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• María Jose Vera

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UNIVERSIDAD DE ATACAMA ´ FACULTAD DE INGENIER´IA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ESTAD´ISTICA Y PROBABILIDADES ´ PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No 2 Profesor: Hugo S. Salinas.

Primer Semestre 2011

1. El gerente de una compa˜ n´ıa de autom´oviles compra neum´aticos en lotes de 500. Por experiencias anteriores, sabe que uno de cada mil neum´aticos, adquiridos en un determinado almac´en, sale defectuoso y debe reemplazarse en la primera semana de uso. Calcular la probabilidad de que en un lote de neum´aticos: a) contenga s´olo uno defectuoso. Soluci´ on: Sea X : n´ umero de neum´aticos defectuosos en un lote de 500. Se sabe que la probabilidad de ´exito es p = 0.001. Aqu´ı la variable aleatoria X se distribuye binomial y la podemos aproximar a una Poisson con λ = E(X) = np = 500 × 0.001 = 0.5. Por lo tanto X ∼ P(λ = 0.5) y se pide P (X = 1) =

0.51 e−0.5 = 0.3033 1! (8 ptos.)

b) no tenga m´as de tres defectuosos. Soluci´ on: P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) 0.50 e−0.5 0.51 e−0.5 0.52 e−0.5 0.53 e−0.5 = + + + = 0.9982 0! 1! 2! 3! (8 ptos.) c) ning´ un neum´atico sea defectuoso. Soluci´ on: P (X = 0) =

0.50 e−0.5 = 0.6065 0! (8 ptos.)

2. En cierto servicio telef´onico, la probabilidad de que una llamada sea contestada en menos de 30 segundos es 0.75. Supongamos que las llamadas son independientes. ´ PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No 2

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a) Si una persona llama 10 veces, ¿cu´al es la probabilidad de que exactamente nueve de las llamadas sean contestadas en un espacio de 30 segundos? Soluci´ on: Sea X : n´ umero de llamadas contestadas (en menos de 30 segundos) de un total de 10 intentos. Entonces X ∼ B(n = 10, p = 0.75). Por lo tanto   10 P (X = 9) = (0.75)9 (0.25)1 = 0.1877 9 (5 ptos.) b) Si una persona llama 20 veces, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 16 de las llamadas sean contestadas en menos de 30 segundos? Soluci´ on: En este caso sea X ∼ B(n = 20, p = 0.75) 20   X 20 P (X ≥ 16) = (0.75)x (0.25)20−x = 0.4148 x x=16

(5 ptos.) c) Si una persona llama 20 veces, ¿cu´al es el n´ umero promedio de llamadas que ser´ıan contestadas en menos de 30 segundos? Soluci´ on: Del item b) E(X) = np = 20 × 0.75 = 15. Por lo tanto se espera que se contesten 15 llamadas en promedio. (5 ptos.) d ) ¿Cu´al es la probabilidad de tener que llamar cuatro veces para obtener la primera respuesta en menos de 30 segundos? Soluci´ on: Sea Y : n´ umero de llamadas sin responder hasta la primera respuesta (en menos de 30 segundos). Entonces Y ∼ G(p = 0.75). Tener que llamar cuatro veces para obtener la primera respuesta es equivalente a decir que no contestaron en tres ocasiones. Por lo tanto P (Y = 3) = (0.25)3 (0.75) = 0.01172 (5 ptos.) e) ¿Cu´al es el n´ umero promedio de llamadas necesario para obtener dos respuestas en menos de 30 segundos? Soluci´ on: Sea U : n´ umero de llamadas sin responder hasta obtener dos respuestas (en menos de 30 segundos). Entonces U ∼ BN (r = 2, p = 0.75). De aqu´ı, E(U ) = 2×0.25 = 1.33 es el 0.75 n´ umero promedio de fracasos (llamadas sin responder) hasta lograr dos respuestas. Por lo tanto, esto es equivalente a decir que se necesitan entre 3 y 4 llamadas hasta obtener dos respuestas. (5 ptos.) ´ PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No 2

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3. La nueva ley 20001, art´ıculo primero, establece la prohibici´on de que un trabajador cargue pesos superiores a 50 kilogramos, esto con el fin de cuidar la integridad f´ısica de los cargadores. Supongamos que un cargador de una Feria, carga sacos de frutas que tienen en promedio un peso igual a los 49.5 kilos y una desviaci´on est´andar igual a los 1.8 kilos y adem´as carga sacos de verduras que tienen en promedio un peso igual a los 49.8 kilos y una desviaci´on est´andar igual a los 1.5 kilos. Con estos antecedentes: Primero: Sean X : peso de un saco de frutas, con media 49.5 y desviaci´on est´andar 1.8 (en kilos) e Y : peso de un saco de verduras, con media 49.8 y desviaci´on est´andar 1.5 (en kilos). a) Si el cargador en un d´ıa de trabajo carga 100 sacos de frutas ¿Cu´al es la probabilidad que en promedio haya cargado un peso no reglamentario? Soluci´ on: Sea X el promedio de los 100 sacos √ de frutas. Entonces, por Teorema Central del L´ımite, se tiene que X ∼ N (49.5, 1.8/ 100). Se pide:   50 − 49.5 P (X > 50) = 1−P (X ≤ 50) = 1−P Z ≤ = 1−P (Z ≤ 2.78) = 1−0.9973 0.18 Por lo tanto P (X > 50) = 0.0027. (8 ptos.) b) Si una camioneta de fletes soporta un peso m´aximo de 15000 kilogramos y un trabajador carga 300 sacos de verdura en ella ¿Cu´al es la probabilidad que la camioneta no soporte el peso de los sacos de verdura cargados por el trabajador? Soluci´ on: Sea Y el promedio de los 300 sacos de √ verduras. √ Central del P Entonces, por Teorema L´ımite, se tiene que Y ∼ N (49.8, 1.5/ 300) ⇔ Y ∼ N (300 × 49.8, 300 × 1.5). Se pide:   X X 15000 − 14940 = 1−P (Z ≤ 2.31) P( Y > 15000) = 1−P ( Y ≤ 15000) = 1−P Z ≤ 25.980 P Por lo tanto P ( Y > 15000) = 1 − 0.9896 = 0.0104. (8 ptos.) c) Si el cargador en un d´ıa de trabajo carga 196 sacos de frutas y 100 sacos de verdura ¿Cu´al es la probabilidad que en promedio durante el d´ıa, haya cargado un peso no reglamentario? Soluci´ on: Sea T : el peso promedio de 196 sacos de frutas y 100 sacos de verdura. Es decir, P P 196X + 100Y X+ Y T = = 296 296 Esta variable se distribuye normal con media E(T ) y varianza V (T ) tal que: P P P P E(X) + E(Y ) 49.5 + 49.8 9720 + 4980 E(T ) = = = = 49.60 296 296 296 P P P P V (X) + V (Y ) 3.24 + 2.25 635.04 + 225 = = = 0.0098 V (T ) = 2 2 296 296 2962 ´ PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No 2

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Es decir, T ∼ N (49.60, 0.099). Por lo tanto:   50 − 49.60 = 1 − P (Z ≤ 4.04) = 0 P (T > 50) = 1 − P (T ≤ 50) = 1 − P Z ≤ 0.099 (8 ptos.) 4. Supongamos que hay dos m´aquinas disponibles para cortar corchos para botellas de vino. La primera m´aquina produce corchos cuyo di´ametro tiene una distribuci´on normal de media 3 cms. y desviaci´on est´andar 1 cm. La segunda m´aquina produce corchos cuyo di´ametro tiene una distribuci´on normal de media 3.04 cms. y desviaci´on est´andar 0.02 cms. Los corchos catalogados como aceptables tienen un di´ametro que va desde los 2.9 hasta los 3.1 cms. Supongamos que los porcentajes de producci´on de las m´aquinas 1 y 2 son 40 % y 60 %, respectivamente. Primero: Sean X e Y las variables aleatorias que registran los di´ametros de los corchos (en cms.) producidos por las m´aquinas 1 y 2, respectivamente. Se sabe que X ∼ N (3, 1) e Y ∼ N (3.04, 0.02). a) ¿Qu´e m´aquina produce corchos aceptables con mayor probabilidad? Soluci´ on: Seg´ un la distribuci´on de probabilidad para los di´ametros de los corchos producidos por la m´aquina 1, tenemos que esta m´aquina producir´a un corcho aceptable con probabilidad   3.1 − 3 2.9 − 3 ≤Z≤ = P (Z ≤ 0.1) − P (Z ≤ −0.1) P (2.9 ≤ X ≤ 3.1) = P 1 1 Por lo tanto, P (2.9 ≤ X ≤ 3.1) = 0.5398 − 0.4602 = 0.0796. Ahora, para la m´aquina 2.   2.9 − 3.04 3.1 − 3.04 P (2.9 ≤ Y ≤ 3.1) = P ≤Z≤ = P (Z ≤ 3) − P (Z ≤ −7) 0.02 0.02 Por lo tanto, P (2.9 ≤ Y ≤ 3.1) = 0.9987 − 0.0000 = 0.9987. Finalmente, podemos decir que la m´aquina 2 produce corchos aceptables con mayor probabilidad. (6 ptos.) b) Supongamos que se toma un corcho al azar y el di´ametro mide m´as de 3.1 cms. ¿Cu´al es la probabilidad que provenga de la m´aquina 1? Soluci´ on: Sea U la variable aleatoria que registra el di´ametro de un corcho elegido al azar. Para cada i = 1, 2, sea Mi el evento: el corcho es producido por la m´aquina i. Con esto,

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podemos calcular la probabilidad solicitada: P (M1 )P (U > 3.1|M1 ) P (M1 )P (U > 3.1|M1 ) + P (M2 )P (U > 3.1|M2 )
0.4P Z1 > 3.1−3 1

= 3.1−3.04 0.4P Z1 > 3.1−3 + 0.6P Z > 2 1 0.02 0.4(1 − P (Z1 ≤ 0.1)) = 0.4(1 − P (Z1 ≤ 0.1)) + 0.6(1 − P (Z2 ≤ 3)) 0.18408 0.4(1 − 0.5398) = = 0.9958 = 0.4(1 − 0.5398) + 0.6(1 − 0.9987) 0.18408 + 0.00078

P (M1 |U > 3.1) =

(6 ptos.) c) Se van midiendo corchos sucesiva e independientemente entre si hasta encontrar cuatro corchos aceptables. Determinar la probabilidad de examinar 10 corchos para cumplir con lo solicitado. Soluci´ on: Sea W la variable aleatoria que registra el n´ umero de corchos NO aceptables que se deben examinar hasta obtener cuatro corchos aceptables. Es decir, W ∼ BN (r = 4, p) donde p es la probabilidad de obtener un corcho aceptable. Ahora, es claro que la probabilidad de tener un corcho aceptable, depender´a de la m´aquina que lo haya producido. Luego p = P (2.9 ≤ U ≤ 3.1) = P (M1 )P (2.9 ≤ U ≤ 3.1|M1 ) + P (M2 )P (2.9 ≤ U ≤ 3.1|M2 )     3.1 − 3 3.1 − 3.04 2.9 − 3.04 2.9 − 3 ≤ Z1 ≤ ≤ Z2 ≤ + 0.6P = 0.4P 1 1 0.02 0.02 = 0.4(P (Z1 ≤ 0.1) − P (Z1 ≤ −0.1)) + 0.6(P (Z2 ≤ 3) − P (Z2 ≤ −7)) = 0.4(0.5398 − 0.4602) + 0.6(0.9987 − 0.0000) = 0.03184 + 0.59922 = 0.63106 Por lo tanto la probabilidad que se pide es   6+4−1 P (W = 6) = (0.63106)4 (0.36894)6 = 0.0359 6 (6 ptos.) d ) Supongamos que se examinan 50 corchos sucesiva e independientemente entre si y se cuenta el n´ umero de corchos aceptables. Determinar la probabilidad que hayan al menos 45 corchos aceptables. Soluci´ on: Del item c) p = 0.63106 es la probabilidad de encontrar un corcho aceptable. Sea V : n´ umero de corchos aceptables en un lote de 50. De aqu´ı, V ∼ B(n = 50, p = 0.63106). Por lo tanto 50   X 50 P (V ≥ 45) = (0.63106)v (0.43262)50−v v v=45 (6 ptos.)

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