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• Héctor Quiñonez

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MATEMATICA 2018 ACADEMIA CIMA

POLINOMIOS POLINOMIOS

MONOMIO

GRADOS

Es un término algebraico de exponentes enteros y

Grado Relativo de un Monomio:

positivos para todas sus variables.

Esta dado por el exponente de la variable indicada.

Ejm.: 3 4

Monomio

5 3 5

Monomio



x y



x y z

2 4 5

 M(x, y, z) = 4x y z GR(x) = 2 GR(y) = 4

2

3

No es

4 1/2

No es



x /y



x y



6 2 3

x y

GR(z) = 5 

No es

z

Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables.

Sabias que un término algebraico consta de una parte variable y una parte constante.



2 4 5 7

M(x, y, z) = 3 x y z

G.A. = 4 + 5 + 7 = 16 Sabias que la palabra grado proviene del matemático Viete y que este era militar.

Ejm.: 5 6

-4

x y



Parte Parte Constante Variable

dado por el mayor exponente de la variable referida.

POLINOMIO

Ejm.:

Es una suma limitada de monomios no semejantes.



Ejm.: 

4 2

2

3

6x y – 5x + 3xy + y

2 3

3 5

3x y z – 5x y + 3y

4 2



; 4 5



Polinomio de 3 monomios

7

GR(y) = 5 5 3

Q(x, y) = 6x y – 2x y – y GR(x) =

4

3 5

P(x, y) = 2x y + 6x y + 7x GR(x) = 7

4

Polinomio de 4 monomios 

Grado Relativo de un Polinomio: Estado

;

6

GR(y) =

Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.

Nota: El grado es una característica de los polinomios y monomios y esta relacionado con



los exponentes de las variables.

4 x3 y2  2x2 y 5  6x 4 y 6 P(x, y) =          5

7

10

G. A. (P) = 10 

x 4 y2  6x3 y 6  y 8    

Q(x, y) =   

G. A. (Q) = _________

DOC. HECTOR QUIÑONEZ

CEL: 990601035

97

MATEMATICA 2018 ACADEMIA CIMA Polinomio Ordenado Ascendente Nota:

Un

polinomio

mónico es aquel donde su coeficiente principal es uno.

2.

Polinomio Completo Es

aquel

donde

aparecen

todos

los

exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente.

IGUALDAD DE POLINOMIOS

Ejm.:

Se dice que 2 polinomios son iguales o idénticos

2

( ) cuando ambos resultan con el mismo valor

3

P(x) = 6x + 2x + 3x + 5

asumidos por sus variables.

4 términos

Ejm.:

2

3

Q(x) = 2 + x + 3x + 5x + 4x 3

x –2

 (x - 1)(x2 + x + 1) - 1

4

5 términos

Ambos polinomios son idénticos porque siempre

Propiedad: En todo polinomio completo se

tendrán los mismos valores numéricos.

cumple:

x=2 Reemplazando:

# Términos = Grado + 1

3

2

Sea:

2 – 2 = (2 - 1)(2 + 2 + 1) – 1

2

P(x) = 2x + 5x + 1

6=6 POLINOMIOS ESPECIALES Son

aquellos

que

Tiene 3 términos

presentan

ciertas

3=2+1

características particulares relacionadas a los exponentes de las variables o a los coeficientes

3.

Es aquel donde todos sus términos tienen el

de las mismas. Los más importantes son:

1.

Polinomio Homogéneo mismo grado absoluto.

Polinomio Ordenado

Ejm.:

Es aquel donde los exponentes de la variable



van aumentando o disminuyendo.



6x2  xy  y2   P(x, y) =  2º

16

– 2x

10

4.

2

+x +1

Polinomio Ordenado Descendente

4

7

Q(x, y) = 2 + x + 5x + x

98

10

DOC. HECTOR QUIÑONEZ

6º

6º

6º

Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. 

CEL: 990601035

2º

2x y  3x3 y3  y 6     Q(x, y) =   

Ejm.: P(x, y) = x

2º

4 2

P(x)

 0x3 + 0x2 + 0x + 0

P(x)

0

MATEMATICA 2018 ACADEMIA CIMA

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

DOC. HECTOR QUIÑONEZ

CEL: 990601035

99

1.

El valor de “n”

d) 20

si:

e) 25 n 1

P( x) 

Es

x

n

12n

x

de

4

5.

Dado

9.

P(x; y) = x a-3 b

a-

y + 7x

17



Calcular:

e) 5

b)

(a

d) 7 e) 5

c) -1

13.

-

n 1

P( x)  ( xn

e) 5

10.

n para que el

6.

c) 3 d) 4

Calcular

2

el

P(x) = a(3x – x

grado absoluto

+ 2) + b(2x - 1)

Si: G.A. = 45

GR( x)

2  GR( y) 3

P(x) = abx

y

d) 12

2b

Halle

11.

e) 15

el

monomio:

7.

Hallar a + b, si

a) 8 b) 18

P( x, y)  ax a

c) 30

a 5

3

 by a

 cx b

a 1

d) -36 a) 8

e) 40 y)

n+3 m-2 6-n

y

n+2 m+3

x

y

z

= 16 y G.R.(x) – GR(y) = 5. Calcular el valor de: 2m + n + 1 a) 5 b) 10 c) 15

8.

ascendentemen

6)x + (ab + bc -

c + d) a+d-1

+ 3x

12.

Hallar: (a + b), si el polinomio

b) 5 c) 6

es homogéneo:

N

=

abc(a + b)(a + c)

a+b-4

(b + c) a) 160 b) 163 c) 161 d) 162

e) 11

2

a) 4

Hallar:

+

d) 7

ax + bx + 7  k(3x – 2x + 1)

9)

Hallar: (a + b +

c) 8

Hallar: a + b 2

2

3)x + (ac + bc -

b) 10

e) 12

el G.A.

P(x) = (ab + ac -

y

a) 9

d) 11

+

variable.

ordenado

b-c+1

c) 10



2

asignados a su

Si: P(x) es un

2x

b) 9

de

valores

P(x) = x

En el polinomio: 2x

mas

te.

homogéneo.

Si el polinomio se anula para

completo el polinomio es

P(x;

14.

polinomio

coeficiente del

n

e) 3; 4

a) 5

e) 9

c) 10

2a-b a-

+ 2x

c) 0; 2

d) 8

b) 9

p-m

d) 1; 2

c) 7

a) 8

2

b) 2; 3

- c(x - x) – 6x

b) 6

Además:

+ 5x +

a) 0

2

3 2 P( x, y)  xn  2 y  4 xn y n  y 5  n

m+3

x

nulo.

del polinomio.

e) 5

n)x

idénticamente

e) 16

b) 2

P(x) = (2 +

es

d) 9

a) 1

p.

Si el polinomio

c) 4

sea

completo y n >

Hallar: a + b + c.

b) 2

Es de grado 13.

los

polinomio

a) 1 )(x n )(x)

Calcular

valores de m y

Calcular el valor de “n”, si:

4.

b) 9 c) 10

d) 3

2

y

a) 8

b) -2

G.R.(x)

2a-4b 3

+x y

Calcular: m + 2n

a) -3

=4

d) 4

+ 5x

2a-

4 9

m)  3x - 56

Donde: G.A. =

c) 3

y

m(x + n) + n(x +

y

y

b) 2

5 4b

en:

1 b+6

a) 1

3.

el a-2 b+5

+ 2x

P(x, y) = 3x

e) 8

polinomio:

to

Grado.

2.

d) 7

e) 164 15.

Si

F(x)

es

completo

y

ordenado. Hallar: “a + n” si

tiene (2n + 8)

Se cumple que:

Calcular abc, si

Calcular: (a + b

términos.

G.R.(y)

al

+ c)

F(x) = x 2

+x

n-3

n-1

+x

n-

=

2(G.

Calcular

a+4

se obtiene 10, 7

el

y

grado absoluto

x

4.

5 n+3 m-2 6-n

y

z

7. +

n+2 m-3

x

1.

Es

xm 2

x

P

3

(x)

grado, entonces

(x ) Es

de

Grado.

4

5.

a) 6 b) -4

del

P(x, y) = mx 3m-1 5m+2

y

6

+y

+

5m-

e) 12 homogéneo: m+n

P(x, y, z) = 5x n 2m-3

7x y

Si el polinomio: ab

6.

–

+

m 2n n-10

+

3n-7

7 ba

x y

11z

2 2 8 Calcular:

(m -

 (y z )

n)

m

e) -4

12. En el polinomio

e) 8 Si el polinomio: P(x) = (a5

2b+3)x + (b-

Dado

el

4

2c-1)x + (c2a+2)x

monomio: M(x, y, z) = a b c

5x y z

b) -16 d) -8

d) 5

9.

a) 16 c) 9

a) 71/9

e) 4

3m

d) 11

a2  b2  6 ab

el

d) 3

e) 2

x

Indicar

c) 7

d) 3

polinomio:

c) 10

Calcular:

b) 8

c) 4

b) 9

+ (a a-b

Es homogéneo.

a) 6

En el siguiente

a) 8

a a 1 1 b) 55 P( x, y)  x a  5 y 2  xa4y 4  x11  a c) 14

“n”

3.

8.

polinomio:

Hallar:

idénticas,

11. En el polinomio

P( x, y, z)  x

grado

to

y

8x y z

e)

2 n

a+b-6

e) 4

12

( x n  2 )3 x n  4

y

+ c + d)

c) 12

d) 25

Si:

en

d) 10

15

e) 25

a+1 b

calcular: (a + b

b) 8

c)

d) 20

ordenado

Son

a) 16

10

c) 22

y

Calcular: “ab”

– G.R.(Y) = 5

b)

b) 15

completo

- b)x + 3x

a) 5

a) 12

+x

En el polinomio

P(x) = x

es:

es:

Q(x, y) = x

descendente:

Luego: “2m + n”

el valor de “m”

2.

cumple:

G.R.

tercer

xy

forma

G.A. (P) = 11

xm 2

de

y

Se

Si el monomio:

+

c d-3

4-a 3-b

Del polinomio: 3 x

a b+1

P(x, y) = x y

e) 100

P(x, y) =

DOMICILIARIA

los

polinomios:

d) 84

e) 8

TAREA

10. Si

c) 108

d) 10

e) 20

e) 36

b) 52

c) 14

d) 18

c) 16 d) 21

a) 26

b) 17

c) 16

b) 81

e.

a) 13

b) 14

2

a) 4

11

respectivament

del polinomio.

a) 12

los

G.R. de 2 en 2

R(x))

+…+

sumar

7

Se anula para cualquier valor de variables.

las

completo

y

ordenado

en

forma creciente. Calcular la suma de coeficientes. P(x) = my ny

m-1

m+n

+

p-t

+

– py ty

t

A) 10 C) 6 E) 12

a) -2 b) 3

2

B) 8 D) 14

17. Determine

c) 4 d) 5 e) 7

13. Hallar: (a + b)c 2

a) x – 2x – 3

04. Hallar el residuo de dividir:

2

b) x + 2x + 3 2

la de del

c) x - 1

12

( x 3 )  2 x 7 4x 8

suma coeficientes siguiente polinomio, si se sabe que es completo y ordenado.

2

d) x + 2x 2

a) 8 c) 6

b) 4 d) – 10 e) – 12

e) x + x - 3 2)

n a nb 3 5 n   nx c  2  a ( a a  2)x5  (bb  3)x3  c  6  P  x xax  x3 6 x4  cx 07. Hallar “m + n” 2

A) 11 C) 13 E) 17

a) 1/4 b) 0

en la división exacta:

B) 12 D) 14

d) 2

14. Hallar el grado de

A) 9 C) 7 E) 5

de : P(x, y) = 8x

a+b b

y +

b a+b b+4

3 x

y

GR(x)

menor

es

en

unidades

2

1

3

2

-4

1

-3 0

c 2

d -10

-3

a) 18 b) 20 d) 24 e) 26

15. Si el polinomio: P x   x b 1  x a  c  x a  b  x c  d ; es completo y ordenado ascendentemente. Calcular: “a + b + c + d” B) 2 D) 4

16. Hallar a + b sabiendo que P(x) es ordenado y completo:

P  x   x 4  x b 1  x a 8  x  1

1 n

2

2

1 6

7

m 4 p 28

3 5

10. Hallar el resto en la división:

x2 2x2

0

a) 2x b) 2x – 12 c) 2x + 5 d) 2x + 12 e) N.A.

q 84 98

e) -2 3)

Calcular m + n si la división:

6x5  x 4  11x3  mx  Es exacta: a) 5 b) 37 c) -21 d) -12 e) -20 4)

Calcular A + B si 4

3

(12x – 7x – 2x

2

+ Ax + B) entre 2

(3x – x + 3) El

residuo

es

4x + 3. a) -4 b) 8

TAREA TAREA DOMICILIARIA DOMICILIARIA c) -6 1)

Al efectuar la siguiente división:

a) – 10 b) – 11 c) - 12 d) – 13 e) –14

d) 0

al dividir: ( x 1)35  7( x 1) 28  3( x 1)17  3

03. Hallar el resto de dividir: ( x  5 )9  2 x 1 6 x  36

c) 8

2 x 3  2nx 2  5 x  2 es: x n -13 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. En el siguiente cuadro de HORNER. Hallar : “m + n + p + q”.

c) 22

b) -4

2x2  3x  1

01. Hallar “a + b + c + d” en el cuadrado de RUFFINI.

que

a) 2

08. Hallar “n” si el residuo de la división:

TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA.

G.R.(y)

A) 1 C) 3 E) 5

6x 4  7 x3  3x2  4 x  3x2  2x  1

a) 1 b) c) 2 d) e) –1/3

B) 10 D) 6

homogeneidad

Si:

dividir:

x  x  mx 1 x 3  x n

es ordenado y completo, calcular el número de términos.

20

e) 2

coeficientes

del cociente de

siguiente si es

18. Si el polinomio: P x    n  2 x n 9   n  3 x n 8   n 5 4 x4 n  7 3 ...

c) 1

Indicar la suma de

2

d) 4 e) 5

5) Hallar A/B si al 4x 4  13x3  28x2  25x  12 dividir: 4 x2  5x  6

Indicar cociente.

su

2x 4  x3  Ax  B El

9)

Indicar la suma de

x2  2x  3

coeficientes

del

residuo

cociente

de

es

a) 4 c) 6

x2  1

a) -40

d) 12

c) 4x

c) -22

d) 2x

d) -52

Si la división es

e) 3x + 7

e) 22

exacta en:

mx 4  nx3  2x2  3x  2 10) Calcular “m” si la 4 x2  x  1 división es Determinar: m exacta: –n

6x3  3x2  mx  15 2x  3

a) 18 b) 20

a) -2

c) 22 d) 25

e) 2

el

coeficiente

11) Si el residuo de

del

6

término

la división (3x –

independiente

x

del coeficiente:

entre (x - 1) es

2

+ 3x - a)

2x 5  7 x 4  8x3  13x2  4 x 2.  7 ¿Cuál debe x3 ser el valor de b) 8 c)

“a”?

2

a) 0

d) 10

b) 2

e) 23 8)

c) 3

Hallar la suma de coeficientes

del

d) -1 e) -2

cociente de dividir: 12) Hallar el resto:

2x5  3x 4  4 x3  5x2  3x  7 1 x81  2x21  4 x13  9 x 2 x 1 a) -2

a) 4

b) 5

b) 5

c) 2

c) 6

d) 1 e) 4

d) 7 e) 10

3x60  5x 45  3x30  2x15  x5  7 x5  1

a) 3 b) 5

e) 19

d) 1

Luego de dividir,

en:

d) 6

c) 0

e) 26

14) Hallar el resto

c) 2

b) -1

indicar

a) 6x b) 0

b) -10

e) 9

a) -6

3x 40  6x16  3x13  x 4  3

8x 5  2x 4  19x3  15x  6 4x  3

b) 5

7)

en:

efectuar:

7x + 44

6)

13) Hallar el resto