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• María Jose Vera

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Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Inform´atica - Casa Central

ILI-280 Estad´ıstica Computacional Pauta Certamen 4 3 de Diciembre de 2010 Profesor: Carlos Valle

1. Se realiz´o un experimento para la cantidad tartracina (mm/kg). en dos marcas distintas de papas fritas. La producci´on de cada marca fue supervisada ocho veces d´ıa. Los datos se muestran aqu´ı. Marca 1: 0.58 0.49 0.52 0.62 0.50 0.58 0.62 0.62 Marca 2: 0.48 0.47 0.49 0.51 0.48 0.49 0.50 0.49 Suponga que las dos poblaciones tienen una distribuci´on normal. Se sospecha que ambas marcas no producen con la misma consistencia que en t´erminos de cantidad de tartracina. Realice el intervalo de confianza para σ1 2 /σ2 2 con α = 0,1 y comente. (15 pts.) Soluci´ on: Por tablas, f1−α/2 = 3,79, es decir, f1−α/2 = 0,264 Adem´as, s1 2 = 0,003 y s2 2 = 0,01252 , por lo tanto el IC para σ1 2 /σ2 2 es: s1 2 fα/2 s1 2 2 2 < σ /σ < 1 2 s2 2 fα/2 s2 2 0,003 0,03 ∗ 0,264 < σ1 2 /σ2 2 < 0,0001 ∗ 0,264 0,0001 IC: [79,2; 1136,4], el intervalo no contiene al valor 1, por lo tanto, ambas marcas no producen con la misma consistencia con α = 0,01 2. En un estudio para estimar la proporci´on de residentes de una ciudad y sus alrededores que est´an a favor de la construcci´on de una termoel´ectrica, se encuentra que 57 de 100 habitantes de las ciudades a favor de la construcci´on, mientras que s´olo 52 de 125 residentes en la periferia est´an a favor. a) ¿Hay una diferencia significativa entre la proporci´on de zonas urbanas y los residentes de los suburbios que est´an a favor de la construcci´on de la termoel´ectrica? Use α = 0,05 (15 puntos) Soluci´ on: H0 : p1 = p2 v/s H1 : p1 ̸= p2 1) pˆ1 − pˆ2 ∼ N (p1 − p2 ; p1 (1−p + n1

p2 (1−p2 ) )=N(0; n2

0.0044)

Por H0 : p1 − p2 = 0 La regi´on cr´ıtica con α = 0,05 es: √ P (p1 − p2 < −a) = α/2 ∪ P (p1 − p2 > a) = α/2 Tenemos que: p1 − p2√< Zα/2 ∗ 0,0044 = −1,96 ∗ 0,0663 = −0,130 y p1 − p2 > Z1−α/2 ∗ 0,0044 = 1,96 ∗ 0,0663 = 0,130 Es decir R =] − ∞; −0,130]∪]0,130; ∞] Seg´ un la evidencia experimental, nuestro estad´ıstico de prueba es: 52 57 − 125 )/0,0063 = 0,154/0,0063 = 2,323 pˆ1 − pˆ2 = ( 100 Por lo tanto rechazamos H0 , es decir, las dos zonas residenciales no est´an de acuerdo en la misma proporci´on con dicho nivel de significancia. b) Calcule el nivel α de significancia con el que se rechazar´ıa la hip´otesis nula. (10 puntos) Soluci´ on: Sabemos que nuestro estad´ıstico de prueba es pˆ1 − pˆ2 = 0,154 Es decir 2P (Z > 2,323) = 0,0102, hasta con un nivel del 1,02 % se mantiene H0 .

3. En un informe de investigaci´ on se afirma que los ratones con una vida media de 32 meses van a vivir alrededor de 40 meses de edad cuando el 40 % de las calor´ıas en sus alimentos se sustituyen por las vitaminas y prote´ınas. a) ¿Hay alguna raz´on para creer que µ < 40 si 64 ratones a los que se colocan en esta dieta tienen una vida media de 38 meses. Con una desviaci´on est´andar conocida de 5.8 meses? Utilice el valor α para concluir. (15 pts.) Soluci´ on: Tenemos que H0 : µ = 40 v/s H1 : µ < 40 X ∼ (N (µ, σ 2 /n), por H0 : X ∼ (N (40; 5,82 /64) X−µ √ = 38−40 = −2,76 Es decir que con α = 0,0029 se rechaza H0 . Por lo El estad´ıstico de prueba es σ/ 5,8/8 n tanto, si podemos decir con alto grade de certeza que la vida media es menor a 40. b) ¿Qu´e tan grande debe ser la muestra para que la probabilidad de cometer un error tipo II sea 0.1 cuando µ = 35,9 meses (suponga α = 0,05)? (10 pts.) Soluci´ on: El error tipo II es β = P (X < a) cuando µ = 35,9 5,9 √ < a−35,9 √ = β, es decir, P (Z < a−35,9 √ = β = P (Z < a−40 √ + √ ) P ( X−35,9 5,8/ n 5,8/ n 5,8/ n 5,8/ n 5,8/ n Pero sabemos que 17,12 ≈ 18.

a−40 √ 5,8/ n

= zα , por lo tanto, −zβ = zα +

5,9 √ . 5,8/ n

Entonces n ≈

(1,645+1,28)2 (5,8)2 (−4,1)2

=

4. Los siguientes datos representan la relaci´on entre las calificaciones de programaci´on de una muestra aleatoria de 12 estudiantes de primer a˜ no de la universidad, junto con las puntuaciones en un examen de inteligencia realizado mientras a´ un estaban en educaci´on media:

Nota Programaci´on Test Inteligencia

A1 65 85

A2 50 74

A3 55 76

A4 65 90

A5 55 85

A6 70 87

A7 65 94

A8 70 98

A9 55 81

A1 0 70 91

A11 50 76

A12 55 74

a) Calcule e interprete el coeficiente de correlaci´on muestral.(10 puntos) Soluci´ on: X = 60,417, Y = 84,25 603,75 = 0,862 Sxx = 672,917, Sxy = 603,75 Syy = 728,25, por lo tanto r = √672,917∗728,25 2 0,862 = 74,3 % de los valores est´an correlacionados de manera lineal. b) Obtenga los Intervalos de confianza del 95 % para β0 y β1 (25 puntos) Soluci´ on: Calculamos los coeficientes: Sxy 603,75 βˆ1 = Sxx = 672,917 = 0,897 ˆ ˆ β0 = Y − β1 ∗ X = 30,056 S

−βˆ ∗Sxy

1 s2 = yy n−2 s = 4,321

=

728,25−0,897∗603,75 10

= 18,669

√∑ n 2 √ t s x 44475 √ Luego el I.C. para β0 : βˆ0 ± α/2 √nS i=1 i = 30,056± 2,228∗4,321∗ = 30,056±22,5936 = [7,4624; 52,650] 12∗672,917 xx t s 2,228∗4,321 α/2 = 0,897 ± I.C. para β1 : βˆ1 ± √ = 0,897 ± 0,371 = [0,526; 1,268] Sxx

CAVV/LATEX 2ε

25,941