBRA:

4)

OPERACIONES CON POLINIMIOS

2x

4

3

+ 17x − 68x − 32 x+

5

5)

8.

1

4

=

3

2

2x + 17x + 0x − 68x − 32 x+

2

4

2

3

3

2

4

1

3

2

= 2x + 16x − 8x − 64

2

x − 3bx + 5b x − 8b x + 6b x − 4b

5 4

3

2

2

3

= x − bx + 3b x − 2b x + 2b

x − 2b

4

PRODUCTOS NOTABLES.

Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Existen varios tipos de productos notables, algunos de los cuales se muestran a continuación. 1.

Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de un binomio) Si elevamos, la suma a + b al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese binomio es decir que: 2

(a + b) = (a + b)(a + b)

Desarrollando este producto tendremos: a+ a+ a2 + + a2 +

b b ab ab + b 2 2ab + b 2

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

0 sea que;

Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos más el cuadrado del segundo término. Ejemplos: 2

2

2

2

1)

(x + 4)

= x + 2(x)(4) + (4) = x + 8x + 16

2)

(4a + 5b ) = (4a) + 2(4a)(5b ) + (5b ) = 16a + 40ab + 25b

3)

(3a + 5x ) = 9a + 30a x + 25x

4)

(7ax + 9y ) = 49a x + 126ax y + 81y

5)

(1 + 3x ) = 1 + 6x + 9x

6)

(a x + by ) = a x + 2a bxy + b y

2 2

2

2

3 2

4

4

2

2

5 2

2

2 2

2 2

2

4

2 2

2

2

3

8

4

2

2

4

6

5

10

4

2

2

2

4

3-13

ÁLGEBRA

2.

OPERACIONES CON POLINIMIOS

x

7)

(a + b

8)

(x

a+1

x +1 2

) =a

+y

x −2 2

2x

) =x

x

+ 2a b 2a +2

x +1

+ 2x

+b

a +1

y

2x + 2

x −2

+y

2x −4

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar a − b al cuadrado, equivalente a multiplicar ese binomio por si mismo o sea: (a − b) 2 = (a − b)(a − b) Desarrollando tendremos: aaa2 a2 -

b b ab ab + b 2 2ab + b 2

o sea que

(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 . Ya que:

Por lo que:

(a − b)2 = (b − a) 2

(b − a) 2 = b 2 − 2ba + a 2

El cual se puede expresar como; El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Ejemplos:

3.

2

= x 2 − 10x + 25

1)

(x − 5)

2)

(4a − 3b ) = 16a

3)

(10x

4)

(a

5)

(x

2

3 2

3

4

5 2

− 9xy ) = 100x

x−2

− 5)

a+1

− 3x

2

2

3

− 24a b + 9b 6

4

6

5

2

− 180x y + 81x y

10

= a 2x − 4 − 10a x −2 + 25

a −2 2

) =x

2a + 2

− 6x

a+1 a− 2

x

+ 9x

2a − 4

=x

2a + 2

− 6x

2a −1

+ 9x

2a − 4

Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. (a + b)(a − b) , que desarrollado nos da:

3-14

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

a+b a-b a 2 + ab - ab + b 2 2 a + 0 + b2

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

Esto es:

Lo que significa que: el producto de binomios conjugados, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplos:

4.

2

2

1)

(a + x)(a − x) = a − x

2)

(x + 2)(x − 2) = x − 4

3)

(2a + 3b)(2a − 3b) = 4a − 9b

4)

(5a

5)

(2a − 1)(1 + 2a) = (2a − 1)(2a + 1) = 4a − 1

2

2

n +1

m

− 3a ) = 25a

2n + 2

− 9a

2

2m

2

Cubo de un binomio. Sea (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b) 2 (a + b) . Desarrollando: a2 + 2ab + b 2 a +b a3 + 2a2b + ab 2 + a2b + 2ab 2 + b 3 3 a + 3a2b + 3ab 2 + b 3 Por lo tanto:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Que se puede enunciar como: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. 5.

Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso anterior, por lo que, desarrollando: a2 - 2ab + b 2 a -b a3 - 2a2b + ab 2 - a2b + 2ab 2 - b 3 3 a - 3a2b + 3ab 2 - b 3

Por lo tanto:

(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 3-15

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Lo que nos dice que: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos

6.

3

3

2

2

3

3

2

1)

(a + 1)

= (a) + 3(a) (1) + 3(a)(1) + (1) = a + 3a + 3a + 1

2)

(x − 2) = x − 3(x) (2) + 3(x)(2) − (2) = x − 6x + 12x − 8

3)

(2x + 3)

3

= (2x) + 3(2x) (3) + 3(2x)(3) + (3) = 8x + 36x + 54x + 27

4)

(4x + 5)

3

= (4x) + 3(4x) (5) + 3(4x)(5) + (5) = 64x + 240x

5)

(1 − a ) = 1 − 3(1) (a ) + 3(1)(a ) − (a ) = 1 − 3a + 3a − a

3

3

2 3

2

2

3

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

2 2

2

3

2 3

2

3

2

2

4

+ 300x + 125 6

Producto de dos binomios que tienen un término común. Sean los binomios: (a + b) y (a + c) . Su producto es: a+b a+c a2 + ab + ac + bc a2 + ab + ac + bc = a2 + a(b + c) + bc Por lo que: (a + b)(a + c) = a 2 + a(b + c) + bc El cual se expresa como: el producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del común por la suma de los no comunes, más el producto de los no comunes.

Ejemplos:

7.

2

2

1)

(x + 7)(x − 2) = x + x(7 − 2) + (7)(− 2) = x + 5x − 14

2)

(x − 7)(x − 6) = x + x( −7 − 6) + ( − 7)(−6) = x − 13x + 42

3)

(4x + 7)(4x

2

2

2

2

2 2

2

+ 3) = (4x ) + 4x (7 + 3) + (7)(3) = 16x

4

2

+ 40x + 21

2 2 4) (x + 2)(x + 5) = x + x(5 + 2) + (2)(5) = x + 7x + 10 Producto de dos binomios de la forma: 2

2

(mx + a)(nx + b) = mnx + anx + bmx + ab = mnx + (an + bm)x + ab 3-16

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Es decir: (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + (an + bm)x + ab Ejemplos: 2

1)

2) 8.

(4x − 3)(5x + 4) = (4)(5)x + [( −3)(5) + (4)(4)]x+ ( −3)(4) = 2

2

= 20x + ( − 15 + 16)x − 12 = 20x + x − 12 2

2

(2x − 4)(3x + 1) = 6x + ( − 12 + 2)x − 4 = 6x − 10x − 4

El trinomio cuadrado perfecto: (a + b + c) 2 = (a + b + c)(a + b + c) . Desarrollando las operaciones indicadas se tiene. a + b + c a + b + c a2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac + bc + c2 2 2 a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c2 Ordenando tenemos:

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: 2

2

2

2

(1 + 2a + 3b) = (1) + (2a) + (3b) + 2(1)(2a)+ 2(1)(3b)+ 2(2a)(3b)= 2

2

= 1 + 4a + 9b + 4a + 6b + 12ab

9.

Suma de cubos. Dado el producto: (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) . Efectuando la operación de multiplicación indicada tenemos: a2 - ab + b 2 a + b a3 - a2b + ab 2 + a2b - ab 2+ b 3 3 a + 0 + 0 + b3 Por lo que: (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

10.

Diferencia de cubos. De la misma manera, desarrollando el producto (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , tenemos: (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2b + ab2 − a 2 b − ab 2 − b 3 . Es decir: (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 Ejemplos: 1)

(2x + 6y)(4x

2

2

3

3

3

− 12xy + 36y ) = (2x) − (6y) = 8x − 216y

3

3-17

ÁLGEBRA:

OPERACIONES CON POLINIMIOS

2)

3xy(3x − 4y)(9x

2

2

3

3

3

3

+ 12xy + 16y ) = 3xy[(3x) − (4y) ] = 4

= 3xy(27x − 64y ) = 81x y − 192xy

4

3-18