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• María Jose Vera

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DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA ESTADISTICA-2008-I MVH

Certamen Nº 2- 523210 (Sección 3) PROBLEMA 1.- (30 puntos) Un estudiante rinde un examen de cuatro preguntas con respuestas de Verdadero o Falso. Suponga que el estudiante contesta al azar y en forma independiente cada pregunta. Defina la variables aleatorias X : número de respuestas correctas de las dos primeras preguntas e Y : número de respuestas correctas de las dos últimas preguntas La función de probabilidad conjunta para (X,Y) es: Ú " Ý 16 para (x,y) = (0,0), (0,2), (2,0), (2,2) " p(x,y) = Û 8 para (x,y) = (0,1), (1,0), (1,2), (2,1) Ý" Ü 4 para (x,y) = (1,1) a) Elija un valor particular (x,y) del vector aleatorio (X,Y) y justifique el valor de p(x,y) " (Por ejemplo, para (0,2) ¿porqué p(0,2)= 16 ?). b) ¿Cuál es la probabilidad que X sea mayor a Y? c)¿Cuál es el número promedio de respuestas correctas de las dos últimas preguntas, si las dos primeras fueron contestadas incorrectamente? d) Si 5 estudiantes rinden este examen, con el mismo procedimiento que el estudiante anterior. ¿Cuál es la probabilidad que todos ellos tengan las dos primeras preguntas contestadas correctamente?. e) ¿Son X e Y variables independientes?. Justifique su respuesta. f) Si una muestra aleatoria de 49 estudiantes rinden este examen, con el mismo procedimiento que el estudiante anterior. ¿Cuál es la probabilidad que el promedio muestral de respuestas correctas a las dos primeras preguntas sea un valor superior a 0.8?

Solución

X /Y 0 1 2 P(Y=y)

0 1/16 2/16 1/16 4/16

1 2/16 4/16 2/16 8/16

2 1/16 2/16 1/16 4/16

P(X=x) 4/16 8/16 4/16 1

a) Para el par (1, 0): p(1,0) = P(X=1, Y=0) = P(I C I I)+P(CI I I) =Ð "# )% +Ð "# )4 = donde I= pregunta contestada incorrectamente C = pregunta contestada correctamente y como está respondiendo al azar P(C)=P(I)= "# (4 puntos)

2 16

por independencia

b) P(X  Y) = P˜ (1,0), (2,0), (2,1) ™ = p(1,0)+p(2,0)+p(2,1) = 2/16+1/16+2/16=5/16. (4 puntos) c) La distribución condicional de Y dado X=0 está dada en la tabla a continuación y 0 1 2 p(y/x=0) 1/4 2/4 1/4 Luego lo pedido es: E(Y/X=0) = 0(1/4)+1(2/4)+2(1/4)=1.(5 puntos) (Ud. podría haber contestado que E(Y/X=0)= E(Y) si hubiera mostrado primero independencia entre las v.a. X e Y). d) Sea T = Número de estudiantes de los 5 que tiene las dos primeras preguntas contestadas 4 correctamente. T µ Bin (n=5, p =P(X=2) = 16 = 4" ) Por lo tanto, P(T=5) = ( "4 )5 .(5 puntos)

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e) Si, pues p(x,y) = 1/16= (4/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)= (0, 0), (0,2) , (2,0), (2,2) p(x,y) = 2/16= (8/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)=(0,1) , (1,0), (1,2), (2,1) p(x,y) = 4/16= (8/16)(8/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)=(1,1) (4 puntos)

f) Sea X" , X# ß ......,X49 una muestra aleatoria de X.

! Xi = Número de respuestas correctas de las dos primeras preguntas, para los 49 estudiantes de la 49

3œ1

muestra. Por el TLC 49  ! X = Xi /49 µ N ( E(X), 3œ1

 P( X  0.8) =1  F(

" 49 Var(X))

0.81 0.101 )=

= N( 1 ,

0.5 49

)

1  F(  1.98)

= 1  0.0238 = 0.9762 (8 puntos)

PROBLEMA 2.(15 puntos) Un constructor civil debe presentar un presupuesto de materiales para la obra gruesa de una residencia particular. Debe considerar con mucha precisión las cantidades de materiales requeridos para no aumentar innecesariamente sus costos. De acuerdo a proyectos anteriores, sabe que la cantidad de arena en toneladas, X, y la cantidad de concreto, en cientos de libras, Y, tienen una correlación de 3 = 0.7. Además, sabe que X µ N(10, 0.025) e Y µ N(7, 0.28) y que la arena le cuesta $5000 la tonelada y el concreto $2000 las cien libras. El constructor estima un costo fijo de $500000 ( fletes, teléfono, etc.). ¿Cuánto tendría que ser el monto de su presupuesto para estar seguro de que los costos reales excederán a éste con una probabilidad de sólo 0.01?. Solución El costo total está dado por la variable aleatoria C = 5000X+ 2000Y+500000 que tiene media y varianza: E(C) = 5000E(X)+ 2000E(Y)+500000 = 5000(10)+ 2000(7)+500000 =564000 Var (C) = (5000)2 Var(X) +(2000Ñ# Var(Y)+2(5000)(2000)Cov(X,Y)

Como 0.7 =3 = Var (C)

5x,y 5x,y = Ê 5x,y = 0.7(0.158) (0.529) =0.0586 5x 5y (0.158) (0.529)

=625000+1120000+1172000=2917000 =( 1707.92)#

C µ Normal por ser una combinación lineal de variables normales C µ N(564000, ( 1707.92)2 )

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Sea c! el monto del presupuesto a informar. Luego se debe satisfacer: P(C  c0 ) = 0.01 que es equivalente a P(C Ÿ c0 ) = 0.99

c!  564000 c!  564000 ) = 0.99. Ê = 2.33 1707.92 1707.92

Ê P(Z Ÿ

El monto debería ser: c! = $567979.45

PROBLEMA 3. (15 puntos ) Marque su respuesta. Cada respuesta correcta vale 3 puntos y cada respuesta incorrecta vale  1 punto. Un matrimonio tiene dos hijos jovenes. Sea X la renta, en millones de pesos, que percibirá el hijo menor e Y la renta, en millones de pesos, que percibirá el hijo mayor, cuando ambos sean adultos. Suponga que (X,Y) tiene función de densidad conjunta dada por f(x,y) =œ 2 0 1

0  x  1; 0  y  2 e.o.c.

1) La función de densidad marginal de la renta del hijo mayor, fY ÐyÑ, se determina por: a) ( ( f(x,y)dx dy 2

0

b)( f(x,y) dx

1

c) ( f(x,y) dx

2

0

d)( f(x,y) dy

1

0

2

0

0

2) La renta promedio del hijo mayor, E(Y), está dada por: a) ( yfY ÐyÑdy 1

0

b) ( ( 2

0

y

c)( fY ÐyÑdy 2

yf(x,y)dx dy 0

d) Ninguna de las anteriores

0

3) La probabilidad que la renta del hijo menor supere a la del mayor, P(X  Y), se puede calcular como: a)( ( 1

0

1 y

" dx dy #

b) ( ( 1

y

2 0

" dy dx #

c) 1  ( ( 2

0

1 y

" dx dy #

d) Ninguna de las anteriores

4) Sea fX (x) la función de densidad marginal de X. El salario mediano del hijo menor es Xm tal que: a) ( fX ÐXm Ñdx =0.5 1

0

b) (

Xm

fX ÐxÑdx =0.5

c) fX (Xm ) = 0.5

0

" d) fX (x) = Xm #

5) Si el sueldo del hermano mayor es igual a 1/2, entonces la probabilidad que el hermano menor gane más de 1/2 , P(X  1/2 / Y = 1/2 ), es: a) ( f(x/1/2)dy 1

1/2

b) (

1

" dy 1/2 #

c) 1  ( f(x/1/2)dx 1

1/2

d) (

1

f(x,1/2) dx 1/2 fY (1/2)